Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 7

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1 Anno Scolastico 009/010 Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 7 TRASMISSIONE DEL MOTO CON - RUOTE DI FRIZIONE - RUOTE DENTATE - CINGHIE PIATTE E TRAPEZIOIDALI Prof. Matteo Intermite 1

2 7. INTRODUZIONE Istituto Professionale Statale per l'industria e l'artigianato In questo capitolo ci si prefigge lo scopo di illustrare i principali metodi di trasmissione del moto tra due assi. In particolare si approfondirà la teoria delle ruote di frizione, delle ruote dentate e delle cinghie. Alla fine di ogni capitolo sono presenti degli esercizi svolti o delle procedure di calcolo che possono essere un valido aiuto alla comprensione delle metodologie di risoluzione. 7.1 RUOTE DI FRIZONE Un esempio semplice di trasmissione tra due alberi non molto distanti tra loro e quello delle ruote di frizione. Lateralmente è riportato lo schema di tale trasmissione, costituita da due ruote di diametri D1 e D, la prima sull albero motore con velocità angolare ωm e momento motore Mm, la seconda sull albero condotto con velocità angolare ωu e momento resistente MR. Il moto può trasmettersi grazie all aderenza che fa nascere una forza tangenziale T in seguito alla forza R con cui vengono spinte le ruote l una contro l altra, se f è il coefficiente d attrito, sarà: T = f R D1 D Nella figura è indicato con I = + l interasse, si pone in evidenza che, in assenza di slittamento, la velocità periferica del punto di contatto sulla ruota 1 è uguale a quella del punto di contatto sulla ruota. V = V 1 Prof. Matteo Intermite

3 Quindi avremo che: D1 D ω1 D ω1 = ω e cioè i = = ω D 1 Quindi il rapporto di trasmissione dipende dal diametro delle due ruote. Quest ultima formula insieme a quella dell interasse ci consente di dimensionare correttamente i diametri delle due ruote. In pratica, le ruote di frizione hanno un campo d impiego piuttosto limitato, pur avendo il vantaggio della silenziosità e della regolarità della trasmissione, poiché sono utilizzabili solo per potenze modeste. Infatti per potenze elevate deve risultare elevata la forza T = f R ma, poiché il coefficiente d attrito per i materiali comunemente impiegati (acciaio, ghisa) è piuttosto basso (f=0,10-0,15), occorrerebbero spinte R molto elevate con conseguenti eccessive sollecitazioni sugli alberi, sui perni, sui cuscinetti, ecc ESEMPIO DI CALCOLO DI DUE RUOTE DI FRIZIONE Dimensionare una coppia di ruote di frizione, capaci di trasmettere una potenza di kw tra due alberi paralleli distanti 0,5 m e ruotanti rispettivamente a n1=500 giri/min ed n=330 giri/min. SOLUZIONE: Per l interasse I = 0,5 m = 500 mm avremo: D1 D + = 500 ω1 n1 500 mentre per il rapporto di trasmissione i = = = = 1,515 avremo: ω n 330 D D = 1 1,515 Pertanto risolvendo i sistema: D1 D + = 500 D1+ D = 1000,515 D1 = 1000 D1 = 398mm D D = 1,515 D1 D = 1,515 D = 1,515 1 D = 60mm D1 Per completare il dimensionamento, occorre determinare la larghezza b delle due ruote Prof. Matteo Intermite 3

4 che supporremo di costruire in ghisa. Procediamo al calcolo del momento motore dalla formula della potenza: π n1 N = M1 ω1 con ω1 = = 60 Quindi: 1 5,36 rad s N 000 M1 = = = 38,197N m= 38197N mm ω 5,36 M Occorre quindi una forza tangenziale T = = = 19 N D 398 Ipotizzando un coefficiente d attrito f=0,15 dovremmo avere una forza premente: T 19 R = = = 180N f 0,15 Supponendo che la pressione specifica ammissibile lungo la generatrice di contatto sia p amm N = 0 possiamo ricavare la larghezza b delle ruote: mm R 180 b= = = 64mm p 0 amm 1 Prof. Matteo Intermite 4

