LE MARTINGALE: ASPETTI TEORICI ED APPLICATIVI [The martingales: theoretical and empirical characteristics]

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1 LE MARTINGALE: ASPETTI TEORICI ED APPLICATIVI [The maringales: heoreical and empirical characerisics] Fabrizio Erbea (Ceris-Cnr) e Luca Agnello Seembre 200 Absrac This paper offers an overview on he characerisics of maringales. These laer are markovian processes wihou underlying rend, in which he sochasic variable depends on is ulimae realisaion. Some applicaion fields are in sudies relaive o financial markes, and especially he derivaive securiies. Drawing from he heoreical and empirical lieraure, he main mahemaical characerisics are presened. In order o ransform processes wih increasing or decreasing rends ino maringales, he Doob-Meyer decomposiion and he change of probabiliy measure approaches can be adoped. Finally, four applicaions are considered wih regard o he pricing of fuures, call opions and socks. Keywords: Maringales, sochasic processes, calculus of probabiliy Jel Classificaion: G2, G3, D8 Desidero ringraziare Silvana Zelli e Maria Ziino per la loro cosane e preziosa collaborazione ecnica nella predisposizione di queso paper.

2 WORKING PAPER CERIS-CNR Anno 3, N Auorizzazione del ribunale di Torino N. 268 del 28 marzo 977 Direore Responsabile Secondo Rolfo Direzione e Redazione Ceris-Cnr Via Avogadro, 8 02 Torino, Ialy Tel Fax Segreeria di redazione Maria Ziino Disribuzione Spedizione grauia Foocomposizione e impaginazione In proprio Sampa In proprio Finio di sampare nel mese di oobre 200 Copyrigh 200 by Ceris-Cnr All righs reserved. Pars of his paper may be reproduced wih he permission of he auhor(s) and quoing he source. Privae ediion

3 INDICE. Inroduzione Concei fondamenali nella eoria delle maringale Definizione di misura di probabilià e valore aeso condizionale Le maringale Trasformazione di submaringale in maringale Applicazioni della eoria delle maringale in Finanza Applicazione : fuures pricing Applicazione 2: Approccio socasico per la valuazione di una azione: quali condizioni per la definizione di un processo maringala? Applicazione 3: scomposizione di Dobb-Meyer applicaa alla valuazione di una call opion Applicazione 4: uilizzo delle misure equivaleni di probabilià nella valuazione delle aivià finanziarie Conclusioni...28 Appendice A: Dimosrazione del eorema di Doob-Meyer...29 Bibliografia...3

4 . Inroduzione Il presene lavoro si compone di due pari. La prima cosiuisce una rassegna a caraere eorico, vola ad illusrare i concei fondamenali della eoria delle maringale e di fornire una adeguaa conoscenza di ui gli srumeni e di ue le proprieà che orneranno uili, nel proseguo del lavoro, ai fini di una più facile comprensione delle modalià araverso le quali sono raggiuni deerminai risulai. La seconda pare, come verrà uleriormene chiario in seguio, mira a porre in risalo la vasa applicabilià della eoria delle maringale per la rappresenazione delle problemaiche di ordine finanziario. A queso scopo verranno presenae alcune applicazioni relaive al pricing di alcuni srumeni derivai (fuures e call opions) e dei ioli soosani. Nel complesso si cercherà di verificare fino a che puno l uso delle maringale sia compaibile, in ermini di congruenza, con le logiche soosani il funzionameno dei mercai finanziari ed inolre si illusreranno le ecniche, uilizzae dalle moderne meodiche in maeria di asse pricing, di rasformazione dei processi socasici in maringale laddove ale rasformazione permee agli analisi finanziari una più facile raazione delle problemaiche finanziarie. 2. Concei fondamenali nella eoria delle maringale 2.. Definizione di misura di probabilià e valore aeso condizionale Prima di procedere alla descrizione eorica di una maringala occorre inrodurre brevemene alcuni imporani concei preliminari. La sruura dell analisi probabilisica procede araverso la definizione di paricolari funzioni che associano a eveni semplici, denominai w, con w Î W (deo spazio degli eveni, il quale comprende ui i possibili esii relaivi ad un esperimeno o prova), valori P w, che rappresenano delle misure di probabilià (Billingsley, 979; Lindley, 965). Su ali eveni è possibile definire operazioni logiche come inersezione, unione negazione e complemeno, ali da generare eveni più complessi soggei a misurazione probabilisica. Sulla base di quesa imposazione discende la definizione di s-algebra (Galeoi, 984; Dall Aglio, 987). 7

