Equazioni e contrazioni: un punto fisso //

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1 * 010 Equazioi e cotrazioi: u puto fisso // Nicola Chiriao Docete al Liceo Scietifico L. Siciliai di Catazaro [Nicola Chiriao] Nicola Chiriao è docete di Matematica e Fisica al Liceo Scietifico Siciliai di Catazaro (PNI). Si occupa di didattica e tecologie dell iformazioe e della comuicazioe (TIC) ed è formatore i didattica della Matematica per doceti di vari ordii di scuola. Ha all attivo diverse collaborazioi co Asas (e-tutor corsi Po Tec) e Ivalsi (piao di formazioe Ocse-Pisa). È appassioato di matematica della musica e di musica della matematica. [PREMESSA] Il Liceo Scietifico L. Siciliai di Catazaro, da alcui ai, è sede di u uità locale del progetto Matematica & Realtà, promosso dal Dipartimeto di Matematica e Iformatica dell Uiversità degli Studi di Perugia. Nello scorso ao scolastico soo stati attivati 4 laboratori M&R per le classi del trieio (idirizzo PNI), co u totale di circa 200 allievi partecipati. Alcue delle attività soo state idirizzate alla preparazioe al Pi Day 2009, dedicato al 50 aiversario della scomparsa di Reato Caccioppoli. Questo articolo è stato elaborato assieme ad alcui allievi del laboratorio M&R per le quite classi. Vi si affrotao tematiche curriculari, co uo sguardo particolare al calcolo umerico e all uso di GeoGebra, grazie a cui vegoo visualizzati graficamete effetti o evideti del teorema del puto fisso.

2 * 011 [RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI] Molto spesso capita di avere a che fare co equazioi o facilmete risolubili algebricamete, ossia i modo esatto. Occorre pertato ricorrere a metodi umerici che ci permettao di calcolare le (evetuali) soluzioi i modo approssimato. Il problema di risolvere u equazioe f(x) = 0 equivale a cercare gli zeri della fuzioe y = f(x). Co i oti teoremi di esisteza e uicità possiamo separare gli zeri di f(x), ossia idividuare gli itervalli i cui essi cadoo: se f(x) è cotiua e cambia sego i u certo itervallo, allora all itero di esso iterseca l asse x i almeo u puto, che è uico se f(x) è mootòa. [METODI NUMERICI] Ua volta isolato uo zero x = c di f(x), possiamo costruire ua successioe { x } che coverga a c, ossia tale che ciascu suo termie sia u approssimazioe sempre migliore di c. I metodi più oti e usati per costruire questa successioe soo: Metodo di bisezioe Metodo delle secati Metodo delle tageti (o di Newto) Metodo iterativo (o del puto uito) L ultimo di questi è dovuto a Reato Caccioppoli (1931) che ritrovò e completò, seza avere avuto otizia, u teorema del matematico polacco Stefa Baach (1922). Per poterlo illustrare, ell ambito dell Aalisi reale, dobbiamo prima capire cos è ua cotrazioe e cos è u metodo iterativo. [CONDIZIONE DI LIPSCHITZ] Ua fuzioe f : D R R si dice lipschitziaa di costate M 0 se f(x 1 ) - f(x 2 ) M x 1 - x 2 x 1, x 2 є D Affiché f(x) sia lipschitziaa su A D è sufficiete che essa sia derivabile e che esista M tale che: f (x) M x є A [CONTRAZIONI] Ua fuzioe T si dice cotrazioe se T(x 1 ) - T(x 2 ) x 1 - x 2 x 1, x 2 є D ossia se è lipschitziaa co 0 M < 1. Sfruttado la codizioe (sufficiete) di Lipschitz, T è ua cotrazioe i A D se è derivabile i A e T (x) < 1 x є A [PROCESSO ITERATIVO] Data ua fuzioe T e uo start x 0, studiamo per il comportameto della successioe x = T(x ) + 1 Se T è ua cotrazioe, la distaza tra le iterate successive dimiuisce ad ogi passo, ifatti: x - x = T(x ) - T(x ) < x - x [DIAGRAMMA DI WEB] Permette di visualizzare graficamete il comportameto per della successioe { x } delle iterate di u processo geerato dalla trasformazioe T. Tracciamo el piao il grafico di y = T(x) e la bisettrice y = x (fuzioe idetità). Preso uo start arbitrario x 0, cosideriamo la sua immagie T(x 0 ) e, co ua simmetria rispetto a y = x, lo riportiamo sull asse x. Il puto così trovato è x 1 = T(x 0 ). Iterpretazioe grafica (da Wikipedia) f(x) = six cos4x è lipschitziaa co M = 4: se da u puto del suo grafico tracciamo le rette di coefficieti agolari ± 4, il grafico sarà cofiato ell agolo di Lipschitz da esse idividuato. Cosideriamo ora T(x 1 ) e, riportadolo i ascissa mediate y = x, otteiamo x 2 = T(x 1 ) e così via.

