Angelo Negro. Teoria della Misura. Istituzioni di Analisi Superiore

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1 gelo Negro Teoria della Misura Istituzioi di alisi Superiore a.a

2 Prefazioe Questa breve moografia si propoe di presetare i modo piao e sitetico, ma co dimostrazioi rigorose e complete, i pricipali temi della modera teoria della misura e della itegrazioe. Gli euciati soo moderatamete geerali e le dimostrazioi, tra le tate spesso possibili, soo scelte co l itezioe sia di offrire u percorso aturale di compresioe delle costruzioi e delle tesi proposte, sia di forire la traccia per la dimostrazioe di risultati più avazati, el cotesto di strutture più geerali o di ipotesi più deboli. L iteto è di forire u materiale didattico sufficietemete avazato, ma accessibile a studeti del secodo bieio del Corso di laurea i Matematica, e ache quello di proporre u breve mauale di agile cosultazioe e riferimeto. Moltissime soo le presetazioi della teoria della misura e dell itegrazioe, alcue delle quali costituiscoo u riferimeto fodametale e irriuciabile per ogi studioso. Ma o abbiamo voluto forire ua vasta bibliografia: abbiamo soltato idicato i testi effettivamete usati per la redazioe di questa moografia e le opere alle quali facciamo esplicito riferimeto. Il materiale esposto è tratto essezialmete da Kolmogorov-Fomi[8], Doob[4], Rudi[10], spesso co cosiderevole elaborazioe della presetazioe, dei collegameti e del percorso di dimostrazioe. Il lavoro che presetiamo è collegato al corso di Istituzioi di aalisi superiore, che l autore ha svolto per molti ai accademici presso il Corso di laurea i Matematica dell Uiversità di Torio. gli studeti del corso soo stati offerti brevi fascicoli che coprivao i temi dei sigoli capitoli, fascicoli frequetemete aggiorati e messi a disposizioe ache i rete sul sito del Dipartimeto di matematica. L aggregazioe dei fascicoli cocereti la teoria della misura e dell itegrazioe, otevolmete ampliati e più orgaicamete itercoessi, ha codotto alla redazioe di questa moografia. L attuale corso di Istituzioi di aalisi superiore è diviso i due moduli. Il primo modulo, rivolto a tutti gli studeti del secodo bieio, oltre a primi elemeti di aalisi fuzioale e di teoria delle fuzioi olomorfe, propoe le basi della teoria della misura e dell itegrazioe, svolgedo essezialmete il coteuto dei Capitoli 1 e 2 e presetado ua sitesi dei risultati dei Capitoli 4 e 6 di questo testo. Il materiale degli altri capitoli è utilizzato, parzialmete, el secodo modulo, che ha u carattere più avazato e preseta, oltre a complemeti di teoria della misura, temi cocereti i fodameti dell aalisi fuzioale, alcui metodi di compattezza, elemeti di teoria spettrale e di aalisi armoica. Soo i preparazioe altri due testi che, isieme a quello ora presetato, coprirao tutti i temi del corso. Torio, giugo 2001 NGELO NEGRO

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4 Idice 1 σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili σ algebre e spazi misurabili Misure positive Fuzioi misurabili Covergeza q.o e i misura Itegrale di Lebesgue astratto Fuzioi semplici Fuzioi sommabili Proprietà elemetari dell itegrale Dipedeza dal domiio di itegrazioe Passaggio al limite sotto sego di itegrale Lo spazio delle fuzioi itegrabili L itegrale i spazi di misura σ-fiita Misure co sego Decomposizioe di Jorda e di Hah Il Teorema di Rado-Nikodym Decomposizioe di Lebesgue Estesioe di misure Semiaelli e algebre geerate Misura estera Isiemi misurabili Il criterio di Carathéodory Misure i R Misure di Lebesgue-Stieltjes i R Fuzioi a variazioe limitata L itegrale di Riema Isiemi o misurabili Derivate di misure di Borel

5 6 Misure prodotto e teorema di Fubii Misure prodotto Rappresetazioi di isiemi misurabili Il teorema di Fubii σ( B) Spazi L p Il caso 1 p < Il caso p = Risultati di immersioe Spazi di successioi Desità di fuzioi cotiue Il duale di L Il duale di C([a, b]). Misure di Rado Bibliografia 97

6 Capitolo 1 σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili 1.1 σ algebre e spazi misurabili Defiizioe. Ua famiglia R di sottoisiemi di u isieme (R P()) costituisce u aello se e solo se R, e, qualsiasi, B:, B R B, B, B, B R. Ricordiamo che x B equivale a x e x / B. Ioltre B = ( B) (B ). Duque u aello è stabile per tutte le usuali operazioi isiemistiche che coivolgoo u umero fiito di suoi elemeti. Tuttavia, essedo c =, se R, c R se e solo se R. Si osservi che è sufficiete chiedere che B e B appartegao a R. Ifatti Ovviamete = R. B = ( B) ( B), B = ( B). Il termie aello deriva dal fatto che l isieme delle fuzioi caratteristiche χ degli isiemi della famiglia, muita delle operazioi di somma e prodotto segueti: è u aello el seso algebrico usuale. χ B = χ χ B, χ B = χ + χ B (mod 2), Defiizioe.Ua famiglia di isiemi si dice algebra se e solo se essa è u aello dotato di uità, cioè se esiste u isieme E, detto uità, tale che per ogi si abbia E. I tal caso ovviamete P(E) ed i geere o iterviee ulteriormete. Nel seguito supporremo E = e diremo duque che è u algebra se e solo se. 5

7 6 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili Veiamo ora alla defiizioe più importate. Defiizioe. si dice σ algebra se e solo se è u algebra e { } N. Di cosegueza si vede facilmete che ua sigma-algebra è stabile per tutte le usuali operazioi isiemistiche che coivolgoo ua ifiità umerabile di suoi sottoisiemi. d esempio. Si cotrolla immediatamete che è ua sigma-algebra se e solo se = e, c,. Si osservi che, se vale l implicazioe precedete, allora = c. Esempio elemetare. Sia C ua partizioe fiita o umerabile di e sia l isieme di tutte le uioi fiite o umerabili di elemeti di C: È immediato verificare che è ua σ-algebra. C = { C } N, = { j J C j } J N. Spazio misurabile. La coppia (, ), dove è ua σ-algebra i si dice spazio misurabile. Ovviamete i uo stesso isieme si possoo itrodurre diverse strutture di spazio misurabile, selezioado diverse sigma-algebre i. Quado o ci possao essere equivoci sulla sigma-algebra selezioata, questa viee sottoitesa dicedo brevemete che è uo spazio misurabile. Gli elemeti della sigma-algebra si dicoo isiemi misurabili. Data ua famiglia F di sottoisiemi, si idica co (F) o co σ(f) la più piccola σ-algebra coteete F. Essa viee detta la σ-algebra geerata da F. La defizioe è corretta perchè 1) se { t } t T, dove T è u isieme arbitrario, è ua collezioe di σ-algebre, allora t T t è acora ua σ-algebra. Ifatti t t t c t c t T t ; t t t t t T t. 2) Esiste almeo ua σ-algebra coteete F, ad esempio P(). Duque (F) è l itersezioe di tutte le σ-algebre coteeti F. Proposizioe. Sia f : Y ua applicazioe ovuque defiita e ua σ-algebra i Y. llora f 1 () è ua σ-algebra i. Dimostrazioe. Ifatti e B = f 1 () c e B c = f 1 ( c ), Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