5 Definizione 2.. Una classe Á di sooinsiemi definia su uno spazio W è dea s-algebra se, daa una successione infinia di eveni {A i } con A i Î Á e i=, 2,, si ha che: i. dai due insiemi A k e A j enrambi appareneni ad Á, con k¹j allora A k È A j Î Á; ii. dao A j Î Á, anche A j Î Á iii. U i = A i Î Á Una s-algebra olre a godere della addiivià infinia (o s-addiivià) è anche finiamene addiiva, ovvero, chiusa rispeo ad un insieme infinio di eveni. Sugli spazi di eveni così definii, vengono assegnae delle misure di probabilià che rappresenano la verosimiglianza del loro verificarsi. Inolre il loro ordinameno emporale viene modellizzao secondo la logica della filrazione. Le segueni definizioni di misura di probabilià e di filrazione emporale sono conenue in Billingsley (979), De Finei (970), Breiman (992), Loève(978). Definizione 2..2 Sia W lo spazio dei risulai possibili e Á una s-algebra di sooinsiemi di W, allora si dice misura di probabilià una qualsiasi funzione P definia su Á, ale che: i. se A Î Á Þ P(A) ³ 0; ii. P(W) =, con W Î Á; P i i å = i= iii. se A, A 2,, A n, Î Á con A i Ç A j = Æ per ogni i¹j, Þ ( A ) = P( A ) La ripla {W, Á, P} è dea spazio misurabile o spazio di probabilià. U i Definizione 2..3 Una filrazione dello spazio di probabilià {W, Á, P} è una famiglia di s-algebre {Á }, con 0 T, ale che: iv. dao 0 s T si ha che Á s Ì Á, per ogni s, ; v. dao 0 T si ha che Á = Ç u³ Á u., per ogni u,. Una filrazione può essere inerpreaa come una successione crescene di informazioni a disposizione del decision-maker nei vari isani, con Î [0,T]. Una Se A k Î F e A j Î F con k ¹ j allora (A k Ç A j ) Î F infai per la formula di De Morgan si ha che: Ak A ) A A. È = Ç ( j k j 8

6 variabile aleaoria si dice Á - misurabile se è compleamene definia e quindi noa, dao il se informaivo al empo, Á. Come noo, la probabilià condizionale di un eveno A rispeo un alro eveno B è definia come: P( A B) = Ç P( A B) P( B) [] Analogamene si definisce il valore aeso condizionale della variabile aleaoria rispeo alla s-algebra Á, E( Á). Il valore aeso condizionale gode di alcune imporani proprieà: a) E[E( Á)] = E[], la quale riflee la ben noa legge saisica secondo la quale la media campionaria è uno simaore non disoro del valore medio della popolazione; b) se è Á-misurabile allora E[ Á] = x, dove rappresena la variabile aleaoria menre x rappresena la realizzazione osservaa sulla base delle informazioni conenue nella s-algebra Á c) E[(a a 2 2) Á] = a E[ Á] a 2 E[ 2 Á], proprieà di linearià; d) se ³0 allora E[ Á]³0, proprieà di posiivià; e) se F: R R è una funzione convessa e se E[F()]<, allora: E[F() Á] ³ FE[ Á], la quale rappresena la disuguaglianza di Jensen applicaa alla proprieà condizionale; f) se  è una s-algebra conenua in Á allora E[E( Á) Â] = E[ Â], Quesa proprieà è dea ower propery e cosiuisce una condizione di sufficienza assai uilizzaa nella eoria delle decisioni. Infai essa consene di sfruare s- algebre con meno informazioni per oenere simaori, comunque, non disori. g) se Z è Á- misurabile allora E[Z Á] = ZE( Á), infai Z è noo sulla base delle informazioni conenue in Á Le maringale I dai di naura finanziaria sono ipicamene sruurai come serie soriche. Tali serie saisiche possono essere inese come una successione di osservazioni che si sviluppano logicamene secondo una dimensione emporale. La principale difficolà 9

