Trasmissione del moto tra assi paralleli

Transcript

1 Ruote dentate Autori: Monica Malvezzi/Luca Pugi Aggiornata al 0 marzo 00 (Bozza si ringraziano tutti coloro che dovessero segnalare eventuali sviste, errori, etc)

2 Trasmissione del moto tra assi paralleli Si considerino due assi tra loro paralleli (r e r in figura) e due corpi rigidi che ruotano attorno a tali assi con velocità angolari e, facciamo inoltre l ipotesi che le due velocità angolari siano fra loro discordi. Volendo ricavare le primitive del moto (polare fissa e polare mobile ) imponiamo che il rapporto tra le due velocità angolari sia costante, ovvero: ' cos t. Per ottenere il moto relativo dell asse r rispetto all asse r, si imprime a tutto il sistema una rotazione -. Si otterrà così ancora una rotazione di intensità + attorno ad un asse parallelo a r e r ma passante per un punto C, tale da garantire la condizione: ' ' OC O C

3 Trasmissione del moto tra assi paralleli moltiplicando entrambi i membri per (O C/) si ottiene: ' OC cos t ' O C avendo sfruttato l ipotesi fatta in precedenza. Dal momento che la distanza OO si mantiene costante durante il moto ed è costante il rapporto tra i segmenti OC e O C allora si può scrivere che: OC cost ' O C cost Allora le due polari sono date da due cilindri circolari di assi r e r e di raggi OC e O C. 3

4 Ruote di frizione Se ci riportiamo su di un piano ortogonale alla direzione di, le due polari del moto possono essere rappresentate per mezzo di due circonferenze tangenti nel punto C (centro d istantanea rotazione). Materializzando tali circonferenze possiamo ricavare un primo esempio di trasmissione tra assi paralleli in cui i due membri hanno un moto relativo dato da un rotolamento puro. Questo tipo di trasmissione prende il nome di ruote di frizione. Sotto quest ipotesi, riferendoci alla figura, sia la polare fissa coincidente con la ruota motrice, R sia il raggio di, la ruota motrice abbia una velocità di rotazione pari a ed il momento motore sia diretto in senso antiorario, sia la polare mobile coincidente con la ruota cedente, R sia il raggio di, la ruota motrice abbia una velocità di rotazione pari a ed il momento resistente sia anch esso diretto in senso antiorario. 4

5 Ruote di frizione Essendo il moto relativo un rotolamento puro non vi potrà essere strisciamento tra i due membri, questo implica che le velocità periferiche nel punto di contatto (C) dovranno avere uguale intensità, ovvero: R R Definiamo poi il rapporto di trasmissione tra le due ruote come, il rapporto tra la velocità angolare della ruota cedente e la velocità angolare della ruota motrice, ovvero: ' Sfruttando la condizione di non strisciamento tra le ruote si può anche scrivere: ovvero il rapporto di trasmissione può essere espresso utilizzando solo parametri geometrici delle ruote di frizione. R R' 5

6 Ruote di frizione Analizziamo adesso la coppia nel caso ideale. M M mo r R h N R dove h deve essere: 0 h f ' h N Eliminando hn si giunge all espressione: M mo R ' R M r M r ovvero, nel caso ideale, il momento motore è esprimibile attraverso il prodotto del rapporto di trasmissione per il momento resistente. 6

7 Ruote di frizione (opt) L assunzione che il moto relativo sia dato da un rotolamento puro è però una semplificazione, in realtà si vengono a creare delle deformazioni locali nell intorno del punto di contatto, deformazioni dovute alla pressione tra le due ruote; quindi il contatto non avviene più in un punto ma su di una linea. Come conseguenza si ha che la forza N non passa più per il centro delle ruote di frizione ma è traslatata, parallelamente a se stessa, di una quantità, la direzione della traslazione dipende dal senso di rotazione delle ruote di frizione. Anche per il caso reale calcoliamo le espressioni del momento motore e del momento resistente: M M m r N R h N N R h N Dalla seconda espressione si può ricavare N: ' N h M ' R r 7

