UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FERRARA Scuola Di Specializzazione Per L insegnamento Secondario

Transcript

1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FERRARA Scuol Di Specilizzzioe Per L isegmeto Secodrio CLASSE DI SPECIALIZZAZIONE A049-A059 Tem: Progressioi Aritmetiche e Geometriche. Successioi. Limite di u Successioe. Fuzioi Espoezili e Logritmiche, equzioi e disequzioi Espoezili e Logritmiche. Doceti.: Prof. Fbio Mii Prof. Dvide Neri Prof. Luigi Tomsi Specilizzd: Sere Bezz VIII Ciclo - Ao Accdemico Dt di Esposizioe: 4 Febbrio 008

2 Questo percorso didttico è rivolto d u clsse di Liceo Scietifico d idirizzo PNI e si rticol elle tre segueti uità didttiche: Progressioi ritmetiche e geometriche. Successioi; Limite di u successioe; Fuzioi espoezili e logritmiche; equzioi e disequzioi espoezili e logritmiche. Queste uità didttiche si dovro svolgere i due i scolstici distiti come idicto di progrmmi PNI. Iftti le tre uità didttiche pprtegoo tre temi distiti: TEMA : Isiemi umerici e strutture b. (Pricipio di Iduzioe) Progressioi ritmetiche e geometriche. Successioi umeriche. Quest uità didttic è previst i clsse terz; TEMA : Fuzioi ed equzioi d. Logritmo e sue proprietà. Fuzioe espoezile e logritmic. Quest uità didttic è previst i clsse qurt; TEMA 7: Alisi ifiitesimle 7. Limite di u successioe umeric. Quest uità didttic è previst i clsse qurt; Nei commeti i temi, o si poe poi l cceto lle progressioi ritmetiche e geometriche, é lle successioi umeriche. Per quto rigurd ivece le fuzioi logritmo ed espoezile, si cosigli di limitre i csi più semplici gli esercizi di ppliczioe e di utilizzre gli strumeti di clcolo per trovre il logritmo di u umero. Ifie, per il cocetto di limite, (e di derivbilità e itegrbilità) si ivit d itrodurre tle cocetto d u vetglio quto più mpio possibile di loro impieghi i mbiti mtemtici ed etrmtemtici ed rricchit dll presetzioe ed illustrzioe di opportui cotroesempi che serviro chirire i cocetti stessi. Per quto rigurd i progrmmi proposti dll UMI i Mtemtic 00, tutte le uità didttiche rietro el ucleo temtico Relzioi e Fuzioi. Le uità didttiche soo previste el secodo bieio e vegoo commette come segue: Abilità Utilizzre metodi grfici e metodi di pprossimzioe per risolvere equzioi e disequzioi. Possedere il seso ituitivo di limite di u successioe No vi è ceo lle progressioi geometriche e ritmetiche. Coosceze L fuzioe espoezile; l fuzioe logritmic; (le fuzioi seo, coseo, tgete). I loro grfici. Semplici esempi di successioi: pproccio ituitivo l cocetto di limite. Il umero e.

3 UNITA DIDATTICA PROGRESSIONI ARITMETICHE E GEOMETRICHE. Destitri L uità didttic è rivolt d u clsse terz di u Liceo Scietifico d idirizzo PNI. Prerequisiti Operzioi, ordimeto e loro proprietà ell isieme dei umeri turli e iteri Fuzioi reli Equzioi di primo e di secodo grdo Accertmeto dei prerequisiti Nei progrmmi del PNI le progressioi ritmetiche e geometriche costituiscoo uo sviluppo dello studio delle proprietà dell isieme dei umeri turli; le coosceze su tli prerequisiti soo duque stte ccertte di recete trmite l verific sommtiv di quell uità didttic. Per quto rigurd le fuzioi e le equzioi, tli rgometi soo trsversli tutto il curricolo di mtemtic; si ritegoo sufficieti due ore di lezioe i form dilogic, volt l recupero delle cpcità di mipolzioe delle formule, l fie di risolvere le equzioi di primo e secodo grdo, e delle coosceze sul cocetto di fuzioe. Obiettivi geerli promuovere le fcoltà si ituitive che logiche redere gli studeti i grdo di ffrotre situzioi problemtiche di vri tur educre i procedimeti di strzioe e di formlizzzioe dei cocetti educre rgiore iduttivmete e deduttivmete sviluppre le ttitudii si logiche che sitetiche biture ll precisioe del liguggio e ll coerez rgomettiv operre co il simbolismo mtemtico ricooscedo le regole sitttiche di trsformzioi di formule sviluppre l iteresse degli studeti per gli spetti storico epistemologici dell mtemtic e codurli d iqudrre storicmete l scit e l evoluzioe dei cocetti mtemtici codurre d u pproprito utilizzo del lessico mtemtico Obiettivi trsversli

4 cquisire bilità di studio produrre cogetture e sosteerle co rgiometi coereti; vlutre l opportuità di ricorrere i mezzi tecologici dispoibili per rgiore sulle situzioi problemtiche proposte biture rispettre i tempi di coseg dei lvori sviluppre ttitudie ll comuiczioe e i rpporti iterpersoli fvoredo lo scmbio di opiioi tr docete e llievo e tr gli llievi. mplire il processo di preprzioe scietific e culturle degli studeti. cotribuire sviluppre lo spirito critico e l ttitudie riesmire criticmete ed sistemre logicmete le coosceze cquisite. cotribuire sviluppre cpcità logiche ed rgomettive. Obiettivi specifici Gli obiettivi specifici soo suddivisi i coosceze e bilità. Coosceze cooscere il cocetto di successioe umeric; cooscere l defiizioe di progressioe ritmetic; cooscere l formul per il clcolo del termie eesimo di u progressioe ritmetic; cooscere l legge per clcolre l somm di termii cosecutivi di u progressioe ritmetic; cooscere l defiizioe di progressioe geometric; cooscere l legge che leg due termii qulsisi dell progressioe geometric cooscere le formule per clcolre il prodotto e l somm di termii cosecutivi di u progressioe geometric. Abilità sper defiire u successioe per ricorrez o i modo litico; sper vlutre se u successioe è u progressioe ritmetic; sper dimostrre l formul per clcolre l somm di termii cosecutivi di u progressioe ritmetic; sper vlutre se u successioe è u progressioe geometric; sper ricvre le formule che lego due termii qulsisi di u progressioe ritmetic o geometric; sper dimostrre le formule per clcolre il prodotto e l somm di termii cosecutivi di u progressioe geometric; sper pplicre il cocetto di progressioe d lcue situzioi ecoomiche e fisiche. Metodologi didttic 4

