Tonzig Elettromagnetismo

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1 44 sultato non può che essee lo stesso [1]. Se invece a un conduttoe venisse avvicinata una caica negativa, il valoe elativo del potenziale in supeficie ispetto all infinito diminuiebbe. 7. È chiao alloa che la capacità di un conduttoe K isolato aumenta se ad esso viene avvicinato un conduttoe K ' scaico: basta consideae l effetto delle caiche che vengono indotte sulla supeficie di K ', la più vicina delle quali a K (la più influente) ha segno opposto alla caica di K (fig. 8). Ed è anche chiao che tale aumento della capacità di K è tanto più fote quanto più vicino a K viene potato K ', e che aumenta ancoa se K ' viene collegato a tea (nel qual caso la caica indotta di segno uguale a quella della caica posta su K viene dispesa a tea). K Fig.8 K ' ESERCIZI APPLICATIVI E DI CONTROLLO 1 La caica puntifome negativa q viene spostata lungo una linea di foza sempe nello stesso senso. È possibile che il diagamma di fig.9 ipoti in funzione del tempo l enegia potenziale elettostatica di q? U? U t? s Fig.9 Fig.10 2 La caica puntifome positiva q viene spostata lungo una linea di foza sempe nello stesso senso, con velocità pima cescente poi decescente: il diagamma a lato (fig.10) mosta come vaia la sua enegia potenziale elettostatica in funzione della distanza s pecosa. È possibile che la caica in questione si muova in un campo unifome? Quale saebbe la isposta se in ascisse ci fosse il tempo? 3 La caica puntifome q = 4 statc dista 25 mm dalla caica puntifome q ' = 12 statc e 40 mm dal punto R: si espima l enegia potenziale elettostatica di q ' ispetto a R nel campo podotto da q. 4 Si espima l enegia totale (cinetica + potenziale elettostatica) dell elettone di un atomo di idogeno in funzione del aggio di un ipotetica obita cicolae. 1 Si considei che il tasfeimento di una caica di pova da un punto posto a distanza infinita a qualsiasi alto punto posto a distanza infinita non implica lavoo, peché all infinito il campo podotto dalla caica del conduttoe è zeo.

2 Capitolo 3 Il potenziale elettostatico 45 5 Una caica elettica è posta all inteno di una gabbia metallica. È possibile vaiane l enegia potenziale dall esteno? 6 In un campo elettostatico unifome il valoe del potenziale ispetto a un dato ifeimento è uguale in tutti i punti (veo /falso). 7 Le due espessioni «potenziale in A ispetto a B» e «diffeenza di potenziale ta A e B» sono del tutto equivalenti (veo /falso). 8 È possibile che l intensità del campo elettostatico sia maggioe in A che in B, se il potenziale in A ispetto a B è negativo? 9 Il diagamma di fig.11 mosta come vaia, in funzione della distanza s pecosa, l enegia potenziale U di una caica q lungo una linea di foza del campo ceato da alte caiche. Si completi il diagamma s mostando l andamento del potenziale lungo la linea in questione, supponendo dappima che q sia positiva e poi che sia Fig.11 negativa. 10 Rispetto al ifeimento R l enegia potenziale elettostatica della caica puntifome q = C vale 3, J in A, 2, J in B. Deteminae il lavoo compiuto dalle foze del campo podotto dalle alte caiche quando la caica puntifome q ' = = 1, C si sposta da B ad A. 11 Nel punto A si tova un elettone, nel punto B quatto elettoni (oppue quatto potoni): stabilie se nel campo podotto da tali caiche esistono punti in cui è zeo il potenziale ispetto all infinito. 12 Stabilie che il punto R è il ifeimento del potenziale significa anche assumee che in R il potenziale è zeo (veo /falso). 13 Se R è il ifeimento del potenziale, in quanti punti del campo si annulla il potenziale? 14 Campo elettico podotto da una caica puntifome q. Come vaieebbe il gafico che dà il potenziale in funzione della distanza da q nel caso il ifeimento venisse posto non all infinito, ma a distanza 0 da q? 15 Una paticella su cui si tovano 4 elettoni in eccesso possiede, ispetto al ifeimento A, enegia potenziale elettostatica 48 ev in B, 12 ev in C. Deteminae il potenziale in C ispetto a B. 16 In un campo unifome, supefici equipotenziali distanti 20 cm hanno potenziali che diffeiscono di 100 V. Quale foza eseciteebbe il campo su una caica q = = 3, C? 17 In un campo elettico unifome di intensità 5 V/m, si detemini la diffeenza di potenziale ta il punto A e il punto B, sapendo che la distanza di B da A è 3 m. (a) infinite soluzioni, (b) una e una sola soluzione, (c) due soluzioni, di uguale valoe assoluto e segno opposto. 18 Rispetto a R', il potenziale è 160 V in A e 35 V in B. Rispetto a R", il potenziale in A è 160 V. E in B?

