Domanda Risposta

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1 Esame di Geometria 18 Maggio 010 Cognome e Nome: Matricola: Corso di Laurea Regolamento della prova. La prova consiste in 7 Domande a risposta multipla chiusa (di cui una soltanto è corretta) e di Esercizi. Il candidato deve riportare nella tabella sottostante la risposta che ritiene essere corretta per ogni Domanda, mentre gli Esercizi vanno svolti negli appositi spazi. Valutazione e punteggio. Ogni Domanda vale punti, gli Esercizi valgono complessivamente 18 punti. Ai fini della valutazione delle Domande, verrà valutato esclusivamente quanto riportato nella tabella sottostante: in particlare, vengono attribuiti punti ad ogni risposta corretta, mentre per ogni risposta errata vengono sottratti /3 di punto; ogni risposta non riportata non verrà valutata. Domanda Risposta

2 Domanda 1. Siano dati i numeri complessi z 1 = + i, z = i e si definisca il prodotto z = z 1 z. Si consideri quindi l equazione w 3 = z. a. Il numero complesso w = e i7 6 π è soluzione dell equazione data b. Il numero complesso w = e i3 4 π è soluzione dell equazione data c. Il numero complesso w = e i5 6 π è soluzione dell equazione data d. Il numero complesso w = e i3 π è soluzione dell equazione data Domanda. Siano dati i vettori in R 3 v 1 (1, 0, ), v (1, 1, ), v 3 (a, 1, 3a) dove a R. a. I tre vettori sono linearmente indipendenti a b. I tre vettori sono linearmente dipendenti a c. Per a = i vettori dati formano una base di R 3 d. Per a = 0 i vettori dati formano una base di R 3 Domanda 3. Sia f : R R l applicazione definita da f ( v) = v + w essendo w (α, 0), α R. a. f è un applicazione lineare α b. f non è mai un applicazione lineare c. f è un applicazione lineare per α = 1 d. f non è un applicazione lineare per α = 1

3 Domanda 4. Sia f : R R l applicazione lineare definita da f(x, y) = (x + y, y), e sia A la matrice ad essa associata. a. v (1, 0) è un autovettore di A, e A 3 = A A A ha autovalori 1 e 8 b. v (1, 1) è un autovettore di A, e A = A A ha autovalori 1 e 4 c. v (0, 1) è un autovettore di A, e A = A A ha autovalori 1 e d. v (1, 1) è un autovettore di A, e A = A A ha autovalori 1 e Domanda 5. Nello spazio R 3, dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si considerino le rette { x y + z + 1 = 0 r 1 = x y + 3z + 5 = 0 r = { x + 5y z 3 = 0 x + y z 1 = 0 con λ, σ R. e sia P il punto avente coordinate P = (3, 3, 1). L equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette date risulta essere a. x + y + z 4 = 0 b. x + y + z 1 = 0 c. x + y + z + 4 = 0 d. x + y + 3z 4 = 0 Domanda 6. Si consideri in xoy la circonferenza γ di equazione γ : x + y 1y + 18 = 0 e le rette ad essa tangenti, passanti per l origine delle coordinate O = (0, 0). Si indichino con P 1, P i punti di tangenza e si consideri quindi il triangolo P 1 OP. Allora a. Tale triangolo ha perimetro 6 ( 1 + ) b. Tale triangolo ha perimetro 3 ( 1 + ) c. Tale triangolo ha area pari a 18 d. Tale triangolo ha area pari a 6 3

4 Domanda 7. Sia data in xoy l equazione σ : x + y x 8y + 7 = 0 a. σ rappresenta una circonferenza di raggio unitario b. σ rappresenta una circonferenza passante per P = (1, ) c. σ rappresenta un ellisse passante per P = (1, ) d. σ rappresenta un ellisse avente un semiasse di lunghezza unitaria 4

5 Esercizio 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che f( e 1 ) = 3 e 1 e f( e ) = e f( e 3 ) = 3 e e + 6 e 3 essendo ( e 1, e, e 3 ) la base canonica di R 3. Sia A la matrice associata a f. Determinare A (1 Punto) Calcolare gli autovalori di A ( Punti) Calcolare gli autovettori di A, dire se la matrice è diagonalizzabile e, in caso positivo, esplicitare la matrice di trasformazione (4 Punti) Determinare una base di ker (f I) (1.5 Punti) Determinare una base di Im (f I) (1.5 Punti) Svolgimento Esercizio 1. 5

6 Svolgimento Esercizio 1. 6

7 Svolgimento Esercizio 1. 7

8 Esercizio. Siano date in xoy le rette di equazioni e { x = + t r 1 = y = + t r = { x = + αs y = + βs essendo α, β R. Lungo r 1, sia A il punto corrispondente al valore del parametro affine t = 3 e B quello corrispondente al valore del parametro affine t = 3. Analogamente, lungo r sia C il punto corrispondente al valore s = 3 del parametro affine. Che relazione deve sussistere fra α, β affinché non esista alcuna circonferenza passante per i suddetti punti A, B, C? (1 Punto) Sia α = 1, β = 1. Determinare l equazione della circonferenza passante per A, B, C (4 Punti) Determinare il raggio di tale circonferenza, e le intersezioni (se esistono) con gli assi cartesiani ( Punti) Determinare le equazioni delle rette tangenti a tale circonferenza, passanti per l origine degli assi ( Punti) Svolgimento Esercizio. 8

9 Svolgimento Esercizio. 9

10 Svolgimento Esercizio. 10

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