Analisi reti lineari

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Evangelina Mariotti
5 anni fa
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1 nalisi reti lineari isolvere una rete vuol dire trovare le correnti circolanti, una volta nota la configurazione topologica della stessa rete e le caratteristiche degli aelementi passivi( e attivi (gen. Metodo analisi per maglie: Si individuano i percorsi chiusi (maglie realizzati con i rami della rete con le condizioni: ogni ramo in almeno una delle maglie scelte maglie scelte tali che le loro equazioni siano indipendenti (ogni maglia con almeno una ramo non compreso in altre maglie n. maglie indipendenti ami - nodi + Si assegna un verso positivo di I ad ogni maglia 3 Si applicano le leggi di Kirchhoff di maglie e nodi 4 Si ricavano le correnti (una per maglia e quindi le correnti per ogni ramo; se la corrente di maglia è negativa il suo verso è opposto a quello scelto come positivo La linearità delle leggi di Kirchhoff implica corrrenti funzioni lineari delle fem ---> La corrente che passa in una ramo di una rete può essere espressa come di correnti che circolerebbero se ogni fem operasse singolarmente (Principio di sovrapposizione

2 r I r I + - N f + f - Esempio analisi circuito Si hanno due generatori di fem in che alimentano un carico Trovare d.d.p. ai capi,b del carico. Si hanno due maglie, n. eq. indipendenti rami-nodi+ 3-+ a maglia f -f I r +(I -I r al nodo N è I -I 3 -I 0 I -I I 3 B M a maglia f -(I -I r +I { I Sistema lineare di equazioni di incognite I,I (r +r - I r f -f -I r + I (+ r f Si deve trovare V -V B I, si ricava I (Cramer I r + r f f r f r + r r r + r f (r + r r ( f f (r + r ( + r r f r + r f r + r r + r + r r f r + r f r + r r + r fr r + r Se i due generatori sono uguali f f f, r r r è I + r Due generatori uguali in sono equivalenti ad un generatore di stessa fem e resistenza interna r/. Per n generatori r si riduce di n volte. f

3 Esempio J i correnti di maglia, i k correnti di ramo - J J 3 L applicazione del metodo delle correnti di maglia dà: J 4 6 J + (J -J 3 J + (J -J + 4 (J -J 3 0 J 4 5 J (J 3 -J + 6 (J 3 -J 4 - { 7 6 (J 4 -J J 4 0 ( + J - J al sistema si associa la matrice simmetrica { - J + ( J - 4 J J + ( J 3-6 J J + (6+7J Gli elementi della matrice sono valutabili dalla ispezione del circuito: Elementi diagonali a kk resistenza totale maglia k-esima, a kl a lk (kl comune alle maglie con segno - a a a,k a,n a con una sola n k, è: a J k n a n a n,k n a n,n a nn DetM k (+k n det M nk ( n +k M lk minore rispetto a lk, j somma delle fem della maglia j-esima J k Det(M kk k k T Inverso della resistenza equivalente a tutto il circuito, vista da k

4 pplicazione Principio di sovrapposizione Impariamo a valutare la corrente nei rami in modo da evitare il ricorso all algebra matriciale e di usare La sostituzione di gruppi di resistenze con la resistenza equivalente. Metodo più usato. Si voglia calcolare la corrente. I contributi alla corrente in 3 sono calcolati dai due circuiti sottostanti: 3 i a 3 b i i 3 3 Mostriamo prima questo risultato: N In N per la legge dei nodi è II +I I Per la seconda legge di Kirchhoff è I -I 0 per cui si ha: I I I I + I I I I + La corrente si divide nei due rami in maniera inversamente proporzionale alla resistenza dei rami

5 pplicazione P S (continua a Se fosse nota i si potrebbe determinare icorrendo alle resistenze equivalenti si trova i + 3 i 3 i + 3 ( i i 3 3 b 3 J J i + 3 i + 3 ( i 3 ( + 3 ( Per confronto usiamo la procedura delle correnti di maglia: + e quindi: + 3 J ( + + ( + ( + ( La procedura con correnti di maglia è rapida perché ci sono solo due maglie

6 rete lineare B Circuito equivalente th 4 3 J J J 3 4 B Teorema di Thevenin: Data una rete di elementi lineari e punti,b (morsetti della rete, rispetto a questi, essa si comporta come un unico generatore reale di fem th pari a d.d.p. che si misura tra e B quando ad,b non è attaccato niente e B di resistenza interna pari a quella che si misura tra e B quando ogni fem è cortocircuitata. Nel circuito precedente supponiamo di aggiungere il ramo con 4 e 4.? matrice J ( (

7 continua ( ( ( + ( ( + ( + 3 ( ( + 3 ( ( Usando il Teorema di Thevenin si può trovare prima e th e poi th 4 th th e quindi B th ( ( (

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