7 connessa con la gesione di queso ipo di dai consise nella correlazione ra le osservazioni rilevae in diversi srai di empo. In un oica probabilisica, una serie sorica deve essere inerpreaa come una paricolare realizzazione (o raieoria) di un processo socasico, idealizzabile come una sequenza di variabili aleaorie S i, con i Î [0, T], la cui disribuzione risula generalmene ignoa (Piccolo e Viale, 984; Parzen, 962). Una maringala rappresena un paricolare processo socasico frequenemene uilizzao nella modellizzazione delle dinamiche finanziarie (Musiela e Rukowski, 997). Definizione 2.2. Sia {S } una sequenza di variabili casuali su uno spazio di probabilià {W, Á, P}, e {Á } una sequenza di s-algebre. La sequenza {(S,Á ): =,2,.} è una maringala rispeo a {Á } se valgono le segueni condizioni: i. Á Ì Á ; ii. S è Á -misurabile; iii. E[ S ]< ; iv. E[S Á ] = S, quasi ceramene, con S noo. La legge di dipendenza ra le variabili aleaorie che definiscono queso processo è caraerizzaa dal fao che il valore aeso di S, dae le realizzazioni delle variabili aleaorie nei empi precedeni, dipende solo dal valore assuno dalla variabile consideraa nel periodo immediaamene precedene. La condizione (i) è dea proprieà di monoonicià. Essa afferma che {Á } è una sequenza crescene di s-algebre. Inuiivamene, ale fao implica che l ammonare di informazioni conenue nelle s-algebre cresce al crescere di. La condizione (ii) è dea proprieà di misurabilià. Essa afferma che, per ogni n, S è conosciua dae le informazioni conenue in Á. La condizione (iii) è dea proprieà di inegrabilià. Essa afferma che il valore aeso del modulo di S, per ogni, esise finio. La condizione (iv) è dea proprieà di maringala. Essa afferma che la miglior previsione relaiva ad un valore fuuro non ancora osservao è daa esaamene dall ulima osservazione realizzaa. Le maringale possono dunque essere inerpreai come processi markoviani. Analogamene alle maringale vengono definie le sub-maringale e le supermaringale. 0

8 Definizione Siano {S } una sequenza di variabili casuali su uno spazio di probabilià {W, Á, P}, e {Á } una sequenza di s-algebre. La sequenza {(S,Á ):=,2,.} è una submaringala rispeo a {Á } se valgono le segueni condizioni: i. Á Ì Á ; ii. S è Á -misurabile; iii. E[ S ]< ; iv. E[S Á ] ³ S, quasi ceramene, con S noo. Definizione Siano {S } una sequenza di variabili casuali su uno spazio di probabilià {W, Á, P}, e {Á } una sequenza di s-algebre. La sequenza {(S, Á ):=,2,.} è una supermaringala rispeo a {Á } se valgono le segueni condizioni: i. Á Ì Á ; ii. S è Á -misurabile; iii. E[ S ]< ; iv. E[S Á ] S, quasi ceramene con S noo. Sulla base di quese definizioni si deduce che un processo socasico si compora come una maringala se la sua raieoria non mosra uno specifico rend soosane, ovvero se le direzioni assune dai movimeni fuuri sono, in media, uguali ai valori osservai all isane auale (Nefci, 996; Williams, 99; Resnick, 999). Qualora le raieorie di un processo individuino rend di lungo periodo, allora il processo non si porebbe configurare come una maringala. Supponendo che {S } sia una maringala e considerando la previsione, faa al empo, relaiva ad una variazione del processo su un inervallo di empo di lunghezza D, con D >0, si ha che: E[ S S Á ] = E[ S Á ] - E[ S Á ] D - D [2] da cui segue che: E[ S - S Á ] = 0 D [3] ovvero l incremeno della variabile aleaoria è, in media, nulla. Queso induce a rienere che la maringala è un processo sazionario. Diversamene, un processo in media crescene si definisce submaringala, menre un processo in media decresce è chiamao supermaringala, fae salve le resani condizioni.

