Passo dopo passo verso l infinito La mosca oscillante Paderno Del Grappa, 29 Agosto 2012

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1 Po dopo po ero l iiito L moc ocillte Pdero Del Grpp, 9 Agoto 0 Boetur Polillo Liceo Scietiico Frceco Seeri, Slero

2 Uo gurdo d iieme Mtemtic Ricreti Didttic Ricerc

3 Liee guid Il Queito come ote Alii e trtegi rioluti Modello geerle moc-trei Serie telecopiche Il modello moc-trei come pproccio didttico Cocluioi Articolo di rierimeto L moc di Zeoe B. Polillo Letter Pritem 6 (007) 60-64

4 Noto Queito di Mtemtic Ricreti e Fiic. Due locomotie, iizilmete erme ditz, iizio iggire l u ero l ltr elocità. Cotemporemete u moc P i tcc d u delle due locomotie e iizi ch e muoeri co elocità cotte p.l moc tocc l ltr locomoti, tor idietro, ritocc l precedete locomoti e coì i, ideiitmete, prim dell ieitbile cotro.

5 Co uccederà i trei e ll moc? Qut trd h percoro l moc? Ipotei di loro il croometro i zzer empre dopo ogi cottto

6 Pdero del Grpp, 0 ( 0 =) Equzioi del moto Percori L i dell Moc P p t + t = 0 t = 0 / ( + p ) L = p t p t + t = t = / ( + p ) L = p t p t + t = - t = - / ( + p ) Equzioe degli pzi che itercorroo tr i due trei = - - t L = p t

7 Situzioe di prtez (itte t 0 =0) Ditz 0 = tr le locomotie A e B Dopo l iterllo di tempo t del primo cottto Ditz moc-locomoti A A B A B = p t = 0 -t Ditz tr le locomotie A e B dopo l iterllo di tempo t A B A B = = 0 -t Dopo l iterllo di tempo del ecodo cottto t Ditz moc-locomoti A A B = p t = - t A B Ditz tr le due locomotie dopo il ecodo cottto A B = A B

8 Sequez delle ucceie ditze 0 Pdero del Grpp, 0.

9 I percori L eettuti dll moc oo empre o ulli? Le ditze dell ucceioe oo empre o ulle?

10 Proprietà. L ucceioe h termii o ulli. Dim. Si il più piccolo idice tle che = 0. Allor, d = - -t riult - = t Riult che t è o ullo poiché - è o ullo. Dll equzioe del moto t = - /( + p ) riult t = t /(+ p ) Diidedo per t i h = /( + p ) Aurdo, poiché p >.

11 Corollrio L ucceioe dei tempi t dell moc h tutti lori o ulli. L ucceioe dei percori dell moc L = p t h tutti lori o ulli. Riultto Prdole L moc P è chiccit di trei A e B i u tempo iito. Prdoi del ilooo Zeoe - omm iit di u erie iiit

12 Tecic tdrd di rioluzioe Po. Determizioe dei tempi di cottto dell moc t, t,...,t ; che ) ( ) ( ) ( ) ( q q q Poedo q q q Ricorddo t p p p p p p p p Rioluzioe dell Serie Geometric dei Tempi ( P o compre) Po. Serie relti i percori L, L,,..,L, dell moc. t t t L p P...)... (

13 Soluzioe lterti (L eicci di u euritic) Oerzioe: I trei A e B i icotro dopo u tempo pri rdice dell equzioe orri d icotro dei due trei: t t Tempo idipedete dl moto dell moc P. L omm dei tempi di cottto dell moc P è llor: Pdero del Grpp, 0 t t t... t... Il percoro totle compiuto dll moc è: L P Il clcolo dell omm dell erie geometric è eitto!

14 H eo etedere queto meccimo d ltre erie di tempi? Eteioe del modello Ammettimo che le elocità dell moc poo cmbire durte il olo, cioè l moc per ogi percoro L bbi u elocità cotte e u coeguete tempo di cottto t co il treo. Si h llor l ucceioe delle elocità,,..,, Velocità dei trei è empre. Si ho loghe equzioi di ricorrez del moto. Equzioe degli pzi che itercorroo tr i due trei t t t

15 Eempio Si =(+) l elocità dell moc, cioè: Allor: =3 ; =5 ; 3 =7,... Pdero del Grpp, 0 t =/(4); t = /(6); =/; = t =(/3); I deiiti: t = - /(+) =/(+) L ucceioe tede zero

16 Pdero del Grpp, 0 Sommdo i termii t /(4) + /() + /(4)+ + / ( (+))+ = /() Elimido il termie / ei due membri: ( ) Serie di Megoli ( prtire d elocità dipri = (+) )

17 Eempio Sio =() le elocità dell moc (elocità pri): Allor: =; =4; 3 =6,... t =/(3); =/3; Pdero del Grpp, 0 t = /(5); = t =(/5), Equzioi di ricorrez del moto t = - /(+) =/(+) (ucceioe iiiteim) /(3) + /(5) + /(35)+ + /(-)(+)+ = /() ( )( )

18 Oerzioe Per il queito origirio l elocità dell moc er = P cotte co ucceioe iiiteim P ( ) P Comuque i predo delle elocità = () i ottegoo empre riultti igiictii, oero riultti corretti di coergez dell omm dei tempi? L ripot è egti.

