derivatives Prof. Massimiliano Menzietti Università della Calabria Università Cattolica - Milano, 12 maggio 2011

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1 Rischio di longevià e longeviy derivaives Prof. Massimiliano Menziei Universià della Calabria Universià Caolica - Milano, 12 maggio 2011

2 Agenda Il longeviy risk Definizione e caraerisiche I rend demografici e il rischio di longevià I modelli per rappresenarlo La gesione del longeviy risk ramie i longeviy derivaives: Gli srumeni di gesione del longeviy risk La nascia del mercao delle longeviy-linked securiies Il panorama dei prodoi derivai sulla longevià Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: La rasformaa di Wang L approccio risk-neural 2

3 Agenda Il longeviy risk Definizione e caraerisiche I rend demografici e il rischio di longevià I modelli per rappresenarlo La gesione del longeviy risk ramie i longeviy derivaives: Gli srumeni di gesione del longeviy risk La nascia del mercao delle longeviy-linked securiies Il panorama dei prodoi derivai sulla longevià Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: La rasformaa di Wang L approccio risk-neural 3

4 Il longeviy risk Il longeviy risk è un rischio caraerisico di eni (compagnie di assicurazione / eni di previdenza) che erogano presazioni in caso di via (ed in paricolare rendie) ad un soggeo assicurao / iscrio Può essere definio a livello individuale o aggregao (cf. Sallard 2006). In paricolare a livello aggregao esso si sosanzia nel rischio che l insieme dei perceori di rendia vivano in media di più di quano assuno nelle basi ecniche Si manifesa laddove la moralià osservaa è sisemaicamene inferiore a quella osservaa E la conseguenza dell incerezza insia nel fenomeno della moralià e della sua rappresenazione ramie un modello di proiezione 4

5 Il longeviy risk Non pooling risk (non diversificabile) opera nella sessa direzione per ui gli assicurai E un rischio sisemaico, non-hedgeable 5

6 I rend demografici e il longeviy risk Trend demografici Cambiameno nella sruura per eà della popolazione Via più lunga Bassa ferilià Invecchiameno della popolazione Incremeno del peso percenuale degli anziani Invecchia -meno Longeviy risk Incremeno progressivo nell aspeaiva di via e quindi poenziale incremeno del longeviy risk Incerezza Crescene longeviy risk Incremeno nel numero degli esposi al rischio di sopravvivenza 6

7 I rend demografici e il longeviy risk 7

8 L impao del longeviy risk Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogaori di rendie sono: Esensione del periodo di pagameno della rendia e quindi del valore auale della sessa Elaborazione dell auore su dai ISTAT 8

9 L impao del longeviy risk Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogaori di rendie sono: Incremeno della passivià auariali Elaborazione dell auore su dai ISTAT 9

10 Il processo di risk managemen Idenificazione Individuazione e classificazione del rischio Valuazione Misurazione ramie modelli deerminisici o socasici Gesione Individuazione delle sraegie di gesione del rischio: o ramie ecniche di conrollo delle perdie o ramie ecniche di finanziameno delle sesse. Si può operare a livello di disegno del prodoo o con sraegie di proezione del porafoglio 10

11 Il managemen del longeviy risk Un managemen responsabile del longeviy risk implica che le compagnie di assicurazione e gli eni previdenziali devono misuralo e gesirlo Per modellizzare e misurare il longeviy risk è necessario sviluppare un modello socasico di proiezione della moralià In effei i rend decresceni della moralià impongono l adozione di avole proieae di moralià per calcolare i valori auariali delle rendie Qualsiasi modello di proiezione sia sao adoao, il rend fuuro della moralià rend è random possono verificarsi deviazioni sisemaiche della moralià Si richiedono proiezioni socasiche per quanificare espliciamene l incerezza della moralià proieaa 11

