Soluzioni Esercitazione VIII. p(t)dt = R

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1 S. a Si ha Soluioni Esercitaione VIII PT > + ptt ptt perché pt per t <. Quini T è una v.a. positiva e può unque essere usata per escrivere probabilisticamente ei tempi i vita. b Per u, si ha PT > u + perché pt per t <. Se invece u >, Quini la f.. i T è c Si ha + u ptt + + ptt PT > u ptt λ t e λ t t> t u u + e λ t t e λ t t + e λ u. u t tu F T u { se u e λ u se u > PT > t + s T > s PT > t + s, T > s PT > s PT > t + s PT > s perché {T > t + s} {T > s}. Quini, usano b, { g t s exp λ t + s s }. Stuiamo il segno ella erivata i g t, per s > : [ g ts λ g t s t + s s ]. Allora, g ts se e solo se t + s s, ovvero t + s che equivale si ricori che t, s > a richieere s. Possiamo quini riassumere come segue: g t s è

2 monotona crescente in s > se e solo se < ; costante in s > se e solo se ; monotona ecrescente in s > se e solo se >. Sia T il tempo i vita i una unità. La funione g t s rappresenta la probabilità che l apparecchiatura sopravviva un ulteriore tempo t, coniionatamente al fatto che è funionante all istante s, cioè la probabilità che il tempo i vita resiuo a s sia maggiore i t. Se quini g t è ecrescente <, tale apparecchiatura ev essere soggetta a un fenomeno i tipo usura, ovvero tene a eteriorarsi con il tempo: all aumentare el tempo s, il tempo i vita resiuo tene a iminuire. Se invece g t è crescente >, l unità in questione tene a migliorare con l età: all aumentare el tempo s, il tempo i vita resiuo tene a aumentare. Qualora invece g t fosse costante, significherebbe che l età non influena il tempo i vita resiuo ell apparecchiatura perita i memoria. Si noti infine che per allora p è la ensità i una Expλ: le v.a. esponeniali soisfano quini la proprietà i perita i memoria, che nel caso iscreto è tipica elle v.a. geometriche. S. Per β > e X Expλ, se t allora PX β t e se t > si ha PX β t PX t /β. Quini, f X βt t PXβ t t PX t/β t> f X t /β β t/β λ β t/β e t/β t> cioè X β è una v.a. i Weibull come nell Eserciio, i parametri λ e /β. 3 a Cerchiamo µ tale che esiste finito lim + xµ x: per >, Quini, x µ+ x µ µ+ µ+ µ+ se µ x ln x ln se µ lim + x µ x { µ+ se µ > + se µ Possiamo allora concluere iceno che p è integrabile su se e solo se µ > e inoltre pxx c µ+. b Perché p sia una ensità, ev essere p integrabile, p e pxx, quini p è una ensità se e solo se µ > e inoltre, cioè c µ +. c µ+

3 c Inichiamo con p X e p Y la ensità i X e Y rispettivamente: p X x x x, p Y y e y y>. Per calcolare la ensità i X + Y basta calcolare la convoluione continua tra p X e p Y : p X+Y p X xp Y x x x <x< e x x> x e x e x <x<, x< x. Calcoliamo separatamente x ex <x<,x< x. Tutto ipene a come si trova rispetto a e. : <x<,x<, quini x ex <x<,x< x ; < < : <x<,x< <x<, quini x e x <x<,x< x xe x x x e x e e x : <x<,x< <x<, quini x e x <x<,x< x e e + e + ; xe x x x e x e x x e x x e e x. iassumeno, possiamo scrivere p X+Y e e + << + e > <<. Si noti che p X+Y è una ensità: p X+Y per ogni, perché e per ogni, verificare!, e inoltre + p X+Y e S 4. e + +. a Stuiamo il comportamento asintotico per + i pxx: lim px x lim π quini esite finito px x. La f.. associata è F x x + x x π lim arctg x π lim arctg π π pt t π arctg t x 3 π arctg x + π.