3 * 012 associato a T ha x* come attrattore; 3. le iterate x foriscoo u approssimazioe di x* che migliora ad ogi passo. Qualora fosse difficile idividuare l itervallo L i cui T (x) < 1, ossia verificare la codizioe (sufficiete) affiché T sia ua cotrazioe e quidi il processo iterativo ad essa legato coverga, è comuque sempre possibile verificare graficamete tale covergeza. Ioltre, può capitare che il processo coverga all estero di L, ossia che o si verifichi T (x) < 1. Il teorema riportato è solo ua codizioe sufficiete. [ATTRATTORI E REPULSORI] Puto fisso (o uito) per T è ciascu x* che rimae ivariato i seguito alla trasformazioe: T(x*) = x* Fissado come start u puto fisso x 0 = x*, le iterate hao tutte lo stesso valore: x 1 = T(x 0 ) = T(x*) = x* x 2 = T(x 1 ) = T(x*) = x* x =T(x ) =... = T(x*) = x* - 1 Fissado ivece come start u valore vicio ad x*, la successioe { x } può evolvere i due modi: 1) x* è u puto di equilibrio stabile se { x } si matiee vicia ad x*. Se ioltre { x } coverge a x*, x* si dice attrattore del processo. 2) x* è u puto di equilibrio istabile egli altri casi. Se ioltre { x } si allotaa sempre più da x*, x* si dice repulsore. Il teorema di Caccioppoli riguarda esisteza, uicità ed approssimazioe dell attrattore. [METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO] Toriamo al ostro problema iiziale, ossia quello di risolvere umericamete l equazioe f(x) = 0. Essa può essere scritta ella forma equivalete: f(x) + x = x ovvero T(x)= x Cercare uo zero di f(x) equivale cioè a cercare le itersezioi tra y = T(x) e y = x. A tal fie, è utile il grafico di Web della successioe x +1 = T(x ). Aalizzeremo ora alcui esempi. [ESEMPI E CONSIDERAZIONI] Usiamo u applet creata co GeoGebra per visualizzare i diagrammi di Web dei processi iterativi relativi alla ricerca dei puti fissi di alcue fuzioi. T(x) T (x) L = { x : T (x) < 1} 1 (1 - x)/2-1/2 ] -, + [ 2 x 2 2x ] - 0.5, 0.5 [ 3 0.9x(1 - x) 0.9(1-2x) ] , [ 4 log(3 + logx) 1/x(3 + logx) ] 0.453, + [ 5 e ex - 3 e ex x ] -, [ Esempio 1 // T(x) = (1 - x)/2 Il diagramma mostra come il metodo iterativo coverga x 0 all uico puto fisso di T, ossia alla soluzioe di 3x - 1 = 0. T è ifatti ua cotrazioe ovuque. [TEOREMA DEL PUNTO FISSO (o delle cotrazioi)] Teorema (Baach 1922 Caccioppoli 1931) Se T è derivabile co T (x) < 1 i u itervallo L R, allora: 1. esiste ed è uica la soluzioe x* di x = T(x) 2. x = T(x ) coverge a x*, x є L x - x* x - x* + 1 Traduciamo i liguaggio più compresibile: 1. ogi cotrazioe T ha u uico puto fisso; 2. fissato uo start x 0 arbitrario, il processo iterativo Esempio 2 // T(x) = x 2, x > -0.5 Si tratta di ua cotrazioe per x < 0.5 (liea tratteggiata): i L ha u uico puto fisso i O(0, 0), ma e ha u altro estero a L i U(1, 1). Se x 0 є ] 0, 0.5 [ L, il processo coverge a x = 0, com era da aspettarsi.

