OPZIONI SU TITOLI CON DIVIDENDI

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1 OPZIONI SU IOLI CON DIVIDENDI 1 Proprietà fondamentali Si consideri un opzione call europea c, emessa su un titolo azionario S,con prezzo d esercizio X e con scadenza all epoca ; sia, inoltre, r il tasso istantaneo di interesse su base annua che supponiamo noto e costante per tutta la durata dell opzione. La famosa disuguaglianza di Merton [12] relativa alla limitazione del prezzo di tale opzione c max[0, S 0 Xe r ] (1) può essere facilmente estesa al caso in cui durante la vita dell opzione il titolo azionario (bene sottostante) paga, all epoca t D <, un dividendo discreto 1 e diviene c max[0, S 0 Xe r De rt D ] (2) Per la dimostrazione della disuguaglianza (2) si possono costruire i due portafogli: Portafoglio A: un opzione call europea e titoli a capitalizzazione integrale per un importo uguale a Portafoglio B: un titolo azionario. All epoca di scadenza il valore del portafoglio A è De rt D + Xe r ; W A = { S X + X + De r( t D) se S X X + De r( t D) se S < X, (3) mentre il valore del portafoglio B, nell ipotesi che il dividendo una volta incassato venga investito in titoli a capitalizzazione integrale, è W B = S + De r( t D). (4) 1 I dividendi sono una parte degli utili che vengono periodicamente distribuiti ai possessori dei titoli azionari. Il payout ratio esprime in termini percentuali la porzione di utili distribuiti. Alla data di dichiarazione, che di norma precede di alcuni giorni o di qualche settimana il pagamento effettivo, la società annuncia di distribuire un dividendo di ammontare D che può essere una percentuale del valore nominale del titolo o una somma di importo fissato. All epoca di dichiarazione viene notificata la data di quotazione ex dividendo t D. Dopo tale data il titolo azionario viene negoziato al netto del dividendo. All epoca di registrazione, che di norma coincide con la data ex dividendo o la precede di alcuni giorni, vengono ufficialmente identificati i possessori dei titoli che riceveranno il dividendo. Solo i proprietari dei titoli che vengono registrati hanno diritto a ricevere il dividendo. La data di pagamento del dividendo segue di qualche giorno la data ex dividendo. Di norma, per ragioni di semplicità, nei modelli finanziari si suppone che l epoca di pagamento del dividendo coincida con la data ex dividendo. Lo schema che segue sintetizza le varie epoche coinvolte con la distribuzione di un dividendo. epoca di dichiarazione epoca di registrazione epoca di ex dividendo epoca di pagamento t 1 t 2 t D t 3 In italia la maggior parte dei dividendi viene distribuita con cadenza annuale. In altri paesi la distribuzione del dividendo può verificarsi più volte in un anno. Empiricamente si osserva che alla data ex dividendo il prezzo del titolo azionario diminuisce di un ammontare proporzionale al pagamento del dividendo. Il fattore di proporzionalità dipende essenzialmente dalle varie forme di tassazione. Se si vogliono escludere opportunità di arbitraggio la diminuzione del prezzo del titolo azionario deve uguagliare l ammontare del dividendo netto. 1

2 Dato che si ha WA W B per tutti i possibili valori del titolo azionario, la disuguaglianza (2) risulta verificata in base all ipotesi di non arbitraggio 2. Per quanto riguarda le relazioni di parità fra i prezzi di opzioni call e put di tipo europeo con analoghe caratteristiche, dal confronto fra il precedente portafoglio A e il si ha Portafoglio C : una put europea e un titolo azionario, c 0 + De rt D + Xe r = p 0 + S 0 (6) Naturalmente, se l uguaglianza (6) o le disuguaglianze (2) e (5) non sono verificate si presenta la possibilità di un arbitraggio. A tal proposito si deve precisare che è fondamentale verificare che i prezzi delle opzioni e dei titoli azionari siano osservati esattamente alla stessa epoca; inoltre, nel determinare l esistenza di arbitraggi non si debbono trascurare i costi di transazione. Si osservi anche che la relazione di parità (6) vale solo per le opzioni europee; se le opzioni sono di tipo americano, si