5 7. RUOTE DENTATE 7..1 GENERALITA Abbiamo visto che con le ruote di frizione si hanno dei limiti nella trasmissione di potenze elevate a causa delle proibitive sollecitazioni radiali cui devono essere sottoposte per garantire l aderenza. A partire da due ruote di frizione ideali, rappresentate dalle circonferenze tratteggiate, immaginiamo di ricavare sulle loro superfici esterne una serie di denti, alternati a spazi vuoti, che durante il moto si compenetrino facilmente; è evidente come, in tal caso, la trasmissione della potenza non è più affidata all attrito ma alla spinta che ciascun dente della ruota motrice esercita su quelli della ruota condotta. In tal modo, purché si costruiscano denti sufficientemente robusti, sarà possibile trasmettere potenze anche grandi. Si definisce INGRANAGGIO un meccanismo composto da due ruote dentate una delle quali (motrice) trasmette il moto all altra (condotta). A seconda dell andamento dell asse dei denti, la dentatura può essere diritta (a), elicoidale (b) o bielicoidale (c). Con gli ingranaggi si può trasmettere il moto, oltre che tra due alberi con assi paralleli (con ruote cilindriche a denti diritti e a denti elicoidali), anche tra alberi ad assi concorrenti (utilizzando ruote coniche sia a denti diritti che elicoidali), tra alberi ad assi sghembi. Prof. Matteo Intermite 5

6 Inoltre è possibile operare la trasformazione del moto da rotatorio a traslatorio con il meccanismo pignone/cremagliera. Dato un ingranaggio si definisce pignone la ruota dentata di diametro minore e ruota quella di diametro maggiore. Si definisce interasse la distanza tra gli assi delle due ruote. Dette ω 1 la velocità angolare del pignone ed ω la ω1 velocità angolare della ruota, si definisce rapporto di trasmissione il rapporto i =. ω Prof. Matteo Intermite 6

7 7.. CARATTERISTICA DELLA DENTATURA Con riferimento alla seguente figura si definisce: - diametro primitivo ( d p ), il diametro della ruota di frizione fittizia capace di trasmettere il moto con lo stesso rapporto di trasmissione della ruota dentata; - testa del dente, la parte di esso compresa tra la circonferenza primitiva e la circonferenza esterna (detta anche di troncatura o di testa); - piede del dente, la parte di esso compresa tra la circonferenza interna (detta anche di fondo o di base) e la circonferenza primitiva; - passo della dentatura (p), la distanza fra gli assi di due denti consecutivi, misurata in corrispondenza della circonferenza primitiva; se indichiamo con z il π numero di denti della ruota, il passo della dentatura sarà dato da p = z Perché l ingranamento sia regolare il passo del pignone deve essere uguale al passo della rota p π d π d = p = = z z 1 p1 p 1 d p Ciò implica che d d z = e quindi, per il rapporto di trasmissione valgono tutti i z p1 1 p seguenti rapporti: ω n d z i = = = = ω n d z 1 1 p p1 1 Prof. Matteo Intermite 7

8 Con riferimento alla seguente figura: Detta Ce la circonferenza esterna o di testa (con diametro d e ), Ci la circonferenza interna o di piede (con diametro d i ), Cp la circonferenza primitiva (con diametro avremo ancora: d p ), - altezza del dente, de di h = ; - addendum, - dedendum, h h a d de dp = ; dp di = ; - lo spessore s ed il vano v, rispettivamente le lunghezze, sulla primitiva, della parte piena del dente e della parte vuota tra un dente e l altro (la loro somma è uguale al passo p=s+v). - la larghezza del dente b Prof. Matteo Intermite 8

9 7..3 IL MODULO Il passo, precedentemente definito, è un elemento caratteristico della dentatura che un tempo veniva utilizzato come riferimento per il dimensionamento di tutte le altre parti. Tuttavia il passo presenta l inconveniente di essere un numero con la virgola in quanto per il suo calcolo dobbiamo utilizzare il π. Allora è stato introdotto il modulo (m) definito come il rapporto tra il diametro primitivo e il numero dei denti: m = Il calcolo delle ruote dentate si basa sul calcolo del modulo individuato il quale si passa al proporzionamento modulare secondo il seguente schema: d p z CARATTERISTICA FORMULA Passo p = π m Diametro primitivo dp = m z Diametro esterno d = d + m= m ( z+ ) Diametro interno d = d + h= d +,5 m e p i e e Addendum ha = m Dedendum h = 1, 5 m Altezza del dente h= h + h =, 5 m d a d Spessore vano m s= v= π Larghezza b= λ m Gioco m g = 4 interasse z1+ z a= m b λ = viene assunto normalmente pari a 10 nelle ruote a denti dritti, mentre per ruote m elicoidali può assumere valori molto maggiori. Prof. Matteo Intermite 9