9 2.3. Trasformazione di submaringale in maringale Spesso i processi che si definiscono nella realà non sono maringale, nel senso che i movimeni fuuri non sono compleamene imprevedibili, ovvero le variazioni medie non sono pari a zero, dae le informazioni correni. I prezzi delle aivià finanziarie si comporano, infai, come delle supermaringale, o ancora più frequenemene come delle submaringale. Esise, uavia, una connessione ra le maringale e le submaringale, araverso la quale è possibile converire le seconde nelle prime. Un primo meodo di rasformazione è quello che sfrua la cosiddea scomposizione di Doob-Meyer. Un secondo meodo prevede, invece, l uilizzo delle misure equivaleni di probabilià. In queso coneso assume rilevanza il cosiddeo eorema di Girsanov (Nefci, 996; Hull, 989; Kingman e Taylor, 966). Nel seguio verranno raai enrambi gli srumeni meodologici. Approccio direo: eorema di Doob-Meyer Prima di presenare il eorema della scomposizione di submaringale, è opporuno definire cosa si inende per processo prevedibile e processo crescene. Definizione 2.3.: dao un processo {A } ed una successione {Á }di s-algebre, con ³0, si dice che {A } è prevedibile se A 0 Î Á 0, e, per ogni ³ 0, si ha che A Î Á. Un processo {A }, con ³ 0, è deo crescene se {A } è prevedibile e quasi ceramene vale che 0=A 0 A A 2.. A.. Teorema 2.3. (di scomposizione di Doob-Meyer): qualsiasi submaringala {(, Á )}, ³0, può essere scria, in un unico modo, come la somma di una maringala {(S, Á )}, ³ 0, e di un processo crescene {A, ³ 0}, ovvero si ha che: = S A, ³ 0. Le dimosrazioni dell esisenza ed unicià della scomposizione sono conenue nell appendice A (Nefci, 996). Con il eorema di Doob-Meyer è possibile scomporre, in maniera univoca, una submaringala in una maringala più un elemeno residuo che è rappresenao da un processo crescene. In sinesi, ale eorema afferma che soraendo da una submaringala in media crescene { } un processo a raieoria crescene {A }, le deviazioni rispeo al rend assumono un comporameno assoluamene irregolare. Queso processo 2

10 rasformao {S } è proprio una maringala. Con la ecnica di scomposizione di Doob- Meyer si evidenzia, dunque, come sia possibile rasformare direamene una submaringala in modo da oenere una maringala. Trasformazione della misura di probabilià e eorema di Girsanov Un alro meodo di conversione di submaringale in maringale si fonda sulla rasformazione della disribuzione di probabilià che governa un processo a raieorie cresceni. In praica, dao un processo {e -rd S D}, con D>0, definio come valore auale in del prezzo di un iolo azionario al empo D, ad un asso di aualizzazione riskfree, e secondo un regime di capializzazione composa, si ha che: P -rd E [ e SD ] > S [4] ovvero, sulla base della effeiva disribuzione di probabilià P, il processo {e -rd S D} è una submaringala 2. In queso caso, è possibile cercare una nuova disribuzione di probabilià P ~ soosane il processo, ale per cui valga la relazione di uguaglianza: P r E ~ ' - D [e S D ] = S [5] ovvero {e -rd S D} diveni una maringala, manenendo il asso risk-free come asso di aualizzazione. Le disribuzioni di probabilià araverso le quali è possibile rasformare processi che non sono maringale in maringale vengono dee misure equivaleni di probabilià 3 (Nefci, 996). Le condizioni generali che permeono la rasformazione delle misure probabilisiche sono definie nel eorema di Girsanov. Prima di passare alla presenazione formale del eorema è, però, opporuno inrodurre brevemene la problemaica della rasformazione di misura di probabilià araverso il caso di una variabile aleaoria disribuia normalmene ed in seguio definendo il conceo di derivaa di Radon-Nikodym. come derivaa di una misura di probabilià rispeo un alra (Nefci, 996; Ellio, 982; Karazas e Shreve, 988). 2 3 Tale comporameno discende dal fao che il asso risk-free non scona il premio al rischio che grava sui ioli azionari. Per avere una eguaglianza occorrerebbe sosiuire il asso r con un asso specifico relaivo ad ogni signola impresa, opporunamene correo con l elemeno rischio (Hull, 989). Le probabilià così rasformae sono dee equivaleni perché assegnano probabilià posiive agli sessi domini. Sebbene le misure di probabilià siano differeni, è sempre possibile, ramie appropriae rasformazioni converire una nell alra (Nefci, 996). 3

11 Fissao un empo, si consideri una variabile aleaoria Z disribuia secondo una normale sandard Z ~ N(0, ). La misura di probabilià implicia assegnaa ad una possibile realizzazione z è indicaa come differenziale della funzione P, inesa come cumulaa, ovvero: dp( z ) = 2 p Si definisca, quindi, la funzione e -/ 2( z 2 ) dz [6] z m = x( z ) e -/2 2 m [7] Moliplicando la funzione x(z ) per la misura di probabilià definia da dp(z ), si oiene una nuova misura di probabilià indicaa dalla seguene espressione: [ dp(z )][ (z )] e / / 2-2(z ) mz - 2m x = dz. 2p [8] Indicando con [dp(z )]*[x(z )] la nuova misura di probabilià dp ~ ( z ), si ha che: d P ~ ( z ) = 2 p e 2 - / 2 ( z - m ) dz [9] Si può osservare come P ~ ( z ) rappreseni ora una nuova misura implicia di probabilià esraa da una disribuzione normale con media m e varianza uniaria. Pur rimanendo invariaa la dispersione della variabile aleaoria inorno alla media, le due misure di probabilià sono diverse, dal momeno che le medie su cui sono cenrae non coincidono ed inolre esse assegnano valori di probabilià differeni agli sessi inervalli sull asse z. Occorre, inolre, osservare che la rasformazione di misura che coinvolge P(z ) è reversibile, infai si ha che: dp ~ - x( z ) (z ) dp(z ) = [0] Qualora ci si riferisca al caso di una sola variabile aleaoria disribuia normalmene con media m e varianza s 2, si può espliciare la forma assuna dalla funzione x(z ), nel modo seguene: x 2 z m m s 2s ( z ) = e [] 4

