SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 12

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1 De Paulis-Manfredi Costruzione di Macchine SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO Si vuole sostituire ad un ingranaggio costituito da due ruote dentate esterne con angolo di pressione α 0 un altro ingranaggio identico con angolo di pressione maggiore α. Le dentatura hanno proporzionamento normale. Determinare i ricoprimenti. Dati: modulo: m = 3 mm; numeri di denti: Z 1 = 21 e Z 2 = 65; angoli di pressione: α 0 = 20 ; α = 25. Secondo lo schema illustrato nella gura 12.7 del testo il ricoprimento o rapporto di condotta degli ingranaggi a denti dritti è dato dal rapporto tra la lunghezza del segmento dei contatti e la distanza tra i punti di contatto delle due successive coppie di denti che sono simultaneamente e momentaneamente in presa. Nel caso di dentature ad evolvente il segmento dei contatti è rettilineo e forma un angolo α rispetto alla tangente alle circonferenze primitive; la distanza tra i punti di contatto tra le coppie di denti in presa coincide con il loro passo di base. Nel testo è stato illustrato il modello (vedi g. 12.7) che porta a scrivere il rapporto di condotta come segue: Re1 2 ɛ α = R2b1 + Re2 2 R2 b2 a senα m π cos α dove R ej = R j + m, R bj = R j cos α sono rispettivamente il raggio di troncatura esterno ed il raggio di base della ruota j-esima, essendo R j = m Z j /2 il raggio della circonferenza primitiva teorica; a = R 1 + R 2 = m (Z 1 + Z 2 )/2 è l'interasse teorico e m π cos α è il passo di base. Sostituendo i dati dell'esercizio si trovano i valori teorici del rapporto di condotta: ɛ α0 = 1, 68 ; ɛ α = 1, 49. L'aumento dell'angolo di pressione da 20 a 25 riduce perciò di circa il 10% il ricoprimento, senza che ciò pregiudichi il funzionamento regolare dell'ingranaggio. Poiché in pratica l'ingranaggio sarà montato con un interasse reale a a per eetto delle tolleranze di fabbricazione e di montaggio e delle deformazioni termoelastiche di alberi e supporti, l'angolo di pressione non coinciderà con quello della dentiera usata per il taglio con le macchine utensili ed il rapporto di condotta non coinciderà con il valore determinato teoricamente. Dalla gura del testo si nota che variando l'angolo di pressione si modica la posizione del punto superiore di singolo contatto rispetto alla faccia attiva del dente; considerando la forma della cremagliera utensile nei due casi (vedi g del testo) si deduce facilmente l'eetto dell'angolo di pressione sulla forma e soprattutto sullo spessore alla base dei denti delle due ruote.

2 Un ingranaggio cilindrico riduttore a denti dritti, costituito da un pignone e una ruota, deve funzionare a regime con un dato numero di giri costante del motore. Si vuole stabilire se l'ingranaggio funziona oppure no in prossimità del regime critico di risonanza delle due ruote dentate, schematizzate come due volani di forma cilindrica. Dati: Z 1 = 21, Z 2 = 65; modulo m = 3 mm; angolo di pressione α = 20 ; larghezza delle ruote e delle dentature b = 10 m; rigidezza (media) per unità di larghezza dei denti c γ = 20 N/(µm mm), velocità di rotazione del pignone: n 1 = 3000 giri/min. Materiale acciaio. Adottando il modello semplicato mostrato nella gura (a) del testo si può calcolare la frequenza naturale del sistema composto unicamente dalle due ruote dentate. Queste si assumono collegate elasticamente fra loro tramite le dentature deformabili. Questo modello permette di ricondurre lo studio dell'oscillazione a quello di due masse equivalenti m i = J i r 2 ib collegate tra loro da una molla di rigidezza 1 k = c γ b. Qui J i = ρ π ri 4 b/2 è il momento d'inerzia della ruota i-esima, supposta piena, e r ib, r i sono i raggi delle circonferenze rispettivamente di base e primitiva (si compensano così gli eetti dei pieni e dei vuoti della dentatura.) Per risolvere l'esercizio si può porre: ρ = 7850 kg/m 3, r i = m Z i /2 e r ib = r i cos α dove α è l'angolo di pressione che qui si assume pari a 20. Sostituendo i valori assegnati si trovano: m 1 = 0, 4 kg, m 2 = 3, 9 kg, k = c γ b = N/m. Dalla Meccanica si sa che la pulsazione naturale di un oscillatore costituito da due masse unite da una molla di rigidezza k è pari a quella di un oscillatore semplice costituito da una singola massa equivalente m eq = m 1 m 2 m 1 + m 2 collegata al telaio sso tramite la molla. La pulsazione naturale e la frequenza propria di questo oscillatore cstituito da due masse saranno: k ω n = ; f n = ω n m eq 2 π Sostituendo i dati dell'esercizio si trova f n = 6350 Hz. L'eccitazione proviene dall'ingranamento dei singoli denti, che si manifesta con una 1 Si tenga presente che la rigidezza per unità di lunghezza cγ delle dentature varia relativamente poco anche se gli ingranaggi sono molto diversi fra loro per modulo o numero di denti

