La popolazione di gatti urbani sul territorio del Comune di Firenze

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1 Relazione di Teoria dei Sitemi La popolazione di gatti urbani ul territorio del Comune di Firenze Modelli per lo tudio ed il controllo Docente: Aleandro Caavola Studenti: Leonardo Profeti, Manfredi Toraldo, Guido Vannini 3

2 Indice Introduzione 3 Modello bae... 6 Modello per popolazioni terilizzate.. 1 Applicazioni.. 3 Allegati Matlab Bibliografia. 38 4

3 1 INTRODUZIONE 1.1 IL GATTO I gatti, animali dalle origini olitarie, tendono ul territorio urbano ad aggregari in colonie, pecialmente in quelle aree dove è più facile trovare cibo e rifugi. La celta del luogo dove ripoare non è occaionale, ma dettata dall eigenza di alvaguardari da eventuali aggreioni. Le colonie ono divere l una dall altra in funzione dell adattamento del gruppo allo pecifico habitat, e in generale la denità dei gruppi dipende dalla quantità di alimenti mei a dipoizione dall uomo, nonotante che il gatto, anche nel uo adattamento dometico, mantenga innata la ua indole di cacciatore. Nel gatto, la femmina raggiunge la maturità euale fra i 7 e i 1 mei di vita, e il machio tra i 1 e i 14. Quando v è gravidanza, la durata dell intero ciclo dall etro alla nacita dei piccoli all allattamento e alla ucceiva compara del nuovo etro è di circa ettimane. Il periodo di getazione dura fra i 58 e i 7 giorni e ogni figliata può eere compota da 1 a 1 gattini. Il tao di natalità quindi riulta deciamente elevato, coì come il tao di mortalità nel primo anno di vita. Una volta uperata queta fae di vulnerabilità il tao di mortalità ha una bruca diminuzione eendo il gatto adulto un animale abbatanza reitente. Senza cibo infatti il gatto opravvive molto più a lungo dell uomo, potendo perdere anche il 4% del peo enza morire (invece una perdita del 1-14% dell acqua totale dell organimo è di olito fatale. Per limitare il tao di crecita il metodo di contraccezione più facile ed economico è, ovviamente, la catrazione del machio 5

4 o la terilizzazione della femmina. E neceario però che tali operazioni non vengano fatte quando l età dell animale è inferiore ai tre mei o quando la gatta è in etr ormoni euali nel angue aumenterebbe il richio di emorragia. 1. SCOPI DEL SERVIZIO DI TUTELA DELLE COLONIE FELINE Il Comune di Firenze ha itituito un ervizio di tutela delle colonie feline per il controllo dell epanione delle colonie e delle carenti condizioni igienico anitarie in cui ee vivono. I compiti di tale ervizio (operante dal dicembre 1999 ono: 1- cenimento emetrale di tutte le colonie feline eitenti ul territorio comunale, - rendere poibile una più civile itemazione dell habitat di ogni colonia, 3- nominare un reponabile della colonia felina, 4- organizzare la terilizzazione gratuita dei gatti (in collaborazione con l A.S.L della colonia (machi e femmine, 5- far ripettare il Regolamento comunale per la tutela 6- rendere poibile il ricoro gratuito al medico veterinario. I motivi per cui è neceario un monitoraggio attento e cotante delle colonie feline ul territorio urbano, oltre che dall amore nei confronti di queti impatici animali, ha ragioni nella tutela della popolazione umana. La preenza di animali malati in zone abitate rappreenta un grave richio di tramiione di malattie (come ad eempio la toxoplamoi dai gatti alle perone, oltre che di paraiti. Inoltre la preenza di un numero molto elevato di animali randagi potrebbe entrare in conflitto con le perone che abitano la zona. 6