5 Per l ppredimeto dei coteuti e per perseguire gli obiettivi esposti si frà uso di lezioi si frotli che dilogte, co il sussidio del libro di testo e di fotocopie coteeti esercizi svolti e pprofodimeti. Verro ssegti compiti per cs, cercdo di dedicre sempre u prte dell lezioe ll correzioe di questi ll lvg si d prte del docete, che d prte dei rgzzi. (I compiti verro comuque cotrollti dl docete, per ssicurrsi che i rgzzi li svolgo). Verro discussi e cofrotti isieme gli esercizi che ho pportto icertezze e problemi. Si svolgerà ttività di lbortorio iformtico utilizzdo softwre didttici come Derive; i queste occsioi si preferirà il lvoro di gruppo, le esercitzioi guidte m che quelle utoome. Strumeti utilizzti: Libro di testo Lvg e gessi Clcoltrice scietific Rig e squdre Fotocopie Softwre didttici come Derive. Cotrollo dell ppredimeto: Il cotrollo dell ppredimeto srà effettuto medite verifiche formtive e verific sommtiv. Le verifiche formtive cosistoo el cotrollo degli esercizi ssegti per cs, l correzioe ll lvg degli stessi, effettuto dgli llievi, l discussioe i clsse dei problemi icotrti ello svolgimeto degli esercizi e ello studio dell teori, qulche domd durte le lezioi, lo svolgimeto di qulche esercizio ll lvg. Le verifiche sommtive cosistoo i prove orli e prove scritte. Le prove orli serviro l docete per vlutre o solo l teori ppres di rgzzi, m verrà chiesto che lo svolgimeto di qulche esercizio e verro ftte domde rigurdti le ttività di lbortorio. L prov scritt, dell durt di due ore, srà svolt l termie dell uità didttic e h soprttutto il compito di vlutre le bilità e permetterà di verificre l utoomi dello studete ell utilizzo degli strumeti foriti. Vlutzioe: Per determire il voto dell verific sommtiv ttribuimo d ogi esercizio u puteggio. L diversità di puteggio rppreset u diverso livello di difficoltà i termii di coosceze e bilità. Per ttribuire il puteggio teimo coto dei segueti idictori: 5

6 o Coosceze specifiche o Competeze ell pplicre le procedure e i cocetti cquisiti o Cpcità logiche ed rgomettive o Completezz dell risoluzioe o Correttezz dell risoluzioe e dell esposizioe Nturlmete, el cso di errore ello svolgimeto dell esercizio, verrà ttribuito solo prte del puteggio completo. Per fre questo, si stbilirà di volt i volt, secod dell grvità dell errore commesso, quto frlo pesre e di quto bbssre il puteggio. Ftto questo, pplicheremo l stess dimiuzioe di puteggio ciscu studete che vrà ftto lo stesso errore. Recupero: Per gli studeti che trovo difficoltà ell ppredimeto, verro svolte ttività pomeridie, ossi gli sportelli, che cosistoo i esercitzioi mirte l sigolo studete. Tempi previsti per l iterveto didttico: o Ripsso e ccertmeto dei prerequisiti h o Successioi h o Progressioi ritmetiche h o Clcolo del termie eesimo,5h o Somm dei primi termii,5h o Appliczioi o Progressioi geometriche h o Clcolo del termie eesimo,5h o Somm e prodotto dei primi termii,5h o Appliczioi h o Attività co Derive h o Verific sommtivi h o Coseg e correzioi verifiche h Per u totle di 0h (quttro settime). L previsioe è d riteersi elstic, i quto si deve teere coto delle ecessità degli studeti. 6

7 SVILUPPO DEI CONTENUTI Le successioi Cosiderzioe l isieme dei umeri turli. Osservimo che l sequez,,, 4, 5. o h termie, perché dopo quluque umero turle si può scrivere il umero turle successivo +; quest proprietà deriv dl ftto che vi soo ifiiti umeri turli ed zi i umeri turli rppreseto l esempio più semplice di isieme coteete u umero ifiito di elemeti. Cosiderimo or u qulsisi fuzioe che d ogi umero turle ssoci u be determito umero rele. Si, per esempio, g defiit come segue: g : N R L fuzioe g f corrispodere i umeri turli u sequez di umeri reli: 0,,...,,. g(0) g( ), g( ) 5, g() L sequez, 5. è duque u sequez ifiit di umeri reli e costituisce u esempio di successioe umeric; l ggettivo umeric st sigificre che tutti i termii dell sequez soo dei umeri. Cerchimo or di geerlizzre il rgiometo precedete. Si f u qulsisi legge che d ogi umero turle 0 fcci corrispodere u be determito umero rele, che per comodità di scrittur, possimo idicre co, cioè u letter dell lfbeto, muit di u idice che può ssumere i vlori i N. Allor l legge f trsform l isieme umerico ell isieme umerico,,,...,,,...,,,...,,,... Si dice llor che gli elemeti di quest ultimo isieme (che soo dei umeri reli), costituiscoo u successioe. Tle otzioe suggerisce il ftto che, cioè il 7

8 vlore ssuto dll fuzioe i, può essere pesto come il primo elemeto di u fil di umeri ; llo stesso modo e è il secodo elemeto, e così vi. E che vero il vicevers e cioè che ogi fil di umeri può essere pest come u fuzioe che f corrispodere il primo elemeto dell fil, il secodo, ecc Not Didttic: Sottolieimo i rgzzi, che ogi successioe è u isieme ordito di umeri, el seso che e cooscimo il primo termie, il secodo, il terzo,.. L isieme di umeri reli [0,] ivece o costituisce u successioe, perché, posto 0 il primo termie, o è chiro chi e si il secodo, chi il terzo. Per visulizzre grficmete u successioe, bbimo disposizioe due metodi. Di seguito li presetimo co riferimeto ll successioe,,,,, PRIMO METODO Questo tipo di visulizzzioe mette i evidezi che u successioe è u fuzioe e cioè che ogi umero turle (i questo cso, o ullo), corrispode uo e u solo be determito vlore. Il domiio dell fuzioe è N 0 e duque l vribile o vri i modo cotiuo, m discreto. SECONDO METODO Quest visulizzzioe f ivece otre come i termii dell successioe costituiscoo u isieme umerico: l isieme,,,,

9 Ache per rppresetre u successioe dl puto di vist lgebrico, esistoo diverse modlità; quell più immedit cosiste ell esplicitre uo d uo lcui termii dell successioe. Dt l impossibilità di scrivere ifiiti umeri, questo modo h l evidete limite prtico che permette u cooscez solo przile dell successioe; tuttvi esso è l uico utilizzbile per idicre l successioe qudo o si coosce priori l esito di u certo eveto. Per cooscere il vlore del termie 49 dovremo iftti ttedere il risultto del qurtovesimo eveto. U modo più efficce per rppresetre u successioe cosiste, se possibile, el defiire strttmete l legge che, d ogi umero turle, f corrispodere il umero ; diremo llor che l successioe è defiit liticmete. Utilizzdo l esempio proposto ll iizio, per defiire l successioe, si può quidi scrivere: Esempi: Si dt l successioe =+ co umero turle. Si h che i primi termii dell successioe soo: 0,, 5, 7,... Tle successioe rppreset, i umeri dispri. Si dt l successioe defiit per ogi vlore di 0. I primi termii dell successioe soo:,, 4, 6 4,... 8 Si dt l successioe ( ) defiit per ogi vlore di 0. Clcolimo i primi sei termii dell successioe: 4 5,,, 4,... 4 U terzo modo per defiire u successioe è quello dell ricorrez: esso cosiste ell ssegre il primo termie e l legge che leg due termii cosecutivi. Esempio: 0 Sio ssegti. Allor il primo termie dell successioe è già ssegto,. Per clcolre occorre dre sostituire tle vlore ell formul ricorsiv:. Poi ecc 9