3 3 frequenza pari a f e = n 1 Z 1 /60 = 1050 Hz. Di conseguenza facendo girare il pignone a questa velocità di rotazione si opera in regime subcritico, rispetto a quello di risonanza. L'intervallo di frequenze critico si assume infatti, di regola, con un'estensione pari al ±25% del valore della frequenza naturale. Trascurando le risonanze secondarie, dovute all'andamento non armonico della forza eccitatrice, si può determinare il fattore dinamico K v in funzione della precisione e della velocità periferica delle dentature, che qui non è particolarmente alta, essendo pari a circa 10 m/s. Adottando la formula della normativa ISO per il caso di dentature retticate si deve porre: K v = ( A A v p ) B, con A = 92, B = 0, 25 e velocità in m/s si trova perciò K v = 1, 1. Nel modello che qui si è adottato si eettua un calcolo semplicato trascurando sia l'elasticità essionale e torsionale degli alberi, ai quali sono collegate di regola altre masse, sia i contributi di componenti deformabili elasticamente quali i giunti, i supporti e la carcassa.

4 Un pignone a denti dritti trasmette il moto ad una corona con dentatura interna. Calcolare il rapporto di trasmissione, la pressione hertziana nel centro istantaneo di rotazione e la massima tensione di essione alla base dei denti sia del pignone che della corona. Dati: coppia da trasmettere M = 150 Nm, modulo m = 2 mm, angolo di pressione α = 20, numeri di denti Z p = 25 e Z c = 75; larghezza dei denti: b p = 22 mm, b c = 18 mm, K o = 1,3; K m = 1,5; K v = 1,2. Per quanto riguarda la sollecitazione a essione dei denti, considerare la corona a dentatura interna come se fosse una cremagliera, assumendo di conseguenza J p 0, 4 per il pignone e J c 0, 5 per la corona. Materiali: acciaio. Il rapporto di trasmissione i sarà positivo, perché il verso della rotazione del pignone è lo stesso di quello della ruota. Sarà i u = Z c /Z p = +3. La pressione di contatto nel centro istantaneo di rotazione si può calcolare con la formula di Hertz per il caso del contatto di due cilindri ad assi paralleli, l'uno di forma concava (dente della corona) e l'altra convessa (dente del pignone), che si scambiano una forza per unità di lunghezza F/b c dove F = M/(R p cosα). F è la forza che si scambiano le dentature e che in questo caso coincide con la forza sul dente poiché nel centro istantaneo di rotazione resta in presa una sola coppia di denti. I raggi di curvatura locali delle evolventi ρ c, ρ p sono pari alle distanze del centro istantano di rotazione dai punti di tangenza della retta d'azione con le circonferenze di base. Sarà quindi (vedi gura del testo, che però riguarda due dentature esterne): T C = ρ c = R c senα ; T C = ρ p = R p senα. Il modulo di Young equivalente, essendo entrambe le dentature in acciaio, si può scrivere: E E eq = 2(1 ν 2 ). Quindi la pressione hertziana di contatto - che sarà la stessa sul pignone e sulla corona - calcolata nel centro istantaneo di rotazione è data dalla: ( F K o K m K v 1 p Hz = E eq 1 ). π b c ρ p ρ c Per quanto riguarda la tensione alla base dei denti, calcolata nell'ipotesi che il contatto avvenga nel punto superiore di singolo contatto, si ottengono rispettivamente per i denti del pignone e per quelli della corona: σ p = F t K o K m K v m b p J p ; σ c = F t K o K m K v m b c J c, dove per la forza tangenziale si prenderà: F t = M/R p. Sostituendo i dati dell'esercizio si trovano i seguenti valori: p Hz = 1549 MPa ; σ p = 798 MPa ; σ p = 780 MPa.