3 46 19 È possibile, opeando all inteno di un involuco metallico, modificae il potenziale nei punti esteni? 20 Si studi l andamento del potenziale ispetto all infinito nel campo podotto da una caica elettica positiva distibuita in modo unifome su una supeficie sfeica di aggio R. 21 Si studi l andamento del potenziale ispetto all infinito nel campo podotto da una caica elettica positiva (negativa) distibuita con unifomità ento un volume sfeico di aggio R. 22 Una caica puntifome q positiva viene posta nel cento di un guscio metallico delimitato da due supefici sfeiche concentiche, di aggio R e quella estena ed R i quella intena. Si studi l andamento del potenziale ispetto all infinito in tutto lo spazio. 23 Una sfea metallica avente caica q si tova all inteno (fig.12) di un guscio metallico sfeico concentico, pivo di caica. Si detemini la diffeenza di potenziale ta i due conduttoi. 24 Se una caica puntifome positiva viene intodotta in una cavità metallica, possiamo immaginae che in cete situazioni paticolai vengano indotte sulle paeti della cavità anche caiche Fig.12 positive? 25 Il concetto di «capacità» può essee ifeito solo a mateiali conduttoi (veo/falso). 26 Il potenziale di un conduttoe ispetto all infinito vaia di 10 V in seguito all avvicinamento di una caica negativa. Deteminane il valoe iniziale, sapendo che quello finale è 32 V (oppue, 2 V). 27 (a) È possibile che, pe effetto dell avvicinamento di una caica negativa, il potenziale ispetto all infinito sulla supeficie di un conduttoe, inizialmente positivo, diventi negativo? (b) È possibile che ciò si veifichi pe effetto dell avvicinamento di un conduttoe scaico? 28 Un conduttoe scaico A viene potato in possimità di un conduttoe caico B, inizialmente isolato nel vuoto: conseguentemente, il potenziale ispetto all infinito di B vaia di 3 V, assumendo il valoe di 9 V. Deteminane il valoe iniziale. 29 Un guscio metallico sfeico, al cento del quale si tova una caica puntifome positiva q, è a sua volta contenuto ento un guscio metallico sfeico concentico. Si spieghi che cosa cambieebbe se si mettesseo a contatto i due involuci mediante un filo metallico. 30 Un cilindo metallico (fig.13) indefinitamente alto, unifomemente caico di eletticità positiva in agione di coulomb a meto di altezza, è cicondato da un guscio metallico cilindico coassiale di spessoe costante. Si detemini la diffeenza di potenziale ta i due oggetti. Fig.13

4 Capitolo 3 Il potenziale elettostatico 47 SOLUZIONI 1 No, la pendenza del gafico deve isultae o sempe positiva o sempe negativa, a seconda che la caica si muova nel senso della linea (lavoo esistente delle foze elettostatiche, aumento dell enegia potenziale) o in senso contaio. 2 La figua indica che l enegia potenziale di q continua ad aumentae: evidentemente q (positiva) si sposta in senso contaio al senso della linea di foza. Se s subisce l incemento infinitesimo ds, la foza elettostatica compie il lavoo negativo dl = = F ds e l enegia potenziale subisce l incemento positivo du = F ds. Il valoe F della foza è quindi du/ds, coisponde cioè alla pendenza del gafico. La foza su q aumenta dappima fino a un massimo, poi va man mano diminuendo: non può tattasi di un campo unifome. Se invece in ascisse si tovasse non la distanza s ma il tempo t il campo potebbe essee unifome: l enegia potenziale della caica cesceebbe in tal caso nel tempo con apidità popozionale alla velocità della caica: du ds du /dt = = Fv (con F costante pe l unifomità del campo). ds dt 3 È il lavoo compiuto dalla foza che q esecita su q' se q' si sposta in R, se cioè la distanza di q' da q aumenta da 25 mm a 40 mm. Con le unità del Sistema CGS elettostatico, U = 4 12 eg = 7,2 eg ,5 4 4 L enegia cinetica è EC = mv 2 /2. Coincidendo la foza centipeta mv 2 / con la foza elettostatica q 2 e /(4 0 2 ), si icava EC = mv 2 /2 = q 2 e /8 0. L enegia potenziale ispetto all infinito è invece U = q 2 e /4 0. L enegia totale (con ifeimento dell enegia potenziale all infinito) è quindi E tot = q 2 e /8 0 (uguale all enegia cinetica pesa col segno meno: si ilevi l analogia con l enegia totale di un satellite su obita cicolae). 5 Rispetto a un ifeimento esteno sì, ispetto a un ifeimento inteno no. Opeando all esteno è infatti possibile modificae solo il campo esteno (e il lavoo che esso compie se attavesato da una caica). 6 Falso: in qualsiasi campo elettostatico il potenziale diminuisce lungo le linee di foza. In un campo unifome è uguale in ogni punto la apidità dv/dl (= E) con cui il potenziale diminuisce lungo le linee del campo. 7 Veo. Tanto il potenziale in A ispetto a B che la diffeenza di potenziale ta A e B appesentano il lavoo delle foze del campo pe unità di caica da A a B. 8 Sì. Ad esempio, nel campo di una caica puntifome negativa q l intensità del campo aumenta e il potenziale diminuisce man mano che ci si avvicina a q. Non c è alcuna elazione dietta ta intensità del campo e valoe del potenziale: l intensità del campo è legata non al potenziale, ma alla apidità con cui il potenziale vaia nella diezione del campo.