10 Not Didttic Fccimo otre i rgzzi che u stess successioe può essere defiit si liticmete, si per ricorrez. Questo vuol dire che o è l successioe d essere litic o ricorsiv, m il modo i cui ess viee defiit. Si fcci ioltre otre che, se l successioe è defiit ricorsivmete, per cooscere u suo termie occorre clcolre tutti i precedeti; se ivece l successioe è defiit i modo litico, il termie eesimo si può clcolre direttmete prtire d. L successioe 0 può essere defiit che el modo seguete:. Si osservi che, per clcolre 0 quest ultim defiizioe è immedit. Progressioi ritmetiche Predimo i esme or l seguete successioe 0. Clcolimo quidi i termii dell successioe: 0,, 5, 7, Mettimo or i termii i successioe:,, 5, 7, 9 e cerchimo di fr rgiore gli studeti. Bsterà chieder: qule proprietà leg questi umeri? Posso già ffermre qule srà il prossimo termie? I rgzzi dovrebbero otre che i termii dell suddett successioe si differezio tutti di. Quidi è fcile dire che il prossimo termie ssumerà vlore. Quest successioe cquisisce u ome, cioè progressioe ritmetic. Co più rigore possimo ffermre che: I geerle, ogi successioe di tre o più umeri tli che si costte l differez tr ciscuo di essi (eccetto il primo) e il precedete si defiisce progressioe ritmetic. L differez costte tr ogi termie e il suo precedete si chim rgioe. Nel ostro semplice esempio, l rgioe è. Sio or e b due termii cosecutivi di u progressioe ritmetic di rgioe d: esplicitimo il legme tr e b. Per defiizioe di rgioe si h che b d, d cui 0

11 b d e b d Quidi, i u progressioe ritmetic, u termie quluque si ottiee dl precedete ggiugedo quest ultimo l rgioe, oppure si ottiee dl seguete sottredogli l rgioe. D quest proprietà segue che, se l rgioe è positiv, l progressioe è crescete i quto ogi termie è mggiore del precedete; se l rgioe è egtiv, l progressioe è decrescete perché ogi termie è miore del precedete; se ifie l rgioe è zero, l progressioe è costte, cioè è costituit d umeri tutti uguli tr loro. Clcolo del termie -simo di u progressioe ritmetic A questo puto osservimo che u progressioe ritmetic è uivocmete determit, u volt che se e coosce il primo termie e l rgioe d. Iftti, si vrà: d d d d d d d d d 4 I geerle, se si cerc il termie eesimo dell progressioe ritmetic, ituitivmete si comprede che occorre ggiugere l primo termie (-) volte l rgioe, cioè vle il seguete: Teorem: Il termie eesimo di u progressioe ritmetic è ugule ll somm che h come ddedi il primo temie e il prodotto dell rgioe per il umero di termii che precedoo. d Dimostrzioe: Possimo scrivere:

12 d d d 4... d d Sommdo membro membro queste - uguglize, si ottiee d d che è quto volevmo dimostrre. Se ivece del primo termie, è oto u termie quluque dell progressioe, è possibile clcolre, trmite l rgioe u ltro termie? L rispost è dt d u corollrio del teorem precedete. Sio, iftti, r e s due termii quluque dell progressioe. Allor r d e s d. r Sottredo membro membro l prim dll secod si ottiee: s d r d s r d, d cui s r s r d Nturlmete quest relzioe vle che se s<r. s r Esempi: Si 5 il primo termie di u progressioe ritmetic di rgioe d 4 ; quto vle 8? Per rispodere quest domd, bst pplicre l formul per i clcolo del termie eesimo: I u progressioe ritmetic sio 0 e 0 ; quto vle? s

13 6 5 Applicdo due volte l ultim formul, d. Somm di termii cosecutivi di u progressioe ritmetic A questo puto voglimo determire l somm dei primi termii cosecutivi di u progressioe ritmetic, cooscedo solo i termii, e il umero dei termii. Per fre questo dobbimo prim fre u osservzioe. Cosiderimo u progressioe ritmetic fiit, cioè costituit d u umero fiito di termii; se e soo i termii estremi, llor due termii f e g si dicoo equidistti dgli estremi qudo il umero dei termii che precedoo f è ugule l umero dei termii che seguoo g. U esempio chirirà il cocetto: Esempio: Cosiderimo l progressioe 4, 6, 8, 0,, 4. Le coppie di termii equidistti soo {4,4}, {6,}, {8,0}. Si può ioltre osservre che, ell esempio precedete, l somm dei termii equidistti h sempre lo stesso vlore. Iftti = 6 + = = 8. Quest proprietà è ver i geerle, e o solo el ostro cso specifico, cioè: Teorem: I u progressioe ritmetic fiit l somm di due termii equidistti dgli estremi è costte, ed è ugule ll somm dei termii estremi. Dimostrzioe: Sio f e g due termii equidistti dgli estremi e di u progressioe ritmetic fiit. Se k è il umero di termii che precedoo f e quidi che seguoo g, si h f kd g kd Perciò, sommdo membro membro le due uguglize, si ottiee f g che è quto bst per cocludere. Il risultto ppe otteuto ci permette di clcolre l somm S dei primi termii di u progressioe ritmetic,,,...,,,,... Utilizzdo l proprietà commuttiv dell somm possimo scrivere S i due modi diversi:

14 S... S... Sommimo or membro membro queste due uguglize. Otteimo: S... Le somme idicte tr pretesi soo or somm di termii equidistti dgli estremi, e duque soo tutte uguli, proprio grzie l teorem ppe esposto. Quidi S S Otteimo quidi che l somm dei primi termii di u progressioe ritmetic è ugule ll semisomm dei termii estremi, moltiplict per il umero dei termii. Osservimo che l somm S può essere clcolt che qudo si cooscoo il primo termie, l rgioe e il umero dei termii. I questo cso, iftti, bst ricvrsi co u pssggio itermedio il termie e poi pplicre l formul precedete. Esempi: Clcolimo l somm dei primi 50 umeri turli o ulli, ossi clcolimo l somm: Gli ddedi si possoo pesre come i primi 50 termii dell progressioe ritmetic co = ; d = ; 50 = + (50 ) 49 = + 49 = 50. L somm dei primi 50 umeri turli divet llor: 50 S Possimo geerlizzre questo esempio, ll somm dei primi umeri turli, ossi: S Dt l progressioe dei umeri iteri dispri, clcolre l somm dei primi 5 termii. Essedo e d, clcolimo 5 = + (5 ) = + 8 = 9. 9 Allor S 5 5. È iteresste fr osservre i rgzzi che l somm dei primi umeri dispri cosecutivi è ugule. 4

15 Iftti = ; d = ; = + (-) = -. Allor S. Progressioi geometriche U ltro tipo di successioi che trov otevoli ppliczioi i cmpo scietifico è costituito dll progressioe geometric. Prim di dre u defiizioe, cerchimo di fr lvorre i rgzzi co il seguete esempio: Cosiderimo l successioe delle poteze di bse ossi:,, 4, 8, 6,, 64,.. Come soo i rpporti tr ogi termie e quello che lo precede? Cotrollimo: : = 4 : = 8 : 4 = 6 : 8 = : 6 = 64 : = D questi semplici clcoli, possimo dedurre che il rpporto tr ogi termie e il precedete è sempre, quidi è costte. Not Didttic Fccimo u ltro esempio, ffiché i rgzzi si covico che si h u progressioe geometric qudo il rpporto fr u termie e il precedete è sempre costte (e o sempre come el cso precedete!!!). Cosiderimo l successioe delle poteze di bse ossi:,, 9, 7, 8, 4, 79,.. Come soo i rpporti tr ogi termie e quello che lo precede? Cotrollimo: : = 9 : = 7 : 9 = 8 : = 4 : 8 = 79 : 4 = Ache i questo cso il rpporto tr ogi termie e il precedete è sempre costte, i questo cso. Possimo quidi cocludere che: 5

16 U successioe di tre o più umeri, tli che il quoziete tr ciscuo di essi (escluso il primo) e il precedete è costte è u progressioe geometric. Il quoziete costte tr ogi termie e il suo precedete si chim rgioe. Se idichimo co il primo termie dell progressioe, possimo defiire le progressioi geometriche per ricorrez come segue: q q ed esplicitdo l successioe otteimo: q q q q q 4 q q q q... I questo modo possimo ricvre l seguete legge: q ( ) Esempio: L successioe,,,,,... è u progressioe geometric di rgioe possimo scrivere come ( ) e l Sio or e b due termii cosecutivi di u progressioe geometric di rgioe q; b esplicitimo il legme che itercorre tr e b. Per defiizioe di rgioe vle q, d cui b q e q Osservimo che l rgioe deve sempre essere divers d zero perché, i bse ll defiizioe dt, essu termie dell progressioe può essere ullo. b 6