8 .Negro, Teoria della misura 7 e B = f 1 ( ) e B = f 1 ( ). Proposizioe. Sia f : Y ua applicazioe ovuque defiita. llora (f 1 (F)) = f 1 ((F)). Dimostrazioe. Ifatti per il puto precedete f 1 ((F)) è ua sigma-algebra f 1 (F) e per ogi sigma-algebra J F (duque J (F) ) risulta che f 1 ( J ) è ua sigma-algebra tale che f 1 ( J ) f 1 ((F)) f 1 (F). Sia ora B ua qualuque sigma-algebra f 1 (F). Essa o è ecessariamete della forma f 1 ( J ) co J F e J σ algebra 1. I tal caso si poga dove B = {B B Y B = f 1 ()} = f 1 ( ), = { Y f 1 () B}. Cotrolliamo che, la quale evidetemete cotiee F, è ua sigma-algebra: f 1 () = B B f 1 ( c ) = B c B c, f 1 ( ) = B B f 1 ( ) = B B. Duque ogi sigma-algebra B coteete f 1 (F) cotiee ua sigma-algebra f 1 ( ) coteete f 1 ((F)) q.e.d. Boreliai. Se lo spazio è già muito di ua struttura di spazio topologico e O è la famiglia degli aperti i, ha particolare iteresse la σ-algebra B = (O) geerata dagli aperti. Essa viee detta la famiglia dei Boreliai di (, O) (o di come si dice più brevemete, sottitededo la topologia). Ovviamete, se F è la famiglia dei chiusi i si ha B = (F) = (O). Duque B cotiee i particolare tutti gli aperti, i chiusi, quidi i compatti, e tutti gli isiemi che si possoo otteere da ua ifiità umerabile di aperti e chiusi mediate usuali operazioi isiemistiche. Per esempio, idicado co F σ le uioi umerabili di chiusi, che i geere o soo chiusi, e co G δ le itersezioi umerabili di aperti, che igeerale aperti o soo, si ha F σ B e G δ B. 1.2 Misure positive Defiizioe. Si dice misura positiva sull algebra ogi fuzioe µ : R + 1 d esempio, se f : Z N co f(x) = x, F = P(D) co D isieme dei dispari aturali e B = P(E) {E c } co E isieme dei dispari relativi e dei pari egativi, allora B f 1 (F) ed è ua sigma-algebra i Z (la preseza di E c serve perché sia Z = E E c B), ma ogi elemeto di B o simmetrico rispetto a 0 o è cotroimmagie di alcu sottoisieme di N). Uiversità di Torio, a.a

9 8 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili o ideticamete uguale a + e additiva, tale cioè che, se 1, 2,..., e j k = per j k, allora µ( k=1 k) = µ( k ). È aturalmete sufficiete che per ogi coppia, B tale che B = risulti µ( B) = µ() + µ(b). Se è ua σ-algebra e per ogi successioe disgiuta 1, 2,..., cioè tale che j k = per j k, risulta + µ( + k=1 k) = µ( k ), si dice che µ è ua misura σ-additiva. Defiizioe. Ua tera (,, µ), dove µ è ua misura σ-additiva sulla σ-algebra i, si dice spazio di misura. Nel seguito useremo il termie misura per idicare ua misura sigma-additiva. µ è fiita se µ() < + ed è sigma-fiita se è uioe umerabile di isiemi di misura fiita: = j j, j, µ( j ) < +. Se µ() < +, allora ν = µ/µ() è ua misura ormalizzata: ν() = 1. Le misure ormalizzate si dicoo misure di probabilità, l isieme sample space, σ-algebra degli eveti e (,, µ) spazio di probabilità. Proprietà delle misure. k=1 k=1 1) µ( ) = 0. Ifatti, preso misurabile co µ() < +, si ha µ() = µ( ) = µ() + µ( ). 2) µ è mootoa: B co, B µ() µ(b). Ifatti µ(b) = µ( (B )) = µ() + µ(b ) µ(). Si osservi che i questo caso si ha ache µ(b ) = µ(b) µ(). 3) µ è cotiua lugo successioi mootoe, el seso che se Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

10 .Negro, Teoria della misura 9 a) i, i i+1 e = i i, allora µ() = lim i + µ( i), e b) se i, i+1 i e = i i, allora se almeo ua delle i, diciamo N, ha misura fiita 2 µ() = lim i + µ( i). Ifatti, el caso a), posto 0 =, si ha e duque = 0 ( i+1 i ) e, se i j, ( i+1 i ) ( j+1 j ) = µ() = µ( i+1 i ) = lim p 0 p µ( i+1 i ) = = lim p µ( p 0 ( i+1 i )) = lim p µ( p+1 ). Il caso b) si ricoduce al caso a), cosiderado N : 4) µ è σ subadditiva: µ( N ) µ() = µ( N ) = µ( i>n ( N i ) = lim i µ( N i ) = lim i (µ( N ) µ( i )) = µ( N ) lim i µ( i ). + µ( + k=1 k) µ( k ), per qualuque successioe di isiemi k misurabili. Naturalmete la serie a secodo membro può essere divergete a +. Ifatti µ( 1 2 ) = µ( 1 ) + µ( 2 1 ) µ( 1 ) + µ( 2 ). Duque, per iduzioe, la subadditività vale per u umero fiito arbitrario di isiemi, e, per la cotiuità di µ lugo successioi mootoe: µ( + k=1 k) = lim N + µ( N k=1 k ) k=1 lim 0 N + k=1 N µ( k ) = + k=1 µ( k ). Defiizioe. Si dice che ua misura µ è completa se tutti i sottoisiemi di ogi isieme di misura ulla soo misurabili, e quidi di misura ulla: µ() = 0 e e µ( ) = 0. Si pu o sempre completare ua misura accettado come misurabili (e ovviamete di misura ulla) tutti i sottoisiemi di ogi isieme di misura ulla. Più precisamete, se (,, µ) è uo spazio di misura, esiste ua σ algebra miimale sulla quale è defiita ua estesioe completa µ di µ. Si verifica facilmete che è costituita da tutti i sottoisiemi di tali che esistoo i, e co i e e µ( e i ) = 0. Necessariamete µ () = µ( i ) = µ( e ). 2 I R 2 l isieme i = [0,1/i] R ha misura di Lebesgue (area) λ( i ) = +, i i+1, ma = i i = {0} R = {0} [, + 1] e λ() = 0. Uiversità di Torio, a.a

11 10 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili 1.3 Fuzioi misurabili Limiteremo le ostre cosiderazioi a fuzioi a valori reali (o evetualmete complessi). Talvolta cosidereremo fuzioi a valori reali estesi. Defiizioe. Sia (, ) uo spazio misurabile e B la sigma-algebra dei Boreliai di R (o C). f : R si dice misurabile se e solo se B B f 1 (B). f 1 (B), che è la miima σ-algebra i rispetto alla quale f è misurabile, si dice σ-algebra geerata da f e si idica co σ(f). Si osservi che la defiizioe di misurabilità o presume alcua misura, cioè fa riferimeto ad ua struttura di spazio misurabile, o ad ua struttura di spazio di misura. Se è uo spazio topologico e è la σ-algebra dei Boreliai i, si dice che f è Boreliaa. Proposizioe. Sia f : R misurabile e g : R R Boreliaa, allora g f : R è acora misurabile. Ifatti B B (g f) 1 (B) = f 1 (g 1 (B)). Proposizioe. Le fuzioi cotiue, per esempio da R i R, soo Boreliae. Ifatti sia F = {M R f 1 (M) B}. llora F O (aperti di R) i quato f è cotiua. Ma F è ua sigma-algebra: R F (è u aperto), ioltre, se M, M k F, allora f 1 (M c ) = f 1 (M) c B e f 1 ( k M k ) = k f 1 (M k ) B. Essedo B la più piccola sigma-algebra coteete O, ovviamete B F. Teorema. Sia (, ) uo spazio misurabile. f : R è misurabile se e solo se c R {x f(x) < c} = f 1 (], c[). Dimostrazioe. 1) I Boreliai i R coicidoo co la sigma-algebra geerata dagli itervalli del tipo ], c[. Ifatti, come be oto, ogi aperto di R è uioe umerabile di itervalli aperti, e ]a, b[=], b[ ]a, + [, ]a, + [=], a] c, ], a] = + =1 ], a + 1/[. 2) Sia F = {M R f 1 (M) }. llora F è ua sigma-algebra. Ma, se essa cotiee tutti gli isiemi del tipo ], c[, allora essa cotiee B. q.e.d. Osservazioe. Ovviamete f è misurabile se e solo se tutti gli isiemi del tipo {x f(x) c} soo misurabili, oppure se tutti gli isiemi del tipo {x f(x) > c} soo misurabili, oppure acora Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