12 Il medesimo procedimeno può essere applicao se, anziché una unica variabile aleaoria, si ha un veore di variabili casuali disribuie normalmene. In queso caso occorre, nauralmene, fare riferimeno all espressione della normale mulivariaa. Una vola definia la marice di varianza e covarianza è possibile oenere una funzione x(z,z 2,, z n ) ale da permeere la rasformazione di misura: dp ~ ( z,...zn ) = x( z,...,z n )dp( z,...,z n ) [2] Una vola definie dp(z ) e dp ~ ( z ) come due misure equivaleni da assegnare agli elemeni di una s-algebra Á, è possibile inrodurre il eorema di Radon-Nikodym. Teorema (di Radon-Nikodym): Dae due misure v e m, se v è assoluamene coninua 4 rispeo a m, allora esise una funzione non negaiva ed Á-misurabile ale che, per ogni AÎÁ, si ha: ossia =dv/dm. v( A) =ò A dm Nell ambio della problemaica delle misure equivaleni, la derivaa di Radom- Nikodym è proprio la funzione x(z ), infai essa può essere visa come rapporo ra due misure: dp ~ ( z ) / dp(z ) = x( z ). [3] Affinché la funzione x(z ) esisa è necessario che il denominaore del rapporo sia diverso da zero. La rasformazione inversa implica, inolre, che anche il numeraore sia diverso da zero. Sia il numeraore che il denominaore sono misure probabilisiche assegnae ad inervalli infiniesimali dz. Si ha quindi la seguene proposizione. Proposizione 2.3.: Condizione necessaria e sufficiene affinché la derivaa di Radon- Nikodym esisa è che, quando P ~ assegna una probabilià non nulla a dz, anche la funzione P deve assegnare allo sesso inervallo una misura probabilisica diversa da zero: P ~ (z) > 0 ÛP(z )>0 4 Dae due misure v e m su Á, v si dice assoluamene coninua rispeo a m quando, per ogni AÎÁ, se m(a) = 0 allora v(a)=0. 5

13 Quando quesa condizione risula soddisfaa allora la funzione x(z ) esise e può essere uilizzaa per passare da d P ~ a dp e viceversa. In queso caso le due misure sono dee misure equivaleni di probabilià. A queso proposio, il eorema di Girsanov fornisce le condizioni di esisenza della derivaa di Radon-Nikodym nel caso di processi socasici coninui. Per inrodurre il eorema nella sua forma più generale, occorre preliminarmene definire alcuni elemeni (Nefci, 996; Karazas e Shreve, 988). Sia daa una famiglia di s-algebre {Á } con Î [0,T] e T finio. Su ale inervallo sia definio un processo {x }, espresso nella forma seguene: x = e æ ç è 0 ò u dw u - / 2 0 ò 2 u du ö ø [4] dove { } è un processo che assume valori noi quano ci si rova in, ovvero è Á - misurabile, menre {W } è un processo di Wiener 5 con disribuzione di probabilià P Valga, inolre, la seguene condizione ecnica di limiaezza, o condizione di Novikov: é ò 0 Eêe ë 2 u du ù ú < û [5] Essa implica che non deve crescere o decrescere roppo velocemene nel empo. Teorema (di Girsanov): Se il processo {x } è una maringala rispeo a {Á }, allora esise un processo definio come: ~ W = W - ò 0 u du il quale gode delle proprieà del processo di Wiener e che ha misura di probabilià daa da: ~ P ( A) = E P [ A x T ] 5 Un processo di Wiener, o moo browniano, è un processo socasico { }, ³ 0, che gode delle segueni proprieà: 0 =0; { }, ³ 0, ha incremeni sazionari ed indipendeni; per ogni > 0, è disribuio secondo una normale di media 0 e varianza s 2. Quando s =, si ha un moo browniano sandard. Dal momeno che la media di un processo di Wiener è nulla, esso si presena come un processo a raieorie irregolari. 6