17 I bse lle relzioi precedeti, possimo ffermre che u termie quluque si ottiee dl precedete moltiplicdolo per l rgioe, oppure si ottiee dl seguete dividedolo per l rgioe. D quest proprietà segue che, se l rgioe è positiv, tutti i termii dell progressioe soo di ugul sego; se l rgioe è egtiv, i termii soo ltertivmete di sego opposto. U ulteriore coseguez delle coclusioi precedeti rigurd il ftto che possimo studire u evetule crescez o decrescez dell progressioe solmete el cso i cui l rgioe è positiv. Se q> ogi termie è mggiore del precedete e duque l progressioe è crescete. Se q= l progressioe è costte. Se 0<q< ogi termie è miore del precedete e duque l progressioe è decrescete. Prodotto e somm di termii cosecutivi di u progressioe geometric Dt u progressioe geometric, è possibile vere delle iformzioi sul prodotto e l somm dei primi termii cosecutivi? Come el cso delle progressioi ritmetiche è ecessrio fre u osservzioe sul prodotto di termii equidistti dgli estremi. Nell progressioe iizile,, 4, 8, 6, le coppie di termii equidistti,,,6, 4,8 soo crtterizzte dl ftto che il prodotto degli elemeti di ogi coppi è costte e vle. Più i geerle è vero che: Teorem:I u progressioe geometric fiit il prodotto di due termii equidistti dgli estremi è costte, ed è ugule l prodotto dei termii estremi. Dimostrzioe. Sio f e g due termii equidistti dgli estremi e di u progressioe geometric fiit. Se k è il umero di termii che precedoo f e quidi che seguoo g, si h f k q k g q Perciò, moltiplicdo membro membro le due uguglize, si ottiee f g Ci propoimo or di clcolre il prodotto P dei primi termii di u progressioe geometric,,,...,,,,... 7

18 Iizilmete limitimo lo studio l cso i cui tutti i termii sio positivi. Utilizzdo l proprietà commuttiv del prodotto possimo scrivere P i due modi diversi: P... P... Moltiplicdo membro membro queste due uguglize. P... Per il risultto precedete: P P Ossi, il prodotto dei primi termii di u progressioe geometric termii positivi è ugule ll rdice qudrt del prodotto dei termii estremi elevto l umero dei termii. Se i termii dell progressioe o soo tutti positivi, llor il secodo membro ell formul precedete rppreset il vlore ssoluto del prodotto di questi termii: P ed il sego deve essere deciso cso per cso. Clcolimo or S l somm dei primi termii di u progressioe geometric. Si quidi,,,...,,,,... u progressioe geometric. Se l rgioe q= sppimo che l progressioe è costte e duque tutti i termii soo uguli. Ovvimete srà S. Possimo quidi supporre q. Si trtt di clcolre S.... Riscrivimo l precedete relzioe sostituedo d ogi ddedo l su espressioe: S q q... q q q Moltiplichimo destr e siistr dell ugule per q. qs q q q... q q q Sottredo d quest l precedete, si ottiee 8

19 cioè S q q, ed ifie qs S q, S Se l rgioe q>, per o itrodurre segi egtivi, si preferisce utilizzre l seguete relzioe: q S q Esempi: Clcolre il decimo termie e l somm delle prime dieci poteze di ½. L progressioe geometric:,,,,... h come primo termie = e rgioe 4 8 q=/; perciò possimo clcolre immeditmete: 9 9 q0 0 0 q ; e s q 5 Clcolre l somm dei primi sei termii dell progressioe geometric: 5 4, 0, 5,, L progressioe h primo termie = 4 e rgioe q ; perciò: q6 587 S 6 4 q 5 8 Le progressioi come modelli mtemtici di feomei turli, fisici e socili. Molti feomei turli, fisici, socili, ecc., ho u dmeto di crescit o di recessioe che si può lizzre medite modelli mtemtici espressi d progressioi ritmetiche o geometriche, o geerlmete, d successioi. Se, medite l lisi di dti sttistici, è possibile rilevre u certo dmeto di u feomeo d itervlli regolri di tempo (i, mesi, secodi, ecc.,), si ipotizz u modello mtemtiche che permett di prevedere il comportmeto del feomeo i futuro. q q 9

20 Già fi dl secolo scorso, gli ecoomisti vevo ipotizzto modelli mtemtici sullo sviluppo delle risorse turli e sull ccrescimeto dell popolzioe. Tli modelli rppreseto bee il feomeo, purché si mtego le codizioi ipotizzte. Per quto rigurd le risorse turli, molto utilizzto è il modello delle progressioi ritmetiche, ell ipotesi che ogi o vi si u icremeto costte, oppure u riduzioe costte; cioè qudo si ho problemi di cpitlizzzioe semplice. Si trtt di problemi i cui u cpitle iizile produce scdez fiss u iteresse percetule, che v d icremetre l somm iizilmete possedut. Se C è il cpitle iizilmete ivestito ed i è il tsso percetule di iteresse, le somme del cpitle posseduto ggiorte d ogi scdez, costituiscoo u progressioe ritmetic di rgioe ic: C, C ic C i, C ic C i,... Il vlore del cpitle dopo scdeze srà duque C C i. I ltri feomei, d esempio biologici, l ccrescimeto, o l riduzioe, i ogi periodo di tempo è proporziole l umero delle uità del periodo precedete; per questi feomei il modello ipotizzto è quello delle progressioi geometriche. U esempio di questo tipo, è il seguete: u popolzioe è costituit d 000 idividui. Ogi o si h u umeto dell 8% del vlore precedete. Quti idividui sro preseti dopo 6 i (e quidi l settimo o)? Essedo =000 e q=+8%=+0,08=,08 si ricv: 000, Oltre i problemi di cpitlizzzioe semplice, si possoo che cosiderre quelli di cpitlizzzioe compost se si tiee coto del ftto che che gli iteressi mturo per il futuro uovi iteressi. Si quidi C il cpitle ivestito iizilmete l tsso di iteresse i. All prim scdez il cpitle srà cor C i, m ll secod srà C i ic i C i. Si ottiee così u progressioe geometric di rgioe i, il cui termie eesimo vle C C i. I ecoomi, il cpitle mturto co gli iteressi si defiisce motte. 7 6 Attività di lbortorio co Derive Il softwre didttico Derive può essere molto utile ll isegte per fvorire l cpcità di rppresetzioe e di compresioe delle proprietà delle successioi d prte degli studeti. Di seguito presetimo lcui esercizi che possoo essere proposti. 0

21 . Cosiderre l successioe defiit per vi litic l dmeto l vrire di =0,,,,.... Studire 4 Digitre f():=(+)/(4+) per scrivere il termie geerico dell successioe. Digitre vector([,f()],,0,0) e Simplify per visulizzre le prime coppie (,f()) dei termii dell successioe. Per visulizzre tli coppie el pio crtesio, ciccre co il mouse Plot, Plot.. Cosiderre l successioe defiit per ricorrez 0 5 Studire l dmeto. e. Digitre f():=if (=0,4,-/f(-)) per scrivere il termie geerico dell successioe. Digitre vector([,f()],,0,0) e Simplify per visulizzre le prime coppie (,f()) dei termii dell successioe. Per visulizzre tli coppie el pio crtesio, ciccre co il mouse Plot, Plot.. Cosiderre l successioe di Fibocci così defiit F(0) F() F( ) F( ) F( ) Studire l dmeto come illustrto l puto. Studire l dmeto dell successioe dei rpporti tr u termie dell successioe di Fibocci e il precedete. 4. Dt l sequez umeric:,,9,7,8 determire l fuzioe di domiio N che ssoci d ogi umero turle il termie eesimo dell sequez idict. Usdo il comdo vector, costruire poi l sequez dei primi 0 termii di ciscu successioe. Studire l dmeto come egli esercizi precedeti.