12 I modelli di proiezione della moralià Fone: Olivieri - Piacco Life annuiies and longeviy dynamics WP n. 36, CERAP 2006 Meodi esrapolaivi Inerpolazione dei rend di moralià osservai in passao Ipoesi: I rend osservai si ripeeranno in fuuro esrapolazione dei rend La naura socasica della moralià non viene consideraa Modelli socasici I assi di moralià osservai sono esrazioni di variabili casuali che rappresenano la moralià passaa I assi di moralià proieai sono sime di variabili casuali che rappresenano la moralià fuura Si definiscono un insieme di ipoesi circa la moralià e un legame ra osservazioni e proiezioni 12

13 I modelli socasici di proiezione della moralià In un modello socasico i risulai delle proiezioni forniscono sia sime punuali che inervalli di confidenza dei fuuri assi di moralià Source: Olivieri - Piacco Life annuiies and longeviy dynamics WP n. 36, CERAP 2006 Le principali caraerisiche di uno scenario di moralià possono essere ben rappresenae Esempi di leggi di moralià: Gomperz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard Modelli basai su leggi di moralià Modello Lee-Carer e sue esensioni E un esempio significaivo di approccio socasico nella proiezione della moralià Il asso cenrale di moralià è modellizzao come un processo socasico Modelli disribuion-free 13

14 Il modello Lee-Carer (log bilineare) I assi cenrali di moralià sono rappresenai da: con errori ln ( m ( ) ) = α + β k + ε, ε iid con disribuzione N ( ), 0,σ ε k processo socasico proieao con un modello ARIMA(0,1,0) k = k 1 + µ + σ e k k con errori e iid con disribuzione N ( 0,1) 14

15 Il modello Poisson log bilineare Proposo da Brouhns e al. nel 2002 I assi cenrali di moralià sono modellizzai ramie il modello Lee-Carer ln I decessi sono disribuii come una Poisson D Impiegao boosrap non paramerico ( m ( ) ) = α + β k ( ) ~ Poisson ( N ( ) m ( ) ) Applicao ai dai ialiani (Levanesi, Menziei, Torri, 2010a) mosra un buon adaameno e consene di rappresenare differeni foni di incerezza: La variabilià poissoniana dei decessi La variabilià dei parameri del modello LC e del modello ARIMA L incerezza nella proiezione del faore emporale k 15

16 Una panoramica sui modelli di proiezione della moralià I principali modelli proposi in leeraura sono di seguio rappresenai ( ) m logi (, ) ( ) q, con γ faore di coore, ( ), ( ) q, = log q p,, 1 e 16

17 I crieri di scela del modello Cairns e al. (2008) suggeriscono dei crieri per scegliere ra i vari modelli di proiezione della moralià: I assi di moralià devono essere posiivi. Il modello deve essere coerene con i dai sorici. Le dinamiche a lungo ermine fuure del modello devono essere biologicamene ragionevoli. Le sime dei parameri devono essere robuse rispeo al periodo di dai e inervalli di eà impiegai. Le previsioni del modello devono essere robuse rispeo al periodo di dai e classi di eà impiegai I livelli di previsione dell incerezza e le raieorie cenrali dovrebbero essere plausibili e coereni con le endenze soriche e la variabilià dei dai di moralià. Il modello dovrebbe essere semplice da auare mediane meodi analiici o veloci algorimi numerici. Il modello dovrebbe essere relaivamene parsimonioso. Dovrebbe essere possibile uilizzare il modello per generare percorsi campione e calcolare inervalli di previsione. La sruura del modello dovrebbe consenire di inegrare l'incerezza del paramero nelle simulazioni. Almeno per alcuni Paesi, il modello dovrebbe incorporare un effeo socasico di coore. Il modello dovrebbe essere abbasanza compleo per affronare in modo appropriao il pricing correne, la valuazione o un problema di coperura. Dovrebbe essere possibile valuare i più comuni derivai moraliy-linked uilizzando meodi analiici o veloci meodi numerici. 17