19 Gli eperimeti di coergez dell erie ho ucceo e e olo e l ucceioe delle ditze tr i puti mobili A e B è iiiteim. Dll equzioe delle ditze tr i due trei: i i t Pdo l limite, i h:: ' i i t limite dell ucceioe. Termie correttio /() ripetto l termie primitio Dimotrzioe Teorem , t t t t t t

20 Sequez delle ucceie ditze 0 Pdero del Grpp, 0.

21 Eempio 3 (che o h ucceo) L moc P p d u elocità di tipo qudrtico ripetto d : = [(+) -] t =/(4); Si ottegoo i egueti tempi di cottto: t =/(8) e i geerle per >: ( ) t il termie è del tipo: ~ 6 e (diero d zero).

22 Dicrepz tr preiioe teoric e dmeto ciemtico Ache e i trei i chiccio, l ucceioe delle ditze tr i trei h limite 0. L ditz tr i mobili A e B uper cocretmete l ditzogli. Quete ditze oo etree i termii dell ucceioe. (Riultto Cotro-ituitio). Pdero del Grpp, 0

23 Modello geerle Epreioe geerle del modello Si pog termii >. t Si ottiee ) ( t i ' Succeimete per iterzioe: L ucceioe delle ditze tr trei è:... il uo limite

24 Appliczioi Clcolo di erie ( ucceioe iiiteim). D =/ i ottiee l erie eguete: ( )!( ) D =q/ (q è u cotte poiti it) : D =L-+q/ i ottiee: 3 L ( L )( L ) ( L )( L )( L 3)... i il q q! ( q )!... L Coì e L è itero > 0 d =+L- ( )( )...( L) LL! Not: Normlmete, ei cori di lii quete erie oo dimotrte utilizzdo l proprietà telecopic.

25 L moc e l u ci Moc di Zeoe Apetto ituitio Apetto ciemtico Apetto litico Viioe uitri dell eperimeto

26 Le erie telecopiche RIchimi Deiizioe. U erie coergete è chimt telecopic qudo può eere ricritt come: (u u )+(u u 3 )+ (u 3 u 4 )+ +. (u u + )+ L omm le llor u - lim u. Eempi clici Quli oo le cli di erie che i pooo etrpolre dll eperimeto cocettule moc-locomotie? È poibile cliicrle o idetiicrle? ) ( u u... ) (... 3 Serie di Megoli ; ) ( 0 q q q q q q q q k k k k Serie Geometric

27 Equzioe del modello geerle i t i limite dell ucceioe... '... Proprietà Tutte le erie otteute dll equzioe del modello geerle oo erie telecopiche (per cotruzioe). Dimotrzioe. Bt coiderre l omm ridott dell equzioe del modello geerle i t i... 3

28 Proprietà Ogi erie coergete può eere it come erie telecopic. Dt l erie coergete Si coideri l omm ridott S = + + +, co S 0 =0. Allor dll S - S - = le = (S S 0 )+ (S - S )+ (S 3 S )+ + = S Dll erie l modello Proprietà Si dt u erie umeric termii poitii e coergete ( ½). E è llor decritt d u itz del modello moc-locomotie, co le elocità dell moc dte d:... ;

29 Eempi. Dll erie di Megoli: ) ( 7;... ; Itz del modello moc-trei... ; Dll erie l modello

30 ... ; Eempi. Dll erie ) )( ( ;... ; Itz del modello moc-trei Dll erie l modello

31 Cocluioi Ad ogi itz del modello moc-trei (ite le leggi delle elocità) c è corripodez co u prticolre erie coergete (telecopic) Ad ogi erie coergete c è corripodez co u prticolre itz del modello moc-trei Trpoizioe di u ituzioe derite d u eperimeto ciemtico cocettule i u modello litico di clcolo e iceer.

32 Utilizzzioe i coteto cle del modello moc-trei Primo o uieritrio come itegrzioe tr Alii e Fiic Cli di u liceo ( prtire dl terzo o) Itegrzioe tr le uità di Ciemtic e le Serie umeriche Prerequiiti Primi cocetti u Succeioi e Serie. Elemeti di ciemtic: moto rettilieo uiorme. Obiettii Fr orgere ell llieo timoli e iteree per il lto ludico dell ricerc mtemtic. Argometo per itegrre lo iluppo di problemtiche ull iiito, ecodo u pproccio litico e lgoritmico, iico, ilooico. Siluppo di teciche di clcolo per geerre erie coergeti.

33 L moc e l u rgtel Mtemtic Ricreti Moc di Zeoe Limite di u ucceioe Alii Prdoi di Zeoe Ciemtic del moto di u puto mterile Fiic Filooi

34 Vri lielli di preetzioe di u propot didttic Domd. Quto tempo impieg l moc prim di eere chiccit? Domd. Quto trd percorre l moc prim di eere chiccit? Domd. Il umero dei percori e dei tempi è iito o iiito? Dicuioe ull dicrepz tr modello ituitio e modello teorico.

35 Viggio tr le erie di Zeoe Queito Moc di zeoe Formlizzzioe Geerlizzzioe(del queito) Modellizzzioe Dll erie l modello Appliczioi erie telecopiche. Dieri iluppi...

36 D tempo immemorbile l'iiito h ucitto le pioi ume più di ogi ltr quetioe. E' diicile trore u'ide che bbi timolto l mete i modo ltrettto ruttuoo, tutti eu ltro cocetto h più biogo di chiriiczioe (D. Hilbert). Articolo di rierimeto L moc di Zeoe B. Polillo Letter Pritem 6 (007) Boetur Polillo Liceo Scietiico F.Seeri; Slero

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