22 VERIFICA SOMMATIVA. Fr le segueti successioi ci soo progressioi ritmetiche? I tl cso idic il primo termie e l rgioe: 5 [6]. I u progressioe ritmetic si s che il primo termie è 5, l ultimo è 5 e l somm dei termii è 0. Determire il umero dei termii e l rgioe. [4]. I tre lti di u trigolo soo i progressioe ritmetic. Determire l loro misur spedo che il perimetro è 4 cm. [4] 4. Dimostrre che se 0,,. soo u progressioe geometric di rgioe d, llor i vlori dell fuzioe y=+b clcolti per i soo pure i progressioe ritmetic. [5] 5. I u progressioe geometric il primo termie è 5 e l rgioe è ; clcolre il prodotto e l somm dei primi 4 termii. E se l rgioe fosse? [4] 6. I lti di u trigolo soo i progressioe geometric. Spedo che il perimetro è 76m e il rpporto tr il lto mggiore e l somm degli ltri due è 9 0, trovre le misure dei lti del trigolo. [5] 7. U impresrio si impeg, per cotrtto, ll seguete pelità: 0 euro di pelità per il primo gioro di ritrdo di coseg dei lvori, 0 euro per il secodo gioro, 40 per il terzo e così vi. Quto pgherebbe per dieci giori di ritrdo? []

23 Grigli di Misurzioe Puteggio Grezzo Voto i Decimi (Totle ) (otteuto co l proporzioe) Voto i decimi (u propost)

24 UNITA DIDATTICA LIMITI DI SUCCESSIONI Destitri L uità didttic è rivolt d u clsse qurt di u Liceo Scietifico d idirizzo PNI. Prerequisiti Successioi Progressioi ritmetiche Progressioi geometriche Accertmeto dei prerequisiti Gli rgometi svolti ell uità didttic precedete costituiscoo dei prerequisiti ecessri per lo svolgimeto di quest uità. L ttività di ccertmeto srà duque volt l recupero dei suoi obiettivi di ppredimeto. Obiettivi specifici Coosceze Cooscere l defiizioe di successioe covergete, divergete e idetermit Cooscere il teorem dell uicità del limite e il teorem del cofroto Cooscere le defiizioi delle successioi somm, differez, prodotto e quoziete Cooscere l defiizioe di successioe mooto Cooscere il pricipio delle successioi mootoe Cooscere l defiizioe di e (umero di Nepero) e di (pi greco). Abilità Sper distiguere u successioe covergete, divergete o idetermit Sper dimostrre i teoremi dell uicità del limite e del cofroto Sper clcolre il limite delle successioi somm, differez, prodotto, quoziete Sper clcolre i limiti delle successioi ritmetiche e geometriche Sper clcolre il limite di u successioe mooto Sper verificre il limite di u successioe 4

25 Sper clcolre il limite, se esiste, delle progressioi ritmetiche e geometriche Sper pplicre il pricipio delle successioi mootoe per defiire uovi umeri Tempi dell iterveto didttico Accertmeto dei prerequisiti Limite fiito Limite ifiito Limiti delle progressioi ritmetiche e geometriche Successioi mootoe Numero di Nepero Verific sommtivi Correzioe e coseg dell verific sommtivi h h h e 0 mi h h e 0mi h h h Per u totle di h. L previsioe è d riteersi elstic, i quto si deve teere coto delle ecessità degli studeti. SVILUPPO DEI CONTENUTI Limite fiito di successioi Per itrodurre l rgometo dell uità didttic chiedimo gli studeti di provre descrivere l dmeto dell successioe,,,,...,,... ; tli vlori 4 mostro u comportmeto disordito oppure si vvicio sempre di più d u prticolre vlore? Cosiderimo u ltro esempio: il umero decimle periodico 9, h come frzioe geertrice. I vlori di tle umero, trocti ll eesim cifr decimle, 9 9 costituiscoo u successioe i cui elemeti soo 9 9, 9, 9, 9, 9, cioè 9,..., co cifre decimli. Sppimo che gli elemeti di tle successioe soo pprossimzioi per difetto di 9 8, e che tli pprossimzioi si vvicio sempre più l crescere di l vlore estto. 5

26 Questo ftto si esprime dicedo che, l tedere di, dicedo che l successioe h per limite 9 8. tede 8 oppure 9 Voglimo eucire esttmete il sigificto di quto ppe detto. M mo che procedimo ell successioe, essuo dei termii ssume effettivmete il vlore 9 8, m se si v bbstz loto, si può essere sicuri che ciscuo dei termii differirà d 9 8 tto poco quto si vuole. Cos sigific questo i termii mtemtici? Sigific che le distze dei termii d 8 possoo essere rese più piccole di 9 quluque umero positivo prefissto, codizioe di cosiderre vlori di bbstz grdi. I geerle, il rgiometo per verificre che u successioe mmette limite è questo: si fiss dpprim u umero positivo, o import quto piccolo, e successivmete bisog trovre u umero itero tle che tutti i termii dell successioe per cui vro distz dl limite miore dell fissto. Si dice che u successioe se, fissto comuque u umero positivo N tle che, per tutti i termii co mmette il limite l e si scrive: lim l l, esiste i corrispodez di esso u, si verifict l disugugliz: Se tle limite esiste ed è fiito, l successioe si dice covergete. Tle defiizioe può essere iterprett geometricmete, si su u rett che el pio crtesio: per quto piccolo si il umero, i termii dell successioe co idice mggiore di cdoo tutti ell itervllo l ; l. Esercizio: Dt l successioe,,,...,,... 4 verificre che lim 6

27 Occorre verificre che l ugugliz è verifict d tutti i umeri successivi d u primo. Scegliedo duque il primo umero itero mggiore o ugule, l disugugliz iizile è verifict per ogi. Per esempio, se 00, 99 e per ogi >99 si h L ugugliz di destr è ovvi perché ogi termie dell successioe è miore di. Limite ifiito di successioe Cosiderimo l successioe, i cui primi termii soo 0,, 8, 7, 64, 5,.. Osservimo che essi diveto sempre più grdi, tli che, comuque si scelg u umero grde k, i termii dell successioe diveto, prtire d u certo idice, tutti mggiori di k. I geerle si dirà che u successioe tede ll ifiito qudo i suoi termii diveto defiitivmete mggiori di quluque umero k>0, per quto grde esso poss essere ossi: Si dice che u successioe diverge positivmete e si scrive: lim se, fissto comuque u umero positivo k, esiste i corrispodez di esso u k N tle che, per tutti i termii co k, si verifict l disugugliz: k Ache i questo cso, turlmete, l defiizioe verrà iterprett dl puto di vist geometrico. Sul pio crtesio, i termii co idice mggiore di k sro tutti più i lto dell rett y k. 7

