ITIS G. Marconi Bari Corso di Meccanica Applic. e Macchine a Fluido Ruote dentate - Teoria 5 a serale prof. Ing. Nazzareno Corigliano PAG.

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1 PAG. LE RUOTE DENTATE GENERALITÀ Abbao vsto che co le ruote frzoe s hao e lt ella trasssoe poteze elevate a causa elle probtve sollectazo raal cu evoo essere sottoposte per garatre l aereza. A partre a ue ruote frzoe eal, rappresetate alle crcofereze tratteggate ella fg., agao rcavare sulle loro superfc estere ua sere et, alterat a spaz vuot, che urate l oto s copeetro faclete; è evete coe, tal caso, la trasssoe ella poteza o è pù affata all attrto a Fg. Prcpo fuzoaeto elle ruote etate alla spta che cascu ete ella ruota otrce esercta su quell ella ruota cootta. I tal oo, purché s costruscao et suffceteete robust, sarà possble trasettere poteze ache gra. S efsce INGRANAGGIO u eccaso coposto a ue ruote etate ua elle qual (otrce) trasette l oto all altra (cootta). A secoa ell aaeto ell asse e et, la etatura può essere rtta (fg. a), elcoale (fg. b) o belcoale (fg. c). Fg. Tp etatura Co gl graagg s può trasettere l oto, oltre che tra ue alber co ass parallel (co ruote clrche a et rtt e a et elcoal), ache tra alber a ass cocorret (fg. 3: utlzzao ruote coche sa a et rtt che elcoal), tra alber a ass sgheb (fg. 4a: co Fg. 3 Ruote coche

2 PAG. Fg. 4 Trasssoe tra ass sgheb: a) co ruote a et elcoal; b) co coppe graagg coc; c) co eccaso vte seza fe/ruota elcoale ruote a et elcoal; fg. 4b: co coppe graagg coc; fg. 4c: co eccaso vte seza fe ruota elcoale). Ioltre è possble operare la trasforazoe el oto a rotatoro a traslatoro Fg. 5 Accoppaeto pgoe/creaglera co l eccaso pgoe/creaglera (fg. 5). Dato u graaggo s efsce pgoe la ruota etata aetro ore e ruota quella aetro aggore. S efsce terasse (a) la staza tra gl ass elle ue ruote. Dette ω la veloctà agolare el pgoe e ω la veloctà agolare ella ruota, s efsce rapporto graaggo (u) l rapporto ω u. Il ω rapporto graaggo coce co l rapporto trasssoe quao l pgoe è sull albero otore coè quao abbao u ruttore.

3 PAG. 3 CARATTERISTICHE DELLA DENTATURA Co rfereto alla fg. 6, ua ruota etata, s efsce: aetro prtvo (), l aetro ella ruota frzoe fttza capace trasettere l oto co lo stesso rapporto trasssoe ella ruota etata; testa el ete, la parte esso copresa tra la crcofereza prtva e la crcofereza estera (etta ache trocatura o testa); pee el ete, la parte esso copresa tra la crcofereza tera (etta ache foo o base) e la crcofereza prtva; passo ella etatura (p), la staza fra gl ass ue et Fg. 6 Caratterstche ella etatura cosecutv, surata corrspoeza ella crcofereza prtva; se chao co z l uero et ella ruota, l passo ella etatura sarà ato a p π z Perché l graaeto sa regolare l passo el pgoe eve essere uguale al passo ella ruota p p π z π z cò plca che z e qu, per l rapporto graaggo valgoo tutt seguet rapport: z u ω ω z z Tale relazoe vale per qualuque tpo graaggo. Co rfereto alla seguete fg. 7, etta C e la crcofereza estera ( aetro e ), C la crcofereza tera ( aetro ), C p la crcofereza prtva ( aetro ), avreo acora: altezza el ete (h), e h ; aeu (h a ), la staza tra crcofereza prtva e crcofereza trocatura estera;