14 in cui A è un eveno apparenene a {Á } e A è una funzione indicarice dell eveno A (Kopp, 984). Queso complesso eorema implica che moliplicando la misura di probabilià P che governa il processo {W } per la funzione x, ramie l operazione di valore aeso, si oiene una nuova disribuzione di probabilià P ~, soosane il processo { W ~ }. La relazione ra i due processi è definia nel eorema. In ermini differenziali si ha che : ~ dw = dw - d [6] In quesa espressione il passaggio da un processo all alro è oenuo soraendo da W un rend variabile nel empo. La rasformazione della misura di probabilià ale da modificare la media, lasciando inaleraa la varianza e i valori assuni dalla variabile aleaoria è quindi un processo dipendene dal empo che si svolge isane per isane. In ogni isane varia l elemeno endenziale da considerare per effeuare ale rasformazione. La funzione indicarice A assume valore uniario se si verifica l eveno A, assume il valore zero alrimeni. Il valore aeso può essere riscrio soo forma di inegrale dal momeno che si opera in un coneso coninuo: ò P~ ( A ) = x dp A [7] e differenziando si ha: dp ~ = x dp [8] da cui si può verificare come il eorema di Girsanov sia consisene con la descrizione della funzione x come rapporo di due misure di probabilià equivaleni. 3. Applicazioni della eoria delle maringale in Finanza In quesa pare del lavoro verranno presenai alcuni casi esemplificaivi dai quali emerge la grande adaabilià dei concei legai alla eoria delle maringale alle problemaiche di ordine finanziario. Si soffermerà l aenzione soprauo sull opporunià di ricorrere all uso delle maringale per rappresenare i processi di formazione dei prezzi sia degli srumeni derivai che dei ioli soosani con 7

15 l obbieivo di verificare fino a che puno ale modellisica si manenga coerene col funzionameno dei mercai finanziari e con la sruura dei comporameni degli ageni economici (Lamberon e Lapeyre, 996). 3.. Applicazione : fuures pricing Nell applicazione di seguio riporaa si cerca di dimosrare come soo cere condizioni i prezzi dei fuures cosiuiscano una maringala (Duffie, 989; Samuelson, 965). Sia,,, una sequenza emporale di prezzi (spo prices) di un qualche bene rispeo al quale si può pensare di sruurare un conrao fuure. rappresena il prezzo correne menre denoa il prezzo che prevarrà dopo unià di empo da oggi. Si assuma che gli ageni economici conoscano ano il prezzo auale quano quelli passai (cioè le diverse realizzazioni del processo). In ermini probabilisici si raa di rienere che gli ageni economici abbiano a disposizione ue le possibili informazioni generae dal processo. Richiamare la definizione di maringala, ed in paricolare la proprieà di monoonicià, significa concreamene supporre che l informazione disponibile si accresce nel empo secondo un processo noo come di learning wihou forgeing (Samuelson, 965). Se si indica con Á la s-algebra che coniene ue le informazioni circa l andameno dei prezzi fino al empo, per quano deo, si avrà che: Á -k Ì Ì Á - Ì Á [9] Paricolarmene ineressane appare definire, olre che il suo conenuo probabilisico, il significao economico di Á (Vaciago e Verga, 994; Fama, 970). A al proposio pare opporuno ricordare la classificazione, effeuaa da Fama (970), circa i diversi livelli di efficienza informaiva dei mercai finanziari. In generale si parla di efficienza informaiva quando in ogni momeno i prezzi dei ioli rifleono pienamene ed in modo correo ue le informazioni disponibili. In paricolare Fama disingue ra: - efficienza debole, se i prezzi rifleono solo le informazioni che si possono esrarre dall andameno passao dei prezzi, - efficienza semi-fore, se i prezzi rifleono anche le informazioni disponibili a ui; - efficienza fore, se i prezzi incorporano pure le informazioni disponibili a pochi (insiders); 8