28 Alogmete, si h l defiizioe di successioe che diverge egtivmete. Si dice che u successioe diverge positivmete e si scrive: lim se, fissto comuque u umero positivo k, esiste i corrispodez di esso u k N tle che, per tutti i termii co k, si verifict l disugugliz: k Le successioi covergeti e divergeti soo dette che successioi regolri. Si osservi che u successioe diverge positivmete se e solo se l successioe formt d tutti termii opposti diverge egtivmete. Esercizio: Dimostrre che l successioe Risolvimo l disequzioe k ( k 0 ) Essedo u umero positivo: k k 0 tede. k k 4 Quest disequzioe è soddisftt per. Il limite è verificto o ppe si scelg mggiore del primo umero itero mggiore o ugule k k 4. Per quto rigurd il comportmeto delle successioi, esiste ifie u terz possibilità; d esempio, l successioe oscillte,,,,,,..., o h limite ll ifiito. Le successioi che o soo é covergeti é divergeti si dicoo idetermite. Esempi: 8

29 : 0,,,... :, 4, 7, Queste successioi soo etrmbe idetermite. 4 Not Didttic Ho deciso di o trttre i teoremi rigurdti i limiti i quto verro ffrotti i modo più geerle e pprofodito ell prte dei limiti di fuzioi. Ho pesto di cocetrrmi sull prte rigurdte lo studio dei limiti delle progressioi trttte ell prim uità del percorso didttico, e dei limiti delle successioi mootoe. Progressioi ritmetiche Si u progressioe ritmetic di rgioe d. Ricordimo che d. Cosiderimo i tre segueti csi: Se d=0, risult per ogi :, e duque lim. I questo cso l successioe è quidi covergete Se d>0, si h lim lim d e duque l successioe è divergete positivmete Se d<0, si h lim lim d e duque l successioe è divergete egtivmete. Progressioi geometriche Si u progressioe geometric di rgioe q. Vle llor q. Ricordimo che, i bse ll defiizioe dt, é l rgioe, é i termii dell progressioe possoo essere ulli. Possimo distiguere diverse situzioi: Se q>, si h lim lim q poiché l bse dell fuzioe espoezile è mggiore di e duque l successioe è divergete. Se q=, l successioe è costte e duque coverge d. Se q<, si h lim lim q 0 poiché l bse dell fuzioe espoezile è miore di e duque l successioe è covergete 0. Se q, l successioe è idetermit, poiché segi lteri e tle che ogu delle due sottosuccessioi formt di termii dello stesso sego cresce i vlore ssoluto. 9

30 Successioi mootoe Nell defiizioe geerle di limite di u successioe o si richiede che u successioe covergete,,,... ted l suo limite l i u modo prticolre. Il più semplice tipo di successioe covergete è rppresetto dlle successioi mootoe, i cui ogi termie è oppure del precedete. Precismete possimo estedere l termiologi delle fuzioi mootoe lle successioi mootoe: u successioe si dice: - crescete se N risult - o decrescete se N risult - decrescete se N risult - o crescete se N risult Cosiderimo, d esempio, 4,,,,...,, Tle successioe è mooto crescete perché I cotrpposizioe lle successioi mootoe vi soo le successioi covergeti che oscillo; d esempio, l successioe,,,,,,... coverge l suo limite 0 d etrmbi i lti. Il comportmeto di u successioe mooto è prticolrmete fcile d determire. Iftti u successioe di questo tipo può o vere u limite e umetre o dimiuire idefiitmete, come l successioe dei umeri turli; i questo cso l successioe tede ll ifiito. Se però i termii di u successioe mooto crescete rimgoo limitti, cioè se esiste u costte ot M tle che ogi termie dell successioe è miore di M, llor è ituitivmete chiro che ess deve tedere d u certo limite che srà miore o l mssimo ugule M. Vle llor il seguete teorem: Teorem sulle successioi mootoe: U successioe mooto crescete o o decrescete (decrescete e o crescete) h come limite l estremo superiore (iferiore) dell isieme umerico costituito si suoi termii. 0

31 Nturlmete questo teorem o forisce u metodo per determire il limite dell successioe, m è molto importte perché ci permette di ffermre l esistez del limite, sez dovere cooscere il vlore estto. Ioltre questo teorem è di otevole importz poiché lcui umeri soo defiiti soltto come limiti di successioi mootoe limitte. Rietr i quest clsse il umero e di Nepero. Il umero e di Nepero Il umero e è irrziole e il suo vlore pprossimto ll sest cifr decimle è,788 ed è l bse dei logritmi turli. I lcui testi l successioe dll qule si defiisce il umero di Nepero è: ( N0). Grzie l Teorem sull Successioi Mootoe ppe eucito, dimostrdo che tle successioe è crescete e limitt superiormete dimostrimo che l su covergez. Secodo l formul del Biomio di Newto bbimo che: ( 0 ( )! )( )...(! ( )( )! A questo puto possimo scrivere: ( ) ( )( ) Pertto si h ( ( )...( )( k k )...( ) k k ) ( )...(... k! ) !!! ; k... k ;... ) k...

32 A questo puto possimo osservre che l crescere di, il secodo membro cresce per due motivi: ogi termie dell somm cresce, d eccezioe del primo che rime costte, ed ioltre umet il umero degli ddedi, che soo tutti positivi. Per questo motivo bbimo che cioè l successioe è crescete. Grzie quest cosiderzioe, possimo cocludere per il teorem precedetemete visto, che esiste il limite di. Tuttvi, questo limite potrebbe essere, Osservimo quidi che per > si ottiee: per...,!! 4!! e questo perché i fttori ; ; ; ;.; ; soo tutti miori di. Ioltre, si h che! ; si vrà quidi Or... rgioe q ed è quidi ugule Per questo otteimo 4! 4 ;...! è l somm dei termii di u progressioe geometric di... q. D questo ultimo pssggio, possimo cocludere che l successioe è sempre compres tr e ; possimo quidi cocludere che il suo estremo superiore è compreso fr e e quidi, sempre per il Teorem delle successioi mootoe, il limite di tle successioe è fiito ed è compreso fr e. Questo limite viee pputo idicto co l letter e e chimto costte di Nepero. q. ;.

33 Per defiizioe si h quidi e lim.

34 VERIFICA SOMMATIVA. Delle segueti successioi, stbilire quli soo superiormete limitte e quli soo iferiormete limitte: [4]. Delle segueti successioi, stbilire quli soo cresceti e quli decresceti: [4] e. Applicdo l defiizioe, verificre i segueti limiti: lim 0 lim lim [6] 4. Clcolre il più piccolo itero che verific l disugugliz 5. Stbilire se le segueti successioi soo progressioi ritmetiche o geometriche, ed i ogi cso clcolre il limite: 0. [] 4 [8] 6. Si u l successioe così defiit i 0 : u ; u u 6;. Clcolre u, u, u4. Si poi Dimostrre che v l successioe così defiit i 0 : v u 8 4 v è u successioe geometric, esprimere v i fuzioe di, poi u i fuzioe di. [6]