4 b Stuiamo il comportamento asintotico per + i x pxx: lim x px x lim ln + x π lim π lim quini una v.a. i Cauchy non ha meia. π x + x x ln + + c Se y, ovviamente F Y y PY y PX y. Se invece y >, quini, per y >, F Y y P y < X < y F X y F X y f Y y y F Y y F X y F X y f X y + f X y y y. Possiamo infine scrivere f Y y π y + y y>. Ovviamente Y X non può avere né meia né variana, perché in caso affermativo significherebbe che X ha momento secono o quarto, il che non è possibile perché non ha neanche momento primo. Z /X è ben posta: l eventuale problema è per X, che comunque è un evento i probabilità perché X ha ensità. Calcoliamo la sua f..: per,, si ha: F Z PZ P X P X, X > + P X, X < P X, X > + P X, X < P X, X >, > + P X, X >, < + P X, X <, > +P X, X <, < quini: se > : P X F Z P X, X > + PX < F X + P X, X < + F X 3 F X ; e f Z 3 F X f X π + ; 4

5 se < : F Z P X, X > e Possiamo quini scrivere + P X, X < F X + P X <. f Z F X f X π +. f Z π +. F X F X Quini f Z e la ensità p i una v.a i Cauchy coinciono ovunque tranne che nell origine, quini Z è ancora una v.a. i Cauchy come abbiamo già etto, se le ensità sono moificate su un insieme finito i punti, le funioni i istribuione non cambiano. S 5. Calcoliamo apprima la legge el massimo: F U u PmaxX,..., X n u PX u,..., X n u PX k u F k u, quini f U u u i F k u f i u F i u i F k u u F iu F k u,k i i F k u f i u F i u ove si ponga f iu F i u se F iu si noti che se F i u, segue che anche f i u ev essere. Se f... f n f e F... F n F, allora Per il minimo, si ha f U u n fu F n u. F W w PminX,..., X n u PminX,..., X n > w PX > w,..., X n > w F k w, PX k > w 5

6 quini f W w w f i w i F k w,k i i F k w n F i w F k w u,k i F k w i i f i w F i w f i w F i w F k w ove si ponga f iw F i w se F iw. Se f... f n f e F... F n F, allora n. f W w n fw F w S 6. a Inichiamo con S e S il tempo i vita el primo e el secono componente; con T e T i tempi i vita ei ue elementi che eterminano il secono componente. Allora, S Exp/, T, T Exp/8 e S maxt, T. Inoltre, le v.a. T, T possono consiersi inipenenti. a Calcoliamo la funione i istribuione i S : per s >, F S s PS s PmaxT, T s PT s, T s PT spt s e s/8 e F S s se s. Derivano rispetto a s, si ottiene la ensità i probabilità: f S s 4 e s/8 e s/8 s>, come altro anto segue all eserciio 5. La vita meia el secono componente è E[S ] s f S ss. Dunque, in meia ura i più il secono componente. b La probabilità richiesta è PS > S PS S > PS + S >. Posto V S, allora PS > S PS + V > f S +V ss. Occorre unque calcolare la ensità i S + V : poiché S e V rimangono inipenenti, f S +V s f S s vf V vv che, a sua volta, richiee la valutaione ella ensità i V : per v, f V v v PV v v P S v v PS v 6

7 v F S v v F S v f S v f S v. Quini f V v 4 ev/8 e v/8 v<. Allora, f S +V s f S s vf V vv e s v/ s v> 4 ev/8 e v/8 v< v 4 e s/ e 9v/4 e 4v/4 v<s v< v. Consieriamo separatamente il caso s e s <. Se s, v<s v< v<, quini f S +V s 4 e s/ e 9v/4 e 4v/4 v 5 6 e s/ ; se s <, v<s v< v<s, quini f S +V s 4 e s/ s e 9v/4 e 4v/4 v 9 e s/8 4 e s/4 come verifica, si controlli che f S +V s e che f S +V ss. Infine, sostitueno tale espressione in si ottiene la probabilità richiesta: PS > S f S +V ss 5 6 e s/ s