5 48 9 La [B] di pag. 47 mosta che potenziale ed enegia potenziale sono diettamente popozionali, con lo stesso segno se la caica è positiva, con segno opposto se la caica è negativa. Nel caso qui consideato l andamento del potenziale è mostato in fig.14 ispettivamente dalla linea a e dalla linea b. Contollo: il fatto che l enegia potenziale di q diminuisce al cescee di s indica che la foza del campo su q compie un lavoo positivo: dunque q si muove nel senso della linea (e cioè veso potenziali minoi, vedi linea a) se è positiva, nel senso opposto (e cioè veso potenziali maggioi, vedi linea b) se è negativa. 10 Il lavoo in questione saà il podotto di q' pe il potenziale in B ispetto ad A. Se q si sposta da B ad A il lavoo delle foze del campo è uguale pe qualsiasi tagitto: se, in paticolae, il tagitto è BRA, in base ai dati del poblema il lavoo saà (2, , ) J = 5, J. Dividendo pe q otteniamo il lavoo pe unità di caica da B ad A (cioè il potenziale in B ispetto ad A): V B ( A ) = 5,610 8 J/( C) = 14 V. Se dunque q ' si sposta da B ad A il lavoo delle foze del campo è L = q' V B ( A ) = 1, C 14 V = 2, J. 11 Nel campo elettico consideato il potenziale ispetto all infinito è espesso da 1 q A qb. Se in B ci sono quatto elettoni, sia q A che q B sono negative, e 4πε 0 A B il potenziale ispetto all infinito si annulla solo all infinito. Se invece in B ci sono quatto potoni, il potenziale si annulla su una supeficie equipotenziale i cui punti hanno da B una distanza quatto volte più gande della distanza da A. 12 Veo. Il potenziale in R ispetto a R è il lavoo pe unità di caica da R a R : ma su un pecoso chiuso qualsiasi il lavoo delle foze elettostatiche (consevative) è zeo. 13 Infiniti. Tutti i punti che possono essee aggiunti a patie da R spostandosi sempe e solo pependicolamente alle linee del campo (più eventualmente i punti di alte supefici equipotenziali a uguale valoe del potenziale [2] ). 14 L ipebole equilatea che dà il potenziale ispetto all infinito tasleebbe veso il basso (fig.15) quanto occoe peché il potenziale si annulli non all infinito ma a a b U, V Fig.14 s 2 È sempe possibile che il potenziale abbia lo stesso valoe su divese supefici equipotenziali. Ad esempio, nel campo podotto da due caiche puntifomi identiche ad ogni supeficie equipotenziale posta tutta da un lato del piano di simmetia del sistema ne coisponde un alta, speculae della pima ispetto al piano di simmetia, sulla quale il potenziale ha evidentemente lo stesso valoe.