dimostra facilmente che l equazione (6) si modifica nel modo seguente S 0 D rt D X C P S 0 Xe r. (7) Le opzioni sugli indici azionari negoziate nei mercati ufficiali sono quasi tutte di tipo europeo; quelle sui singoli titoli azionari sono di norma di tipo americano. Per queste ultime opzioni la disuguaglianza (1) permette di affermare che non è mai conveniente esercitare anticipatamente un opzione call americana emessa su un titolo azionario che non paga dividendi. Come si suole affermare l opzione vale più viva che morta ovvero la vendita è più vantaggiosa dell esercizio. In presenza di dividendi, pagati durante la vita dell opzione, si verifica facilmente [12] che l esercizio anticipato di una call può essere conveniente solo immediatamente prima di una data di stacco dei dividendi. Supponiamo, e questo è il caso che si riscontra nella maggior parte dei mercati, che durante la vita dell opzione il titolo azionario paghi un solo dividendo di ammontare D all epoca t D <. In tal caso l esercizio anticipato può risultare conveniente immediatamente prima della data distacco t D e con l esercizio si ottiene S td X. (8) Se l opzione non viene esercitata, a parità di altre condizioni, il prezzo dell azione si riduce a S td D. (9) Dato che per le opzioni call americane emesse su un titolo azionario che paga un dividendo deve valere la disuguaglianza (2) possiamo affermare che l esercizio all epoca t D non è conveniente se cioè se S td Xe r( t D) D S td X (10) D X[1 e r( t D) ]. (11) Il significato pratico della relazione (11) si può sintetizzare affermando che non è conveniente esercitare un opzione call americana subito prima dello stacco del dividendo se il suo ammontare è inferiore all interesse che si percepisce implicitamente rimandando fino alla data di scadenza il versamento del prezzo d esercizio. D altra parte può risultare conveniente l esercizio subito prima dello stacco del dividendo se all epoca t D vale la disuguaglianza D > X[1 e r( t D) ]. (12) 2 Si osservi che nel caso di opzioni put europee con argomentazioni simili si può dimostrare che vale la disuguaglianza p max[0, Xe r S 0 + De rt D ] (5) 2

3 Se vale la disuguaglianza (12), si può dimostrare che per valore del titolo azionario superiori a un prezzo finito St D risulta conveniente esercitare l opzione americana subito prima dello stacco del dividendo. Si osservi che la disuguaglianza (12) è verificata se la data di stacco è vicina alla scadenza (la differenza t D è piccola) e se il dividendo è alto. Dopo lo stacco del dividendo le opzioni europee e americane, a parità di condizioni, hanno lo stesso valore. 2 Modelli di valutazione in ambito continuo Si osservi che le osservazioni e le proprietà discusse nel paragrafo precedente non hanno richiesto alcuna ipotesi relativamente alla dinamica dei prezzi del titolo azionario. Se come spesso accade si suppone che i prezzi siano governati da un moto browniano geometrico e se si accettano le usuali ipotesi sull efficienza dei mercati (ambiente di Black e Scholes) si può cercare di estendere il modello BS [3] nel senso che si ricerca una formula che consente di valutare un opzione emessa su un titolo azionario che durante la vita dell opzione paga uno o più dividendi. La dinamica moto browniano geometrico che di solito viene ipotizzata per descrivere il comportamento dei prezzi dei titoli azionari è descritta dall equazione ds t = rs t dt + σdw t S 0 = S (13) dove σ > 0 è la volatilità dei prezzi e W t è un moto browniano base in una misura di probabilità neutrale al rischio. Nel caso in cui è prevista la distribuzione un dividend yield continuo di ammontare q su base annua, il processo dei prezzi diviene ale equazione ha la seguente soluzione ds t = (r q)s t dt + σdw t S 0 = S. (14) S t = S 0 e (r q σ2 /2)t+σW t (15) nella quale S 0 rappresenta il prezzo corrente. Si noti che sia la soluzione (15) sia la soluzione dell equazione (13) sono distribuite in modo log-normale. Se il dividendo viene distribuito solo in corrispondenza di poche epoche, l ipotesi di una dinamica del tipo (14) non