5 I valori qui calcolati sono molto alti rispetto ai limiti dell'attuale tecnologia, soprattutto nel caso che fosse richiesta una lunga durata dell'ingranaggio a pieno carico (si vedano i limiti di resistenza riportati nelle Appendici ai capp. 4 e 5 e l'osservazione circa la relazione tra durezza e resistenza a fatica superciale al termine del paragrafo 5.8). Per ridurre queste sollecitazioni ed assicurare un'adeguata durabilità sarebbe utile allargare i denti (aumentare b), tuttavia, poichè il pignone sarà montato necessariamente a sbalzo, ciò potrebbe peggiorare le condizioni di contatto (aumento di K m ). 5

6 Calcolare il prodotto tra la velocità di strisciamento e la pressione hertziana all'inizio del contatto in accesso di un ingranaggio cilindrico con dentatura esterna. Dati: modulo m = 3 mm; angolo di pressione α = 20 ; numero di denti Z 1 = 21, Z 2 = 65; velocità di rotazione del pignone n 1 = 1500 giri min 1. Il modello che riconduce il contatto tra i denti ad evolvente a quello di cilindri ad assi paralleli, già utilizzato nel precedente esercizio, permette di determinare lo strisciamento, che è pari a quello che si manifesterebbe tra questi cilindri se ciascuno di essi rotasse intorno al proprio centro (i punti T o T') con la velocità di rotazione della rispettiva ruota dentata (vedi gura 12.9). Nel punto A in cui inizia il contatto tra il anco del dente del pignone motore e la testa del dente della ruota, i raggi di curvatura di questi cilindri sono rispettivamente: ρ 1 = T A = T T T A, ρ 2 = T A = R2e 2 R2 2b, dove T T = (R 1 + R 2 )senα, R 1 = mz 1 /2, R 2 = mz 2 /2, R 2e = R 2 + m, R 2b = R 2 cos α. La pressione hertziana nel punto A sarà: p Hz = ( C F K o K m K v 1 E eq + 1 ), π b ρ 1 ρ 2 dove F è la forza scambiata tra le dentature e 0 < C 1 denisce l'aliquota di questa forza che grava sulla coppia di denti che entra in contatto, riducendo così la sollecitazione sull'altra coppia di denti che è di già in presa. In prima approssimazione si può porre C = 0, 5 se l'ingranaggio è preciso e C = 1 se è impreciso. Per quanto riguarda la velocità di strisciamento essa sarà, secondo il modello dei cilindri rotanti detto prima: v s = ω 2 ρ 2 + ω 1 ρ 1. Assumendo i dati dell'esercizio 3 sia per quanto riguarda la coppia agente sul pignone sia per il materiale, ponendo b = 10 m ed introducendo i restanti dati come sopra indicato si trova: p Hz = 91 MPa, v s = 1, 6 m/s, p Hz v s = 150 MPa m/s. Assumendo un coeciente di attrito f = 0, 06, valore comune per ingranaggi ben lubricati, si ottiene una potenza specica dissipata pari a f p Hz v s = 9 W/mm 2.