6 Capitolo 3 Il potenziale elettostatico 49 distanza 0. In tutti i punti del campo il potenziale diminuisce in una stessa misua peché la diffeenza di potenziale ta due punti è un dato assoluto, non cambia al vaiae del ifeimento. Ovveo: il potenziale ispetto al nuovo ifeimento è uguale al vecchio potenziale (ifeimento all infinito) più il potenziale all infinito ispetto al nuovo ifeimento: questo temine coettivo è uguale pe tutti i punti del campo. 15 Se si assume come unità negativa di caica la caica e di un elettone (+e è il valoe della caica elementae positiva, quella del potone), la caica della paticella consideata è 4e. L enegia potenziale della paticella in C ispetto a B (lavoo delle foze del campo pe uno spostamento da C a B) è (1248) ev 36 ev. L enegia potenziale pe unità di caica è peciò 36 ev/(4e) = 9 V. Contollo: il valoe positivo tovato pe il potenziale in C ispetto a B è in accodo col fatto che il lavoo elativo al tasfeimento di una caica negativa da C a B è negativo (le foze elettostatiche tendono a spostae le caiche negative veso punti a potenziale supeioe). 16 L intensità del campo è la apidità di vaiazione del potenziale lungo le linee di campo: E = 100 V/(20 cm) = 5 V/cm = 500 V/m (500 N/C). La foza su q saebbe dietta pependicolamente alle supefici equipotenziali veso i potenziali più elevati, e avebbe modulo F = qe = 3, C 500 N/C = 1, N. 17 Infinite soluzioni. Non si conosce l angolo ta il vettoe AB e il vettoe E. Se fosse = 0, saebbe V A V B =15 V. Se = 90, V A V B = 0. Se = 180, V A V B = = 15 V. In geneale, V A V B = (15 V) cos. 18 Il potenziale in un punto dipende dal ifeimento pescelto, la diffeenza di potenziale ta due punti no, è un dato assoluto (appesenta infatti il lavoo delle foze del campo pe unità di caica da un punto all alto). Se, pe effetto del cambio di ifeimento, il potenziale in A diminuisce di 320 V, in B diminuisce di altettanto: da 35 V a 355 V. 19 Se il ifeimento dei potenziali è all esteno, sì, altimenti no: dall esteno è infatti possibile modificae solo il campo esteno. È chiao invece che, quale che sia la posizione del ifeimento, la diffeenza di potenziale ta due punti inteni dipende solo dal campo inteno, e può quindi essee modificata solo dall inteno. 20 All esteno il campo è identico (fig.16) a quello podotto dalla stessa caica posta nel cento della sfea: dunque, il lavoo delle foze del campo pe unità di caica fino all infinito è q/(4 0 ). Intenamente alla sfea non c è campo, quindi il potenziale è costante: V = q/(4 0 R). V V 0 Fig.15 Fig.16

7 50 21 Il campo inteno (fig.17) cesce lineamente con da zeo a q/(4 0 R 2 ). Pe la E = V = dv/dl (in questo caso dl = d [3] ), la E pendenza del gafico che fonisce V in funzione di è inizialmente zeo, poi è negativa con valoe assoluto che aumenta fino a q/(4 0 R 2 ) pe = R [4]. All esteno, il potenziale è identico a quello del campo podotto dalla stessa caica Fig.17 posta nel cento della sfea: V = q/(4 0 ). Se la caica fosse negativa, la linea del potenziale isulteebbe ibaltata veso il basso (valoi negativi). E 22 Sulla supeficie intena (fig.18) è distibuita unifomemente una caica indotta V uguale e contaia a q, sulla supeficie estena una caica indotta identica a q. All esteno è V = q/4 0. Sulla supeficie estena, il potenziale è V = q/4 0 R e. Ta le due supefici sfeiche, non c è campo e quindi il potenziale è lo stesso sulle due supefici e nello Fig.18 spazio ta di esse: V = q/4 0 R e. Si noti che sia nello spazio esteno che nella cavità il campo è identico a quello che toveemmo in assenza di guscio metallico: nello spazio vuoto inteno è quindi la stessa anche la diffeenza di potenziale ta due punti, mente il potenziale ispetto all infinito è infeioe, peché questa volta ta le due supefici sfeiche il campo è zeo (e quindi se una caica si sposta da un punto della cavità all infinito manca il lavoo delle foze del campo ta la supeficie intena e la supeficie estena). Sulla su- 3 Se la caica fosse negativa saebbe dl = d (uno spostamento nella diezione del campo implica infatti in tal caso una diminuzione della distanza ). 4 2 q Più pecisamente, pe < R il potenziale è V = 3 2. Il potenziale a distanza 8πε0R R ispetto all infinito è infatti uguale al potenziale V ' ispetto a un punto a distanza R più il potenziale V" di tale punto ispetto all infinito (V " = q/4 0 R). Il potenziale in un punto a distanza (< R ) ispetto a un punto a distanza R è il lavoo pe unità di caica ta i due punti: R R q q 2 2 peciò V ' E d d ( R ). La somma di V ' e di V" dà il 3 3 4πε0R 8πε0R 3q isultato sopa indicato. In paticolae, nel cento della sfea ( = 0) è V =. 8πε 0 R