18 Agenda Il longeviy risk Definizione e caraerisiche I rend demografici e il rischio di longevià I modelli per rappresenarlo La gesione del longeviy risk ramie i longeviy derivaives: Gli srumeni di gesione del longeviy risk La nascia del mercao delle longeviy-linked securiies Il panorama dei prodoi derivai sulla longevià Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: La rasformaa di Wang L approccio risk-neural 18

19 La gesione del longeviy risk Il longeviy risk può essere gesio da una compagnia di assicurazione o da un ene di previdenza raenendolo o rasferendolo ad alre conropari 19

20 Uso e limii del mercao delle longeviy-linked securiies Blake e Burrows (2001) sono sai i primi a sosenere l'uso di moraliy /(longeviy)- linked securiies per il rasferimeno del rischio di longevià al mercao dei capiali Difficolà di affermazione del nuovo mercao: squilibrio di scala ra le esposizioni esiseni e la volonà dei forniori di coperura moraliy-linked securiies devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli invesiori (difficili da conciliare - i primi richiedono l efficacia della coperura, menre gli ulimi domandano liquidià) assenza di un prezzo di mercao per il rischio di longevià 20

21 La nascia del mercao delle longeviy-linked securiies Loeys e al. (2007) spiegano che per isiuire un nuovo mercao del capiale di successo, esso deve: fornire un'esposizione o coperura efficace (minore il numero di conrai scambiai, maggiore la liquidià in ogni conrao, ma più bassa l efficacia della coperura, indici nazionali e rischio base) ad un rischio del mondo che è economicamene imporane (buon equilibrio ra domanda e offera di longevià: queso influenzerà la dimensione complessiva del mercao, nonché il prezzo del rischio di longevià - Il coinvolgimeno dei mercai del capiale ridurrà i cosi di gesione del rischio di longevià: aumeno di capacià, insieme a una maggiore rasparenza dei prezzi (arbiraggisi) e maggiore liquidià (speculaori)) che non può essere copero araverso gli srumeni del mercao esisene e deve uilizzare un conrao omogeneo e rasparene per consenire gli scambi ra gli ageni 21

22 Le soluzioni di prima generazione del mercao dei capiali : prodoi Bond-based Moraliy bonds Breve scadenza, rappresenano ioli negoziabili a livello di mercao i cui pagameni sono legai a un indice di moralià. Sono simili ai caasrophe bond. Es. Swiss Re moraliy bond Longeviy bonds (o survivor bonds) Principal-a-risk longeviy bonds o coupon based longeviy bonds Scadenza fissa o scadenza socasica Es EIB BNP Paribas 2004 (se la moralià fosse saa inferiore a quano previso, le cedole previse sul bond sarebbero diminuie e viceversa). Carenze di progeazione (Il rischio di base roppo grande). Premio per il rischio di longevià. Carenze isiuzionali (dimensione dell'emissione roppo piccola per creare un mercao liquido) (favore per la coperura della longevià, sfavore per la coperura legaa al bond). Lezioni: necessià di una buona serie di indici di moralià (LifeMerics) oggeivamene calcolai, raspareni e rilevani; modelli di previsione socasici della moralià più raspareni. 22

23 Esempio di longeviy bond Obblighi dell erogaore della rendia: Rendia immediaa ad una coore di perceori di rendia di eà al empo 0 R è l imporo annuo della rendia individuale l 0 in he l erogaore della rendia pagherà l ammonare aleaorio Rl 0 + esposizione al rischio di deviazioni sisemaiche ra e ˆ Sraigh coupon bond: Flusso di cassa aggregao RC ad ogni scadenza Rimborso pari a RF alla scadenza finale T Lin and Co (2005) ipoizzano cedole cosani di imporo RC 0 l + l