7 Calcolare in prima approssimazione le perdite per attrito di un ingranaggio riduttore costituito da due ruote a dentatura dritta. Dati: potenza in ingresso P m = 50 kw, numero di giri in ingresso: n 1 = 1500 g/min, modulo m = 3 mm; larghezza delle dentature b = 10 m = 30 mm; numeri di denti: Z 1 = 21; Z 2 = 65; angolo di pressione: α = 20. Vi sono vari modelli per calcolare le perdite per attrito, tra cui quello riportato nel paragrafo Secondo quest'ultimo modello la perdita media di potenza P a attribuibile allo strisciamento di ogni coppia di denti è data dalla: P a = P m 1 Ā B B A f 1 cosα F F max v p v s v p dx, dove Ā B è la lunghezza del segmento dei contatti (vedi esercizio N.1). Il coeciente d'attrito è variabile, riducendosi vistosamente nell'intorno del centro istantane di rotazione C, dove il moto relativo è di puro rotolamento. Qui si assume un valore costante del coeciente d'attrito f 0, 06 che è un plausibile valore medio per il coeciente di attrito cinetico in un ingranaggio ben lubricato. F è la forza variabile scambiata tra i denti e F max è la forza scambiata tra i denti di una singola coppia in presa. La velocità di strisciamento v s ed il suo rapporto con la velocità periferica v p devono essere determinati, come si è visto nell'esercizio precedente. Dal punto di vista dello strisciamento il segmento dei contatti si divide in una parte in accesso AC ed una in recesso CB, nei quali la velocità di strisciamento varia linearmente, assumendo valori massimi e di verso opposto alle due estremità. Qui interessa solo il suo valore assoluto. Per quanto riguarda la forza, si può suddividere il segmento dei contatti in tre parti AH HK KB delimitati dai punti di inizio e ne del contatto e dai due punti inferiore e superiore di singolo contatto tra i denti. Sarà AK = HB = p b, perciò AH = KB = AB p b, HK = 2 p b AB. Nei tratti AH e KB si assume di regola che, negli ingranaggi precisi ed in condizioni quasi statiche, la forza vari tra circa 1/3 e 2/3 del valore massimo per eetto della variazione delle rigidezze delle due coppie di denti simultaneamente in presa. Per semplicità qui si assume che resti costante e che sia F = 0, 5 F max. Poichè il raggio del pignone è R 1 = m Z 1 /2 la velocità periferica dell'ingranaggio sarà: v p = ω 1 = R 1 = 2π n 1 m Z Con i dati dell'esercizio si trova: v p = 4, 95 m/s. La velocità di strisciamento è nulla nel centro istantaneo di rotazione ed assume i seguenti valori massimi all'inizio ed alla ne del contatto: v s,a = ω 2 ρ 2,A ω 1 ρ 1,A, v s,b = ω 2 ρ 2,B ω 1 ρ 1,B, dove: ρ 1,A = T A = T T T A = (R 1 + R 2 )senα T A; ρ 2,A = T A = R 2 2e R2 2b,

8 ρ 1,B = T B = R 2 1e R2 1b ; ρ 2,B = T B = T T T B. La lunghezza del segmento AB dei contatti si trova tramite la relazione, già usata in precedenza: AB = R 2e1 R2b1 + Re2 2 R2 b2 a senα. Con i dati dell'esercizio si trovano: T A = 18 mm, T A = 26 mm, T B = 41 mm, T B = 3 mm, AB = 15 mm. I corrispondenti valori estremi del rapporto v s /v p sono 0,29 in A e 0,33 in B. Conviene suddividere l'integrazione in quattro parti corrispondenti ai segmenti AH, HC, CK, KB. Sostituendo i valori numerici, si ottiene 2 P a = 687 W per cui il rendimento è: η = P m P a P m = 1 P a P m = 0, 986 Questo valore rientra tra quelli comunemente osservati in questi casi. E' infatti spesso giusticata la regola pratica di approssimare con la potenza dissipata in ogni ingranamento tra due ruote dentate al 1% della potenza entrante nell'ingranaggio. Questo modello non permette di fare agevolmente una distinzione tra la fase di accesso e quella recesso. La seconda è invece più favorevole della prima, dal punto di vista della lubricazione e dell'attrito, così che si possono ottenere miglioramenti del rendimento ampliando, grazie alla correzione dei denti, la fase di contatto in recesso. 8 2 Si possono ottenere valori leggermente diversi eseguendo lintegrazione per via numerica tramite un foglio di calcolo oppure seguendo in metodo diretto.