5 Lo tudio volto in queta relazione i è concentrato ulla realizzazione del quarto punto del programma comunale, cioè la parte inerente la terilizzazione dei gatti. La terilizzazione i prefigge lo copo di limitare a valori ritenuti getibili il numero di gatti preenti in una data area e di diminuire i fatidi (l odore acre dei machi, il miagolio notturno durante i periodi di etro delle femmine arrecati ai cittadini. Ovviamente la relazione i è limitata ad eaminare la fattibilità del primo copo. Per fare queto abbiamo confrontato lo viluppo naturale della popolazione di alcune colonie ritenute ignificative e le modifiche che l evoluzione temporale della colonia ubice (o potrebbe ubire in eguito agli interventi di terilizzazione. I modelli utilizzati per tali tudi ono realizzati ull oervazione dei dati diponibili. I dati, fornitici dall A.M.A. (Amici Mondo Animale Unione Amici del Cane e del Gatto, hanno cadenza annuale e i rifericono agli anni fra il 1996 e il 1. Tali dati, oprattutto quelli precedenti il 1999 anno di itituzione del ervizio, ono in certi cai imprecii e frammentari, ia per la difficoltà di tenere otto controllo le colonie più numeroe, ia per lo caro zelo di alcuni gattai. In queto tudio ono tati prei in coniderazione olo i dati più affidabili, ecludendo anche quelli provenienti da colonie ove i ono verificati fenomeni che influicono ull evoluzione pontanea della popolazione (avvelenamenti, preenza di cantieri, malattie infettive quali FELV e FIV. Queta celta ha ridotto draticamente il numero dei dati a dipoizione, ma ci è para comunque garanzia di maggiore affidabilità dei riultati finali. 7

6 Modello per popolazioni non terilizzate La lunghezza del tempo di campionamento (un anno che caratterizza i dati in notro poeo è molto uperiore al tempo di getazione dei gatti (un ciclo dura circa ettimane rendendo quindi non utilizzabili un modello di popolazione tempo dicreto con getazione. Anche quando andrà a regime l organizzazione del cenimento emetrale il tempo di campionamento rimarrà uperiore al periodo di getazione rendendo non utilizzabile il modello tempo dicreto. Anche il modello di Lelie non è utilizzabile in quanto l unica differenziazione per clai d età preente nei dati ditingue oltanto tra individui con più o meno di ei mei. Inoltre l evoluzione della popolazione che i ricava dai dati non è ben rappreentabile da un itema lineare. Il modello che meglio approima l andamento che i ricava dai dati che i rifericono all evoluzione pontanea della colonia propoto da Vherlut e Pearl che corregge quello di Malthu in preenza di riore finite. Si ha coì l equazione logitica: x& ( t x ( t rx x ( t rx ( t k r k > > 8

7 dove r è il tao di crecita della popolazione e k la capacità portante, ovvero quel valore che la popolazione tea non può uperare per ragioni fiiologiche quali la mancanza di riore o di pazi vivibili. Il tao di crecita r f (n, m, i, e è funzione dei tai: n natalità, m mortalità, i immigrazione, e emigrazione. In queta parte della trattazione vengono uppoti tracurabili i tai di immigrazione ed emigrazione, quando ci occuperemo delle popolazioni terilizzate occorrerà rimuovere queta ipotei. x( t k Definendo il tao di crecita: r ( t r(1, eo decrece linearmente all aumentare della popolazione. Integrando tale equazione differenziale (dove la condizione al contorno è il valore della popolazione al tempo iniziale i ottiene la eguente oluzione: x ( t 1 + x ( t x k x k x e r t Per determinare i valori di k ed r abbiamo fatto riferimento ai valori reali di popolazione in notro poeo (dati annuali dal 1996 al 1 per due colonie particolarmente ignificative. Si tratta infatti di due colonie, u cui non è tata fatta alcuna terilizzazione, monitorate con una certa preciione e u cui non ono tate egnalati motivi che poano invalidare i dati (apertura di cantieri o preenza di malattie. Con tali dati è poibile 9

8 effettuare una tima ai minimi quadrati, minimizzare cioè la norma del vettore errore dato dalla differenza tra i dati reali e quelli ottenuti con l equazione logitica (Programma Matlab allegato. I valori di k ed r che minimizzano la norma del vettore (i (dati(i-x(i per i,,5,ono quelli da inerire nell equazione logitica. min r, k 5 d k k x 1+ x i i r i e. Colonia di San Salvi ANNO GATTI Dopo aver effettuato i calcoli (vedi allegato Matlab abbiamo trovato i eguenti riultati: r 1.69 k

9 L equazione logitica aume quindi la forma: x t x( 1 ( t t e ( e Nella figura 1 i può confrontare l andamento di tale funzione con i dati reali (vedi allegato Matlab. 1 andamento della popolazione numero di gatti anni 11