8 Ruote di frizione (opt.) Sostituendo poi N nella prima espressione si ricava il momento motore: Ricordando l espressione del rendimento: si può scrivere per la coppia di ruote di frizione: Le ruote di frizione vengono impiegate nella trasmissione di piccole coppie (strumenti di misura, motorini di ciclomotori), nella trasmissione di moto sotto l azione di forze modeste ad organi di grandi dimensioni ( ad esempio betoniere). Il difetto di una trasmissione del moto mediante ruote di frizione è che essa dipende dal valore del coefficiente d attrito; volendo utilizzare un tipo di trasmissione indipendente da tale coefficiente si deve rinunciare ad avere un moto relativo di puro rotolamento. 8 R h R h R R M M R h R h M r r m ' ' ' m mo M M R h R h R h R h R R M R R M r r ' ' ' '

9 Profili coniugati Dato un generico moto piano definito per mezzo della polare fissa e della polare mobile si definiscono profili coniugati due curve che durante il moto piano si mantengono costantemente in contatto. Le polari stesse del moto sono due particolari profili coniugati. Per i profili coniugati vale la seguente proprietà: La normale comune ai profili coniugati nel punto di contatto passa per il centro di istantanea rotazione C del moto piano. Se così non fosse si avrebbe il distacco o la compenetrazione dei profili durante il moto. 9

10 Profili coniugati Vogliamo adesso,date le due polari del moto ed il profilo p,tracciare il profilo p (coniugato di p ). Per fare questo useremo due diversi metodi. Metodo dell inviluppo Questo metodo consiste nel disegnare le posizioni assunte dal profilo p durante il moto di rotolamento della polare mobile sulla polare fissa. La curva ottenuta come inviluppo di tutte le curve p tracciate sarà il profilo p cercato. 0

11 Profili coniugati Metodo dell epiciclo Consideriamo una curva ed un punto P ad essa solidale e facciamo rotolare la curva una volta sulla polare fissa e una volta sulla polare mobile. Durante tali moti il punto P descriverà due curve p e p tra loro coniugate. Con riferimento alla figura possiamo scrivere le seguenti relazioni geometriche: C '' P C P '' C P CP da cui si ricava l uguaglianza: C ' tale relazione indica che i punti P e P sono coniugati durante il moto. Si possono ottenere due profili coniugati anche utilizzando, al posto del punto P, una curva solidale alla curva. ' ' ' P CP Il metodo dell epiciclo ha la particolarità di poter creare delle famiglie di curve tali che presi due profili qualunque questi risultano essere fra loro coniugati. L asserto deriva dal considerare che il profilo p è ricavato unicamente da e dalla polare fissa, mentre il profilo p è ricavato unicamente da e dalla polare mobile. Variando (o ) si ottiene una nuova curva p (o p) ancora coniugata con p (o p ).

12 Ruote dentate cilindriche ad evolvente Come abbiamo già detto parlando delle ruote di frizione se si desidera avere una trasmissione del moto indipendente dal valore del coefficiente d attrito si deve abbandonare l assunzione di utilizzare come profili coniugati le polari del moto e quindi rinunciare ad avere un moto di puro rotolamento. Si deve quindi utilizzare uno dei metodi visti nel precedente paragrafo per generare due profili coniugati; scegliamo il metodo dell epiciclo. La curva (epiciclo) sia una retta solidale ad entrambe le polari e la curva sia una retta solidale a. I profili che verrà a generare sono evolventi di cerchio, infatti se chiamiamo l angolo che forma con allora l angolo che la normale a (passante per il centro istantaneo di moto C ed indicata con ) forma con l epiciclo sarà: cost Quindi in ogni generica posizione la retta si manterrà ad una distanza costante dal centro O della polare fissa, tale distanza è definita come: R cos

13 Ruote dentate cilindriche ad evolvente 3

14 Ruote dentate cilindriche ad evolvente L evoluta del moto sarà allora una circonferenza di centro O e raggio e prende il nome di circonferenza di base. Con considerazioni del tutto analoghe si può asserire che il profilo p è l evolvente della circonferenza di centro O e raggio ' ' R cos Gli stessi profili coniugati potevano essere generati come traiettoria di un punto P solidale alla retta, durante il moto di rotolamento di tale retta sulle due circonferenze di base. I profili ad evolvente godono poi delle seguenti proprietà: La forza trasmessa dai denti, se si trascurano gli attriti, ha direzione costante I profili rimangono coniugati anche variando l interasse, in questo caso cambia solo l angolo (detto angolo di pressione). Per l angolo di pressione esistono valori normalizzati pari rispettivamente a 0 e 4.30 La ruota con un numero infinito di denti (denominata dentiera) ha un superfici dei denti piane. 4