può essere accettata in quanto poco rappresentativa della realtà. Un approccio possibile in tal caso prevede prevede che i dividendi siano pagati in corrispondenza di specificate epoche t 1, t 2,... t J e che l ammontare di ciascun dividendo sia proporzionale al prezzo dell azione. ale ipotesi trova una giustificazione accettabile se si considera un processo dei prezzi che riguarda un orizzonte temporale piuttosto lungo. La proporzionalità del dividendo assicura che, se il prezzo del titolo azionario aumenta, il dividendo si incrementa in termini assoluti. Formalmente il processo dei prezzi ipotizzato è ds t = rs t dt + σs t dw t t j t d j ds tj j = 1,... J, 0 t j t (16) dove d j rappresenta il dividendo, espressi in termini percentuali rispetto al prezzo del titolo, pagato all epoca t j. La soluzione J S t = (1 d j )S 0 e (r σ2 /2)t+σW t (17) j=1 è ancora di tipo log-normale dato che l ammontare dei dividendi risulta proporzionale ai prezzi registrati nelle singole epoche di stacco. Si osservi che nella soluzione tutti i pagamenti dei dividendo sono sintetizzati in un aggiustamento del prezzo iniziale e che anche in tal caso la soluzione non dipende dalle epoche in cui i pagamenti vengono effettuati. 3

4 Se il periodo di tempo considerato non è particolarmente lungo, e questo è il caso che maggiormente interessa le opzioni emesse sui singoli titoli azionari, i dividendi vengono notificati dalle società come importi monetari di ammontare specificato che vengono pagati agli azionisti nelle epoche ex dividendo. Nel caso di un unico dividendo D td pagato all epoca t D, il processo dei prezzi si presenta discontinuo e del tipo ds t = rs t dt + σs t dw t t t D S + t D = S t D D td (18) dove S t D e S + td rappresentano rispettivamente i livelli dei prezzi subito prima e subito dopo lo stacco del dividendo D. A causa di tale discontinuità la soluzione non è più log-normale ed è S t = S 0 e (r σ2 /2)t+σW t D td e (r σ2 /2)(t t D )+σw t td I{tD t} (19) dove I {td t} è la funzione indicatrice dell evento {t D t}. A proposito dei dividendi di ammontare discreto D si osservi che la società che ne ha annunciato il pagamento potrà mantenere la promessa solo se S td D. In caso contrario e cioè se S td < D la società è costretta a pagare meno della somma promessa D. In particolare esistono più politiche di pagamento che possono prevedono di erogare come dividendo la somma S td (in tal caso la società viene liquidata) oppure una somma D < S td (in tal caso la società può sopravvivere in quanto il processo dei prezzi dell azione si mantiene strettamente positivo anche dopo il pagamento del dividendo). 2.1 Modelli continui per opzioni europee Le difficoltà connesse con la non log-normalità della soluzione (19)relativa alla dinamica dei prezzi in presenza di un dividendo discreto si possono eludere definendo il prezzo del titolo azionario cum dividendo come la differenza fra il prezzo di mercato e il dividendo atteso attualizzato. Questa semplificazione sta alla base della procedura approssimata per la valutazione in ambito continuo di opzioni emesse su titoli azionari che pagano dividendi disceti, proposta da Merton in [12]. La formula di valutazione prevede pertanto di valutare l opzione call con il modello di Black-Scholes [3] sostituendo semplicemente al prezzo del bene sottostante S 0, osservato all epoca di valutazione t = 0, la differenza S 0 e rt D D = S, ottenendo in tal modo c me = SN(d 1 ) X e r N(d 2 ) (20) d 1 = log(s/x) + (r + σ2 /2) σ d 2 = d 1 σ. Naturalmente se durante la vita dell opzione il titolo azionario sottostante paga n dividendi D 1, D 2,..., D n alle epoche t 1, t 2,..., t n si ha n S = S D k e r t k. k=1 Dato che questa sostituzione comporta, prima dello stacco del dividendo, una diminuzione del prezzo del titolo azionario con un conseguente calo della volatilità assoluta Sσ, la procedura proposta da Merton ha come effetto quello di sottovalutare le opzioni call con un errore che risulta più marcato man mano che la data dello stacco si avvicina all epoca di scadenza dell opzione. Numerosi autori hanno riconosciuto che la procedura proposta da Merton da sola non può risolvere il problema della presenza di un dividendo discreto e hanno suggerito degli aggiustamenti della formula BS che oltre a considerare l attualizzazione dei dividendi prevedono di intervenire modificando la volatilità. Un 4