4 PAG. 4 Fg. 7 Altre caratterstche ella etatura eeu (h ), la staza tra crcofereza prtva e crcofereza trocatura tera; l goco testa, g h h ; a lo spessore s e l vao v, rspettvaete le lughezze, sulla prtva, ella parte pea el ete e ella parte vuota tra u ete e l altro (la loro soa è uguale al passo la larghezza el ete (b), seso parallelo all asse; l faco el ete, corrspoete alla superfce obreggata fg. 7. p s + v ; IL MODULO Il passo, preceeteete efto, è u eleeto caratterstco ella etatura che u tepo veva utlzzato coe rfereto per l esoaeto tutte le altre part. Tuttava l passo preseta l coveete essere u uero co la vrgola quato affetto alla rrazoaltà el π. Allora è stato trootto l oulo () efto coe l rapporto tra l aetro prtvo e l uero e et: z Il calcolo elle ruote etate s basa sul calcolo el oulo vuato l quale s passa al proporzoaeto oulare secoo l seguete schea:

5 PAG. 5 CARASTTERISTICA passo aetro prtvo p π z FORMULA aetro estero ± ( z ± ) e aetro tero ± h ±, 5 e e aeu h a eeu h, 5 altezza el ete spessore e vao larghezza goco terasse h h + h, 5 a s v π b λ g 4 z ± z a b λ vee assuto oralete par a elle ruote a et rtt, etre può assuere valor olto aggor caso et elcoal o belcoal. I seg egatv elle forule ove copare ± vao utlzzat el caso graagg ter. LINEA DI INGRANAMENTO Nella fg. 8 vee rappresetato, tre fas successve, l peroo cu ue et D e D elle ue ruote u graaggo s fao cotatto urate l graaeto. Nella fg. 8 a) s veoo ue et el oeto cu zao l cotatto el puto M, che o appartee a essua elle ue prtve, etre l puto R, prolugaeto el raggo O M fo alla crcofereza prtva c p, è propro l puto sulla prtva cu za l cotatto. Quao la prtva c p avrà ruotato a R a C, l puto cotatto s troverà a cocere co l puto tageza tra le ue prtve (fg. 8 b)). S ota che, el frattepo, (fg. 8 a)) l puto M agato apparteete alla pra ruota s

6 PAG. 6 Fg. 8 Lea graaeto e arco azoe troverà M etre se lo agao apparteete alla secoa ruota s troverà M. Cò vuol re che l puto cotatto sul proflo el ete D avrà percorso lo spazo a M a C etre sul proflo el ete D avrà percorso, ello stesso tepo, lo spazo aggore a M a C; ossa c è stato strscaeto tra le superfc e ue et co coseguet proble usura. I ue et s farao l ulto cotatto el puto N (fg. 8 c)) etre sulla crcofereza prtva c p, ella secoa ruota, l corrspoete puto sarà S. Pertato, urate tutto l peroo ell graaeto, put cotatto s sarao spostat a M a N sulla lea MCN (fg. 8 c)) etta lea graaeto, etre le crcofereze prtve avrao percorso coplessvaete (fg. 8 b)) l arco RCS etto arco azoe e, partcolare, l arco a R a C è etto arco accesso etre l arco a C a S è etto arco recesso. Vale la pea sottoleare che, ua coppa ruote etate, l arco azoe eve essere aggore el passo altret l cotatto tra ue et cesserebbe pra ell zo el uovo cotatto tra ue et successv. COSTANA DEL RAPPORTO DI TRASMISSIONE, PROFILO AD EVOLVENTE E FORE SCAMBIATE TRA I DENTI Abbao vsto coe, rspetto alle ruote frzoe, le ruote etate presetao l coveete u leggero strscaeto tra fach e et a cotatto. U altro problea s potrebbe presetare pel l rapporto trasssoe, fatt, etre elle ruote frzoe l puto cotatto (C) o caba a, e qu l rapporto trasssoe s

7 PAG. 7 atee costate urate l oto, elle ruote etate l puto cotatto s uove, coe abbao vsto, lugo la lea graaeto e qu, varao cotuaete la staza tra esso e cetr elle ue ruote, potrebbe scaturre la varabltà, urate l oto, el rapporto trasssoe. Per evtare questo coveete e far s che ache per le ruote etate l rapporto trasssoe s atega costate è ecessaro operare ua scelta opportua e profl e fach e et graat. S può ostrare, fatt, che se profl soo curve capac realzzare la cozoe che og state ell graaeto la orale a ess el puto cotatto pass per l puto C tageza tra le ue prtve, allora certaete l rapporto trasssoe sarà costate. Tale cozoe perpecolartà vee certaete sosfatta a profl cougat che s possoo otteere assegao u proflo arbtraro al ete ua ruota e otteeo, costruttvaete, quello sul ete ell altra coe vluppo geerato al pro el suo oto relatvo toro alla secoa ruota. I pratca, l etoo ell vluppo è l prcpo fuzoaeto su cu s basao le oere etatrc co cu vegoo costrute le ruote etate, etre, per seplctà costruttva e per favorre l tercababltà, s è ecso evtare l arbtraretà ella scelta utlzzao, per tutte le ruote etate, coe proflo ua curva partcolare che è l evolvete cercho. L evolvete vee geerata alle successve poszo assute al puto A ua retta a che vee fatta rotolare esteraete a ua crcofereza (fg. 9b) e è certaete capace sosfare la cozoe perpecolartà e garatre qu la costaza Fg. 9 Proflo a evolvete el rapporto trasssoe. Nella fg. 9a vee