15 Caratteristiche geometriche di una ruota dentata Ruota a dentatura esterna Ruota a dentatura interna Prendiamo, come riferimento, una generica ruota dentata cilindrica a denti dritti. La cresta del dente è compresa entro una circonferenza, la quale prende il nome di circonferenza di testa. Oltre a questa sono presenti la circonferenza primitiva, traccia sul piano della ruota dentata della polare del moto relativo; la circonferenza di base e la circonferenza di piede. Quest ultima delimita la parte inferiore del dente ed è a questo raccordata. Tutte le circonferenze sopraccitate sono concentriche. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 5

16 Caratteristiche geometriche di una ruota dentata La distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di testa prende il nome di addendum (generalmente indicato con a), mentre la distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di piede prende il nome di dedendum (generalmente indicato con d). Si chiama invece altezza del dente (indicata con h) la somma dell addendum e del dedendum. Le superfici laterali del dente prendono il nome di fianco. La circonferenza primitiva divide il fianco del dente in due porzioni, un esterna alla circonferenza primitiva che prende il nome di fianco addendum e un interna alla circonferenza primitiva che prende il nome di fianco dedendum. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 6

17 Modulo di una ruota dentata Si definisce modulo di una ruota dentata il rapporto tra il diametro primitivo R e il numero di denti z, ovvero: m R z Il valore del modulo non può essere scelto arbitrariamente ma deve rientrare in uno dei valori normalizzati (UNI 4504). VALORI NORMALIZZATI DEL MODULO La norma UNI prevede che siano adottati di preferenza i valori del modulo riportati in grassetto 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 7

18 Proporzionamento di una ruota dentata Una volta definito il modulo si può distinguere tra due diversi tipi di proporzionamento: Proporzionamento normale: in cui a = m d =.5m h =.5 m Proporzionamento ribassato: in cui a = 0.8m d = m h =.8m Sulla circonferenza primitiva si possono misurare altri due parametri geometrici caratterizzanti un dente di un ruota dentata, questi sono lo spessore ed il vano. Lo spessore ed il vano sono pari a metà del passo; quest ultimo è definito come la distanza tra due profili consecutivi misurata sulla circonferenza primitiva. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 8

19 Rapporto di trasmissione-numero di denti L espressione analitica del passo è data da: p R z dove R è il raggio della primitiva e z il numero di denti della ruota. Condizione necessaria affinché due ruote dentate ingranino fra di loro è che abbiano lo stesso passo. E interessante notare che esiste un legame tra modulo e passo di una ruota dentata: R m z Ma questo equivale a dire che due ruote dentate ingranano fra loro se hanno lo stesso modulo. Volendo dimostrare l asserto si considerino due ruote dentate (ruota e ruota ) aventi la prima passo p e la seconda passo p. Affinché vi sia ingranamento deve risultare: ma scrivendo il passo in funzione del modulo si ha: p R z p p semplificando si ottiene infine: m m m m 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 9

20 Rapporto di trasmissione-numero di denti Consideriamo la definizione del rapporto di trasmissione tra due ruote dentate: R R dove R e R sono i raggi delle primitive delle ruote. Dalla definizione di passo si può ricavare la seguente espressione: p z R Quindi il rapporto di trasmissione può essere scritto come: p z z p z z Ovvero il rapporto di trasmissione è direttamente legato al numero di denti delle due ruote dentate. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 0