5 primo aggiustamento, molto diffuso nell ambiente degli operatori (si veda ad esempio Chriss [6]), consiste nel sostituire la volatilità σ con σs σ ch = S e rt. D D La formula di valutazione proposta diviene pertanto c ch = SN(g 1 ) X e r N(g 2 ) (21) g 1 = log(s/x) (r + σ2 ch /2) σ ch g 2 = g 1 σ. Questo approccio incrementa la volatilità relativa rispetto alla procedura precedente e tipicamente comporta una sovrastima delle valutazioni che risulta meno rilevante al crescere dell intervallo t D t 0. Una variante più sofisticata della volatilità, proposta da Beneder e Vorst [?], consiste nel pesare, nel calcolo della volatilità, l epoca dello stacco del dividendo ottenendo σ 2 σ hhbv = ch t D + σ 2 ( t D ). (22) Un aggiustamento ancora più elaborato della varianza è stato proposto da Bos et al. [4]. ale modifica nel caso di un solo dividendo D, pagato all epoca t D, prevede di considerare la seguente espressione per la varianza { [ π σbgs 2 = σ 2 +σ 4e z2 1 /2 log S + De rt D N(z 1 ) N(z 1 σt ] D ) + (23) 2 e z2 2 /2 2 log S De rt D [ N(z 2 ) N(z 2 2σt ] } D con z 1 = log S log [(X+D)e r ] σ + σ 2 e z 2 = z 1 + σ 2. Un aggiustamento, totalmente diverso dai precedenti, consiste nell apportare modifiche congiunte sia al prezzo del titolo azionario sia al prezzo d esercizio ed è stato proposto da Bos e Vandermark in [5]. ale modifica prevede di sostituire nella formula BS il prezzo del bene sottostante S 0 con S 0 K n e il prezzo d esercizio X con X + K f e r dove K f = t D D r( t d) e K n = t d De rt D (24) rappresentano rispettivamente la parte vicina e la parte lontana del dividendo atteso. Una procedura che possiamo ritenere esatta per la valutazione di opzioni europee emesse su titoli azionari che pagano dividendi discreti è stata stata proposta recentemente in [10]. Nell ipotesi che l opzione sia valutata all epoca t = 0 e che il dividendo discreto di ammontare D sia pagato all epoca t D, la formula di valutazione proposta è c hhl (S 0, D, t D ) = e rt D d c E (S 0 e (r σ2 /2)t D +σ t D x D, t D ) e x2 /2 2π dx (25) dove d = log(d/s 0) (r σ 2 /2)t D σ t D e c E (S D, t D ) rappresenta il prezzo di B-S di un opzione call europea in assenza di dividendi e con tempo alla scadenza t D. L idea fondamentale che sta alla base della rappresentazione integrale (25) è che un istante dopo il pagamento del dividendo, epoca t + D, il prezzo dell opzione si riduce al prezzo di un opzione in assenza di 5

6 dividendi; subito prima dello stacco il prezzo dell opzione è dato dal valore atteso attualizzato del prezzo di B-S, aggiustato per il pagamento del dividendo e quindi c hhl (S 0, D, t D ) = e rt D D c E (S D, t D )φ(s 0, S, t D )ds (26) dove φ(s 0, S, t D ) è la probabilità di transizione da S 0 ad S tra l epoca t = 0 e t = t D (funzione di densità log-normale nel caso del moto browniano geometrico). Si osservi che la relazione di parità consente di valutare con la relazione (25) anche le opzioni put europee in presenza di un dividendo discreto; in ogni caso si noti che l impiego della formula di valutazione proposta da Haugh et al. richiede particolare attenzione in quanto la funzione integranda si presenta come prodotto di due fattori che tendono rispettivamente a infinito e a zero. 2.2 Modelli continui per opzioni americane La prima procedura approssimata per la valutazione di un opzione call americana in presenza di un dividendo discreto pagato all epoca t D è stata proposta dallo stesso Black in [2]. ale approssimazione prevede di considerare come prezzo teorico il maggiore fra i prezzi di B-S di due call: la prima scade all epoca t D, la seconda scade all epoca e considera come prezzo del bene sottostante la differenza S De rt D. Un modello per la valutazione di opzioni call americane su titoli