12 .Negro, Teoria della misura 11 se tutti gli isiemi del tipo {x f(x) c} soo misurabili. Osservazioe. Nel caso di fuzioi a valori reali estesi la defiizioe di fuzioe misurabile o cambia ed è bee rilevare che: {x f(x) = + } = {x f(x) > }, metre {x f(x) = } = {x f(x) < }. Teorema. Sia M(, ; R) l isieme delle fuzioi misurabili sullo spazio (, ) a valori reali. (Spesso si userà la otazioe abbreviata M). llora f, g M λf + g, f g, f/g (g 0), f, max(f, g), mi(f, g) M, dove λ è uo scalare arbitrario e g 0 sigifica che g(x) 0 per ogi x. Dimostrazioe. 1) Basta cosiderare il caso λ 0 : {x λf(x) + g(x) < c} = r Q {x λf(x) < r} {x g(x) < c r}. Ifatti, se per qualche r razioale λf(x) < r e g(x) < c r, allora λf(x) + g(x) < c e duque il secodo membro è coteuto el primo. Se λf(x)+g(x) < c allora per opportuamete grade λf(x)+g(x) < c 1/. Sia r Q tale che r 1/ < λf(x) < r, quidi λf(x) < r + 1/ e quidi g(x) < c 1/ λf(x) < c r. llora il primo membro è coteuto el secodo. Basta ora dimostrare che {x λf(x) < r} è misurabile per cocludere che il primo membro, quale uioe umerabile di itersezioi di isiemi misurabili, è misurabile. Ora {x λf(x) < r} = {x f(x) < r/λ}, se λ > 0; se ivece λ < 0, {x λf(x) < r} = {x f(x) > r/λ}. I ogi caso abbiamo la cotroimmagie di u Boreliao (l itervallo ], r/λ[ o l itervallo ]r/λ, + [) e duque u isieme misurabile. 2) Se f è misurabile tale è ache f 2, essedo ( ) 2 cotiua e pertato Boreliaa. Ma e duque f g è misurabile. 3) Se f e g soo misurabili e g 0, f g = 1/4((f + g) 2 (f g) 2 ) f/g = f (ρ g) è misurabile, perchè ρ : R {0} R è cotiua e duque Boreliaa. 4) La fuzioe è cotiua, duque se f è misurabile, tale è f. Oppure: { f < c} = {f < c} { f < c}. Uiversità di Torio, a.a

13 12 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili 5) Se f e g soo misurabili, tali soo: max(f, g) = f g + f + g 2 e mi(f, g) = f + g f g 2. q.e.d. Teorema. Se ua succsssioe di fuzioi misurabili coverge semplicemete, la fuzioe limite è misurabile: f M e x Dimostrazioe.Basta osservare che Ifatti, se x appartiee al secodo membro lim f (x) = f(x) f M. + {x f(x) < c} = k p> {x f p (x) < c 1/k}. k p > f p (x) < c 1/k, e, passado al limite per p, si trova f(x) c 1/k < c. Se x appartiee al primo membro allora ma per la covergeza q.e.d. f(x) < c k f(x) < c 2/k, p > f p (x) < f(x) + 1/k e duque f p (x) < c 1/k. Per la validità della dimostrazioe precedete o è ecessario che f (x) coverga a f(x), basta che f(x) = limsup f (x) per garatire che per ogi ε si abbia defiitivamete f (x) < f(x) + ε. Cosiderado la successioe f si vede ache che limif f (x) è misurabile. Questi risultati si possoo otteere ache utilizzado la Proposizioe. Se le fuzioi f soo misurabili, tali soo sup f (x) e if f (x). Dimostrazioe. Basta osservare che sup f (x) = lim N ed ua relazioe aaloga vale per if f (x). llora segue che lim sup soo fuzioi misurabili. f (x) = lim sup p max f p(x), 1 p N f (x) e limif f (x) = lim if f (x) p Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

14 .Negro, Teoria della misura Covergeza q.o e i misura Proposizioi valide quasi ovuque (q.o.). Sia (,, µ) uo spazio di misura µ completa. Sia P(x) ua proposizioe dipedete dalla variabile x. Si dice che P(x) vale quasi ovuque (q.o.) o per quasi ogi x se e solo se {x P(x) è falsa} ha misura ulla. d esempio lim f (x) = f(x) q.o. µ({x lim f (x) f(x) o o esiste }) = 0. I tal caso si dice che f coverge ad f quasi ovuque f f q.o. o f f a.e. (almost everywhere). Nel caso di misure di probabilità le fuzioi misurabili si dicoo variabili aleatorie (v.a.) e la covergeza quasi ovuque si dice covergeza quasi certa (q.c.) o covergeza co probabilità 1: f f q.o. o f f a.s. (almost surely). È bee osservare che f = g q.o. è ua relazioe di equivaleza. I risultati precedeti sui limiti di fuzioi misurabili si possoo estedere co il seguete Teorema. Se f M e f f q.o., allora f M. Dimostrazioe. Se = {x lim f (x) = f(x)}, si ha per ipotesi, c e µ( c ) = 0. llora {x f(x) < c} = {x f(x) < c} {x c f(x) < c}. secodo membro il primo isieme è misurabile per il teorema precedete (co al posto di ) e il secodo isieme c è misurabile (e di misura ulla) essedo µ completa. Siamo ora i grado di dimostrare u teorema fodametale sul rapporto tra covergeza semplice quasi ovuque e covergeza uiforme: Teorema di Egorov. Sia (,, µ) uo spazio di misura, co µ completa e fiita: µ() < +. Siao f M tali che f f q.o.. llora tale che ε > 0 ε 1) µ( ε ) < ε, 2) f ε f ε uiformemete i ε. Dimostrazioe. Essedo f misurabile, per i risultati precedeti e la completezza di µ, poiamo: p = i {x f i (x) f(x) < 1/p}, p = =1 p... p... p 2 p 1. Tutti questi isiemi soo misurabili e per la cotiuità della misura µ( p ) = lim µ( p ), duque, essedo µ( p ) µ() < + ε > 0 ν µ( p p ν ) < ε/2p. Uiversità di Torio, a.a

15 14 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili Sia ν(p) u idice per il quale la disuguagliaza precedete vale e poiamo ε = p p ν(p). llora: 1) Su ε la covergeza è uiforme, ifatti si ha 1/p ν(= ν(p)) ε p ν(p) e duque i ν x ε f i (x) f(x) < 1/p. 2) I p la successioe f o coverge, perchè se x / p, allora x / p e quidi i f i (x) f(x) 1/p. Cioè esistoo ifiiti idici i tali che f i (x) f(x) 1/p e pertato f (x) o coverge. Duque µ( p ) = 0, essedo p u sottoisieme di u isieme che per ipotesi ha misura ulla. Basta ora osservare che µ( ε ) = µ( p p ν(p) ) = µ( p( p ν(p) ) q.e.d. p µ( p ν(p) ) = p + µ( p p ν(p) ) ε/2 p = ε. p=1 U ruolo importate è svolto dal seguete tipo di covergeza. Defiizioe. La successioe f di fuzioi misurabili coverge i misura alla fuzioe f se e solo se α > 0 lim µ({x f (x) f(x) α}) = 0. Nel caso di misure di probabilità, si dice che f coverge i probabilità a f. Se la misura è fiita, la covergeza putuale q.o. implica la covergeza i misura, metre ua successioe può covergere i misura seza covergere q.o., pur ammettedo certamete ua sottosuccessioe covergete q.o. Teorema. Sia µ() < + e f covergete q.o. a f. llora f coverge i misura a f. Dimostrazioe. Dato ε > 0, ricorriamo al teorema di Egorov e sia ε tale che µ( ε ) < ε e su ε si abbia covergeza uiforme. llora, fissato comuque α > 0, per sufficietemete grade (> ν dipedete da α e ε) x ε f (x) f(x) < α e quidi l isieme dove f (x) f(x) α è coteuto i ε. Duque per sufficietemete grade µ({ f f α) µ( ε ) < ε. q.e.d. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