10 7..4 CREAZIONE DELLE RUOTE E ANGOLO DI PRESSIONE Nella costruzione delle ruote dentate, per evitare il più possibile il fenomeno dello strisciamento tra i fianchi a contatto dei denti, i denti delle ruote dentate devono essere costruiti con particolari profili, detti profili coniugati. Il profilo maggiormente usato per la costruzione delle ruote dentate è quello ad evolvente in quanto si ottiene più facilmente con le macchine utensili e inoltre tale profilo mantiene costante il rapporto di trasmissione anche se per difetto di montaggio varia la distanza tra i centri degli ingranaggi (interasse). Gli altri vantaggi del profilo ad evolvente sono la maggiore silenziosità e la maggiore resistenza alla flessione. I denti della ruota motrice trasmettono ai denti della ruota condotta una spinta F che ha direzione tale da formare un angolo di pressione θ con la tangente comune alle due circonferenze. La forza utile trasmessa dalla ruota motrice alla ruota condotta è la componente della spinta S sulla tangente alle due circonferenze primitive. Prof. Matteo Intermite 10

11 La forza utile trasmessa dalla ruota motrice alla ruota condotta è la componente della spinta F sulla tangente alle due circonferenze primitive e vale. F T Cm CR = F cosθ = = R R 1 C m = Coppia motrice C R = Coppia resistente La componente F R, non è responsabile del moto e costituisce una sollecitazione sull albero su cui sono calettate le ruote, è data da: FT = F sinθ Se ne deduce che conviene rendere l angolo di pressione θ molto piccolo per aumentare il valore della forza utile F T MINIMO NUMERO DI DENTI Nella costruzione delle ruote dentate, non si può scendere sotto un certo numero di denti senza compromettere il corretto funzionamento. Il valore dell angolo di pressione influisce sul numero minimo di denti che una ruota può avere affinché il profilo del dente sia tutto coniugato. In pratica si assegna il numero di denti in funzione dell angolo di pressione e del rapporto di trasmissione utilizzando la seguente formula: Z min = i (1 i) sin i + + θ Dove i = rapporto di trasmissione. i θ Numero minimo di denti in funzione dell angolo di pressione e del rapporto di trasmissione Prof. Matteo Intermite 11

12 7..6 RUOTE A DENTI ELICOIDALI Le ruote a denti diritti, a causa della brusca variazione dei carichi quando si passa da una coppia di denti in presa alla successiva, sono fonti di vibrazioni, urti e rumorosità sempre più evidenti all aumentare della velocità. Si può risolvere l inconveniente facendo in modo che l ingranamento avvenga con maggiore gradualità. Ciò si può ottenere utilizzando ruote a denti elicoidali che garantiscono la massima gradualità dell ingranamento con un sensibile aumento dell arco d azione ed il conseguente vantaggio della massima silenziosità oltre ad una efficace riduzione del numero minimo di denti. Come si vede, il dente assume la direzione di un elica di inclinazione α (normalmente variabile da 10 a 45 ) rispetto alla direzione dell asse della ruota. A causa di ciò, delle due componenti della forza che si scambiano i denti, quella tangenziale F, risulta perpendicolare all asse dei denti e quindi ulteriormente scomponibile nella componente utile, responsabile della coppia motrice F = F cosα e in una componente assiale, che finisce per sollecitare sia u gli alberi che i cuscinetti assialmente, F = F sinα. a Quindi i vantaggi delle ruote elicoidali sono: - Maggiore silenziosità di ingranamento; - Riduzione del numero di denti minimo; - Maggiore resistenza in quanto lo sforzo è scaricato su più coppie di denti in presa. Gli svantaggi sono: - Componente assiale Fa che si scarica sul cuscinetto; - Minor rendimento meccanico. Prof. Matteo Intermite 1

13 7..7 ROTISMI Istituto Professionale Statale per l'industria e l'artigianato Coppie di ruote dentate possono essere accoppiate tra loro in diversi modi allo scopo di soddisfare particolari condizioni di progetto: - posizione degli assi di ingresso e di uscita del rotismo; - senso di rotazione degli assi; - rapporto di trasmissione; La figura mostra un rotismo ordinario costituito dall albero motore che ruota ad n 1 giri al minuto, due alberi ausiliari intermedi che ruotano ad n ed n 3 giri al minuto e un albero condotto che ruota ad n 4 giri al minuto; su di essi sono calettate le ruote dentate di Z 1, Z 6 Z, Z 3, Z, Z 5, e 4 denti. Per ciascun ingranaggio del rotismo si può determinare il rapporto di trasmissione: i n Z = 1 1 n = i 4 Z1 n3 Z3 = n = Z n Z i = = n Z Il rapporto di trasmissione totale: 4 5 n n n Z Z Z n itotale = i1 i i3 = = = n n n Z Z Z n Prof. Matteo Intermite 13