8 PAG. 8 rappresetata la retta a geeratrce e profl a evolvete el suo oto rotolaeto sulle crcofereze raggo r e r eoate crcofereze eferet, s fa otare che tale retta rsulta clata ell agolo θ rspetto alla tagete coue per C alle ue crcofereze prtve ragg r p e r p pertato rsulterà r r cosθ e r r cosθ. Dalla fgura s vee, oltre, p p che tale retta cotee l segeto MCN, efto preceeteete lea graaeto, luogo tutt put cotatto, e qu sepre perpecolare a profl, per cu rappreseta ache la retta a cu appartee la forza che s scabao et e, per questo, vee etta retta azoe, etre l agolo θ fsce per essere coserato ua caratterstca ella etatura etto agolo pressoe, oralete par a. Nella fg. vegoo rappresetate le ue ruote etate ltataete alle loro crcofereze prtve e s ota coe, la forza F che s scabao et a luogo a ue copoet, ua tagezale, F T, e ua raale, F R. La forza tagezale è quella resposable el oto rotatoro e, oltre a essere la copoete ella forza totale, è ache l rapporto tra la coppa otrce e l raggo ella ruota otrce o tra la coppa resstete e l raggo ella ruota Fg. Forze scabate tra et presa cootta: F C F cosθ R T La copoete raale, o è resposable el oto e costtusce ua sollectazoe sull albero su cu soo calettate le ruote, è ata a: C R R F F sθ F taθ R T Nella fg. rportao le forze raale e tagezale che sstoo sul ete e le sollectazo che esse provocao sa sull albero che su support. Fg. Sollectazo otte su albero e support

9 PAG. 9 INTERFERENA E MINIMO NUMERO DI DENTI Nella costruzoe elle ruote etate, o s può sceere sotto u certo uero et seza coproettere l corretto fuzoaeto. I pro luogo s eveza che per poter avere tutto l proflo el ete a evolvete occorre che la crcofereza eferete sa all tero ella crcofereza foo o, al asso, cocete co essa. Realzzao quest ulta potes ovreo avere raggo ella eferete e R R f ove, ovvaete R è l R f quello ella crcofereza foo, se R è l raggo ella prtva, l oulo e θ l agolo pressoe, poché R R cosθ e R, 5, avreo R f R cosθ R, 5 e, sosttueo a ottee R, seplfcao e rsolveo rspetto a s,5 che, per θ forsce l valore 4 et, troppo alto per o avere cosθ ruote eccessvaete gra. Fg. Dete co tratt fal rettle raal Per questo otvo, coserao che la parte ete prosstà ella base o partecpa all graaeto, s sposta la crcofereza eferete all estero quella foo e tratt teral, vco alla base, e profl e et azché a evolvete s prefersce farl rettle raal, coe ostrato ella fg.. Co questa soluzoe, però, bsoga couque ltare l o uero et per o correre l rscho far lavorare la testa e et ella ruota aggore sul tratto rettleo e et ella ruota ore, aveo terfereza. Perché cò o accaa è spesable o sceere sotto u valore o per l uero et el pgoe che s ostra essere fuzoe el rapporto graaggo e ell agolo pressoe secoo la seguete relazoe: I olt cas s può rcavare a apposte tabelle. u + ( + u)s θ u