4 * 013 Se prediamo uo start più vicio a x = 1, il processo coverge comuque verso x = 0, che risulta quidi essere u attrattore. Visualizzado l agolo di Lipschitz, esso i effetti cotiee O ma o U. Se ivece x 0 < , etro u certo valore il processo cotiua a covergere: ecco uo zoom delle iterazioi che partoo da x 0 prossimo all estremo siistro di L. Prededo uo start x 0 > 1, il processo diverge. I tal caso, l agolo di Lipschitz o cotiee O é U. Ma basta spostare di poco x 0 perché x = 0 o cada più ell agolo di Lipschitz: il processo i tal caso diverge. Esempio 3 // T(x) = 0.9x(1 - x) Osserviamo come ache i questo caso l uico puto fisso x = 0 sia u attrattore. Iiziamo prededo lo start x 0 itero a L: il metodo coverge come ci aspettiamo. Usiamo ora il metodo grafico per studiare i processi iterativi legati a due trasformazioi o algebriche. Il foglio diamico usato per questo articolo è dispoibile all URL: thebrai.et/materiale/geogebra.asp?id=m_putouito&cat=aalisinumerica Prededo x 0 all estero di L, abbiamo due casi: il processo coverge se x 0 > poiché i tal caso x = 0 cade ell agolo di Lipschitz. Il testo di riferimeto è: P. Bradi, A. Salvadori - Dispese del progetto Matematica & Realtà, Laboratori di iovazioe didattica - Dipartimeto di Matematica, Uiversità degli Studi di Perugia Gli allievi che hao lavorato alla presetazioe dei risultati soo stati: Pierluigi Ciacci (5E), Elisa De Giorgio (5G), Bruo M. Calidoa (5F)

5 * 014 Esempio 4 // T(x) = log(3 + logx) Come si osserva dal grafico, T possiede due puti fissi, A e B. Prediamo x 0 < 0.453, all estero di L: oostate o sia verificato T (x) < 1, otiamo che il processo associato a T coverge a B. Seguedo u idea degli allievi ci siamo chiesti se, cosiderado la fuzioe iversa della precedete, ovvero la sua simmetrica rispetto a y = x, il ruolo di A e B possa risultare ivertito ach esso. Ciò avviee effettivamete (cfr. esempio seguete): è appea il caso di otare come A e B risultio puti fissi ache per tale iversa. Il perché è acora esplicitato visualizzado l agolo di Lipschitz che i effetti cotiee B, ossia l uico puto fisso di T itero a L. Esempio 5 // T(x) = e ex - 3 Prescidedo da L, ossia dal fatto che T sia o meo ua cotrazioe, facciamo i modo che l agolo di Lipschitz cotega A: i tal caso il processo coverge ad A, ache se x 0 è molto vicio a B. Prededo altri valori di x 0 per i quali l agolo di Lipschitz cotega sia A che B, il processo coverge sempre verso quest ultimo, che è quidi u attrattore: Osserviamo ifie che, se l agolo di Lipschitz o cotiee é A é B, il processo iterativo diverge. Lo stesso avviee ache prededo valori di x 0 molto vicii ad A: /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// : )