Esercizi sul moto del proiettile

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1 Eercizi ul moto del proiettile Riolvi li eercizi ul quaderno utilizzando la oluzione olo per controllare il tuo riultato. 1 Un fucile è puntato orizzontalmente contro un beralio alla ditanza di 30 m. Il proiettile colpice il beralio 1.9 cm otto il centro. Determinare il tempo di volo del proiettile e la velocità alla bocca del fucile. Soluzione:: poiamo riferirci empre alla ura dell'eercizio precedente. La traiettoria è di tipo parabolico e quindi mirando orizzontalmente il proiettile cadrà vero il bao di 1.9 cm otto l'azione dell'accelerazione di ravità,. Anche qui la v y0 = 0. Quindi y y 0 = m = 4.9 m 2 t2 2 da cui, riolvendo ripetto a t e coniderando la oluzione poitiva m 4.9 m = per calcolare la velocità iniziale, oerviamo che ea è dovuta olamente alla componente orizzontale. Quindi il proiettile percorre 30 m in con un moto rettilineo uniforme. Pertanto 30 m = 482 m 2 Gli elettroni poono eere ottopoti a caduta libera. Se un elettrone è proiettato orizzontalmente alla velocità di m/, quanto cadrà percorrendo 1.0 m di ditanza orizzontale? 3 Soluzione:: il dieno riproduce chematicamente il inicato di caduta, cioè la componente verticale del moto decritta da un moto uniformemente accelerato. La componente orizzontale è invece decritta da un moto rettilineo uniforme, per cui 1 m m = in queto intervallo di tempo l'elettrone percorrerà un tratto verticale (caduta) di = 1 2 t2 = m 2 ( ) 2 = m Se la velocità orizzontale aumentae l'elettrone percorrerebbe 1 m in un tempo inferiore e quindi la ua caduta arebbe minore. In un tubo a vuoto un facio di elettroni è proiettato orizzontalmente alla velocità di cm/ nella zona comprea fra due piatti orizzontali quadrati di lato 2.0 cm, ai quali è applicato un campo elettrico che accelera li elettroni con una accelerazione cotante e diretta vero il bao di cm/ 2. Trovare (a) il tempo impieato dali elettroni per attraverare il campo, (b) lo potamento verticale del raio di elettroni nel paaio tra i due piatti (che non tocca) e (c) la velocità del raio all'ucita dal campo. Cao: (a): li elettroni devono percorrere un tratto orizzontale (componente) di 2.0 cm. Quindi 2.0 cm cm =

2 Cao: (b): lo potamento verticale, cioè la componente verticale del moto, rappreenta ancora la caduta del facio di elettroni otto l'azione dell'accelerazione prodotta dal campo (la caduta libera può coniderari tracurabile oervando l'ordine di randezza della accelerazione prodotta dal campo elettrico): = cm 2 ( ) 2 2 = 0.2 cm Cao: (c): la velocità è data dal contributo delle due componenti. La componente orizzontale, v x, rimane invariata, mentre la v y può eere calcolata attravero la relazione del moto accelerato uniformemente 4 il modulo della velocità arà 17 cm v 0 + a = cm v 2 x + v 2 y = ( m ) 2 ( m ) 2 = cm eprimendola vettorialmente arà ( i j ) cm Una palla rotola orizzontalmente fuori dal bordo di un tavolo alto 1.20 m e cade ul pavimento alla ditanza orizzontale di 1.50 m dal bordo del tavolo. Calcolare il tempo di volo della palla e la velocità all'itante in cui ha laciato il tavolo. Soluzione:: il moto di caduta vero il bao è un moto uniformemente accelerato con accelerazione = 9.81 m ; il dilivello è di 1.20 m. Calcoliamo il tempo di percorrenza, apendo che la componente verticale 2 iniziale della velocità è nulla, 2h = 2.40 m 9.81 m = Durante queto intervallo di tempo la palla è avanzata in direzione orizzontale di 1.50 m di moto rettilineo uniforme e quindi la velocità iniziale è la velocità cotante del moto 1.50 m 0.5 = 3.0 m Un proiettile viene parato orizzontalmente da un'arma pota a 45.0 m opra un terreno orizzontale. La ua velocità alla bocca dell'arma è 250 m/. Calcolare il tempo di volo, a che ditanza orizzontale raiunerà il terreno e il modulo della componente verticale della velocità quando colpice il terreno. Soluzione:: il tempo di volo i calcola tenendo conto del moto accelerato di caduta, con velocità iniziale 250 m/ e velocità nale nulla 2h = m 9.81 m = il calcolo della ditanza orizzontale i baa ul moto rettilineo uniforme della componente orizzontale del moto x = v 250 m 3.03 = 758 m la componente verticale della velocità è quella acquiita nella caduta libera 2h = m 9.81 m 2 = 29.7 m Una palla da baeball viene lanciata vero il battitore orizzontalmente a una velocità iniziale di 160 km/h. La ditanza a cui i trova il battitore è 18 m. Calcolare il tempo impieato a coprire i primi 9 m in orizzontale; I rimanenti 9 m; La caduta dovuta alla ravità nei primi 9 m in orizzontale e nei rimanenti 9 m.