10 PAG. RUOTE A DENTI ELICOIDALI Le ruote a et rtt, a causa ella brusca varazoe e carch quao s passa a ua coppa et presa alla successva, soo fot vbrazo, urt e ruorostà sepre pù evet all auetare ella veloctà. S può rsolvere l coveete faceo oo che l graaeto avvega co aggore graualtà. Cò s potrebbe avere, a esepo, co ruote a gra, otteute a partre a ua ruota a et rtt taglata pù part e rasseblata co u opportuo sfasaeto tra esse (fg. 3). Ua sle proceura costruttva è però oerosa, etre rsulta pù seplce costrure ruote etate co u uero fto gra, coe potrebbero Fg. 3 Ruota a gra essere apputo pesate le ruote a et elcoal (fg. 4) che, oltretutto, cosetoo otteere la assa graualtà ell graaeto co u sesble aueto ell arco azoe e l coseguete vataggo ella assa slezostà oltre a ua effcace ruzoe el uero o et. Coe s vee ella fg. 4, l ete assue la rezoe u elca clazoe α (oralete varable a a 45 ) rspetto alla rezoe ell asse ella ruota. A causa cò, elle ue copoet ella forza che s scabao et, quella tagezale, che fg. 4 abbao cato co F, rsulta Fg. 4 Ruota a etatura elcoale perpecolare all asse e et e qu ulterorete scopoble ella copoete utle, resposable ella coppa otrce,

11 PAG. F u F cosα, e ua copoete assale, che fsce per sollectare sa gl alber che cuscett assalete, F a F sα. Ne cas Fg. 5 Ruota belcoale p e cu tale copoete assale è grae la s equlbra aullaola co l uso elle ruote belcoal (fg. 5). Passao a esprere le relazo che esstoo tra l passo ell elca p e la sua clazoe α e le eso ella ruota ache faceo rfereto alla fg. 6: π Dp p taα taα ove D p è l aetro ella crcofereza prtva e p è l passo frotale ossa la staza tra Fg. 6 Pass, ella etatura elcoale et cosecutv surata ella rezoe ell asse ella ruota, per π avreo altrettat oul: oulo frotale p ; oulo orale π p a ue et cosecutv surata sulla crcofereza prtva Dp p π, co uero e et. Ovvaete, possao efre (fg. 6) l passo orale, coe staza tra ue et cosecutv surata ella rezoe orale a et, p p cosα e l passo assale, coe staza tra ue p taα p ; oulo assale a π. Dveo quest pass Il oulo che s pree a rfereto per l proporzoaeto è quello orale. pa π

12 PAG. RUOTE CONICHE Abbao gà acceato che per trasettere l oto tra ass cocorret co ruote etate e ecessaro rcorrere alle ruote etate coche che soo l evoluzoe elle ruote frzoe coche. Tal ruote po possoo avere etatura rtta o a et elcoal secoo le ecesstà. Co rfereto alla fg. 7, cu abbao rappresetato co prtv aetro p e p ue ruote coche cu alber cocorroo ello stesso puto co u agolo γ, sappao che l rapporto trasssoe lo possao esprere co uo e seguet rapport tra veloctà agolar, uero gr, uero et o aetr prtv: p p Fg. 7 Co prtv MV sγ sγ MV sγ sγ possao ache re che l rapporto trasssoe è par al rapporto tra se egl agol seapertura e ue co prtv sγ sγ portate relazoe che c ω ω Poché, co le otazo ella fg. 7, s può scrvere: e, qu p p cosetrà, fase progetto, eterare l agolo al vertce e co prtv elle ue ruote coe vereo eglo egl apput calcolo. Nella fg. 8 abbao rportato u graaggo coco sezoato a cu s evce che le eso e et o soo costat a vao ueo verso l vertce e co prtv. Per efre le graezze Fg. 8 Caratterstche elle ruote coche

13 PAG. 3 caratterstche, allora, c s rfersce alle eso asse. Avreo pertato l aetro prtvo p, l aeu h a, l eeu h,, l altezza totale h,, l aetro testa p + cosγ, l aetro base p,4 cosγ. Fg. 9 Forze scabate tra et u graaggo coco Nel caso elle ruote coche la forza totale che s scabao ue et presa, cata co P ella fg. 9 a, prouce ua copoete tagezale pressoe), resposable el oto rotatoro, e ua copoete F P cosθ (co θ agolo S P sθ che, a sua volta, è scopoble (fg. 9 b) elle copoet S S sγ e S S cosγ che soo rette parallelaete agl ass elle ue ruote. Qu ache co le ruote coche, coe co quelle clrche a et elcoal, abbao ua sollectazoe assale sugl alber che eve essere supportata a cuscett reggspta. RENDIMENTO DELLE RUOTE DENTATE Per le ruote etate, la preseza ello strscaeto flueza l reeto trasssoe che rsulta peere al uero et oltre che al coeffcete attrto f : η + f π ± ove l sego eo vale per graagg ter. Noralete, valor reeto per le ruote etate s attestao tra l 95% e l 98%, η,95, 98.