16 .Negro, Teoria della misura 15 Osservazioe. L ipotesi µ() < + è esseziale: i R muito della misura stadard (di Lebesgue) λ, che assega ad ogi itervallo (a, b) la sua lughezza b a, risulta χ [,+1[ 0 ovuque, ma λ({ χ [,+1[ 0 1/2}) = 1, Osservazioe. Se f f i misura, o ecessariamete f f q.o. Basta forire u cotroesempio: sia = [0, 1[ co la misura di Lebesgue λ usuale; sia χ,k = χ [(k 1)/,k/[ = 1, 2,..., k = 1, 2,...,. Ordiiamo queste fuzioi caratteristiche formado la successioe f p = χ,k, p = ( 1) + k. Per ogi x [0, 1[ vi soo ifiiti idici p per i quali f p (x) = 1 e ifiiti per i quali f p (x) = 0 : quidi la successioe f p o coverge i essu puto. Ma ovviamete per ogi 0 < α < 1 e le f p tedoo a 0 i misura. λ({ χ,k 0 α}) = 1 0 Teorema. Sia µ() < + e f covergete i misura a f. llora esiste ua sottosuccessioe f k coverge q.o. a f. Dimostrazioe. Siao α e η omeri positivi tali che lim α = 0 e + + =1 η < +. Selezioiamo, i virtù dell ipotesi di covergeza i misura, degli idici 1 < 2 <... tali che Siao ifie µ({ f k f α k }) < η k. j = + k=j { f k f α k } e B = + j=1 j. Si ha j+1 j e, per la cotiuità della misura, + k=j η k µ( j ) µ(b). Poiché il resto della serie tede a 0, si ottiee µ(b) = 0. Ma x B lim k f k (x) = f(x). Ifatti se x / B esiste j tale che x / j, cioè per ogi k j Ma α k 0 e il teorema è dimostrato. x / { f k f α k } ovvero f k (x) f(x) < α k. Uiversità di Torio, a.a

17 16 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili * * * La covergeza q.o. i geerale o è topologica, almeo el caso (usuale) i cui la covergeza i misura o implica la covergeza q.o. (Billigseley [1]). Suppoiamo per assurdo che sia defiita ua famiglia di itori V (f) di ogi ogi fuzioe misurabile f, tale che f f q.o. equivalga a V (f) ν > ν f V (f), e g sia covergete i misura a g, ma o coverga q.o. a g. Duque V (g) ν > ν g V (g), ovvero esiste ua sottosuccessioe gj di elemeti o apparteeti a V (g). Da essa si può estrarre u ulteriore sottosuccessioe gj k covergete a g q.o. llora le gj k dovrebbero apparteere defiitivamete a V (g) e si giugerebbe ad ua cotraddizioe. Si osservi che, se ua successioe f si può scomporre i u umero fiito o i ua ifiità umerabile di sottosuccessioi f p j covergeto q.o. ad f: f p j (x) f(x) trae che per x p e µ( p ) = 0, allora l itera successioe coverge q.o. ad f: f (x) f(x) trae che per x = p p e µ() = µ( p p ) = 0. Naturalmete, se f coverge i misura a f, esistoo ifiite sottosuccessioi covergeti q.o. a f, ma o ecessariamete ua ifiità umerabile. E u uioe o umerabile di isiemi di misura ulla può o avere misura ulla. La covergeza i misura (cosiderado soltato misure fiite: µ() < + ) si può ivece esprimere i termii di ua opportua distaza. Più precisamete, itroducedo ello spazio M(,, µ) delle fuzioi misurabili la relazioe di equivaleza f g f = g q.o. e cosiderado lo spazio quoziete M = M/, si ha Teorema. I M(,, µ) la fuzioe d(f, g) = f g 1 + f g dµ è ua distaza. (Nella formula precedete si ricorre al cosueto abuso di idicare co gli stessi simboli f e g sia due classi di equivaleza che due loro arbitrari rappresetati.) La covergeza secodo la metrica d è equivalete alla covergeza i misura. (M, d) è uo spazio metrico completo (Yosida [11]). Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

18 .Negro, Teoria della misura 17 Dimostrazioe. È immediato cotrollare che d(f, g) = 0 se e solo se f = g q.o. e che d(f, g) = d(g, f). La disuguagliaza triagolare segue facilmete dalle disuguagliaze a + b a + b 1 + a + b 1 + a + b a 1 + a + b 1 + b. È bee otare ioltre che la fuzioe x/(1 + x) per x 0 è crescete e cocava e tede a 1 per x +. Per vedere che la covergeza el seso della metrica d e la covergeza i misura soo equivaleti basta osservare che, per ogi ε, posto E = { f g ε}, si ha ε 1 + ε µ(e) f g E 1 + f g dµ ( f g + ) E E 1 + f g dµ = = d(f, g) µ(e) + ε µ( E). 1 + ε Per dimostrare che (M, d) è completo cosideriamo ua successioe f di Cauchy per d. Viste le disuguagliaze precedeti, possiamo trovare ua sottosuccessioe f j tale che llora la serie risulta covergete su µ(e j ) 2 j, dove E j = { f j+1 f j 2 j }. + F(x) = f 1 (x) + f j+1 (x) f j (x) E c = l j l E c j j=1 dove E = l j l E j e µ(e) = 0. Ifatti, se x E c, esiste l tale che per j l i termii soo maggiorati da quelli della serie geometrica di ragioe 1/2, metre l µ(e) µ( j l E j ) j l µ(e j ) j l 1 2 j = 1 2 l 1. e quidi, facedo tedere l a +, µ(e) = 0. Ma la su E c, cioè q.o., la serie coverge ache semplicemete, ovvero coverge la sottosuccessioe f j, diciamo ad u limite f misurabile. La covergeza q.o. implica la covergeza i misura di f j a f e quidi d(f j, f) 0. La successioe iiziale f è di Cauchy e, ammettedo ua sottosuccessioe covergete a f, è essa stessa covergete a f. q.e.d. & & & Uiversità di Torio, a.a

19 18 Capitolo 1. σ-lgebre. Misure. Fuzioi misurabili Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