3 Soluzione:: la velocità iniziale, traformata in m/, è v 0x = = 44.4 m, mentre la v 0y = 0 (eendo la palla lanciata orizzontalmente). Il moto orizzontale può eere coniderato rettilineo uniforme, da cui 7 9 m 44.4 m = 0.2 nei econdi 9 m il tempo rimarrà invariato, trattandoi appunto di moto rettilineo uniforme; la caduta è decrivibile mediante le lei del moto uniformemente accelerato; nei primi 9 m i avrà, con partenza da fermo h 1 = 1 2 t2 = m = 0.2 m nei metri rimanenti, crecendo la velocità v y = 9.81 m = 1.9 m/, i percorrerà una ditanza maiore h 2 = vt t2 = 1.9 m m = 0.6 m Un proiettile è lanciato con la velocità iniziale di 30 m/ con un alzo di 60 ripetto al piano orizzontale. Calcolare modulo e direzione della ua velocità dopo 2.0 e dopo 5.0 dal lancio. Soluzione:: calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale v 0x = v 0 co ϑ = 30 m co 60 = 15 m v oy = v 0 in ϑ = 30 m in 60 = 26 m dopo 2.0 la ua velocità orizzontale arà invariata, v x (2 ) = 15 m, mentre la componente verticale diverrà v y = v 0y 26 m 9.8 m 2 (2.0) = 6.4 m il modulo della velocità arà l'anolo arà vx 2 + vy 2 = (6.4) 2 = 16 m α = arctan = 23 opra il piano orizzontale; dopo 5.0, la velocità orizzontale è empre v x = 15 m, quella verticale 8 il modulo della velocità arà l'anolo arà otto il piano orizzontale. v y = v 0y 26 m 9.8 m 2 (5.0) = 23 m vx 2 + vy 2 = ( 23) 2 = 27.5 m α = arctan = 61 Una pietra viene catapultata con la velocità iniziale di 20 m/ a un anolo di 40.0 ripetto al piano orizzontale. Trovare i uoi potamenti proiettati in orizzontale e in verticale dopo 1.10, 1.80, 5.00 dopo il lancio. Soluzione:: calcoliamo le componenti della velocità iniziale luno le direzioni orizzontale e verticale v 0x = 20 m co 40.0 = 15.3 m v 0y = 20 m in 40.0 = 12.9 m la ditanza percora nella direzione può eere calcolata tramite le lei del moto rettilineo uniforme x 1 = v 0x 15.3 m 1.1 = 16.8 m x 2 = 15.3 m x 3 = 15.3 m 1.8 = 27.5 m 5.00 = 76.5 m