9 Calcolare il rapporto di riduzione tra l'albero del motore e quello dell'elica riferendosi alla gura del testo. Dati: semiangolo al vertice del cono primitivo della ruota conica motrice γ 1 = 79 ; semiangolo al vertice del cono primitivo della ruota conica solidale con la carcassa γ 2 = 37. Supponendo che l'elica - non mostrata nella gura - eserciti una forza traente F ed una coppia resistente M r attorno all'asse di rotazione e che il motore trasmetta unicamente una coppia M m, eettuare qualitativamente l'analisi dei carichi per questo riduttore. Il rapporto di trasmissione del rotismo ordinario che si otterrebbe bloccando il portatreno (l'albero dell'elica) e consentendo la rotazione della ruota dentata conica 2 (che qui è solidale alla carcassa) sarebbe negativo (il verso delle due ruote sarebbe opposto). Il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è infatti pari a: i 0 = ω 1 = R 1 = L senγ 2 = 0, 613. ω 2 R 2 L senγ 1 Adottando la formula di Willis, il rapporto di trasmissione tra l'albero motore e l'albero dell'elica, che ruota con velocità Ω, è dato dalla 3 : i = ω 1 Ω = 1 + senγ 2 senγ 1 = 1, 613. Per quanto riguarda l'analisi dei carichi, si ricorda in primo luogo la necessità di esaminare singolarmente: carichi di servizio (qui: trasmissione della potenza all'elica e trasmissione della forza di tiro dell'elica al telaio) carichi di peso proprio carichi dovuti all'inerzia dipendenti sia dal moto dei componenti (qui: forze centrifughe dovute alla rotazione del riduttore, ivi compresi gli eetti dell'imperfetto equilibramento, coppie giroscopiche relative a questo moto) sia al moto della piattaforma (qui: accelerazioni dovute alle manovre dell'aereo e relative azioni giroscopiche) carichi attribuibili a oscillazioni e vibrazioni (qui, ad esempio, l'analisi armonica della coppia motrice M m rivelerebbe componenti periodiche dovute al ciclo di funzionamento di ogni cilindro del motore alternativo, dal numero dei cilindri e dalla loro disposizione costruttiva) carichi dovuti all'attrito (qui trascurabili, grazie ai cuscinetti volventi) carichi dovuti all'ambiente (qui limitati alle azioni dell'aria che lambisce la carcassa del riduttore) 3 Nelle versioni precedenti questi motori Piaggio azionavano l'elica in presa diretta; ciò giustica il basso valore del rapporto di riduzione.

10 10 carichi di origine termica (qui presumibilmente trascurabili, quando il riduttore abbia raggiunto il suo regime termico) carichi occasionali od accidentali (ad esempio dovuti all'impatto di un volatile con l'elica). Nel seguito, per semplicità, si considerano solo i carichi di servizio e quelli d'inerzia dovuti alla rotazione del riduttore. Data la coppia motrice M m, supposta costante, la coppia resistente sarà M r = M m i η dove η < 1 è il rendimento meccanico complessivo del riduttore. Su ogni ruota dentata conica la trasmissione della potenza determina una forza che per convenienza si usa rappresentare tramite tre componenti: F t tangenziale, F r radiale, F a assiale; quest'ultima nelle ruote a denti dritti e, di regola, anche in quelle spiroidali è diretta verso la base maggiore del cono. Nota la coppia M si trova la forza tangenziale F t = M/(n R) dove n rappresenta il numero delle linee di usso della potenza ed R il raggio medio della ruota. Qui n = 3 poiché vi sono tre satelliti e tre linee di usso della potenza. Le altre componenti F r, F a sono legate a F t da relazioni che tengono conto della geometria della ruota dentata (vedi paragrafo ). Il tiro dell'elica si può rappresentare come una forza normale di trazione applicata all'albero dell'elica, che sarà equilibrato dalla reazione dei due cuscinetti a sfere che lo vincolano alla carcassa. 4 Esercizio 12.6 gura Carichi e reazioni agenti sull'assieme. 4 In determinati assetti di volo l'elica può generare anche una forza trasversale all'asse.

11 11 gura Carichi e reazioni agenti sul portatreno ed i satelliti gura Carichi e reazioni sulla carcassa e sulle ruote dentate coniche. Nella gura sono mostrati i carichi di servizio che agiscono sull'assieme del riduttore ed i carichi e le reazioni vincolari che riguardano i componenti principali. Poichè la rotazione dell'albero dell'elica ha lo stesso verso di quella del motore, la coppia resistente dell'elica M r sarà di verso opposto a quella M m del motore. Dall'equilibrio dell'assieme si trovano le reazioni vincolari, costituite dalla forza risultante R v uguale ed opposta alla forza F e dalla coppia M v = (M r M m ) il cui verso appare nella gura Nelle gure e sono mostrati i componenti principali e le forze esterne e di reazione agenti su di essi. Su ogni satellite, che ingrana con le ruote coniche 1 e 2, agiscono due forze tangenziali concordi F t unitamente alle componenti radiali F r e assiali F r. Le prime si equilibrano tra loro, la risultante delle seconde è equilibrata dalla reazione del cuscinetto reggispinta a sfere, che trasmette questa forza di trazione al tappo -