10 Figura 1.3 Colonia di Villa Ognianti ANNO GATTI I riultati ono i eguenti: r k L equazione logitica i crive dunque come: x t 1 + x( ( t t e ( 9.37 e Il confronto tra tale andamento e i dati reali è ben viibile in figura : 1

11 1 andamento della popolazione numero di gatti anni.4 Coniderazioni Poiamo dunque aumere per il tao di crecita di una colonia in condizioni tandard un valore di poco uperiore ad 1. La capacità portante dipende invece ecluivamente dalle caratteritiche pecifiche della colonia. Va però coniderato il fatto che lo tudio è tato effettuato per colonie abbatanza popoloe (k indicativamente uperiore a 3, per colonie particolarmente piccole il tao può riultare inferiore. Eendo comunque la pratica della terilizzazione indicata oprattutto per colonie del primo tipo, in eguito conidereremo empre valida l aunzione iniziale. 13

12 14 3 Modello per popolazioni terilizzate L introduzione della terilizzazione comporta ovviamente una modifica dell equazione logitica, nella quale riulta neceario inerire un fattore correttivo che tenga conto dell effetto di tale terilizzazione. La nuova equazione è la eguente: ( ( ~ ~ ( ~ ( x t x t x k r t x r x& t integrando la quale i ottiene: + ~ ( ~ 1 ~ ( x t x x x k k t x e t r r ~ e k ~ ono ripettivamente il nuovo tao di crecita e la nuova capacità portante.

13 Per poter intervenire u ambedue i introducono due fattori α 1 e α dipendenti da, tao di terilizzazione della colonia (definito come rapporto tra numero di gatti terilizzati e numero di gatti totale. Il notro tudio è effettuato per valori di cotanti nel tempo. Allo tato attuale delle coe il Comune non riece a mantenere cotante il tao di terilizzazione in tutte le colonie, abbiamo quindi coniderato i dati provenienti da colonie nelle quali eo i è mantenuto in buona approimazione cotante. Definiamo: r~ r ~ ~ k r α 1 r α k ( ( Come nel cao precedente, effettuiamo una tima ai minimi quadrati ulla bae dei dati reali per ricavare i valori di r ~ e k ~. In un econdo momento ulla bae di tali riultati arà poibile α 1 e α. 15

14 3.1 Colonia di Via Dell Oteria ANNO GATTI STERILIZZATI Si oerva che il tao di terilizzazione i è mantenuto approimativamente pari a.6. Sulla bae di queti dati troviamo r~.594 k ~ L equazione logitica aume queta forma: x( t. t t e (. e L andamento, confrontato con i dati reali, è il eguente (figura 3: 16

15 andamento della popolazione numero di gatti anni 3. Colonia Stazione Leopolda ANNO GATTI STERILIZZATI

16 In queta colonia la terilizzazione è iniziata nel 1997 e i è mantenuta u di un valore di approimativamente pari a.71. La notra analii non terrà quindi conto del dato del Si trova che: r~.461 k ~ x( t..461 t e (. e t L andamento è il eguente (figura 4: 45 andamento della popolazione numero di gatti anni 18

17 3.3 Colonia di Via Circondaria ANNO GATTI STERILIZZATI Il tao di terilizzazione i atteta tavolta intorno al valore di.87 Si trova che: r~.543 k ~ x ( t..461 t e (. e t L andamento è rappreentato in figura 5: 19

18 andamento della popolazione numero di gatti anni 3.4 Stime di α 1 e α Avevamo definito: r ~ r~ ~ k r α 1 r α k ( ( I valori di r ~ e k ~ li abbiamo ricavati per ciacuna colonia coniderata. Come tao di crecita r aumiamo il valor medio r dei tai di crecita ricavati per le colonie non terilizzate (la cui varianza non è molto elevata. La capacità portante k di ciacuna colonia terilizzata è valutata ulla bae delle caratteritiche della

19 colonia tea, dopo un confronto con quelle di colonie non terilizzate. Poiamo dunque ricavare i valori di α 1 e α per ciacuna colonia. Via Dell Oteria: ~ r.594 ~ k r 1.11 k 7 Otteniamo: α α Tao di terilizzazione.6 Stazione Leopolda: ~ r.461 ~ k r 1.11 k 45 Otteniamo: 1