4 9 lo potamento verticale è determinato tramite la lee del moto uniformemente accelerato y 1 = v oy t 1 2 t2 = 12.9 m m = 8.3 m y 2 = 12.8 m m = 7.3 m y 3 = 12.8 m m = 58 m il teto non pecica la ditanza dal uolo dalla quale la pietra viene caliata. Se foe caliata da terra, il terzo riultato non arebbe icamente inicativo, in quanto la pietra avrebbe ià urtato il terreno in ricaduta. La pietra, in tale ipotei, urta il terreno dopo aver percoro R = v2 0 in 2ϑ 0 = 202 in = 40.2 m ciò indica che, in queto cao, anche lo potamento orizzontale x 3 non è plauibile, avendo la pietra ià urtato il terreno, denendo una ditanza orizzontale maima di 40.2 m; in tal cao dopo 5.00 lo potamento verticale è nullo. Una palla viene lanciata dall'alto di un colle con la velocità iniziale di 15 m/ a un anolo di 20.0 otto il piano orizzontale. Trovare il uo potamento proiettato ul piano orizzontale e ull'ae verticale 2.30 dopo il lancio. Soluzione:: calcoliamo le componenti della velocità iniziale luno le direzioni orizzontale e verticale: v 0x = 15 co 20.0 = 14.1 m v 0y = 15 in 20.0 = 5.1 m (il eno neativo di v oy dipende dal fatto che la palla viene lanciata otto il piano orizzontale) la palla ha uno potamento in orizzontale cotante nel tempo x = v 0x 14.1 m 2.30 = 32.4 m 10 lo potamento luno la direzione verticale è decrivibile con un moto uniformemente accelerato (caduta libera in aenza di attriti) y = 5.1 m m 2 (2.30)2 2 = 37.6 m Una palla viene lanciata direttamente contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/ a un anolo di 40.0 ripetto al uolo orizzontale, come indicato in ura. Il muro i trova a 22.0 m dal punto di lancio. (a) Per quanto tempo rimane in aria la palla prima di colpire la parete? (b) Quanto più in alto del punto di lancio colpice la parete? (c) Quali ono le componenti orizzontale e verticale della ua velocità all'itante in cui colpice la parete? (d) In queto itante ha ià uperato il vertice della traiettoria? Cao: (a): il tempo di volo prima di colpire il muro è quello durante il quale la palla percorre i 22.0 m che la eparano dal muro teo. Calcoliamo prima le componenti della velocità v 0x = 25.0 m co 40.0 = 19.2 m v 0y = 25.0 m in 40.0 = 16.1 m É poibile calcolare il tempo attravero la componente orizzontale, che appunto indica lo potamento vero il muro = 22.0 m v ox 19.2 m = 1.15