12 12 lettato all'estremità di ogni braccio portasatelliti, solidale all'albero dell'elica. Il cuscinetto di strisciamento con lubricazione idrodinamica che vincola radialmente ogni satellite trasmette analogamente la risultante delle due forze F t al rispettivo braccio portasatellite, generando così una coppia che è equilibrata dalla coppia di reazione dell'elica. Sull'albero dell'elica agiscono inoltre la forza di tiro dell'elica F e la forza di trazione 3 F a1 esercitata dalla risultante delle forze assiali agenti sulla ruota conica 1. Questa è collegata all'albero motore tramite un manicotto dotato sia di un accoppiamento scanalato conico interno, che riceve il moto del motore, sia di un altro di forma cilindrica esterno che si accoppia con la ruota 1. La spinta assiale è trasmessa ad un cuscinetto reggispinta e da questo all'estremità lettata esternamente dell'albero. L'equilibrio in direzione assiale dell'albero dipende anche dalle componenti lungo tale asse delle forze 2 F a applicate a ciascun braccio, che equilibrano la forza 3 F a1. Dall'equilibrio dell'assieme si sa infatti che i cuscinetti volventi che sostengono l'albero sono sollecitati unicamente dalla forza F, che i cuscinetti trasmettono alla carcassa. Quest'ultima riceve la coppia dovuta alla ruota 2 tramite una bussola dotata di accoppiamento scanalato, che si impegna con quello della ruota 2. La coppia torcente dovuta alla ruota 2 sarà equilibrata da quella di reazione M v che la carcassa riceve dal telaio. L'equilibrio delle ruote coniche 1 e 2, descritto in precedenza, è illustrato nella gura , unitamente a quello degli altri componenti. Per quanto riguarda i carichi inerziali dovuti ad una rotazione a regime costante, con aereo in volo rettilineo ed uniforme, vi sono forze centrifughe F c = m s r Ω 2, che tendono ad allontanare il baricentro dei satelliti dall'asse, dove r è la distanza del baricentro dall'asse e m s la massa del satellite e delle parti solidali ad esso (es.: anelli dei cuscinetti). Vi sono inoltre coppie giroscopiche agenti sugli stessi satelliti. Dalla Meccanica si conosce la relazione M g = J ω s Ω che fornisce la coppia giroscopica; J è il momento d'inerzia del satellite rispetto al suo asse di rotazione (asse giroscopico), ω s è la sua velocità di rotazione e Ω, velocità angolare del portatreno, corrisponde alla velocità angolare di precessione. Queste forze e queste coppie, che avranno per simmetria risultanti complessive nulle (se si trascurano le inevitabili dierenze tra i satelliti), solleciteranno però i cuscinetti ed i bracci dell'albero.

13 Mostrare, completando il disegno in gura, come si potrebbe montare l'albero di un pignone conico dotato di cuscinetti a rulli conici in modo che sia possibile registrare indipendentemente il precarico sui cuscinetti e la posizione del vertice del cono primitivo. Esercizio 12.7; in rosso si indica la soluzione proposta Il precarico dei cuscinetti conici può essere ottenuto tramite una ghiera, come si è già visto al Capitolo 9. Per evitare che nel serraggio di questa ghiera si superi il valore di precarico specicato si può inserire tra i due anelli interni un distanziale preciso e non eccessivamente rigido, come è indicato con la linea a tratti. Le dentature coniche richiedono che i vertici dei coni primitivi coincidano entro strette tolleranze. Volendo ottenere questa coincidenza tramite un'operazione di aggiustaggio, si può montare il pignone ed i suoi cuscinetti su un cannotto apposito, qui indicato in rosso, che può essere leggermente spostato in direzione assiale e la cui posizione denitiva può essere ssata per mezzo di un anello retticato, di opportuno spessore. L'ingranamento corretto e la messa a punto dello spessore ottimale possono essere ottenuti facendo ingranare sotto carico le dentature dopo avere colorato le facce dei denti di una di esse (es.: con il blu di Prussia ovvero ferrocianuro ferrico) o dopo averle ricoperte di materiale tenero ed aderente (es.: rame). Dalle tracce colorate o di usura si possono ricavare informazioni sull'errore eventualmente da correggere.