20 α α Tao di terilizzazione.71 Via Circondaria: ~ r.543 ~ k r 1.11 k 15 Otteniamo: α α Tao di terilizzazione.87 Avendo coniderato dati relativi a 3 colonie abbiamo ritenuto opportuno modellare α 1 e α con un polinomio di econdo grado in : α ( a + b

21 Avendo a dipoizione i valori di α,α 1 per le varie colonie (in relazione al tao di terilizzazione è poibile timare ai minimi quadrati i parametri a e b per α 1 e α. min a, b 3 i 1 ( α( i ( a + b Svolgendo i calcoli, i ottiene: i i α α Gli andamenti ono i eguenti (fig. 6 e 7: alfa tao di terilizzazione 3

22 x alfa tao di terilizzazione 3.5 Coniderazioni Poiamo dunque concludere che, per quanto non ia facile tenerla otto monitoraggio cotante, la politica di terilizzazione adottata dal Comune in queti anni è riultata, almeno in parte, un ottima forma di controllo ulla crecita delle popolazioni. Sulla bae dei modelli elaborati i poono allora tabilire i tai di terilizzazione ottimali per far ì che in date colonie la popolazione non uperi mai determinati valori (che, anche e inferiori alla capacità portante, darebbero problemi di igiene, diturbo ai cittadini, ecc.. 4

23 4 Applicazioni dei modelli Sulla bae dei modelli introdotti cerchiamo ora di tabilire come una variazione del tao di terilizzazione poa influire ui valori di k ed r (e quindi ulla popolazione e quale ia il valore di da fiare per mantenere il numero di gatti al di otto di un certo valore e per porre rimedio ad eventi (quali epidemie e apertura di cantieri che aumentano enibilmente il tao di mortalità. 4.1 Traferimento della popolazione Svolgiamo il notro tudio ulla colonia di S. Salvi, la più popoloa tra le non terilizzate. Oerviamo la variazione del tao di crecita in funzione del tao di terilizzazione. ~ r ( r α ( [,1] 5

24 tao di crecita tao di terilizzazione Fig. 8 L introduzione della terilizzazione induce una variazione anche nella capacità portante. k ~ ( r + [,1] k ~ r k α ( ( (

25 8 7 6 capacità portante tao di terilizzazione Fig. 9 Oerviamo che il valore della nuova capacità portante ha come etremi il valore originario ( e il valore corripondente alla terilizzazione di tutti i gatti ( E neceario oervare che in preenza di una terilizzazione completa arebbe logico apettari una etinzione nel tempo della colonia ( k. Ciò non avviene per l immigrazione di gatti provenienti da colonie limitrofe; quindi è neceario rimuovere l ipotei di i fatta inizialmente. Ipotizziamo di voler tabilizzare il valore della popolazione a 3 gatti, enza porre un tempo minimo per il raggiungimento di 7

26 tale obiettivo. Poiché per t i ha che x(t k ~ cerchiamo il valore di tale che la capacità portante ad eo aociata ia proprio 3. Si ha coì l equazione: ( ( riolvendo la quale i trova la oluzione.754 (ovviamente è tata cartata la oluzione negativa a cui corriponde un tao di crecita pari a.58. L andamento della popolazione della colonia con tali dati (ipotizzando un valore iniziale di 8 gatti è rappreentato in figura 1: 11 andamento della popolazione numero di gatti anni

27 Ipotizziamo ora di voler raggiungere lo teo riultato in un tempo finito. Eplicitando la oluzione dell equazione logitica ripetto al tempo (dopo aver poto x 3 i ha: t ( 1 ln r x [.754,1] ~ k ~ 3 k 8 8 Si oervi che il tao di terilizzazione non può eere inferiore a.754, altrimenti avremmo il logaritmo di un numero negativo; non è infatti poibile portare la colonia a 3 gatti con tai di terilizzazione minori. Bata imporre t 3 anni per trovare Per tale valore di il numero di gatti non i tabilizza aintoticamente a 3 ma ad un valore più bao (4.11. Dunque e vogliamo che la popolazione i mantenga ui 3 gatti, dopo 3 anni è neceario portare a Eventi che aumentano la mortalità Introduciamo nella colonia di Villa Ognianti un tao di terilizzazione pari al 6 % andando a ricavare l andamento temporale della popolazione (figura 11. 9