5 11 Cao: (b): Il punto in cui colpice la parete al di opra del punto di lancio, dipende dalla variazione della componente verticale della velocità, nel tempo di 1.15 y = v oy t 1 2 t2 = 16.1 m m = 12.0 m Cao: (c): calcoliamo la velocità nell'itante in cui la palla colpice la parete. La componente orizzontale non ubice alcuna variazione, in condizioni ideali, e pertanto arà v x = v 0x = 19.2 m la componente verticale varia invece econdo le lei della caduta di un rave v 2 y = v 2 0y 2y da cui ( v y = 16.1 m ) 2 m m = 4.9 m Cao: (d): il moto compleivo è decrivibile attravero una parabola. Il punto più in alto coincide eometricamente con il vertice di tale parabola. Dalla equazione del moto y = x tan ϑ 0 x2 con ϑ 2v0x 2 0 anolo iniziale ripetto alla direzione orizzontale, i ricava l'acia del vertice, cioè lo potamento in orizzontale che confronteremo con la ditanza tra palla e muro. L'acia del vertice V x = b ( ) 2a = v2 0 in 2ϑ 0 25 m 2 in 80.0 = m = 31.4 m 2 eendo la ditanza tra palla e parete di 22 m, dopo 1.15 la palla è ancora in fae di alita. La ripota i può dare anche confrontando i tempi, in quanto il punto di maimo corriponde a quello in cui la velocità i annulla (in fae di alita la velocità ha eno poitivo, che i inverte quando la palla inizia a cendere per il prevalere della ravità. Tra quete due fai la velocità i annullerà appunto nel vertice della traiettoria parabolica). Quindi da dovendo eere v y = 0, i ha v 0y v y = v 0y t = 16.1 m 9.8 m 2 = 1.64 anche in queto cao, il tempo è uperiore al tempo neceario a colpire il muro di 1.15, e ciò indica ancora come la palla ia in fae di alita. Dimotrare che, per un proiettile parato da un terreno piano a un anolo ϑ 0 ripetto all'orizzontale, il rapporto fra la maima altezza H e la ittata R è dato dall'epreione H/R = 1 4 tan ϑ 0. Per quale anolo i ha H = R? Soluzione:: La relazione che eprime il punto di maima altezza, cioè il punto in cui v y = v 0 in ϑ 0 = 0, è H = v2 0 in 2 ϑ 0 2 mentre la ittata, ditanza tra punto di partenza e di ricaduta, cioè nel modello eometrico la ditanza tra le interezioni della parabola con l'ae orizzontale, è eprea da il loro rapporto arà pertanto R = v2 0 in 2ϑ 0 = 2v2 0 in ϑ 0 co ϑ 0 H R = v 2 0 in2 ϑ 0 2 2v0 2 in ϑ0 co ϑ0 = v2 0 in 2 ϑ 0 2 2v 2 0 in ϑ 0 co ϑ 0 = 1 4 tan ϑ 0

6 12 Se H = R, allora il rapporto H R = 1, cioè 1 4 tan ϑ 0 = 1. Riolvendo la equazione oniometrica elementare, i ha ϑ 0 = arctan 4 = 76 Una pietra viene proiettata vero un terrapieno di altezza h con la velocità iniziale di 42.0 m/ a un anolo di 60.0 ripetto al uolo orizzontale (vedi ura). La pietra cade in A, 5.50 dopo il lancio. Trovare l'altezza h del terrapieno; la velocità della pietra ubito prima dell'urto col terreno e la maima altezza H opra il uolo raiunto dalla pietra. Soluzione:: utilizziamo la lee che decrive il moto parabolico della pietra. pietra percorre in orizzontale la ditanza x = v 0 co ϑ m co = m Nel tempo 5.50, la e in verticale y = v 0 in ϑ 0 t 1 2 t2 = 42.0 m in m ( m ) 2 = 51.8 m Prima dell'urto con il terrapieno la velocità i otterrà ommando vettorialmente la velocità orizzontale, cotante, con quella diretta verticalmente v x = v 0 co ϑ 0 = 42.0 m co 60.0 = 21 m 13 la velocità arà quindi v y = v 0 in ϑ m in m = 17.5 m la maima altezza raiunta è eprea da H = v2 0 in 2 ϑ ( 17.5) 2 = 27.3 m = ( ) 42.0 m 2 in m = 67.5 m 2 La velocità di lancio di un proiettile è cinque volte maiore della velocità che eo raiune alla maima altezza. Calcolare l'anolo di elevazione del lancio. Soluzione:: la velocità di lancio non è altro che la velocità iniziale v 0. altezza, la componente verticale v y = 0. Pertanto v y = v 0 in θ 0 0 Inoltre, nel punto di maima cioè, la velocità nel punto di maima altezza è eprea dalla ola componente orizzontale v x = v 0x = v 0 co θ 0 e queta arà un quinto della velocità iniziale; quindi v 0 = v0x 2 + v2 0y = 5v 0x elevando al quadrato e ommando i termini imili, i ottiene 24v 2 0x = v 2 oy ma il rapporto v0y v 0x = tan θ 0, per cui ( ) θ 0 = arctan 24 = 78.5

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