24 Esempio di longeviy bond Esempio di un coupon-based longeviy bond con coupons a rischio e principal garanio 24

25 Esempio di longeviy bond Tramie la SPC il flusso di cedole C è ripario ra erogaore della rendia e invesiori Flussi ricevui dall erogaore della rendia < > = + + ˆ 0 ˆ ˆ 0 0 C l l l l C l l C B ( ) B D R C R + = B C D = 25 Flussi ricevui dagli invesiori < = ˆ 0 ˆ 0 ˆ l l C l l l l B ( ) < > = ˆ ˆ 0 ˆ ˆ l l C C l l l l C C l l D

26 Il pricing del longeviy bond Prezzo valore aeso sconao dei payoff fuuri soo una misura di probabilià aggiusaa per il rischio (Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendeni) W : Bond Price pagao dalla SPC per acquisare lo bond ( 0, T ) + RC d ( 0, ) W = RFd, P : Premium pagao dall erogaore della rendia per gesire il suo LR T ~ P = R E B d 0, V: Price pagao dagli invesiori per acquisare il LB T ~ W = RFd 0, T + R E D d 0, d(0,) : faore di scono risk-free = 1 T = 1 [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = 1 26

27 Le soluzioni di seconda generazione del mercao dei capiali: prodoi derivaives-based I longeviy derivaives sono srumeni del mercao dei capiali che hanno payoffs legai al livello di un indice di moralià I soggei ineressai alla creazione di un mercao per i longeviy derivaives sono hedgers, invesiori isiuzionali, speculaori, arbiraggisi, Governo, regolaori q-forwards E il più semplice longeviy derivaive. Un q-forward è un accordo ra due pari per lo scambio a una daa fuura di un imporo proporzionale al asso di moralià realizzao di una deerminaa popolazione conro un imporo proporzionale a un asso di moralià fisso reciprocamene concordao all inizio. E un zero-coupon swap che scambia moralià fissa e moralià realizzaa alla scadenza. Coperura value hedge vs cash flow hedge. Survivor swaps 27

28 I survivor swaps Survivor swap (basic): accordo ra due conropari per scambiare in fuuro un flusso di cassa fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendene dalla moralià (Dowd e al. 2006) I cash-flows sono collegai al numero di sopravviveni di una daa coore Confronao con alre moraliy-linked securiies p.e. longeviy bonds i survivor swaps : o Comporano cosi di ransazione più bassi o Sono più flessibili e agliai su misura per venire inconro alle varie esigenze o Non richiedono l esisenza di un mercao liquido Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le conropari si accordano per scambiarsi una serie di pagameni periodici (per ogni = 1, 2,..., S ) fino alla scadenza dello swap S Fied leg dipende dai sopravviveni aesi di una daa coore Floaing leg dipende dai sopravviveni effeivi alle scadenze fuure 28

29 I survivor swaps emessi ra il Dae Hedger Term (years) Inermediary Jan-08 Lucida 10 JPMorgan Jul-08 Canada Life 40 JPMorgan Feb-09 Abbey Life Run-off Deusche Bank Mar-09 Aviva 10 RBS Jun-09 Babcock 50 Credi Suisse Jul-09 Royal & Sun Alliance Run-off Goldman Sachs Source: Biffis & Blake (2009), Moraliy-Linked Securiies and Derivaives 29

30 La sruura di un vanilla survivor swap L erogaore di rendia deve pagare rendie immediae ad una coore di di eà al empo zero Rendia fissa di imporo1 ˆ : numero aeso di sopravviveni all eà + al empo l + l + : numero effeivo di sopravviveni all eà + al empo Esposizione al rischio sisemaico di deviazioni ra e l l+ + ˆ : perdie subie dall erogaore della rendia ad ogni scadenza l perceori π ( π < 0 ) : aliquoa di premio fisso dello swap fissa in modo che il valore dello swap in sia zero all emissione valore di mercao del fied leg = valore di mercao del floaing leg ( 1 + π ) l ˆ + Flussi di cassa del survivor swap l + l + ˆ l + 30