16 Il modello in quesione, coerenemene con i risulai delle verifiche empiriche vole a consaare i livelli di efficienza dei mercai finanziari, assume che {Á } conenga informazioni in forma debole che garaniscano la misurabilià di { } (Fama, 970). Il prezzo di un fuures è deerminao dalle leggi della domanda e dell offera come ogni alro prezzo. Si indichi con Y(, ) la quoazione del fuures al empo specificando con l insieme delle unià di empo che inercorrono ra il momeno dell acquiso del fuures e la daa di consegna. Col rascorrere del empo si avrà una successione di prezzi fuures: Y(, ), Y(-, ) Y(-n, n).y(, -) [20] Se si assume (Samuelson, 965; Muh, 96) che il prezzo fuures si muoverà verso l alo o verso il basso solo se muano le aspeaive del mercao sul fuuro prezzo spo del bene soosane, allora è ragionevole pensare che il prezzo del fuures sia uguale al valore aeso del fuuro prezzo spo: Y(, )=E[ Á ] [2] Si raa adesso di dimosrare che la successione dei prezzi fuures è una maringala. Per far ciò baserà verificare il rispeo delle proprieà fondamenali enunciae all inerno della definizione di maringala. Occorre, innanziuo, noare che la inegrabilià e la misurabilià di {Y(,)} seguono dall espressione (2): è infai inegrabile poiché, come è ragionevole supporre, i prezzi dei beni assumono valori finii, ed inolre E[ Á ] risula essere Á misurabile. La proprieà di monoonicià è anch essa verificaa dao che le s-algebre associae alla successione dei prezzi fuures cosiuiscono esse sesse una sequenza monoona crescene: Á Ì Á Ì Ì Á n Ì Ì Á T- [22] A queso puno rimane da dimosrare la proprieà in base alla quale: E[Y(-, ) Á ]=Y(, ) [23] Dalla (2) si deduce che: Y(-, )=E[ Á ] [24] e sosiuendo ale espressione nella pare sinisra della (23) si ha che: E[E[ Á ] Á ]=E[ Á ] [25] Sulla base dalla (2), la (23) risula verificaa, e quindi la successione dei prezzi fuures può considerarsi, enuo cono delle ipoesi soosani al modello, un processo socasico maringala (Samuelson, 965). 9

17 L applicazione appena illusraa può essere inerpreaa sulla base dell andameno, empiricamene osservabile, dei prezzi fuures all approssimarsi della daa di consegna. Prima di queso momeno il prezzo fuures può risulare minore o maggiore del prezzo spo dell aivià soosane. All avvicinarsi della scadenza del conrao il prezzo fuures convergerà verso il prezzo spo, delineando delle raieorie irregolari (Hull, 989). Una quesione ineressane è se il prezzo fuures si collochi sopra o soo l aspeaiva del fuuro prezzo spo. La siuazione in cui il prezzo fuures è inferiore al valore aeso del fuuro prezzo spo è noa come deporo o normal backwardaion (Hull, 989). In queso caso si dovrebbe dimosrare che la sequenza {Y(,)} sia una submaringala. Per far ciò occorre sfruare un assunzione (Samuelson, 965) in base alla quale, in luogo della (2), si ipoizza che il prezzo fuures si oenga, sconando ad un opporuno asso r il valore del prezzo spo aeso dopo -unià di empo dalla daa correne: Y(, )=a E[ Á ] [26] essendo a =(r) - il faore di aualizzazione. Per dimosrare che la successione{y(,)} è una submaringala, dalla (26) si ha che: E[Y(-, ) Á ]=E[a - E[ Á ] Á ]= =a - E[E[ Á ] Á ]= a - E[ Á ]= =a - a - Y(,)= a - Y(,)= =(r)y(,)³ Y(,) [27] il che dimosra che solo le paricolari assunzioni fae, la sequenza di prezzi fuures si modellizza come un processo a raieorie cresceni Applicazione 2: Approccio socasico per la valuazione di una azione: quali condizioni per la definizione di un processo maringala? In quesa applicazione si vuol dimosrare come, soo cere condizioni, se il valore di un azione viene deerminao sulla base del valore auale del flusso dei dividendi fuuri aesi (Samuelson, 965), la successione nel empo dei valori così oenui cosiuisce una maringala. Si vedrà, inolre, come il ruolo delle aspeaive individuali risuli fondamenale ai fini della caraerizzazione del processo socasico. 20