21 Condizione di continuità del moto Durante l ingranamento delle due ruote dentate il punto di contatto tra due generici denti si sposta su di un segmento appartenente ad una retta, indicata con, chiamata retta dei contatti, il segmento prende invece il nome di arco di ingranamento, ed è delimitato dai punti N e N, intersezioni della retta con le circonferenze di testa delle due ruote. Durante il moto del punto di contatto dal punto N al punto N, le due primitive e rotolano su di un arco s, denominato arco di azione. Esiste una relazione tra il passo di una ruota e la lunghezza dell arco di azione, tale relazione prende il nome di condizione di continuità del moto e si esprime analiticamente attraverso la relazione: s p Dove con p si è indicato il passo della ruota dentata. Se non si verificasse tale condizione (ad esempio risultasse che p > s) vorrebbe dire che in un arco di lunghezza p-s non si avrebbero denti in presa e quindi il moto della ruota dentata risulterebbe discontinuo, cosa che non è accettabile. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione

22 Continuità del moto Calcoliamo adesso, per via analitica le lunghezze dell arco di azione e dell arco di ingranamento. Riferendosi alla figura, dalle proprietà geometriche dell evolvente di cerchio si ha che vale l uguaglianza: HL N C Consideriamo adesso le circonferenze di testa e primitiva; esiste una relazione tra gli archi B C e HL e i raggi delle circonferenze: B C HL R R R cos cos sfruttando l uguaglianza scritta in precedenza: HL N C BC cos cos 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione

23 Continuità del moto L espressione di tutto l arco di azione s è data da: s B B N N cos Calcoliamo adesso il valore del segmento N C. Indichiamo il segmento N C con la variabile x. Applicando il teorema di Carnot al triangolo N CO si può scrivere: R a R x xr cos R ar a R x xr sin semplificando si ottiene un equazione di secondo grado nella variabile x: x aa R 0 xr sin la quale risolta porta ad un espressione della variabile in funzione unicamente del raggio della circonferenza primitiva, dell addendum e dell angolo di pressione. x N C R sin a R R sin a Per calcolare anche l espressione della parte di segmento CN, si deve considerare l altra ruota ripetendo, in modo del tutto analogo, i ragionamenti fatti in precedenza. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 3

24 Condizione di non interferenza tra i profili Sia P il punto di contatto tra due denti in presa, con profilo ad evolvente di cerchio, di due ruote dentate. Il punto P, durante il moto relativo, si sposterà lungo la retta dei contatti descrivendo un segmento. Il segmento dovrà risultare o tutto interno, oppure esterno, al segmento T T, anch esso appartenente alla retta dei contatti. I punti T e T sono i centri di curvatura dei profili e quando il punto P si muove all interno del segmento T T i denti risultano entrambi avere fianchi convessi, se il punto P è invece esterno al segmento T T allora entrambi i denti avranno fianchi concavi. Queste due tipologie di fianco sono accettabili, non è invece accettabile un fianco che cambi concavità (da concavo a convesso o da convesso a concavo) cosa che accadrebbe se il punto P percorresse un segmento solo in parte contenuto in T T. Ricapitolando si può enunciare la condizione di non interferenza dei profili come: Affinché non si abbia interferenza tra i denti di due ruote dentate durante il moto di ingranamento il punto di contatto P tra i denti deve percorre un segmento o tutto interno o tutto esterno a T T, distanza tra i centri di curvatura dei profili misurata sulla retta dei contatti. 4

25 Condizione di non interferenza tra i profili La condizione di non interferenza dei profili introduce anche una condizione minima sul numero di denti di una generica ruota dentata. Sia N N il segmento sulla retta dei contatti percorso dal punto P, e sia C il centro istantaneo di moto delle due primitive. Per la non interferenza dovrà risultare: CN CT Facciamo l ipotesi che la ruota abbia diametro maggiore e che sia realizzata con proporzionamento normale. Sotto queste condizioni vale la disuguaglianza: CN CN La condizione più gravosa per le ruote dentate è: CT CN CT CT La quale impone un valore massimo sull addendum e quindi una condizione minima sul numero di denti della ruota, infatti R a k m k z Quindi, per una data primitiva, se l addendum assume un valore di massimo il numero di denti deve necessariamente assumere un valore di minimo, dal momento che sono in una relazione di proporzionalità inversa. CN CT 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 5