20 Capitolo 2 Itegrale di Lebesgue astratto I questa parte cosidereremo uo spazio di misura (,, µ), suppoedo che µ sia completa. Nella prima parte, per semplicità ella presetazioe dell itegrale e ella dimostrazioe delle sue pricipali proprietà, supporremo ioltre che essa sia fiita (µ() < + ), oppure restrigeremo le ostre cosiderazioi a sottoisiemi di misura fiita. Successivamete acceeremo alla estesioe dei risultati coseguiti limitadoci al caso di misure σ-fiite. Idicheremo co M = M(, ;R) la famiglia delle fuzioi misurabili a valori reali. 2.1 Fuzioi semplici Defiizioe. f M si dice semplice se e solo se f M e f() è fiito o umerabile 1, ovvero f() = {y 1, y 2,..., y,...} e f 1 ({y }) =. Per dire che f è semplice scriveremo f S = S(,, µ). Teorema. f M se e solo se esiste ua successioe di fuzioi semplici f S covergeti ad f uiformemete. Dimostrazioe. Per ogi defiiamo f (x) = k/ quado k/ f(x) < (k + 1)/. Si ha f S e sup x f (x) f(x) 1/. Viceversa, se f è limite addirittura uiforme (e quidi putuale) di fuzioi semplici, che soo misurabili, allora f M. q.e.d. Osservazioe. Talvolta iteressa approssimare f co ua successioe di fuzioi semplici odecrescete. I tal caso basta cosiderare, per ogi, itervalli di ampiezza 1/2 e porre 1 Seguiremo la presetazioe di Kolmogorov-Fomi [8]. Osserviamo tuttavia che la maggior parte degli autori cosidera fuzioi semplici che predoo soltato u umero fiito di valori. Come vedremo al termie del capitolo, i due percorsi di costruzioe dell itegrale soo equivaleti. Co la defiizioe adottata si ha il vataggio di poter sfruttare i risultati oti sulle serie (assolutamete) covergeti, co però la ecessità di cooscere qualche elemeto di teoria della sommabilità, o almeo risultati cocereti il trattameto delle serie doppie. 19

21 20 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto f (x) = k/2 quado k/2 f(x) < (k + 1)/2. Ifatti risulta allora f (x) = [ k 2 ] 1 2 k 2 +1 = f +1(x) per k 2 +1 x < k Defiiamo ora l itegrale per la classe delle fuzioi semplici. Defiizioe. Sia f S e di misura fiita. Siao y i valori distiti assuti da f e = {x f(x) = y }. Si dice itegrale di f su la quatità fdµ = + =1 y µ( ), se la serie a secodo membro è assolutamete covergete. Se l itegrale esiste (ciè se la serie coverge assolutamete) si dice che f è itegrabile su. Osservazioe 1. L assoluta covergeza è richiesta perchè l itegrale o dipeda dall ordie co il quale si cosiderao i valori distiti assuti da f. Osservazioe 2. Se gli isiemi misurabili B i costituiscoo ua partizioe di e f = f i su B i, essedo f i uo dei valori y, allora fdµ = f i µ(b i ), i e questa serie e quella che appare ella defiizioe soo simultaeamete assolutamete covergeti. Osservazioe 3. Ovviamete, se ci iteressa solo l isieme, basta che f sia semplice su (o hao rilevaza i valori assuti su c, dove f potrebbe ache o essere defiita). lcue proprietà dell itegrale delle fuzioi semplici. 1) Se f, g S soo itegrabili su, ogi loro combiazioe lieare è itegrabile su. Ioltre l itegrale è lieare: (λf + g)dµ = λ fdµ + gdµ, 2) Se f S e f(x) M q.o. i, allora fdµ Mµ(). Le dimostrazioi soo cosegueza immediata di ote proprietà delle serie. Per il puto 1) si cosideri ua partizioe {C j } j di co f e g costati su ogi C j. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

22 .Negro, Teoria della misura Fuzioi sommabili Defiizioe. Sia, co µ() < + : f M si dice sommabile o itegrabile su se e solo se esiste ua successioe di fuzioi semplici f itegrabili su che covergoo uiformemete, su, ad f. Si poe allora fdµ = lim f dµ. + Verifica della correttezza della defiizioe. 1) Co le ipotesi fatte, il limite che appare ella defiizioe esiste ed è fiito i quato f dµ è ua successioe di Cauchy: f m dµ f dµ f m f dµ µ() sup f m (x) f (x) 0 x quado m, tedoo ad ifiito. 2) Il limite o dipede dalla successioe di fuzioi semplici approssimati: siao f e g due successioi i S itegrabili su e covergeti uiformemete a f su. llora ache h, co h 2 = f e h 2 1 = g, ha le stesse proprietà, ma lim f dµ = lim g dµ = lim h dµ, perchè f dµ e g dµ soo sottosuccessioi della successioe covergete h dµ. 3) Se f è semplice ed itegrabile su la defiizioe cocorda co quella precedetemete data per le fuzioi semplici: basta approssimare f co la successioe costate f = f. Osservazioe. bbiamo defiito direttamete l itegrale di ua fuzioe f su u isieme misurabile. vremmo potuto equivaletemete, per ora almeo el caso µ() < +, prima defiire l itegrale su tutto lo spazio e poi porre fdµ = f χ dµ, essedo χ la fuzioe caratteristica di. Oppure, dopo aver defiito fdµ, itrodurre l itegrale su cosiderado la restrizioe della fuzioe f ad e lo spazio di misura (,, µ ), dove è la famiglia dei sottoisiemi di che appartegoo a e µ la restrizioe di µ a : fdµ = f dµ. 2.3 Proprietà elemetari dell itegrale Evetualmete cosiderado itegrali di fuzioi semplici approssimati e passado al limite si ottegoo facilmete i segueti risultati. Uiversità di Torio, a.a

23 22 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto Teorema. 1) Per ogi isieme misurabile 1 dµ = µ(). Ifatti la fuzioe caratteristica di è semplice. 2) Se f e g soo sommbili su, le loro combiazioi lieari soo sommabili su e (λf + g)dµ = λ fdµ + gdµ. Duque le fuzioi itegrabili su formao uo spazio lieare e l itegrale è u fuzioale lieare. 3) Se f = 0 q.o. i, allora fdµ = 0. Ifatti se f soo fuzioi semplici approssimati f, f χ {f 0} soo acora fuzioi semplici covergeti uiformemete a f, co itegrale evidetemete ullo. 4) È ache vero che µ() = 0 fdµ = 0. 5) L itegrale è u fuzioale positivo e quidi mootoo: se f è sommabile su e f(x) 0 q.o. i fdµ 0, quidi f(x) g(x) q.o. i fdµ gdµ. Ifatti se le fuzioi semplici itegrabili f approssimao f, essedo f + f + f f, f + f e f + = f q.o. i, le f + soo itegrabili e approssimao f. 6) f e f soo simultaeamete sommabili su e fdµ f dµ. Ifatti se f è itegrabile e approssima f, essedo f f f f, f è ua successioe di fuzioi semplici itegrabili e approssimate f. 7) Se f è ua fuzioe misurabile e f ϕ q.o. i, co ϕ sommabile su, allora f è sommabile su. Ifatti, sia f, ϕ S, f f < 1/, ϕ ϕ < 1/ e ϕ itegrabile, allora e le f soo itegrabili. f f + 1 ϕ + 1 ϕ + 2 Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

24 .Negro, Teoria della misura Dipedeza dal domiio di itegrazioe Teorema (σ-additività dell itegrale). Sia { } N ua partizioe umerabile di, co, : = e j k = se j k. llora 1) se f è itegrabile su, essa è itegrabile su ciscu e fdµ = =1 fdµ. Ioltre la serie a secodo membro è assolutamete covergete. 2) Se f è itegrabile su ciscu, allora f dµ < + f è itegrabile su e fdµ = =1 fdµ. Dimostrazioe. 1) Sia f S e f() = {y i }. (È equivalete cosiderare fuzioi semplici defiite su tutto e cosiderare la restrizioe a o cosiderare fuzioi semplici su e prolugarle, se occorre, a tutto poedole uguali a zero su c ). Poiamo llora B i = {x f(x) = y i } e B,i = {x f(x) = y i } = B i. fdµ = i y i µ(b i ) = (per la sigma-additività di µ ) = y i µ(b,i ) = y i µ(b,i ) = fdµ. i i Lo scambio delle sommatorie è cosetito per la sommabilità della famiglia di umeri {y i µ(b,i )}). Cosideriamo ora ua fuzioe sommabile f qualuque e, dato ε > 0 arbitrario, sia g ε S tale che sup x f(x) g ε (x) < ε. llora g ε dµ = g ε dµ, quidi si vede che f è itegrabile su ciascu e fdµ fdµ fdµ g ε dµ + g ε dµ fdµ Uiversità di Torio, a.a