14 7..8 CALCOLO A FLESSIONE SECONDO LEWIS Secondo Lewis, il dente è da considerarsi come una trave a mensola caricato sul suo spigolo estremo. Si ipotizza una sola coppia di denti in presa, inoltre lo spessore sf della sezione resistente, la sua distanza hf dalla testa del dente e la larghezza b, sono tutte proporzionali al modulo m. Con queste ipotesi il modulo si calcola con la seguente formula: m = M = Massimo momento torcente da trasmettere [ N m] Z = Numero di denti Deve essere Z > Zmin 3 10,9 M λ Z σ ad σ ad = Tensione ammissibile dinamica σ ad 3 = σamm 3+ V σ amm = Tensione ammissibile del materiale σ R = Tensione di rottura del materiale N mm σ R σ amm = n n = coefficiente di sicurezza V = Velocità periferica della ruota m s b λ = λ = costruzione poco rigida m λ = 15 5 supporti scatolati λ = 5 30 costruzione accurata e rigida Se è noto lo spessore della ruota dentata da realizzare possiamo utilizzare questa formula: m = 10,9 M b z σ ad Dove al posto di λ è presento lo spessore b della ruota dentata. Prof. Matteo Intermite 14

15 Materiale Ghisa sferoidale G 5 Acciaio fuso Fe 50 Acciaio fuso Fe 560 Acciaio da costruzione Fe 490 Acciaio da costruzione Fe 590 Acciaio da costruzione Fe 690 Acciaio bonificato C 40 Acciaio bonificato C 45 Acciaio bonificato C 50 Acciaio bonificato C 60 Acciai legati da bonifica Acciai al carbonio da cementazione Acciai legati da cementazione Bronzi allo stagno in getti σ N R mm Durezza HB Caratteristiche dei principali materiali utilizzati per la realizzazione delle ruote dentate pam (N/mm) ,5 0,75 1 1,15 1,5 1,375 1,5 1,75,5,5,75 3 3,5 3,5 3,75 4 4,5 5 5,5 6 6, Moduli unificati (UNI ) Prof. Matteo Intermite 15

16 7..9 PROEDURA DI CALCOLO Si conoscono i seguenti dati: - Potenza da trasmettere - PW [ ] - Numero di giri delle ruote e rapporto di trasmissione. 1 Dalla potenza determiniamo la coppia M P π n = dove ω = ω 60 M [ N m] PW [ ] n giri min. Scelgo l angolo di pressione della mia ruota ( ) 3 Si stima il numero minimo di denti Z min in funzione del rapporto di trasmissione e si sceglie, per il pignone, un numero di denti Z1 > Zmin tale che sulla ruota possa venire un numero di denti intero Z = i Z1 Z min = + + i (1 i) sin θ i 4 Si fissa una velocità periferica di tentativo V 3 4 m = s 5 Si fissa λ (oppure b) e σ amm 6 Si calcola la σ ad σ ad 3 = σamm 3+ V 7 Si procede al calcolo del modulo e si sceglie quello immediatamente superiore tra quelli unificati. m = 3 10,9 M λ Z σ ad m = 10,9 M b z σ ad nmz 8 Si verifica che la velocità periferica V = π risulti minore o uguale a quella di tentativo scelta al punto 4. Se non viene verificato bisogna ritornare al punto 4 e rifare il calcolo con una velocità superiore. 9 Una volta calcolato il modulo necessario, si procede al calcolo di dimensionamento di tutti i particolari della dentatura e dell ingranaggio riportando i valori su una tabella come la seguente: Prof. Matteo Intermite 16

17 CARATTERITICA FORMULA PIGNONE CREMAGLIERA Numero di denti Z 1 e Z Addendum ha = m Dedendum h = 1, 5 m Altezza dente h= h + h =, 5 m Larghezza dente b= λ m a d d Diametro primitivo Dp = m z Diametro esterno D = D + m Diametro interno e i p D = D h Passo p = π m e Angolo di pressione Rapporto di trasmissione Interasse I θ Z i = Z m ( Z1+ Z) = 1 Infine si procede al proporzionamento delle restanti parti delle ruote dentate secondo le regole empiriche riportate sulla manualistica come di seguito riporato. Prof. Matteo Intermite 17