28 .6 ~ r (.4435 ~ k ( x 6 9 andamento della popolazione numero di gatti anni Fig. 11 3

29 Ipotizziamo l apertura di un cantiere: tale evento andrà ad influire ul tao di crecita aumentando il tao di mortalità m ed il tao di emigrazione e (e di coneguenza ulla capacità portante, inducendone una riduzione. Aumiamo che per tempi ~ lunghi r ( t ~ converga aintoticamente ad un valore r ( t h, dove h dipende dalle caratteritiche del cantiere. Le equazioni che abbiamo celto per modellare l andamento di ~ r e k ~ nel tempo, in maniera tale che il tao di crecita decreca abbatanza velocemente al valore aintotico, ono le eguenti: ~ r ( t ~ k ( t ~ r ( r h t t + 1 k ~ r ( t α ( k Si aume h pari a.15. Gli andamenti di r ~ e k ~ ono eprei in figura 1 e 13: 31

30 tao di crecita tempo capacità portante tempo 3

31 Tentativi di neutralizzazione Il notro obiettivo è ora quello di trovare una variazione nel tempo del tao di terilizzazione che neutralizzi la preenza del tenere r ~ al valore originario. Si impone quindi: ~ ( 1 ( ~ ( r t t h t r + + Riportando tale equazione in forma canonica i ha: ~ ( ( r r t t h Che può eere riolta in forma chiua ponendo: a t c a b b t r r t t h t c b a ± ( 4 ( ( ~ ( Dove deve valere la condizione:

32 1 Perché la condizione ia ripettata è neceario prendere in coniderazione ecluivamente l epreione col egno -. Imponendo h. 15 e. 6 i trova il eguente andamento (figura 14: Da tale grafico i ricava la correzione da apportare anno per anno al tao di crecita per fare in modo che l andamento della popolazione rimanga lo teo ricavato all inizio ( prima di ipotizzare l apertura del cantiere. 34

33 La capacità portante però non arà la tea di prima in quanto ea dipende, oltre che dal tao di crecita, dal tao di terilizzazione. Si può però vedere in figura 15 che queta variazione è di piccola entità capacità portante tempo L andamento finale della popolazione è dunque molto imile a quello iniziale, come i vede della figura 16, e queto conferma l efficacia dell intervento. 35

34 65 andamento della popolazione 6 55 numero di gatti tempo 36

35 Allegati Matlab Programma popolazione.m %programma per ricavare l'andamento della %popolazione di una colonia in bae %all'equazione %logitica e confrontarlo con i dati reali g(1input('inerici la popolazione 1996'; g(input('inerici la popolazione 1997'; g(3input('inerici la popolazione 1998'; g(4input('inerici la popolazione 1999'; g(5input('inerici la popolazione '; g(6input('inerici la popolazione 1'; rinput('inerici il tao di crecita della colonia'; kinput('inerici la capacità portante della colonia'; p:5; t:.1:6; fk./(1+((k-g(1/g(1*exp(-r*t; plot(t,f,'r',p,g,'k+' if k<g(1 kg(1 end axi([,6,,k+3] title('andamento della popolazione' xlabel('anni' ylabel('numero di gatti' 37

36 Programma minimizzazione.m %programma per minimizzare ai minimi %quadrati la capacità portante e %il tao di crecita %nella formula della popolazione ulla bae %dei dati reali nimput('inerici il numero di dati reali a dipoizione'; g(1imput('inerici dato iniziale'; for i,n g(iimput('inerici dato ucceivo'; end t1,n; f(k,rnorm(g-(k./(1+((k-g(1./g(1*exp(- r*t; afminearch('f(k',g bfminearch('f(r',g 38

37 Bibliografia 1 Cenimento delle colonie feline del Comune di Firenze, aggiornato al 8/5/1. Aeorato al Decentramento, Attività Demografiche e Relazioni Eterne. Vicolo di Santa Maria Maggiore, 1 Firenze Eric Renhaw, Modelling Biological Population in Space and Time. Cambridge Univerity Pre