25 24 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto εµ() + εµ( ) = 2εµ(). 2) che per questa implicazioe ci si ricoduce alle proprietà delle serie assolutamete covergeti, co fuzioi semplici approssimati. q.e.d. Osservazioe. No sarebbe sufficiete,per questa secoda parte, chiedere che fdµ < +. =1 d esempio, se si cosidera l itervallo ]0, 1] co la misura di Lebesgue dx, le sue partizioi costituite dagli itervalli e rispettivamete k defiite da e la fuzioe 1 =] + 1, 1 ], 1 k = 2k 1 2k =] 2k + 1, 1 2k 1 ], f(x) = + 1 ( 1) ( + 1)χ (x), si ha f(x)dx = ( 1), f(x)dx = 0 = 0, k k k ma f o è itegrabile, altrimeti lo sarebbe il suo valore assoluto, metre 1 f(x) dx = f(x) dx = 1 = +. 0 Per le ozioi fodametali cocereti la sommabilità riviamo, per esempio, a Negro [ ], ppedice.4. Riportiamo di seguito soltato u breve riassuto dei risultati esseziali, seza dimostrazioi. * * * Defiizioe. Ua famiglia {a κ } κ K, dove K è u isieme arbitrario, di umeri complessi si dice sommabile se e solo se, idicado co F l isieme dei sottoisiemi fiiti di K, posto s F = κ F a κ per F F, esiste u umero complesso s tale che ε > 0 F 0 F F F F 0 F s s F < ε. I tal caso s si dice la somma della famiglia e si scrive s = a κ. κ K Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

26 .Negro, Teoria della misura 25 Proposizioe. Nel caso di umeri reali o egativi (a κ 0) si può equivaletemete defiire s come estremo superiore delle somme fiite: s = sup s F. F F Proposizioe. La famiglia {a κ } κ K è sommabile se e solo se è sommabile la famiglia { a κ } κ K. Proposizioe. Sia {K γ } γ Γ ua partizioe arbitraria di K, allora a κ = ( a κ ). κ K γ Γ κ K γ I particolare, se K = Λ M, si ha, sotto la codizioe di sommabilità della famiglia {a (λ µ) } (λ µ) Λ M la formula di commutazioe dei segi di somma: a (λ,µ) ). allora (λ,µ) Λ M a (λ,µ) = λ Λ( µ M a (λ,µ) ) = µ M( λ Λ Nella dimostrazioe della σ-additività dell itegrale serve soltato la seguete Proposizioe. Se sup M,N M + + j=1 k=1 j=1 k=1 N a jk < +, a jk = tutte le serie essedo assolutamete covergeti. & & & + + k=1 j=1 Per le applicazioi future e per il suo itriseco iteresse segaliamo la seguete disuguagliaza, che forisce ua stima, o ecessariamete accurata, della misura degli isiemi dove ua fuzioe sommabile assume valori maggiori di u livello prefissato. Disuguagliaza di Markov. (Talvolta detta di Chebychev) Sia f 0 q.o. i e sia c > 0 u umero reale positivo arbitrario: µ({x f(x) c}) 1 fdµ. c Dimostrazioe. Poiamo B = {x f(x) c} : fdµ = fdµ + Uiversità di Torio, a.a B B a jk, fdµ c µ(b).

27 26 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto q.e.d. Da questa disuguagliaza si deduce u risultato semplice ma importate. Proposizioe. Dimostrazioe. Si ha ache f dµ = fdµ = 0 f = 0 q.o. {f>0} fdµ fdµ = 0. {f 0} Basta allora osservare che, se = { f 1/}, { f > 0} = e µ( ) vista la disuguagliaza di Markov. q.e.d. f dµ = 0, Teorema (assoluta cotiuità dell itegrale). Sia f itegrabile su : ε δ > 0 B B e µ(b) < δ fdµ < ε. È cosegueza del teorema successivo, i quato F(B) = f dµ per B e B è ua misura (sigma-additiva e fiita) i. B Defiizioe. Sia F : R ua fuzioe (d isieme). Si dice che F è σ-additiva o ua misura (co sego) se: B = N,, i j (i j) F() = F( ), essedo la serie assolutamete covergete. Lo spazio (,, F), dove è la sigma-algebra di sottoisiemi di sulla quale F è defiita, si dice spazio di misura co sego. Si osservi che F o prede ecessariamete valori o egativi e la covergeza assoluta è pretesa al solito perchè la somma o dipeda dall ordie co il quale si cosiderao gli elemeti della partizioe. Si dimostra che esiste ua costate C tale che F() C per ogi, cioè F è limitata. Defiizioe. Sia µ ua misura positiva. La misura (co sego) F è µ-assolutamete cotiua se e solo se µ() = 0 F() = 0. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

28 .Negro, Teoria della misura 27 Vedremo el capitolo successivo che, se F è µ assolutamete cotiua, allora esiste f, uivocamete defiita q.o., tale che F() = fdµ (teorema di Rado-Nikodym). Teorema. Sia F ua fuzioe d isieme σ-additiva, fiita e µ-assolutamete cotiua, allora ε δ > 0 µ() < δ F() < ε. Ci limitiamo al caso di ua misura positiva: F 0. Dimostrazioe. Per assurdo esistao ε > 0 e tali che Poiamo µ( ) < 1/2 e F( ) ε. llora = limsup = p p = {x x per ifiiti idici }. µ() p µ( p ) p 1/2 p = 1/2 1. Duque µ() = 0, ma per la cotiuità delle misure e la fiitezza di F, risulta F() = lim F( p p ) ε, che cotaddice l ipotesi di µ-assoluta cotiuità. q.e.d. 2.5 Passaggio al limite sotto sego di itegrale I teoremi di questo paragrafo soo validi ache el caso di misure o fiite. Teorema (di Lebesgue o della covergeza domiata). Sia e siao f, f : R fuzioi misurabili. Sia ϕ ua fuzioe sommabile su. llora f f q.o. i e f (x) ϕ(x) q.o. i f dµ fdµ. Dimostrazioe. Dato ε > 0, 1) per l assoluta cotiuità dell itegrale esiste δ > 0 tale che µ(b) < δ ϕdµ < ε/4 ; B 2) per il teorema di Egorov possiamo scegliere B tale che µ(b) < δ e su C = B f f uiformemete, quidi esiste N tale che x C N f (x) f(x) ε/2µ(c) ; Uiversità di Torio, a.a

29 28 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto 3) si trova allora, per N, fdµ f dµ q.e.d. C f f dµ + f dµ + f dµ < ε/2 + ε/4 + ε/4 = ε. B B Teorema (di Beppo Levi o sulla covergeza mootoa): Sia f ua successioe di fuzioi itegrabili su ( ) tali che f 1 f 2... f... q.o. i e f dµ C, dove C è ua costate (idipedete da ). llora per q.o. x i esiste fiito il limite la fuzioe f è itegrabile su e f(x) = lim f (x) < +, fdµ = lim f dµ. Dimostrazioe. No è restrittivo supporre f 1 0, altrimeti basterebbe studiare la successioe f f 1. Per la mootoia, q.o i f coverge ad u limite fiito o diverge a +. 1) Idicado co D l isieme dove f diverge, dimostriamo che D ha misura ulla. dove D = {x f (x) + } = k D k,, D k, = {x f (x) > k}. Per la positività di f e la disuguagliaza di Chebychev µ(d k, ) C/k. Ma D k,1 D k,2... D k,... e quidi k D D k,, µ(d) µ( D k, ) = lim µ(d k, ) C/k, cioè µ(d) = 0. 2) Per il passaggio al limite sotto sego di itegrale possiamo ricodurci al teorema della covergeza domiata, itroducedo ua fuzioe maggiorate ϕ el modo seguete. Siao k = {x k 1 f(x) < k} e ϕ(x) = k per x k. Ovviamete, essedo f l estremo superiore delle f, f (x) ϕ(x) q.o. i. Basta allora verificare che ϕ è sommabile. Se B p = p k=1 k, su B p f (x) p. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

