ANOMALIA DI BOUGUER (4.1.1) dove G è la costante di gravitazione universale, pari a m3kg-1s-2. (4.1.2)

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Daniele Cavallaro
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1 ANOMALIA DI BOUGUER La gravità è, tra tutte le forze della natura, quella cui siamo maggiormente soggetti; essa influenza quotidianamente la nostra esistenza. Anche all interno dell universo l'attrazione di gravità si manifesta continuamente nel mantenere i pianeti in orbita attorno al Sole, o le stelle in una data posizione all interno della galassia. Sebbene l attrazione gravitazionale tra due corpi sia una forza, quello che noi osserviamo è il suo effetto nella forma dell accelerazione di un corpo verso un altro e, quando misuriamo la gravità assoluta sulla superficie della Terra, quello che determiniamo è l accelerazione (di un corpo in caduta libera). Le unità in cui è espressa la gravità sono dunque quelle dell accelerazione ms-2 nel sistema di unità internazionale; il valore della gravità alla superficie terrestre è di circa 9.80 ms-2 e la gravità varia di 1/200 dall equatore ai poli. Tutte le altre variazioni dovute alla quota ed alle strutture geologiche sono molto più piccole. Così il ms-2 risulta un unità di misura troppo grande per definire le variazioni di gravità di interesse geofisico, per questo motivo si è soliti usare un'unità molto più piccola il milligal, cioè 10-5 ms-2 così il valore della gravità sarà di circa mgal. Se due corpi di dimensioni trascurabili e di masse M e m rispettivamente sono separati da una distanza r, la forza gravitazionale tra loro è (4.1.1) dove G è la costante di gravitazione universale, pari a m3kg-1s-2. L accelerazione della massa m diretta verso M è : (4.1.2) Consideriamo una particella di massa unitaria posta a grande distanza dalla massa M, e libera di muoversi verso M. Il lavoro fatto su essa nello spostamento dall infinito alla distanza r è uguale all integrale di linea della forza dall infinito ad r: (4.1.3) Essendo il campo gravitazionale un campo conservativo esso è generato da un potenziale che è il lavoro fatto per unità di massa. La quantità -GM/r è il potenziale gravitazionale della massa M alla distanza r: (4.1.4) Sia g l accelerazione gravitazionale; il lavoro fatto per percorrere una distanza dr nella direzione in cui la gravità è attrattiva è gdr e deve essere uguale alla variazione del potenziale:

2 (4.1.5) o (4.1.6) Si ha il segno meno in quanto g è assunta positiva se diretta verso l interno della Terra. Se la Terra fosse perfettamente sferica, non ruotante, e con una distribuzione di densità solo funzione della distanza radiale, il potenziale gravitazionale in un punto esterno ad essa sarebbe, per il teorema di Gauss, quello di una massa puntiforme così come l'attrazione di gravità sarebbe data dalla (4.1.2.). La Terra ha, però, una forma che si discosta da quella di una sfera e possiamo assimilarla, in seconda approssimazione, ad un'ellissoide di rotazione avente solo variazioni radiali di densità, e a cui sia associato un potenziale centrifugo. Questo ellissoide è stato assunto come riferimento per le misure di gravità sulla Terra; nel corso degli anni ne sono state date varie versioni, l ultima delle quali, quella del Geodetic Reference Sistem (1980), ha definito l ellissoide internazionale con i seguenti parametri (Moritz, 1988) a = m = 1/ GM = m3s rad = s-1 (4.1.7) con a il semiasse equatoriale, lo schiacciamento polare, GM il prodotto della costante gravitazionale per la massa terrestre, ed la velocità angolare. Si definisce allora la gravità normale, o gravità teorica, quel valore della gravità che si misurerebbe in un fissato punto sulla superficie dell ellissoide di riferimento. Essa è definita dalla formula (GRS, 1980): g 0 = ( sen sen sen sen8 ) (4.1.8) dove è la latitudine. Di tutte le superfici equipotenziali di gravità il geoide rappresenta quella più vicina alla superficie terrestre. Esso delimita la massa della Terra e si discosta, seppur di poco, dall ellissoide di riferimento con scostamenti di alcune decine di metri, comunque entro i 100 m. Questa superficie teorica ha una forma ondulata non esprimibile mediante funzioni matematico-geometriche; essa può però essere espressa mediante uno sviluppo in armoniche sferiche. La forma del geoide è quella che più si avvicina alla forma fisica della Terra e la sua superficie nelle aree oceaniche coincide con il livello medio del mare.