35 Grigli di Misurzioe Puteggio Grezzo Voto i Decimi (Totle ) (otteuto co l proporzioe) Voto i decimi (u propost)

36 UNITA DIDATTICA FUNZIONE ESPONENZIALE E LOGARITMICA Prerequisiti Poteze e rdici; Equzioi e disequzioi lgebriche; Coordite ello spzio; Fuzioi e grfici elemetri (somm e prodotto di fuzioi, fuzioi iverse), tr cui l fuzioe vlore ssoluto; Trsformzioi el pio (trslzioe, diltzioe). Accertmeto dei prerequisiti Per ffrotre l seguete uità didttic è opportuo ccertrsi che gli llievi bbio cquisito determiti cocetti e proprietà, reltivi lle poteze e lle fuzioi; llo scopo si utilizzerà u breve verific scritt (o vlutt) o u dilogo tr isegte e clsse. Si procederà, duque, recuperre le coosceze o be ssimilte, medite u breve ripsso. Obiettivi specifici Gli obiettivi specifici soo suddivisi i coosceze e bilità. Coosceze: Defiizioe di fuzioe espoezile, domiio e codomiio dell fuzioe; Proprietà dell fuzioe espoezile e suo grfico i dipedez dll bse; L crescit espoezile; Defiizioe di equzioe e disequzioe espoezile. Defiizioe di logritmo; Proprietà fodmetli dei logritmi: logritmo di u prodotto, di u quoziete, di u potez, cmbimeto di bse; Defiizioe di fuzioe logritmic, domiio e codomiio dell fuzioe; Proprietà dell fuzioe logritmic e suo grfico; Equzioi e disequzioi logritmiche. Come si defiisce il umero di Nepero e e spere idicre lcue delle rgioi per le quli ssume importte rilevz l fuzioe y e Abilità: Assimilre l defiizioe e le proprietà delle poteze espoete rele; 6

37 Sper ricooscere e rppresetre le fuzioi espoezili; Sper rppresetre u fuzioe compost d trslzioi e diltzioi di u fuzioe dt; Acquisire fmilirità co l lettur di u grfico di fuzioe; Acquisire le teciche per l risoluzioe (ei csi più semplici, che co metodo grfico) di equzioi e disequzioi espoezili; Compredere che lcui feomei reli possoo essere rppresetti medite modelli espoezili. Acquisire fmilirità co l uso dei logritmi e delle loro proprietà; Sper ricooscere e rppresetre le fuzioi logritmiche; Sper osservre i rpporti esisteti tr l fuzioe espoezile e l fuzioe logritmic; Acquisire le teciche per l risoluzioe di equzioi e disequzioi logritmiche; Sper utilizzre l clcoltrice scietific e softwre per determire vlori delle fuzioi logritmiche. Tempi previsti per l iterveto didttico Accertmeto dei prerequisiti Proprietà delle poteze e clcolo di poteze co espoete itero o rele Curv espoezile Equzioi e disequzioi espoezili Logritmi e proprietà Curv logritmic Equzioi e disequzioi logritmiche Cei storici Verific sommtivi Correzioe verific Ore di lbortorio h h h 4h h h h h h h h Per u totle di ore di lvoro. 7

38 SVILUPPO DEI CONTENUTI L Fuzioe Espoezile _ Espoete itero o ugule d _ Si defiisce fuzioe espoezile l fuzioe: f : 0 Quest fuzioe ssume grde sigificto i quto modelli mtemtici tti descrivere il comportmeto el tempo di feomei turli foriscoo soluzioi che e fo uso. Nel cso di espoete itero si h:... volte Se ivece l espoete o è itero, m è si defiisce: che si ipotizz di sper già clcolre ttrverso, d esempio, u clcoltrice tscbile. Proprietà delle Poteze L potez è defiit 0 e e gode delle cosiddette proprietà formli delle poteze ossi: 8

39 b b b b Divet più complesso rispetto i csi visti i precedez il clcolo di poteze veti espoete rele. Servedosi tuttvi dell mmess possibilità di estrzioe delle rdici qudrte, si può clcolre l espoezile per molti vlori che o iteri di, per esempio: ed essedo:,75 0, , si h:,75 4 Ache l ultimo fttore è clcolbile ttrverso doppi esecuzioe di rdice qudrt. No tutti i umeri o iteri possoo, come ell esempio cosiderto, essere trsformti ell somm di u itero e di lcue poteze di. E tuttvi sempre possibile pprossimre l prte decimle di u umero co somme di poteze di. Per esempio: 8 4 0, ,

40 Nel primo cso si è otteuto il vlore estto usdo solmete tre ddedi, metre el secodo sembr è ecessrio utilizzre u mggior umero di ddedi. L tecic di pprossimzioe dottt, che f uso dell operzioe di estrzioe di rdice qudrt, prte dl presupposto o rigorosmete dimostrto che l elevmeto potez medite l uso di u pprossimzioe del vlore dell espoete i luogo del vlore estto dello stesso porti d otteere u vlore tto migliore quto più ccurt è l rppresetzioe dell espoete. Nel cso precedete, bbimo che i umeri: pprossimio 0,4 e che le poteze: 4,5 =, ,5 =, ,5 =, ,5 =,75 pprossimo,7.. Per questo si coclude che: 0,4,5,7... Nturlmete: i umeri,06;,64;,7;,75 pprossimio qulcos m o sppimo dire co certezz quto vle questo qulcos vedimo che questo qulcos è u umero che comici co.7. si ipotizz che questo meccismo fuzioi i geerle, i corrispodez quluque bse e quluque espoete Tutto questo o è stto provto, m i reltà si può dimostrre rigorosmete che il metodo presetto fuzio molto bee ed i prticolre si h che: 40

41 ogi umero rele positivo può essere pprossimto co u itero più somme di poteze di dette 0,,,... le vrie pprossimzioi di medite u umero vi vi mggiore di poteze di, quluque si 0 i umeri: 0,,,... pprossimo u umero rele che chimeremo, per defiizioe, ; l defiizioe dt di potez soddisf le proprietà formli delle poteze. I cso di espoete 0, che ppretemete o rietr i quelli esmiti, si risolve, ricorddo che, per defiizioe: Grfico dell fuzioe espoezile 0 e Studimo or il grfico dell fuzioe studio ei due csi: y. Dobbimo tuttvi suddividere lo PRIMO CASO: SECONDO CASO: 0. Not didttic Si è pesto di o presetre immeditmete il grfico, m di portre gli llievi costruirlo per puti, cosiderdo dei csi specifici. PRIMO CASO: Cosidert l fuzioe y=. Attribuimo lcui semplici vlori ll espoete e determiimo i corrispodeti vlori di y; riportimo poi el grfico i puti otteuti e cerchimo di collegrli co u lie cotiu. 4

42 y SECONDO CASO: Procedimo llo stesso modo cosiderdo l fuzioe y. y D questi due esempi possimo comicire, co i rgzzi, dedurre le proprietà fodmetli dell fuzioe espoezile: se : Domiio: Codomiio: \ 0 ( l fuzioe si trov itermete sopr l sse delle scisse poiché è positivo per qulsisi vlore di ) 4

43 Fuzioe crescete i quto l crescere dell espoete, cresce che il vlore dell fuzioe espoezile. L curv pss per il puto (0,) L curv o itersec mi l sse, perché o esiste lcu vlore di tle che risulti 0 Se v verso vlori molto piccoli (egtivi), l fuzioe si vvici 0 (itroduzioe ituitiv l cocetto di limite: 0 per ) Se v verso vlori molto grdi, l fuzioe tede divetre molto grde ( per ). se 0 : Domiio: Codomiio: \ 0 (l fuzioe si trov itermete sopr l sse delle scisse poiché è positivo per qulsisi vlore di ) Fuzioe decrescete i quto l crescere dell espoete, il vlore dell fuzioe espoezile decresce L curv pss per il puto (0,) L fuzioe o itersec mi l sse Se v verso vlori molto piccoli, l fuzioe tede divetre molto grde (itroduzioe ituitiv l cocetto di limite: per ) Se v verso vlori molto grdi, l fuzioe si vvici 0 (itroduzioe ituitiv l cocetto di limite: 0 per ). A questo puto è bee sottoliere che per qulsisi vlore di, positivo e diverso d, l fuzioe espoezile è u fuzioe biuivoc 4