30 .Negro, Teoria della misura 29 La costate p è sommabile su B p (stiamo suppoedo che la misura sia fiita) e quidi su B p il teorema della covergeza domiata è applicabile. Ioltre per defiizioe ϕ(x) f(x) + 1, duque p kµ( k ) = ϕdµ fdµ + µ(b p ) B p B p Ma allora la serie k=1 lim B p f dµ + µ() C + µ(). + k=1 kµ( k ) = coverge (assolutamete) e ϕ è sommabile. q.e.d. ϕdµ Teorema di Fatou. Siao g, f fuzioi itegrabili su, tali che g f q.o. i e limif f dµ = C < +. + llora f = limif f è itegrabile su e fdµ limif Dimostrazioe. Poiamo g = if p f p. f dµ = C. Le fuzioi g soo misurabili e itegrabili su, perchè maggiorabili e miorabili mediate fuzioi itegrabili: p g g f p. Peraltro, f = limif f = sup if f p = sup g. p L ipotesi del teorema sugli itegrali delle f si può scrivere sup if f p dµ = C < +, p quidi Ma, essedo risulta p Uiversità di Torio, a.a if f p dµ C. p g dµ g dµ C. f p dµ,

31 30 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto Basta ora osservare che g coverge q.o. o decrescedo ad f e, applicado il teorema di Beppo Levi, si ottiee che f è itegrabile su e fdµ = lim g dµ C. q.e.d. Ua cosegueza quasi immediata del teorema di Fatou, frequetemete utilizzata elle applicazioi per portare al limite maggiorazioi di itegrali, è presetata el sguete allora Corollario. Siao f fuzioi itegrabili su tali che f 0 e f f q.o. i, f dµ C Dimostrazioe. Basta porre g = 0 e osservare che f = lim f = limif ricorredo quidi al teorema di Fatou. f e che limif 2.6 Lo spazio delle fuzioi itegrabili fdµ C. f dµ C, Sia (,, µ) uo spazio di misura. Duque è ua σ-algebra e µ ua misura (σ-additiva), che assumeremo completa. Cotiuiamo a supporre, soltato per semplicità delle dimostrazioi, µ() < +. Cosideriamo l isieme delle fuzioi (a valori reali) itegrabili su e poiamo L 1 = L 1 (,, µ) = {f M(,, µ) f dµ < + }. È immediato verificare che L 1 è uo spazio vettoriale su R e che f dµ è ua semiorma su L1. Per operare i uo spazio ormato, itroduciamo la relazioe di equivaleza e defiiamo lo spazio quoziete f g f(x) = g(x) q.o. L 1 = L 1 (,, µ) = L 1 /. Si cotrolla seza difficoltà che f 1 = f dµ, dove f è u qualuque rappresetate di f (f f), è ua orma ello spazio vettoriale L 1. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

32 .Negro, Teoria della misura 31 Nel seguito, ove o vi siao pericoli di equivoco, tederemo ad adottare il comue abuso di liguaggio che cofode rappresetati e classi di equivaleza. Per esempio diremo sia f ua fuzioe di L 1, itededo che vogliamo cosiderare ua classe di equivaleza ed f idica sia la classe che u suo rappresetate, modificabile arbitrariamete su u isieme di misura ulla. Teorema. (Completezza di L 1 ). L 1 muito della orma f 1 = f dµ è uo spazio di Baach. Dimostrazioe. Sia f ua successioe di Cauchy i L 1 : ε > 0 0 m, 0 f m f 1 ε. Possiamo estrarre ua sottosuccessioe f k tale che Ifatti Cosideriamo la serie f k f k+1 1 < 1 2 k. k k > k 1 k f f k 1 < 1 2 k. F(x) = f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) Le sue ridotte F k (x) o decrescoo e i loro itegrali soo limitati: F kdµ C = f pplicado il teorema di Beppo Levi, si ottiee che F(x) < + q.o. e che F è itegrabile. llora f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) f k (x) f k 1 (x) = f k (x) coverge q.o. ad u limite fiito f(x). Ma f k F e duque, applicado il teorema di Lebesgue sulla covergeza domiata, si ottiee i particolare che f L 1. Vediamo ora che f è limite i L 1 di f k : f k f 0 q.o. e f k f 2F, duque, sempre per il teorema di Lebesgue, f k f 1 = f k f dµ 0 dµ = 0. Essedo f di Cauchy, la covergeza di ua sottosuccessioe implica la covergeza di tutta la successioe: f f 1 0. q.e.d. Corollario. Ogi successioe f covergete i L 1 ammette ua sottosuccessioe covergete q.o. Dimostrazioe. Ogi successioe covergete è di Cauchy. q.e.d. Osservazioe. Se f f i L 1 o ecessariamete f f q.o. Basta forire u cotroesempio: sia = [0, 1[ co la misura di Lebesgue usuale; sia χ,k = χ [(k 1)/,k/[ = 1, 2,..., k = 1, 2,...,. Uiversità di Torio, a.a

33 32 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto Ordiiamo queste fuzioi caratteristiche formado la successioe f p = χ,k, p = ( 1) + k. Per ogi x [0, 1[ vi soo ifiiti idici p per i quali f p (x) = 1 e ifiiti per i quali f p (x) = 0: quidi la successioe f p o coverge i essu puto. Ma ovviamete f p dx = 1/ 0 per + e duque f p coverge a 0 i orma L 1. Se f coverge ad f i L 1 e f k è ua sottosuccessioe covergete ad f q.o., f k coverge ad f i misura (la covergeza q.o. implica quella i misura). Questo risultato può essere rafforzato. Teorema. Se f coverge ad f i L 1, allora f (l itera successioe) coverge i misura ad f. Dimostrazioe. Basta applicare la disuguagliaza di Markov: µ({ f f c}) 1 f f dµ 0 c per +. Teorema. Le combiazioi lieari (fiite) delle fuzioi caratteristiche degli isiemi misurabili soo dese i L 1. Questa proprietà si esprime dicedo che {χ } è ua famiglia totale i L 1. Dimostrazioe. 1) Le fuzioi semplici itegrabili soo dese i L 1. Ifatti se f L 1 esiste ua successioe di fuzioi semplici itegrabili f uiformemete covergete ad f. Ma allora, se f f < ε per ν, si ha f f 1 = f f dµ < εµ() e quidi f coverge ad f i L 1. 2) Sia g ua fuzioe semplice itegrabile: g = + k=1 y k χ k e + k=1 y k µ( k ) < +, dove le y k soo i valori distiti di g e k gli isiemi misurabili (disgiuti) sui quali g vale y k. llora, posto N g N = y k χ k, si ha g g N 1 = k=1 + K=N+1 y k µ( k ) 0 per N +. Duque le combiazioi lieari fiite di fuzioi caratteristiche di isiemi misurabili soo dese ell isieme delle fuzioi semplici itegrabili, e, per il puto uo, soo dese Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