31 Il pricing del vanilla survivor swap Il valore del vanilla survivor swap al empo zero per il fied-rae payer è: valore dello swap [ ] l [ l ] V ( 1 π ) = ˆ V Prezzo di mercao del floaing leg in =0 Prezzo di mercao del fied leg in =0 Ipoizzando l indipendenza ra assi d ineresse e moralià: V d ( 0, ) T [( 1 + π ) lˆ + ] = ( 1 + π ) V = 1 lˆ + [ l ] E ( l ) + = T = 1 : faore di scono risk-free + d (0, ) d (0, ) Premio del vanilla survivor Swap Valore auale aeso del fied leg soo la misura di probabilià del mondo reale Valore auale aeso del floaing leg soo la misura di probabilià risk-adjused π = T E ( l+ ) d (0, ) = 1 T = 1 lˆ + d (0, ) 1 31

32 Rappresenazione del flusso di pagameni di un vanilla survivor swap 32

33 Le soluzioni di seconda generazione del mercao dei capiali: prodoi derivaives-based Longeviy opions. Ad oggi non ci sono mercai di opzioni su srumeni longeviylinked. Le longeviy opions producono dei payoff che non sono funzioni lineari di variabili soosani. Nel caso di longeviy (o survivor) caps e floors, il soosane è un indice di sopravvivenza S(,). Sia s c () un cap rae per la daa d esercizio e s f () il corrispondene floor rae. Un caple pagherà ma{s(,) - s c (), 0} al empo menre un floorle pagherà ma{s f () - S(,), 0}. I survivor caples e floorles possono essere inglobai in longeviy caps e floors. 33

34 Survivor caps and floors Survivor caps e floor = serie di survivor caples and floorles Payoff di un survivor caple : c c { l k ;0} c c = ma con cap rae per la scadenza : + k = ( 1+ π ) lˆ + Payoff del Survivor floorle: f f f = ma{ k l ;0} con floor rae per la scadenza : k = ( 1+ π ) lˆ + f + Ipoizzando l indipendenza ra assi d ineresse e moralià : Prezzo del survivor cap P c T = T = 1 E * [ c ] d(0, ) Prezzo del survivor floor P f T = T = 1 E * [ f ] d(0, ) d ( 0, ) : faore di scono risk-free Valore auale aeso dei payoff dei caples/floorles payoff soo la misura di rischio risk-adjused 34

35 Le soluzioni di seconda generazione del mercao dei capiali: prodoi derivaives-based Longeviy fuures. Ad oggi non ci sono mercai di fuures su srumeni longeviy-linked. Faori chiave per il successo di conrai fuures sono : Esisenza di un mercao spo del soosane grande, liquido e aivo, con una buona rasparenza dei prezzi. i prezzi spo devono essere sufficienemene volaili per rendere araeni sia le aivià di coperura che la speculazione. il soosane deve essere omogeneo. il mercao del soosane e dei conrai fuures non deve essere foremene concenrao né sul lao dell acquiso né su quello della vendia, per non incorrere nella manipolazione dei prezzi. deve esserci aiva parecipazione di hedgers e speculaori. In Blake e al. (2006) si suggerisce l uso dei prezzi dei longeviy bonds, o di indici di sopravvivenza come soosane. 35

36 Coperure Sandardizzae vs Personalizzae 36

37 Agenda Il longeviy risk Definizione e caraerisiche I rend demografici e il rischio di longevià I modelli per rappresenarlo La gesione del longeviy risk ramie i longeviy derivaives: Gli srumeni di gesione del longeviy risk La nascia del mercao delle longeviy-linked securiies Il panorama dei prodoi derivai sulla longevià Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: La rasformaa di Wang L approccio risk-neural 37