8 Capitolo 3 Il potenziale elettostatico 51 peficie intena e in tutti i punti della cavità il potenziale è diminuito, a causa del guscio metallico, di (q/4 0 ) (1/R i 1/R e ). 23 Sia R 1 il aggio della sfea, sia R 2 il aggio della supeficie intena del guscio. Sia nello spazio vuoto ta sfea e guscio che all esteno del guscio l intensità del campo è E = q/4 0 2, esattamente come se il guscio non esistesse. Peciò il potenziale della sfea ispetto al guscio è. q 1 1 4πε0 R1 R2 24 No. Da tali caiche usciebbeo linee di foza che dovebbeo aestasi su caiche indotte negative: ciò implicheebbe una diffeenza di potenziale ta punti della supeficie intena, il che è da escludesi peché la supeficie di un conduttoe è, in caso di equilibio, sempe equipotenziale. 25 Veo. Il potenziale sulla supeficie dei copi non conduttoi non è univocamente definito. 26 L avvicinamento di una caica negativa ha abbassato il valoe del potenziale ispetto all infinito da 22 a 32 V (oppue, da 8 V a 2 V) [5]. 27 (a) Si, basta che la caica negativa abbia valoe abbastanza gande. (b) No, la pesenza delle caiche indotte (il cui valoe può tutt al più tendee a quello della caica induttice) non può aivae a tanto. Si considei al iguado la fig.8 a pag Il conduttoe B ea cetamente caico di segno meno (la vicinanza di un conduttoe scaico diminuisce il valoe assoluto del potenziale ispetto all infinito, ma non può cambiane il segno). Pe effetto della caica indotta positiva (più vicina a B di quella negativa) il potenziale in supeficie è diventato «meno negativo». Inizialmente ea quindi di 12 V. 29 Pima del contatto, entambi i gusci (fig.19) hanno (pe induzione completa, e pe la simmetia del sistema) una caica uguale a q unifomemente distibuita sulla supeficie intena e una caica uguale a q unifomemente distibuita sulla supeficie estena. In tutto lo spazio non occupato dal metallo, il campo è identico 5 Si noti che il poblema non saebbe deteminato qualoa non fosse specificato che il ifeimento del potenziale è all infinito. Se il ifeimento si tovasse ta il conduttoe e la caica negativa, il potenziale iniziale saebbe potuto essee 42 V (e ispettivamente 12 V): l avvicinamento di una caica negativa al conduttoe (evidentemente caico di segno meno in entambi i casi) avebbe indebolito il campo elettico ta il conduttoe e il ifeimento in modo da endee in valoe assoluto più piccolo il lavoo pe unità positiva di caica ta la supeficie del conduttoe e il ifeimento. q q q q Fig.19 q

9 52 a quello podotto dalla caica puntifome posta nel cento del sistema: in paticolae, linee di foza escono dalla supeficie estena del guscio più piccolo e si aestano sulla supeficie intena del guscio più gande. Dopo il contatto tali supefici devono tovasi allo stesso potenziale: non ci possono quindi essee più linee di foza nello spazio ta esse, il che ichiede che le due ispettive caiche elettiche si neutalizzino l una con l alta lasciando del tutto scaiche le due supefici (niente invece cambia pe quanto iguada la caica delle alte due supefici, e pe quanto iguada il campo elettico all inteno del guscio più piccolo e all esteno del guscio più gande). 30 Nell intecapedine ta i due cilindi le linee di campo hanno andamento adiale ispetto all asse geometico del sistema: il campo podotto dal cilindo inteno ha intensità E = /2 0, il campo podotto nell intecapedine dal cilindo esteno è nullo. Essendo in geneale E = dv/dl (dove dl è uno spostamento infinitesimo lungo una linea di foza nella diezione della linea), in questo caso saà E = dv/d.detti alloa R 1 ed R 2 > R 1 i aggi delle supefici cilindiche da cui l intecapedine è delimitata, isulteà R2 R2 d R2 [A] V 1 V 2 = E d ln. R R 2π 2π R1 La validità di tale elazione (come la validità della elazione E = /2 0 ) è ovviamente legata al fatto di pote consideae indefinitamente gande l altezza della distibuzione cilindica di caica ispetto alle distanze pese in consideazione. Non possiamo quindi concludee, sulla base della [A], che pe R 2 tendente a infinito anche la diffeenza di potenziale V 1 V 2 tende a infinito.