18 Sia { }, ³ 0 la successione dei dividendi di una daa azione, pagai rispeivamene al empo. Si supponga che il asso al quale vengono sconai ali dividendi sia cosane e pari a r. Se le variabili { }, ³ 0, fossero deerminisiche, si porebbe affermare che il valore dell azione al empo è oenibile sommando i valori auali dei dividendi fuuri, cioè: V = [28] å = ( r) Analogamene si può oenere il valore dell azione per il periodo successivo: = = 2 V = å = å [29] - ( r) ( r) Dalla (28) e dalla (29) segue che: V V - r = r, [30] ovvero V =(r)v - [3] Quesa equazione esprime il valore dell azione per il periodo successivo come funzione del valore correne, del asso di scono supposo fisso e del dividendo oenibile alla fine del prossimo periodo. Considerando i dividendi come una successione di variabili aleaorie rispeo alle quali è possibile definire una disribuzione di probabilià, nonché il loro valore aeso condizionale, allora anche la sequenza {V } figurerebbe come processo socasico. L obieivo è quello di verificare soo quali condizioni ale processo è una maringala. Ipoizzando che gli invesiori conoscano la successione dei dividendi percepii fino al empo correne, è possibile generalizzare la (28) scrivendo: é æ ö ù é ù å åç v º E[ V Á ] = Eê Á ú = ê Á E ú [32] ë = ( r) û = è ë( r) ûø ed analogamene a quano fao sopra, nel caso deerminisico, si calcola il valore aeso del prezzo equo dell azione al empo, v : é ù º Á = êå v E[ V ] E Á - ú [33] ë = 2 ( r) û 2

19 22 Dalla (32) e (33) deriva che: = ú û ù ê ë é Á ú û ù ê ë é Á = Á å = - r E E v E 2 ) ( ] [. ) r ( E ) r ( E 2 ú û ù ê ë é Á - = ú û ù ê ë é Á = å å = - = - [34] da cui si ricava, ricordando la definizione di v : [ ] E ) r ( )E r ( ] [ v E Á - ú û ù ê ë é Á = Á = å [ ]. ) ( E v r Á - = [35] La (35) rappresena la generalizzazione socasica della (3) e può essere uilizzaa per capire in quali casi la sequenza v v è una maringala, ovvero si verifica che: v v E = Á ] [ [36] La precedene condizione si realizza quando [ ] E rv Á = [37] da cui: [ ] v E r Á = [38] Nei casi in cui l uguaglianza non venga rispeaa si porebbe pensare a {v } come ad un processo crescene o decrescene. In paricolare se: [ ] v E r Á [39] allora si configurerebbe una submaringala, infai si ha che: v v v E r v v E ³ ø ö ç ç è æ Á - = Á [ ] [ [40] Per concludere, si fa osservare che l ipoesi di considerare un valore aeso condizionale oggeivo mal si presa a rappresenare il funzionameno dei mercai finanziari per quano concerne in modo paricolare la loro efficienza valuaiva. Si vuole

20 cioè affermare che il valore aeso condizionale avrebbe un origine più complessa rispeo a quella che gli è saa aribuia: dovrebbe sineizzare le aspeaive razionali soggeive poiché da esse dipendono le imprevedibili dinamiche di mercao. Quese, spesso, possono assumere andameni ali da meere in serio dubbio l efficienza valuaiva dei mercai sessi (Vaciago e Verga, 994). A queso puno si può dire che l effeo congiuno delle aspeaive individuali e soprauo i conesi in cui si formano (bad or beauy conex) caraerizzerebbero la naura del processo socasico soosane la dinamica di formazione dei valori finanziari Applicazione 3: scomposizione di Dobb-Meyer applicaa alla valuazione di una call opion Un opzione call conferisce al possessore il dirio di acquisare il iolo soosane ad un prezzo d esercizio presabilio o srike price. Il prezzo pagao dal compraore al vendiore di un opzione, per acquisirne il dirio relaivo, si chiama premio. Indicando con K il prezzo d esercizio dell opzione call e con S T il prezzo effeivo a scadenza del iolo soosane, è evidene che in T si avranno due possibili siuazioni: ) S T K: in queso caso non è conveniene eserciare l opzione. Essa viene abbandonaa ed il profio alla scadenza è pari a zero. 2) S T ³ K: in queso caso è conveniene eserciare l opzione, conseguendo un profio pari a S T -K. In sinesi il pay-off a scadenza dell opzione call indicao con C T sarà: C T =max[s T -K, 0]; [4] Dal momeno che il prezzo S T non è noo in, occorre considerare il valore aeso: E P [C T F ]=E P [max[s T -K, 0] Á ] [42] essendo P la disribuzione di probabilià che governa il movimeno dei prezzi. Daa ale previsione ci si porebbe chiedere se il più equo valore della call al empo possa considerarsi uguale al valore sconao di E P [max[s T -K, 0] Á ]. Fissao il asso di aualizzazione r si raa di verificare che: C =e -r( T- ) E P [max[s T -K, 0] Á ] [43] 23

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