26 Condizione di non interferenza tra i profili Cerchiamo adesso di ricavare, per via analitica il numero di denti minimo. Riferendoci alla figura, poniamoci in una condizione limite, ovvero vale la relazione: CN CT Consideriamo il triangolo N CO, in questo i cateti sono esprimibili attraverso le relazioni: O N a R sin Applichiamo il teorema di Carnot si ha: Svolgendo ulteriormente i calcoli si ha: R ar a R R sin R R sin Semplificando, si ottiene un equazione di secondo grado nella variabile a: a Ra R sin R R Risolvendo tale equazione si ricava l espressione: O C R N C R R a R R R sin cos sin R a R R R R sin 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 6

27 Condizione di non interferenza tra i profili Dovendo essere: a k max m max e ricordando l espressione del modulo, si può scrivere: kr z Il numero minimo di denti è così dato da: z min min R R R R R k R R R sin sin kr R R sin Avendo sostituito al rapporto tra i raggi primitivi il rapporto di trasmissione. Nel caso di ruote a dentatura interna si procede in modo analogo, sostituendo con - e prendendo il radicando col segno negativo, si ha così: z min k sin 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 7

28 Condizione di non interferenza tra i profili Come ultimo caso prendiamo in esame l ingranamento tra una dentiera e una ruota dentata (in questo caso il rapporto di trasmissione tende all infinito). Dal momento che il rapporto di trasmissione tende all infinito non è possibile ricavare, attraverso le formule precedenti, un espressione del numero minimo di denti. Se però osserviamo la figura si può notare che è possibile scrivere la relazione: a CT sin a sua volta CT è esprimibile attraverso la relazione: e quindi: CT R sin a R sin Procedendo come nel caso di due ruote, si arriva infine alla relazione cercata: z k sin 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 8

29 Taglio ruote Dentate esempi 9

30 Correzione Ruote Dentate Condizione di non interferenza tra i profili: z z a km k min sin Conseguenza: il minimo numero di denti è assegnato: circa 0 (5-30 dipende da a e k) Può sorgere esigenza di usare numero di denti minore: ) Maggiore resistenza/coppia trasmissibile rispetto ad ingombri ) Montaggio ruote con interassi strettamente fissati Si adottano le cosidette dentature corrette 30

31 Traslazione della primitiva di taglio/ Il moto di taglio Dentiera di riferimento Primitive di ruota e dentiera Circonferenza di testa della ruota/ retta di piede della dentiera Circonferenza di piede della ruota/ retta di testa della dentiera 3

32 Traslazione della primitiva di taglio/: se ruota presenta problemi di interferenza si allontana la dentiera dalla ruota x Dentiera di riferimento a Attenzione: forma dei profili qualitativa x dente corretto a a x k m x 0 0 a d d x k m x d Il dente corretto è più spesso e quindi resistente m s s0 xtg xtg m v v 0 xtg xtg 3

33 Traslazione della primitiva di taglio/3: x min 0 min 0 0 dente corretto a a x k m x 0 0 Segno negativo deriva dal fatto che limitazione dipende da addendum circ./retta di testa della tagliante/dentiera di riferimento dente corretto: z z z a d d x k m x min min x z0 z z sin d m s s0 xtg xtg m v v 0 xtg xtg a x m sin min min x z z0 a m sin m sin m Spostamento positivo implica possibilità di avere un numero di denti più basso 33

34 Traslazione della primitiva di taglio/4: dente corretto a a x k m x 0 0 a d d x k m x d m s s0 xtg xtg m v v 0 xtg xtg Per mantenere stesso interasse e poter ingranare con ruota corretta la ruota deve avere lo stesso modulo, ma anche spessori ed altezze di vano e denti compatibili con la, questo implica correzione simmetrica con traslazione pari a -x dentatura che ingrana con dente corretto (stesso interasse) a a0 x kam x d d 0 x kd m x m s s0 xtg xtg m v v 0 xtg xtg ATTENZIONE z z 34

35 Traslazione della primitiva di taglio/5: ruota a a x k m x ; d d x k m x 0 a 0 m m s s0 xtg xtg; v v 0 xtg xtg Attenzione: forma dei profili qualitativa x xeccessivo Il dente risulta più sottile se correzione negativa è eccessiva si rischia la condizione di sotto-taglio/ interferenza dei profili su ruota d La traslazione x applicata alla ruota provoca un aumento del numero minimo di denti che risulta maggiore di quello nominale. Correzioni eccessive portano a violazione della condizione di non interferenza sulla ruota dente corretto: z z z a x m sin min min x z z0 a m sin m sin min 0 min 0 0 min min x z z0 z sin m 35