che pagano un dividendo discreto molto utilizzato e codificato in numerosi software commerciali è stato proposto, semplificato e corretto rispettivamente da Roll [13], Geske [7], [9] e Whaley [15]; tale modello per tenere conto della possibilità dell esercizio anticipato applica un approccio di tipo opzione composta. Il modello RGW si può sintetizzare nella formula seguente ) dove: C 0 = ( S 0 De rt D ) N(b 1 ) + ( S 0 De rt D ) N 2 (a 1, b 1, Xe r N 2 (a 2, b 2, a 1 = log[(s 0 De rt D )/X]+(r+σ 2 /2) σ a 2 = a 1 σ b 1 = log[(s 0 De rt D )/S ]+(r+σ 2 /2)t D σ t D b 2 = b 1 σ t D. td ) (X D)e rt D N(b 2 ) La funzione N 2 (,, ) è la distribuzione normale bi-variata con coefficiente di correlazione ρ = t D / e il prezzo S è la soluzione dell equazione td (27) c(s ) = S + D X (28) con c(s ) prezzo di B-S di un opzione call europea su un titolo S e vita residua t D. Si noti che l equazione (28) si può facilmente risolvere se è nota la data di stacco del dividendo. La formula RGW è basata sulla costruzione di un portafoglio formato da tre opzioni call europee che replicano il payoff dell opzione call americana e che tengono in considerazione la possibilità di esercizio anticipato subito prima della data ex dividendo. Di questi portafogli replicanti se ne possono costruire più di uno e questo fatto spiega il motivo per cui la formula di valutazione si può trovare in letteratura 6

7 con espressioni differenti. Un portafoglio replicante è formato da due call in posizione lunga con prezzo d esercizio rispettivamente X e S + D e con scadenza rispettivamente e t D. La terza opzione è una call in posizione corta sulla prima delle due call in posizione lunga, con prezzo d esercizio S + D X e scadenza in t D. Per quanto riguarda la valutazione del portafoglio, si noti che il prezzo delle due opzioni call in posizione lunga è calcolabile con la formula di Black-Scholes. Il prezzo della call in posizione corta è ottenibile dalla teoria delle opzioni composte [8]. Combinando le varie formule di valutazione e semplificando si ottiene la formula (27). Il modello RGW è stato considerato per più di venti anni come una brillante soluzione in forma chiusa al problema di valutare opzioni call americane su titoli azionari che pagano un dividendo. Sebbene alcuni autorevoli testi considerino tuttora la formula (27) come la soluzione esatta (si veda ad esempio [11]), in effetti tale modello non dà sempre buoni risultati. Si possono addirittura presentare delle situazioni nelle quali l impiego della formula RGW consente di effettuare degli arbitraggi. Ad esempio si consideri un opzione call americana emessa su un titolo azionario con quotazione S 0 = che paga un dividendo D = 4 all epoca t D = 51 settimane, con prezzo d esercizio X =, tasso di interesse r = 0.05, volatilità σ = 0.3 e scadenza = 1. Utilizzando la formula RGW si ottiene C RGW = Consideriamo un altra call americana emessa sullo stesso titolo azionario, con analoghe caratteristiche ma con scadenza in = 50 settimane, subito prima dello stacco del dividendo. Per prezzare questa seconda opzione (call america su un bene che non paga dividendi) si può usare il modello di Black-Scholes e si ottiene C BS = Se poi il dividendo staccato è D = 7 si ha C RGW = Dal confronto fra i prezzi si scopre l opportunità di un arbitraggio. La spiegazione di questa scarsa precisione della formula RGW è dovuta al fatto che il modello RGW non è specificato correttamente in quanto prevede che la dinamica del prezzo del bene sottostante dipenda dall epoca in cui viene staccato il dividendo. Una formula di valutazione che possiamo definire esatta per la valutazione delle opzioni call americane si ottiene immediatamente considerando la procedura proposta da Haug et al. [10], tenendo conto della possibilità di esercizio anticipato c A hhl(s 0, D, t D ) = e rt D d max[s X, c E (S 0 e (r σ2 /2)t D +σ t D x D, t D )] e x2 /2 2π dx. (29) Si osservi che nel caso delle opzioni put americane emesse su tutoli azionari che pagano dividendi, in conformità con quanto avviene in assenza di dividendi, la valutazione richiede il ricorso alle tecniche numeriche. 