38 Il pricing delle longeviy-linked securiies Esisono principalmene re approcci di pricing Trasformaa di Wang (Wang (2002)) o Le probabilià risk adjused sono oenue ramie un operaore di disorsione Approccio risk-neural o Si applicano alle longeviy-linked securiies gli sessi principi di pricing usai per il pricing dei derivai finanziari, Sharpe raio o Si ipoizza che gli invesiori chiedano per assumere il rischio di longevià un premio per il rischio (Sharpe raio) pari a quello richieso per il rischio non diversificabile di alri srumeni finanziari 38

39 La rasformaa di Wang Wang definisce il seguene operaore di disorsione g λ ( u) = Φ[ Φ ( ) λ] 1 u dove 0<u<1 e λ è un paramero che riflee il rischio insio nei daa (il prezzo di mercao del rischio) La disribuzione di probabilià del mondo reale è disora per produrre valori aesi risk-adjused che possono essere sconai con faori di scono risk-free. Approccio usao da: Lin and Co (2005), Co-Lin-Wang (2006), Denui-Devolder-Goderniau (2007) Su dai ialiani applicao da Levanesi-Menziei-Torri (2010a, 2010c) 39

40 Il prezzo di mercao del rischio Possiamo usare il prezzo di mercao delle rendie per simare λ: Mancanza di un mercao secondario delle rendie in Ialia HP: il valore di mercao delle rendie supposo uguale al valore di mercao calcolao impiegando le basi ecniche di maggiore diffusione (IPS55) 40

41 L approccio risk neural Scarsià di longeviy-linked securiies raae sul mercao Impossibilià di simare un unica misura di probabilià risk adjused. Se il mercao globale è arbirage-free, esise almeno una misura di ipo neurale verso il rischio Q uilizzabile per calcolare il prezzo equo 41

42 L approccio risk neural Incompleezza del mercao delle longeviy-linked securiies i pagameni connessi con la moralià non possono essere replicai Scarsià di longeviy-linked securiies raae sul mercao Problemi ad impiegare meodi arbirage-free Impossibilià di simare un unica misura di probabilià risk adjused. Se il mercao globale è arbirage-free, esise almeno una misura di ipo neurale verso il rischio Q uilizzabile per calcolare il prezzo equo 42

43 L approccio risk neural: il modello CBD Hp su le probabilià di decesso: Con random walk bivariaa con drif 43

44 L approccio risk neural: il modello CBD Se specifichiamo le dinamiche della moralià soo una misura Q di probabilià risk-adjused equivalene, alla misura fisica P dove, è una variabile aleaoria normale sandard bivariaa soo Q rappresena il prezzo di mercao del longeviy risk associao rispeivamene ai processi Z A queso puno il valore di una LLS con singola scadenza all emissione (in zero) in ipoesi di indipendenza ra rischio finanziario e rischio demografico è dao da: V [ ] ( ) P( 0, T ) E ( ) S[ T ] 0 F λ = Q λ 0 44

45 Alcuni approfondimeni LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010a). Longeviy Bond Pricing Models: an Applicaion o he Ialian Annuiy Marke and Pension Schemes. XVIII Inernaional AFIR Colloquium. Rome, Sepember 30 h - Ocober 3 rd p In sampa sul Giornale dell Isiuo Ialiano degli Auari vol. 72 n. 1 (2009); p ISSN: LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010b). The securiizaion of longeviy risk in pension schemes: he case of Ialy. In: GREGORIOU G. e al. Pension Fund Risk Managemen: Financial and Acuarial Modeling. P Chapman & Hall, CRC Finance Series, New York. ISBN/ISSN: LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010c). On longeviy risk securiizaion and solvency requiremens in life annuiies. Inernaional Conference MAF 2010, Ravello (SA), April

46 Conai Massimiliano Menziei Diparimeno di Scienze aziendali, Universià della Calabria Diparimeno di Saisica, Sapienza - Universià di Roma Cell.: Seminario IIA Milano 12 maggio 2011

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