34 .Negro, Teoria della misura 33 i L 1. q.e.d. Teedo coto della completezza di L 1, il risultato ora otteuto permette di stabilire il seguete criterio di itegrabilità. Teorema. Ua fuzioe f è itegrabile se e solo se essa è limite q.o. di ua successioe f di fuzioi semplici che assumoo solo u umero fiito di valori distiti e che costituiscoo ua successioe di Cauchy il L 1 : N f L 1 f = lim f q.o., f = y k χ e k k=1 per ogi ε > 0, purché m ed siao sufficietmete gradi. Ioltre fdµ = lim f dµ. f m f dµ < ε Dimostrazioe. Se le f formao ua successioe di Cauchy i L 1, per la completezza di L 1 esse covergoo i L 1 ad ua fuzioe itegrabile f ed ua loro sottosuccessioe coverge q.o. a f. Duque f = f q.o. e fdµ f dµ f f dµ 0. Viceversa, per il precedete teorema di desità, ogi fuzioe itegrabile può essere approssimata come idicato ell euciato di questo teorema. q.e.d. 2.7 L itegrale i spazi di misura σ-fiita Nel caso di misure o fiite (µ() = + ) ua defiizioe diretta dell itegrale mediate approssimazioe co fuzioi semplici richiederebbe qualche variate. I tal caso ifatti la covergeza uiforme di ua successioe di fuzioi semplici o implica ecessariamete la covergeza dei loro itegrali. d esempio, co = R e l ordiaria misura di Lebesgue dx, si ha f (x) def = ( 1) χ ],[(x) 0 uiformemete, ma f dx = 2( 1), e la successioe degli itegrali è oscillate. vedo già trattato il caso delle misure fiite, voledo coservare la proprietà che ua fuzioe è itegrabile se e solo se il suo valore assoluto è itegrabile, voledo ioltre coservare la σ-additività dell itegrale, coviee adottare la defiizioe seguete. Defiizioe. Sia µ σ-fiita e sia { } ua partizioe di co isiemi disgiuti di misura fiita: =, i j i j =, µ( ) +. Uiversità di Torio, a.a

35 34 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto Ua fuzioe f : R si dice itegrabile se e solo se la sua restrizioe a ciascu è itegrabile su, duque il suo valore assoluto è itegrabile su, e la serie degli itegrali del valore assoluto coverge: f dµ < +. (Co u abuso di liguaggio, di uso comue, egli itegrali precedeti abbiamo scritto f i luogo di f.) Si poe allora fdµ = fdµ, serie covergete, la cui somma o dipede dall ordie dei termii. Osservazioe 1. La defiizioe dell itegrale o dipede dalla partizioe cosiderata. Se ifatti Y è u altra partizioe co µ(y ) < +, cosideriamo la partizioe più fie j Y k, il cui elemeto geerico verrà idicato co Z. Per la σ-additività dell itegrale, che abbiamo studiato el caso di isiemi di misura fiita, e per le proprietà di decomposizioe delle somme ifiite, si vede facilmete che se ua delle famiglie { f dµ}, { f dµ} p, { f dµ} q Y p Z q è sommabile, ache le altre lo soo e f dµ = p Y p f dµ = q Z q f dµ. Osservazioe 2. La preseza dei valori assoluti è idispesabile. d esempio i R, muito della misura di Lebesgue dx, per la fuzioe f(x) = Z( 1) χ [,+1[ (x), il cui valore assolto è la costate 1, se j = [2j, 2j + 2[, Y k = [2k + 1, 2k + 3[, Z p = [p, p + 1[, si ha f(x)dx = j j k f(x)dx = Y k k 0 = 0, p f(x)dx = Z p p 1 = +. Osservazioe 3. I luogo di partizioi si possoo cosiderare successioi esaustive: , =, µ( ) < +, chiededo che sup f dµ < + e poedo allora fdµ = lim fdµ. Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

36 .Negro, Teoria della misura 35 Ci si ricoduce alla defiizioe precedete cosiderado la partizioe +1 ( 0 = ). Per l itegrale rispetto a misure µ σ-fiite valgoo la σ-additività, l assoluta cotiuità, il teorema di Rado-Nikodym per misure co sego F fiite, i teoremi di Lebesgue, B.Levi e Fatou, la completezza di L 1, le relazioi stabilite tra la covergeza i L 1 e quelle i misura e q.o. e la desità delle combiazioi lieari fiite delle fuzioi caratteristiche degli isiemi di misura fiita. Per cotrollare questa affermazioe, basta, fissata ua partizioe (umerabile) di i isiemi di misura fiita, operare separatamete su ciascu e mettere isieme i risultati parziali, teedo coto che uioi umerabili di isiemi di misura ulla hao misura ulla, che, dato ε > 0, per ν sufficietemete grade f dµ < ε >ν e che la teoria della sommabilità cosete decomposizioi arbitrarie delle somme. Uiversità di Torio, a.a

37 36 Capitolo 2. Itegrale di Lebesgue astratto Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica

38 Capitolo 3 Misure co sego Ricordiamo la Defiizioe. Sia ua σ algebra i ed F ua fuzioe d isieme F : R. Si dice che F è σ-additiva o che è ua misura co sego se: = N,, i j (i j) F() = F( ), essedo la serie assolutamete covergete. Lo spazio (,, F), dove è la sigma-algebra di sottoisiemi di sulla quale F è defiita, si dice spazio di misura co sego. bbiamo già osservato che F o prede ecessariamete valori o egativi e la covergeza assoluta è pretesa, al solito, perchè la somma o dipeda dall ordie co il quale si cosiderao gli elemeti della partizioe. Proposizioe. Esiste ua costate C tale che F() C per ogi, cioè F è limitata. Dimostrazioe. È ua cosegueza immediata della decomposizioe di Hah, che verrà cosiderata ella sezioe seguete. Ricordiamo acora la Defiizioe. Sia µ ua misura positiva. La misura (co sego) F è µ-assolutamete cotiua se e solo se µ() = 0 F() = 0. Ricordiamo ifie che per le misure assolutamete cotiue vale il Teorema. Sia F ua fuzioe d isieme σ-additiva, fiita e µ-assolutamete cotiua, allora ε δ > 0 µ() < δ F() < ε. 37

39 38 Capitolo 3. Misure co sego 3.1 Decomposizioe di Jorda e di Hah Per le misure a valori reali (o misure co sego) valgoo i segueti risultati di decomposizioe. Teorema. 1) Decomposizioe di Jorda. Posto, per : F + () = sup F(S), F () = if F(S), F = F + + F, S S F +, F, F soo misure positive (su ) dette variazioe positiva, egativa e totale di F e risulta F = F + F. Ioltre se G ed H soo misure positive tali che F = G H, allora F + G e F H. 2) Decomposizioe di Hah. Detto isieme di egatività u isieme per il quale F + () = 0, cioè tale che ogi suo sottoisieme misurabile abbia misura o positiva, e isieme di positività u isieme per il quale F () = 0, cioè tale che ogi suo sottisieme misurabile abbia misura o egativa, esistoo due isiemi disgiuti + e, rispettivamete di positività e di egatività, massimali e uici, a meo di isiemi di misura F ulla, tali che = + e F + () = F( + ), F () = F( ),. Premettiamo alla dimostrazioe la seguete Osservazioe. sottoisiemi arbitrari di geerao ua partizioe di i 2 celle C j, alcue evetualmete vuote, ogua delle quali è della forma , dove per ogi k k = k oppure k = c k. (Le C j soo disgiute e, per ogi x, si ha (x 1 x c 1) (x 2 x c 2)...) Dimostrazioe del teorema. Per ogi S si ha F() = F(S) + F(S c ) e quidi F + () = sup F(S) = F() if S S F(Sc ) = F() if F(S) = F() F (). S Se F = G H, co G e H misure positive, F + () = sup F() = sup(g(s) H(S)) sup G(S) = G() S S S e aalogamete F () H(). Quado avremo stabilito che F + e F soo misure avremo dimostrato la decomposizioe di Jorda. È utile stabilire prima la decomposizioe di Hah. Sia j ua successioe massimizzate, tale che lim j F( j ) = F + () = sup F(S). S Quaderi Didattici del Dipartimeto di Matematica