3 Valutazione con il modello binomiale La tecnica di valutazione delle opzioni mediante l impiego delle strutture ad albero, particolarmente semplice da utilizzare ed efficiente in condizioni standard, nel caso in cui il bene sottostante paga uno o più dividendi discreti si presenta difficile da gestire dato che il numero dei nodi cresce enormemente e la procedure di valutazione può essere portata a termine solo con una gran mole di calcoli. In assenza di dividendi o con dividendi proporzionali al prezzo dell azione, l albero binomiale ricombina nel senso che il prezzo dopo un movimento crescita-diminuzione (up-down) coincide con il prezzo dopo un movimento diminuzione-crescita. Come conseguenza si ha che il numero dei nodi cresce di un unità passando da ogni periodo al periodo successivo. Se durante la vita dell opzione viene distribuito un dividendo in denaro di ammontare D, dopo lo stacco, in corrispondenza di ciascun nodo si deve considerare un nuovo albero binomiale con la conseguenza che il numero di nodi si incrementa a tal punto che l albero tende ad esplodere anche in presenza di un numero limitato di dividendi o di periodi. Per evitare questa complicazione spesso si suppone che la dinamica sia caratterizzata da un dividend yield discreto e prefissato, cioè che i prezzi evolvano come segue { S0 u j d i j j = 0, 1,... i S 0 (1 q)u j d i j (30) j = 0, 1,... i. 7

8 dove la prima legge vale se il periodo i precede la data di stacco del dividendo e la seconda vale dopo lo stacco e dove con S 0 si è indicato il prezzo iniziale, con q il dividend yield e dove u e d sono rispettivamente i coefficienti moltiplicativi al rialzo e al ribasso che supponiamo definiti dalle relazioni u = e σ /n d = 1/u. (31) Figure 1: Dinamica binomiale del prezzo di un titolo azionario (in assenza di dividendi) con S 0 =, u = 1.2, d = 1/u, n = 6. In figura 1 è riportato un esempio di dinamica del prezzo nell ipotesi che vi siano n = 6 periodi e che l azione non distribuisca dividendi; mentre in figura 2 si prevede un dividend yield q = 0.05 sia pagato subito dopo il quarto periodo. I nuovi prezzi = , = 136.8, 0.95 = 95, = e = sono il risultato della diminuzione del prezzo dovuto al dividendo del 5 %, proporzionale ai singoli prezzi, pagato all epoca i = 4. In assenza di dividendi o con un dividend yield costante e noto, il numero complessivo di nodi di un albero binomiale con n stadi è n+1 i = i=1 (n + 1) (n + 2). (32) 2 Nel caso delle figure 1 o 2 il numero complessivo dei nodi è uguale a 28. L ipotesi di un dividend yield di ammontare noto e prefissato se può essere accettata come approssimazione dei dividendi pagati nel lungo periodo risulta non accettabile in un periodo breve di tempo durante il quale l azione paga un dividendo in denaro di ammontare spesso noto con anticipo o comunque stimabile con un adeguata precisione. In figura 3 è riportato l andamento del prezzo di un titolo azionario nell ipotesi che dopo quattro periodi di tempo venga distribuito un dividendo D = 5. Si osservi che subito dopo lo stacco del dividendo (all epoca i = 4) i nuovi prezzi diventano =202.36, 144-5=139, -5=95, =64.44 e = Da ciascuno di questi nuovi prezzi ha origine un nuovo albero binomiale e l albero nel suo 8

9 Figure 2: Dinamica binomiale del prezzo di un titolo azionario con S 0 =, u = 1.2, d = 1/u, n = 6 dividend yield δ = 0.05 pagato al quarto periodo. complesso non ricombina e si presenta con nodi che possono presentarsi molto vicini fra loro come risulta dallo stadio 6 di figura 3. Per il calcolo del numero complessivo di nodi in presenza dello stacco di un dividendo tra il periodo k e il periodo k + 1, si osservi che la dinamica è invariata per i k e cioè quando si verifica lo stacco del dividendo il numero dei nuovi nodi rimane invariato e pari a k + 1; quando i = k + 1 si ha S 0 u j d i j j = 0, 1,... i; (33) S 0 u j d i j D j = 0, 1,... i; (34) (S 0 u j d i j D)u (S 0 u j d i j D)d j = 0, 1,... i 1 (35) di modo che per tale periodo si hanno 2i nodi (10 nel caso