14 Tradurre il disegno del riduttore planetario della gura del testo in uno schema adatto a determinare i carichi sui componenti, con particolare attenzione ai tre satelliti. Calcolare il rapporto di trasmissione e le forze trasmesse dalle dentature corrispondenti ai seguenti dati: coppia resistente M r = 1000 Nm; modulo delle dentature m = 4 mm; numeri di denti del pignone Z p = 27, dei satelliti Z s = 36 e della corona Z c = 99; larghezza di ciascuna dentatura elicoidale b = 63 mm; angolo di inclinazione dell'elica β = 15. Esercizio 12.8 gura Carichi e reazioni agenti sull'assieme. gura Carichi sul contro albero e sul pignone motore. La gura del testo, qui riporata come gura , mostra un riduttore planetario con tre satelliti a dentatura elicoidale. I satelliti sono montati tramite perni

15 15 gura Carichi sui satelliti, sui perni, sulle corone e sull'anello di vincolo. e cuscinetti a lubricazione idrodinamica su un robusto portatreno sostenuto a sua volta da due cuscinetti a lubricazione idrodinamica. Tale soluzione è idonea per un impiego quasi ininterrotto a regime quasi costante (comando di macchine operatrici a uido, applicazioni navali). Il pignone e la corona a dentatura interna sono montati ottanti (soluzione isostatica di Stoeckicht, 1940). Il pignone riceve il moto ed il momento motore M m tramite un cannotto (o contro-albero, quill shaft) che reca di pezzo le dentature dei giunti a denti, rispettivamente esterni ed interni, posti alle due estremità. La corona è sdoppiata, con dentature interne elicoidali nell'uno e nell'altro verso che ingranano con i satelliti; ciascuna corona è ottante ed è collegata tramite dentature ad un anello destinato a vincolarle assialmente, per mezzo di anelli elastici, ed a trasmettere la coppia di reazione M v alla carcassa tramite apposite dentature. Questo anello è perforato per consentire all'olio che vi si raccoglie, anche per via della forza centrifuga, di deuire nella carcassa, da cui viene aspirato e rimesso in circolo tramite un impianto di lubricazione esterno, non mostrato dal disegno. Il portatreno è reso solidale all'albero di uscita tramite una sede di centraggio ed una corona di viti mordenti. Il rapporto di trasmissione di questo riduttore è dato (vedi paragrafo ) dalla: u = ω/ω = 1 + (Z 3 /Z 1 ) = 1 + (99/27) = 4, 667. dove ω è la velocità angolare del pignone motore e Ω quella concorde del portatreno, collegato all'uscita. Assumendo un rendimento complessivo η = 0, 98, valore plausibile per via del migliore rendimento degli ingranaggi interni e per la presenza dei cuscinetti idro-

16 16 gura Carichi sul portatreno e sull'albero di uscita. dinamici, il momento motore necessario sarebbe: M m = M r u η = 219 Nm. L'analisi dei carichi si può eettuare nel modo già visto nell'esercizio N.6. I carichi dovuti al peso proprio del sottoassieme costituito da portatreno, satelliti, perni ed albero di uscita sollecitano i cuscinetti e provocano una coppia ettente che si trasmette anche tramite il collegamento a viti, unitamente alla coppia torcente. I carichi inerziali sono dovuti alle forze centrifughe. Quelle che agiscono sui satelliti determinano, unitamente ai carichi di servizio, i carichi a cui sono complessivamente sottoposti i cuscinetti e i perni dei satelliti, i quali sono tra i componenti più sollecitati di questo riduttore. Nel seguito si quanticano unicamente i carichi di servizio, assumendo cautelativamente che la coppia resistente sia data dalla M r = M m u = 1020 Nm. Nell'ipotesi di una perfetta ripartizione della potenza lungo le tre linee di usso previste, le forze agenti su ogni dentatura elicoidale sono le seguenti: F t = 2 M m 3 D p, tgα n F r = F t cosβ, F a = F t tgβ. dove α n è l'angolo di pressione riferito alla sezione normale dei denti, che qui si assume pari a 20 e D p = m Z p = 108 mm. Con i dati di cui sopra si trovano: F t = 1350 N ; F r = 509 N ; F a = 362 N.

17 17 Queste forze sollecitano tutte le dentature. Si noti che le forze assiali agenti sulle due fasce dentate sia del pignone che dei satelliti hanno verso opposto, equilibrandosi a vicenda. Sui cuscinetti dei satelliti, sui perni e sul portatreno la risultante delle forze tangenziali è pari a 2 F t = 2700 N. Ciascuna di queste forze agisce ad una distanza R = m (Z p + Z s )/2 = 126 mm dall'asse di rotazione ed una coppia risultante M = 3 2 F t R = 1020 Nm = M r come è ovvio. Le forze tangenziali agenti sulle corone a dentatura interna si trovano ad una distanza R = m (Z p /2 + Z s ) = 198 mm dall'asse di rotazione, determinando la coppia di reazione M v = 3 F t R = 801 Nm = M r M m, come è richiesto dalle condizioni di equilibrio dell'assieme.