18 7.3 TRASMISSIONE A CINGHIA GENERALITA - Sono utilizzate per trasmettere potenza a lunga distanza; - Ideali per trasmissioni con urti e vibrazioni; - Non adatte per trasmissioni di elevata potenza; - Non è garantita la costanza del rapporto di trasmissione a causa di piccoli scorrimenti (ad esclusione elle cinghie dentate). Le cinghie devono la flessibilità al materiale di cui sono fatte. Le catene devono la flessibilità al moto relativo tra gli elementi che le compongono TIPI DI CINGHIE Le trasmissione con cinghie e pulegge sfruttano prevalentemente aderenza e attrito. - Cinghie piatte: a) sezione rettangolare su pulegge piane o leggermente bombate. - Cinghie trapezoidali: b) sezione trapezia. Costituite da una serie di cavi immersi in sezione cuneiforme in elastomero. Commercializzate in lunghezze unificate e di sezione unificate Z-A-B-C-D-E. - Cinghie dentate: c) costituite, come le trapezoidali, da una serie di cavi immersi in rivestimento di neoprene. Dotate di denti che alloggiano in opportuni vani realizzati sulle pulegge. Prof. Matteo Intermite 18

19 7.3. LA TENSIONE NELLE CINGHIE - Da A a B = arco di aderenza a tensione costante massima pari a T. - Da B a C = tratto di cinghia in cui la tensione gradualmente decresce da T a t mentre la cinghia si dilata. - Da C a D = tratto rettilineo in cui regna la tensione costante minima t e la cinghia è dilatata. - Da D ad E = arco di aderenza a tensione costante minima pari a t. - Da E ad F = tratto di cinghia in cui la tensione gradualmente cresce da t a T mentre la cinghia si assottiglia. - Da F ad A = tratto rettilineo in cui regna la tensione costante massima T e la cinghia è assottigliata. - α e α ' = angoli di avvolgimento: α + α ' =360 - β e β ' = angoli di scorrimento (presenza di scorrimento elastico per la cinghia che si deforma). La tensione di montaggio è la media tra T e t: T + t Tm = Prof. Matteo Intermite 19

20 La differenza tra T e t è la forza equilibrante il momento motore, facendo l equilibrio alla rotazione sulla puleggia motrice avremo: d d d Mm T + t = 0 Mm ( T t) 0 = = ( T t) Il rapporto tra le tensioni dipende inoltre in modo esponenziale dal coefficiente d attrito f e dall angolo di avvolgimento α: M m d T t = e f α Se con F u si indica la forza utile che produce il moto rotatorio, avremo: F u P M m M = = = V d D R Dove P è la potenza trasmessa, V la velocità della cinghia, d la puleggia motrice e D la puleggia condotta. Poiché Fu = T t e T t f α = e avremo: e f α T = Fu e f α 1 e 1 t = Fu e f α 1 Dalle quali si possono ricavare le tensioni nella cinghia noti la potenza, l angolo di avvolgimento e il coefficiente d attrito. Prof. Matteo Intermite 0

21 7.3.3 DIMENSIONAMENTO DELLA CINGHIA PIATTA Si conoscono i seguenti dati: - Potenza da trasmettere - PW [ ] - Numero di giri delle pulegge e rapporto di trasmissione. - Coefficiente di attrito f (da un minimo di 0,5 a un massimo di 0,75) - Interasse delle pulegge I N - σ amm = da 3 a 4 mm 1. Determinare il diametro della puleggia piccola: - per cinghie in cuoio d > 30s - per cinghie in gomma d > (40-90)s - spessori normali s = 4-6 mm - velocità normali V = 5-35 m/s. Determinare il diametro della puleggia grande tramite il rapporto di trasmissione: 3. Calcolo la velocità della cinghia: n π R V = 60 Verifico che la velocità della cinghia non sia superiore a 5-35 m/s. Se risulta superiore bisogna diminuire il diametro della puleggia. 4. Calcolo dell angolo di avvolgimento D α = d dove I è l interasse delle pulegge I 5. Calcolo della forza utile che produce il moto rotatorio P M m M R Fu = = = V d D 6. Calcolo della forza sul tratto più sollecitato e f α T = Fu e f α 1 7. Calcolo della larghezza: T - Tensione di trazione σ = con A= b s dove A N Deve risultare che σ σ amm σ amm = 3 4 mm b = l arg hezza s = spessore Prof. Matteo Intermite 1

22 T = σ amm quindi: b s T b = s σ 8. Calcolo della lunghezza della cinghia amm ( D+ d) L= I + 1,57 ( D+ d) + 4 I Prof. Matteo Intermite

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