di figura 3) invece di i + 1 (6 nel caso di figura 2); quando i = k + m (con m 2) il numero dei nodi è (m + 1)(k + k) invece di k + m + 1. Ad esempio se consideriamo la dinamica binomiale con n = 6 periodi e la distribuzione di un dividendo, il numero complessivo dei nodi rimane 28 se il dividendo è distribuito esattamente al sesto periodo, diviene 35 se il dividendo viene distribuito tra il quinto e il sesto periodo, diviene =40 se il dividendo viene distribuito tra il quarto e il quinto periodo (si veda la figura 3). All aumentare del numero degli stadi e dei dividendi distribuiti il numero dei nodi dell albero tende a esplodere. Ad esempio, se gli stadi sono 60 il numero complessivo dei nodi, che nel caso di assenza di dividendi o di dividend yield fissato è = 1891, diviene , , , rispettivamente se vengono distribuiti uno, due, tre o quattro dividendi discreti ad intervalli equidistanziati (si veda [14]). Il problema dell enorme crescita del numero di nodi che si presenta quando si considerano dividendi discreti può essere semplificato se si suppone il prezzo abbia due componenti, una stocastica e una deterministica rappresentata dal valore attualizzato del dividendo o dei dividendi che verranno distribuiti in 9

10 Figure 3: Dinamica binomiale con S 0 =, u = 1.2, d = 1/u, n = 6 e stacco di un dividendo discreto D = 5 allo stadio quattro; sono riportati gli stadi 4 (subito dopo lo stacco del dividendo), 5 e 6. futuro e una stocastica. Se si suppone che vi sia un solo dividendo discreto durante la vita dell opzione e che tale dividendo sia pagato all epoca t D con k t D k + 1, il valore della componente aleatoria S è dato da S = { S se i > td S De r(t D i) se i t D (36) Si può costruire un nuovo albero sommando in ciascun nodo al prezzo dell azione il valore attuale dei dividendi futuri (se ce sono). Detto S 0 il prezzo iniziale, i prezzi nei periodi successivi sono S 0u j d i j + De r(t D i) j = 0, 1,... i (37) se i t D e S 0u j d i j j = 0, 1,... i (38) se i > t D. In tal modo si ottiene un albero che ricombina e nel quale il numero dei nodi in ciascun periodo i è uguale a i + 1. Per capire meglio come si possa costruisce un albero che ricombina anche in presenza di dividendi discreti si consideri il seguente esempio. Si supponga S 0 =, σ = 0.15, r = 0.1, n = 4 e che un dividendo discreto D = 1 sia pagato all epoca i = 2. Il valore attuale all epoca i = 0 del dividendo futuro è D 0 =e = e all epoca i = 1 è D 1 =e = Il prezzo iniziale dell albero che ricombina è S0 = = e i coefficienti moltiplicativi al rialzo e al ribasso sono u = e σ t = e = e d = 1/u = A questo punto a ciascun si aggiunge il valore attuale dei dividendi futuri. Questa operazione comporta che all unico nodo dell epoca i = 0 si aggiunga ottenendo e che ai due nodi dell epoca i = 1 si aggiunga ottenendo rispettivamente e 86.27; i nodi in corrispondenza delle epoche i = 2, 3, 4 rimangono invariati. Si può pertanto costruire un albero che ricombina come indicato in figura 4. 10

11 Figure 4: Dinamica binomiale con albero che ricombina in presenza di un dividendo discreto D = 1 allo stadio due, σ = 0.15, = 1, r = 0.1. In particolare si osservi che i prezzi finali (allo stadio 4) e le probabilità associate sono: con probabilità 1/16, con probabilità 4/16, con probabilità 6/16, con probabilità 4/16 e con probabilità 1/16. Senza questa semplificazione l albero non ricombina; la sua struttura è rappresentata in figura 5 e appare decisamente meno semplice. I prezzi finali in tal caso sono 9. Il prezzo Figure 5: Dinamica binomiale con albero che non ricombina in presenza di un dividendo discreto D = 1 allo stadio due, σ = 0.15, = 1, r = 0.1. più elevato viene assunto con probabilità 1/16 e si discosta di poco dal prezzo massimo dell albero che ricombina di figura 4. Seguono poi due prezzi molto vicini fra loro e che vengono assunti con probabilità 2/16 e che sono in corrispondenza con il prezzo (con probabilità 4/16) dell albero che ricombina; i tre prezzi centrali (probabilità 1/16), 99 (probabilità 4/16) e (probabilità 1/16) sono i corrispondenti del prezzo finale (probabilità 6/16); i prezzi (probabilità 2/16) e sono i corrispondenti del prezzo 73.48; infine il prezzo è il corrispondente del prezzo dell albero che ricombina. Si osservi che anche nel caso di dinamica discreta si deve prestare particolare attenzione alla verifica dell esistenza di prezzi negativi; infatti se ai nodi dell albero binomiale si sottrae il dividendo D o una sua 11