3 La verticale in una data zona non è diretta verso il centro della Terra ma è perpendicolare alla superficie equipotenziale locale, cioè al geoide. Il fine principale della prospezione gravimetrica è di dedurre le distribuzioni di masse all'interno della Terra; per realizzare questo scopo non si può utilizzare il valore della gravità così come viene rilevato dallo strumento di misura. I valori osservati dipendono dalla posizione del punto di osservazione, cioè dalle sue coordinate, dalla quota a cui si trova, dalla topografia circostante e dalle distribuzioni di densità sotto la superficie. Per poter ottenere la porzione della gravità misurata che è correlata con le variazioni laterali di densità che ci interessano, possiamo dividere il valore misurato in una parte che varia regolarmente, cioè la gravità normale, e in anomalie che riflettono le disomogeneità interne della Terra. Consideriamo un punto P della superficie terrestre in cui viene effettuata una misura di gravità e la zona circostante. Si consideri il caso semplificato in cui il valore della gravità misurato in P (Fig. 4.1) dipenda: 1. dalla Terra sottostante a geometria sferica, che supporremo omogenea, definita da: una densità costante σ 3, e un volume V 3 delimitato da una superficie Σ 3 che coincide col livello medio del mare. 2. dalla presenza di un corpo di volume V 2 e densità σ 2 limitato inferiormente dalla superficie Σ 3, esternamente da Σ 4 ed internamente da Σ 1 ; questo corpo rappresenta una zona di materiale crostale normale. 3. infine dalla presenza di un corpo anomalo di volume V 1, di densità σ 1, e limitato da una superficie Σ 1. Il punto P, situato sulla superficie Σ 4 che delimita il rilievo, si trovi ad una quota h rispetto al livello del mare, e per esso passi la superficie Σ 2 posta ad una quota h rispetto a Σ 3. Trascuriamo inoltre, per semplicità, gli effetti dovuti alla forza centrifuga. La gravità misurata nel punto P, sarà: (4.2.1) con versore di r.

4 Fig 4.1 La componente verticale di g oss P sarà: (4.2.2) che, considerando separatamente i tre contributi diventerà: (4.2.3) Possiamo riscrivere il terzo termine della somma come segue (4.2.4) esso infatti rappresenta l attrazione gravitazionale in P dovuta a una Terra che presenti solo variazioni radiali di densità.

5 Essendo h<<r allora: (4.2.5) Il primo termine della somma rappresenta la componente verticale della gravità teorica agente su ogni punto della superficie Σ 3 (dove h=0 ), dovuta ad una Terra sferica di volume V 3 e di massa M. Il secondo termine della somma è detto correzione di aria libera, o correzione di Faye, c AL. La correzione tiene conto del fatto che il punto P è situato ad un altezza h rispetto al livello medio del mare e poiché la gravità varia inversamente al quadrato della distanza bisogna considerare la quota a cui si è effettuata la misura. c AL è dunque una correzione negativa che si applica alla gravità normale per ottenere il valore corretto della gravità misurata in P; essa può essere approssimata al valore di h mgal, se h è misurata in metri. Sottraendo alla gravità osservata la somma della gravità normale e della correzione di aria libera si ottiene l anomalia in aria libera o anomalia di Faye. Essendo h<<r allora: (4.2.5) Il primo termine della somma rappresenta la componente verticale della gravità teorica agente su ogni punto della superficie Σ 3 (dove h=0 ), dovuta ad una Terra sferica di volume V 3 e di massa M. Il secondo termine della somma è detto correzione di aria libera, o correzione di Faye, c AL. La correzione tiene conto del fatto che il punto P è situato ad un altezza h rispetto al livello medio del mare e poiché la gravità varia inversamente al quadrato della distanza bisogna considerare la quota a cui si è effettuata la misura. c AL è dunque una correzione negativa che si applica alla gravità normale per ottenere il valore corretto della gravità misurata in P; essa può essere approssimata al valore di h mgal, se h è misurata in metri. Sottraendo alla gravità osservata la somma della gravità normale e della correzione di aria libera si ottiene l anomalia in aria libera o anomalia di Faye. Si possono aggiungere e sottrarre all equazione (4.2.3) queste ultime tre quantità calcolate senza che essa subisca variazioni:

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