18 Mostrare con un disegno schematico l'adozione del concetto di ripartizione del usso della potenza in un riduttore a ingranaggi cilindrici a due stadi. Disegnare quindi una plausibile soluzione costruttiva, mostrando il montaggio degli alberi e delle ruote dentate di questo riduttore. Esercizio 12.9 Si possono moltiplicare le linee di usso della potenza, come è mostrato dallo schema posto sulla sinistra della gura In questo modo il carico su ogni dente è teoricamente ridotto secondo il rapporto F = 2 M q D, dove M è la coppia corripondente alla potenza ed al numero di giri assegnati, D è il diametro primitivo e q è il numero delle linee di usso di potenza eettive. Nell'esempio 12.6 si è dimostrato che, a parità di materiale, di numero di denti e di proporzionamento generale delle dentature, il diametro D del pignone di un riduttore con tre linee di usso della potenza dovrebbe essere teoricamente: D = D 0 / 3 3, dove D 0 è il diametro del corrispondente pignone del riduttore a singola linea di usso della potenza. Infatti si può scrivere, per la resistenza a rottura dei denti: F t0 b 0 m 0 J = F t b m J 2 M Z (b 0 /m 0 ) D0 3 J = 2 M Z 3 (b/m) D 3 J, e imponendo b 0 /m 0 = b/m ed essendo Z, J invariati si arriva alla condizione D = D 0 / 3 3 detta prima. Ad analoghe conclusioni si arriva considerando la resistenza a fatica superciale. Con la moltiplicazione delle linee di usso di potenza è quindi possibile ridurre gli ingombri complessivi ed il peso di un riduttore (o di un moltiplicatore) e tale vantaggio può superare, anche dal punto di vista del costo, la maggiore complessità dell'ingranaggio.

19 19 gura Disposizione con tre linee di usso e possibile soluzione costruttiva. Adottando un ingranaggio planetario (vedi esercizio N.8) si potrebbe sfruttare sia l'eetto della moltiplicazione dei ussi di potenza sia l'eetto dell'aumento di una unità del rapporto di trasmissione, a parità di altri fattori; infatti: ω 1 /Ω = [1 + (Z 3 /Z 1 )] (vedi paragrafo ). L'ingombro e peso di un ingranaggio planetario sono infatti teoricamente minori di quelli del corrispondente

20 20 ingranaggio con un pari numero di linee di usso ma con assi ssi. A livello di progetto concettuale, per ridurre ulteriormente gli ingombri ed i pesi si può valutare la possibilità di un aumento del numero delle linee di usso della potenza ed inoltre si potrebbe aumentare il valore del rapporto b/m (o b/d) tra la larghezza ed il modulo (o il diametro) dei pignoni, grazie all'assenza di inessione dell'albero indotta dalle forze sulle dentature. Anchè la ripartizione della potenza sulle tre linee di usso sia uniforme occorre adottare una straordinaria precisione di costruzione e di montaggio oppure una soluzione isostatica, tale da favorire lo spontaneo adattamento del pignone e dell'ultima ruota condotta alle altre ruote dentate. Quest'ultima soluzione è preferibile, perché è intrinsecamente più robusta, nel senso indicato al Capitolo 1. Nella gura di destra si indica una possibile soluzione costruttiva (non particolarmente leggera) di questa natura. Sia il pignone motore, sia la ruota condotta nale, entrambi rappresentati con il colore blu, sono montati in modo ottante. Il pignone è azionato dall'albero di ingresso del moto tramite un accoppiamento scanalato. Gli spostamenti assiali sono impediti da un lato con un anello elastico dall'altro tramite il contatto di un'estremità sagomata del pignone. La ruota è montata con gioco sull'albero di uscita tramite uno scanalato ed è impedita di traslare assialmente tramite un anello elastico ed un tappo avvitato all'albero. Il disegno dovrebbe essere migliorato sia dal punto di vista della lubricazione (la lubricazione a sbattimento delle ruote e dei cuscinetti posti superiormente potrebbe non essere adeguata), sia dal punto di vista della leggerezza (carcassa, alberi e corpi ruota alleggeriti).