14 PAG. 4 ROTISMI Co u graaggo, ossa ua coppa ruote etate, o è possble trasettere l oto co rapport trasssoe elevatss. Qu s rcorre a tre graagg ossa a se ruote etate graat tra loro calettate su pù alber a costture copless eccas ett rots. Esstoo ue tp rots: rots orar, cu tutt gl alber soo fss ella loro poszoe pur poteo ruotare sul propro asse, e rots epccloal, cu aleo uo egl alber è oble el seso che oltre a poter ruotare toro al propro asse vara la sua poszoe el tepo e ello spazo. La fg. ostra u rotso oraro costtuto all albero otore che ruota a gr al uto, ue alber auslar tere che ruotao a e 3 gr al uto e u albero cootto che ruota a 4 gr al uto; su ess soo calettate le ruote etate,, 3, 4, 5, e 6 et. Per cascu graaggo el rotso s può eterare l rapporto trasssoe: Fg. Rotso oraro et elle ruote u rotso oraro. etre l rapporto trasssoe totale è ato al prootto e rapport parzal. I eftva 4 6 forula utlssa per eterare uer e A esepo, suppoao over realzzare, co u rotso oraro coe quello ella fg., u rapporto trasssoe totale 6; s può fssare, 5, 4 e 3 vsto che pertato potreo aottare le ruote: 3 3 5

15 PAG Il caso ella fg., è u caso partcolare rotso oraro costtuto a sole tre ruote Fg. Rotso oraro co ruota ozosa sull albero cootto reeolo etco a quello ell albero otore. graat. S ota coe l rapporto trasssoe totale è 3 3, ossa coe se la ruota terea o c fosse. I quest cas la ruota terea o altera l rapporto trasssoe e percò vee etta ruota ozosa, la sua preseza serve solo a vertre l seso rotazoe Per rapport trasssoe altss s usao rots epccloal coe ell esepo ella Fg. Rotso epccloale l albero ella plaetara D a gr al uto. fg.. Veao quattro ruote graat tra loro ue elle qual, A e D, calettate su propr alber fss ette ruote plaetare, etre le altre ue, B e C, calettate su u albero oble che oltre a ruotare su se stesso è trascato u oto rvoluzoe al bracco b, ette ruote satellt; l bracco b è etto portatreo. Il portatreo ruota a gr al uto, l albero ella plaetara A a e S osserva che se, urate l oto, prao a og albero u uero gr, uguale e cotraro a quello el portatreo, l rotso verrebbe oraro poché l portatreo s arresterebbe, fatt l suo uero gr verrebbe, etre la ruota A ruoterebbe a gr al uto e la ruota D a gr al uto; co cò, l rapporto trasssoe sarebbe:

16 PAG. 6 Tale relazoe, tra le veloctà e tre alber, etta forula Wlls è olto utle per rsolvere proble relatv a rots epccloal e, coe abbao vsto, rappreseta l rapporto trasssoe el rotso reso oraro. Co tre alber u rotso epccloale s possoo realzzare stuazo verse: ue alber otor e uo cootto; u albero otore e ue coott; u albero otore, uo cootto e uo fsso. Fg. 3 Ruttore epccloale Propro ella terza cozoe, applcata al rotso ella fg., così coe evezato ella fg. 3, cu abbao resa fssa la ruota D ( ), otore l albero el portatreo e cootta la ruota A, ostrereo coe s possa otteere u altsso rapporto ruzoe. I tal caso, l rapporto trasssoe el rotso è ato a: etre la forula Wlls vee: a cu, opo seplc passagg, s ottee: coè, eftva, avreo. Ora, per l rotso reso oraro s ha B D e qu, scelte opportuaete le ruote, a A C esepo co seguet uer et: 3, 9, 3 e 3 s avrebbe A e qu valore veraete alto, otteuto co solo quattro ruote relatvaete pccole eso, possble a otteere co qualsas rotso oraro. B C D