44 e quidi ivertibile; si scoprirà che l su ivers è l fuzioe logritmic. Osservzioe Cofrotimo i grfici delle due fuzioi y e y. Fccimo otre i rgzzi che i due grfici soo simmetrici rispetto ll sse y, ricorddo che y. Esercizio: Disegre i grfici delle fuzioi y, y 4 e cofrotrli co il grfico di y ; I rgzzi dovro otre che i grfici delle fuzioi espoezili co bsi tutti comportmeti simili quello dell fuzioe y ho, che l rpidità dell curv umet ll umetre dell bse e che tutti i grfici si iterseco el puto di coordite (0,). 44

45 Esercizio Disegre i grfici delle fuzioi y, y 4 e cofrotrli co il grfico di y 45

46 Esempio I u sistem di riferimeto crtesio disegimo il grfico dell fuzioe f ( ). Nello stesso sistem di riferimeto disegre, sez fre clcoli, i grfici delle fuzioi f ( ), f ( ), f ( ). I questo modo si richimero i cocetti di trslzioe e diltzioe. Bisog duque fr otre i rgzzi che le proprietà dell fuzioe espoezile si mtegoo che pplicdo d ess lcue trsformzioi geometriche. ( ) Esempio: le fuzioi del tipo y f ( ) g Si frà rgiore sui cmpi di esistez di lcue poteze i cui l bse o l espoete vrio l vrire di, propoedo esercizi come: y y 5,, 4 y. 46

47 Attività di Lbortorio: L crescit espoezile Può essere iteresste effetture u semplice cofroto tr l dmeto delle 4 fuzioi y, y, y, y co quello dell fuzioe espoezile y. Si deve fr otre che, ll umetre di, super velocemete i vlori delle poteze. Per fr otre questo si ccompgero gli studeti i lbortorio e si frà utilizzre Ecel per crere l tbell co i diversi vlori , , Riportimo di seguito che l tbell che si ottiee co Ecel: ^ ^ ^4 ^ E+08,7E ,6E+09,6E+60 Curv espoezile otevole: y e Importz otevole riveste l fuzioe espoezile y e i quto compre i molte formule che descrivoo l evoluzioe el tempo di feomei fisici. Il vlore pprossimto di e è,7888, quidi rietr el cso i cui >. Il grfico di e è il seguete: 47

48 Fccimo otre i rgzzi che l rett tgete ll curv el puto (0,) è prllel ll bisettrice del I e III qudrte. Equzioi espoezili Si dicoo equzioi espoezili le equzioi i cui l icogit compre ell espoete di qulche potez. Si studiero le equzioi espoezili che si possoo ridurre ll form coic: 48

49 f ( ) g ( ) 0, Si riprederà duque quto osservto i precedez sull biuivocità delle fuzioe espoezile; si dedurrà quidi che risolvere u equzioe, i cui i due membri soo poteze di u stess bse (ricoducibile ll form coic), equivle risolvere u equzioe i cui i due membri soo gli espoeti di tli poteze. Quidi se 0e è sempre lecito il pssggio f ( ) g ( ) f g ( ) ( ) Bisog però fr otre i rgzzi che o tutte le equzioi espoezili soo riducibili ll form coic e che si studierà presto u metodo per risolvere tli equzioi. Esempi: Si svolgero lcui esercizi del tipo: Risolvere le equzioi Mostrimo di seguito due tipi di risoluzioe, lgebric e grfic, delle equzioi espoezili elemetri del tipo b, ccompgdo l clsse i Attività di Lbortorio: Cos sigific risolvere 8? Ituitivmete si può rispodere che, si può vedere 8 come e quidi pplicre l regol ppe vist, m si può vedere il tutto che grficmete: 49

50 Not didttic Fccimo otre i rgzzi che o è u equzioe espoezile perché l icogit o compre come espoete. Ioltre, fccimo otre che o h lcu seso l scrittur 7 perché l bse dell potez e il suo vlore devoo essere positivi, i bse quto visto ell lisi dell fuzioe espoezile. Disequzioi espoezili Si chimo disequzioi espoezili tutte le disequzioi i cui l icogit figur ell espoete di qulche potez. Studieremo poi le disequzioi espoezili che si possoo ridurre ll form coic: f ( ) g ( ) 0, 50

51 Vist l mootoi delle fuzioi espoezili soo leciti i segueti pssggi: Se f ( ) g ( ) f ( ) g( ) Se 0 f ( ) g ( ) f ( ) g( ) A questo puto si procederà co u pio di semplici esempi di ppliczioe dell regol, d esempio propoedo l risoluzioe delle disequzioi: 9 Osservzioi e csi prticolri Srà utile fr otre, possibilmete medite esercizi svolti ll lvg dgli studeti, lcui ccorgimeti fodmetli per l risoluzioe di lcue semplici equzioi: 9. predimo d esempio l seguete disequzioe. 5 Quest disequzioe si può scrivere el modo seguete, pplicdo u proprietà delle poteze, e quidi, per quto detto sopr, si h >0.. predimo d esempio l seguete disequzioe 4 0. Fccimo otre i rgzzi che quest disequzioe è sempre verifict, per le proprietà lizzte ello studio dell fuzioe espoezile. Ivece l disequzioe 4 risult impossibile per le stesse proprietà. Esercizi A questo puto si proporro esercizi vi vi sempre più complicti che prevedoo l ppliczioe delle regole o i modo meccico m i modo rgioto. Si può comicire co 0 che prevede lo studio del sego del umertore e del 9 deomitore e duque l suddivisioe dell esercizio i due sottoesercizi; si può poi proporre di risolvere l disequzioe e vvertedo di rgiore sulle codizioi di esistez dell fuzioe prim di buttrsi ell risoluzioe del problem. Attività di Lbortorio: 5

52 Risoluzioe grfic Risulterà molto utile fr predere dimestichezz co l risoluzioe grfic di equzioi e disequzioi espoezili; questo scopo si potrebbe orgizzre u ltr ttività di lbortorio i cui si svolgero esercizi medite l utilizzo di Derive.. Risolvere grficmete l equzioe 4 che può essere scritt come y 4 ed iterprett come l equzioe che risolve il sistem che dà y 4 le itersezioi di u curv espoezile co u prbol:. Risolvere grficmete l disequzioe che equivle l sistem y y : 5

53 Il sistem ci dice che simo iteressti i puti dell curv espoezile che ho ordit mggiore di /; dl grfico si può vedere che i puti che godoo di tle proprietà soo quelli veti sciss mggiore di. Appliczioi: feomei d dmeto espoezile Le fuzioi espoezili itervegoo ell modellizzzioe dei priciple feomei di ccrescimeto o di decdimeto, i molti settori discipliri; quidi u cooscez pprofodit e sicur delle fuzioi espoezili e delle loro iverse (fuzioi logritmiche) è idispesbile per chiuque bbi che fre co tli problemtiche. Molti feomei ecoomici, biologici, fisici, seguoo u legge di tipo espoezile l vrire del tempo: Negli ultimi secoli l popolzioe modile h vuto u crescit di tipo espoezile; Cpitlizzzioe cotiu: l cpitlizzzioe degli iteressi su u deposito bcrio, mturti istte per istte, corrispode ll legge mtemtic del kt tipo: C C0e, dove C è il motte mturto dopo t i, C 0 è il cpitle impiegto l mometo del deposito (t=0), k è il tsso di iteresse uo, t è il umero di i. Questo esempio prtico di ppliczioe potrebbe suscitre curiosità, cosiderto l iteresse evidete dell società ttule e delle uove geerzioi per i soldi. Pressioe tmosferic: co buo pprossimzioe l pressioe tmosferic p dimiuisce ll umetre dell ltitudie h, espress i chilometri, co l legge 0,7 h p p e, dove p 0 è l pressioe per h=0, cioè sull superficie terrestre. 0 5