12 attualizzazione si possono ottenere dei valori negativi che debbono ovviamente essere evitati. Indicato con St D il prezzo del titolo azionario subito prima dello stacco del dividendo, se in qualche nodo dell albero la differenza S td D 0 la politica programmata dei dividendi deve essere modificata. Si possono prospettare due soluzioni: o si impone che nei nodi interessati il prezzo si annulli (e da quel punto in poi i prezzi si mantengo uguali a zero dato che ci troviamo di fronte a una barriera assorbente) o si suppone che il dividendo distribuito sia minore del dividendo programmato D e tale da mantenere il prezzo strettamente positivo, consentendo all albero di svilupparsi ulteriormente. Passando poi a considerare il valore di un opzione call americana in presenza di un dividendo discreto, tale valore si ottiene ripercorrendo a ritroso l albero binomiale dalla data di scadenza, in corrispondenza della quale il prezzo in ciascun nodo è dato da C = max[s X, 0], (39) fino all epoca di valutazione. Ricordando che l esercizio anticipato risulta vantaggioso solo subito prima dell stacco di un dividendo le relazioni che consentono di ripercorrere l albero all indietro sono: e C = max[(c u p + (1 p)c d )e r /n, S X] se i = t D (40) C = (C u p + (1 p)c d )e r /n se i t D (41) dove /n u er p = u d è la probabilità neutrale al rischio di un rialzo e C u e C d sono i prezzi dell opzione dopo un movimento al rialzo e al ribasso del prezzo dell azione. Per le opzioni put l esercizio anticipato può essere sempre conveniente; pertanto, in tutti i nodi si ha 4 Applicazioni numeriche References P = max[(p u p + (1 p)p d )e r /n, X S]. (42) [1] Beneder R., Vorst. Options on dividend paying stocks, in Proceedings of the International Conference on Mathematical Finance, Shanghai, [2] Black F. Fact ad fantasy in the use of options, Financial Analysts Journal, July-August 1975, pp [3] Black F., Scholes M. he pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81, 1973, pp [4] Bos R., Gairat A., Shepeleva A. Dealing with discrete dividends, Risk, 16 (1), (2003), pp [5] Bos R., Vandermark S. Finessing fixed dividends, Risk, 15 (9), (2002), pp [6] Chriss N.A. Black-Scholes and beyond: Option pricing models, New York, McGraw-Hill, [7] Geske R. A note on an analytic Formula for unprotected American call options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics, 7, 1979, pp [8] Geske R. he valuation of compound options, Journal of Financial Economics, 7, 1979, pp

13 able 1: Valutazione di opzioni call europee emesse su titoli azionari che pagano un dividendo D = 5, S 0 =, = 1, r = 0.05, σ = 0.2. t D X BS73 HHL Me73 Ch97 BV HH BSG03 BV , [9] Geske R. Comments on Whaley note, Journal of Financial Economics, 9, 1981, pp [10] Haug E.S., Haug J., Lewis A. Back to Basics: A new approach to dicrite dividend problem, Willmot Magazine... [11] Hull J. C. Opzioni, Futures a altri Derivati, Pearson Prentice Hall, sesta edizione, [12] Merton R. he rational theory of options pricing, he Bell Journal of Economics and Management Science, 4, (1973), pp [13] Roll R. An analytical Formula for unprotected American call options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics, 5, 1977, pp [14] Schroder M. Adapting the binomial model to value options on assets with fixed-cash payouts, Financial Analysts Journal, 44 (6), 1988, pp [15] Whaley R. E. On the evaluation of American call options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics, 9, (1981), pp

14 able 2: Valutazione di opzioni call americane emesse su titoli azionari che pagano un dividendo D = 5, S 0 =, = 1, r = 0.05, σ = 0.2. t D X Bl75 HHLam RGW HHLeu