36 Traslazione della primitiva di taglio/6: ruota z x min min 0 z m sin ruota : z x min min z0 m sin z z x m sin min min min min min min z z z0 0 z z z0 x m sin min min z0 min min 0 z min min min 0 min 0 z z z z z z z z La correzione simmetrica delle due ruote può essere effettuata se e solo se risulta verificata la condizione che la somma dei denti delle due ruote è maggiore del doppio del numero di denti minimo calcolato per la dentatura senza correzione 36

37 Traslazione della primitiva di taglio/7: ruota x m z min min 0 z sin ruota : x m z min min z0 sin min min min 0 min 0 z z z z z z z z Si poteva pervenire alla medesima espressione anche in altro modo. 37

38 Traslazione della primitiva di taglio/8: min 0 z z z Non si può applicare correzione simmetrica ad entrambe le ruote è necessario dunque cambiare l interasse tra le ruote e quindi l angolo di pressione per permettere l ingranamento ed una correzione non simmetrica delle due ruote. min 0 z z z x x x min 0 z z z x x 38

39 Traslazione della primitiva di taglio/9: min 0 z z z Si calcolano x ed x minimi per soddisfare la condizione di non interferenza su entrambe le ruote ruota z z z a x m sin x z a m sin m sin min 0 min 0 0 min min x z0 z z sin ruota z m min min x z0 z z sin m min min z0 39

40 Traslazione della primitiva di taglio/0: min 0 z z z Noti x ed x che consentono di tagliare ruota senza problemi di interferenza su entrambe le ruote si applica la seguente relazione che consente di mantenere la congruenza di spessori di denti e vani funzione evolvente inv tan c c c inv tan inv c inv x x tan m z z Si calcola anche iterativamente il nuovo angolo di pressione 40

41 Traslazione della primitiva di taglio/: min 0 z z z Per le proprietà delle dentature ad evolvente deve valere: c r cos r c r cos r cos cos Noti i raggi primitivi corretti si calcola l interasse come somma dei raggi primitivi corretti c c c i r r c c Attenzione!!!!:correzioni corrispondenti ad angoli di pressione corretti elevati/ forti incrementi di interassi possono portare a riduzioni non accettabili di arco di azione ed ingranamento 4

42 Ruote cilindriche a denti elicoidali Una ruota dentata cilindrica a denti dritti può essere pensata generata da un segmento AB, solidale al piano (piano dei contatti) e parallelo agli assi dei cilindri di base. Se il segmento non è parallelo agli assi ma inclinato (figura 60), rispetto ad essi, di un dato angolo d (questo equivale a considerare il segmento MP in luogo del segmento AB),la superficie del dente non è più cilindrica ma elicoidale si ottengono quindi ruote dentate cilindriche a denti elicoidali 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 4

43 Ruote cilindriche a denti elicoidali Vantaggi: Il contatto tra due generici denti è graduale: inizia in un punto, continua su dei segmenti e termina ancora in un punto. Ciò implica minori urti e quindi un incremento del rendimento. L arco di ingranamento risulta incrementato della quantità questo porta ad un aumento dell arco di azione di questo porta un vantaggio nella condizione di continuità del moto. l tg l tg cos b b 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 43

44 Ruote cilindriche a denti elicoidali Trascurando le forze d attrito l azione S che si trasmettono due denti è ortogonale a segmento MP e può essere scomposta in due componenti: una N normale agli assi dei cilindri primitivi e una T parallela agli assi dei cilindri primitivi. Solo la forza N trasmette coppia, la forza T deve essere equilibrata dai cuscinetti montati sull albero, per questo motivo l albero di una ruota dentata a denti elicoidali deve essere supportato da almeno un cuscinetto capace di equilibrare forze assiali (es. cuscinetti orientabili a sfere o a rulli conici). 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 44

45 Ruote cilindriche a denti elicoidali L'ingranaggio a doppia elica supera il problema della sollecitazione dell albero in direzione assiale grazie all'uso di denti con cresta a forma di V. Si può immaginare questo ingranaggio come costituito da due ruote elicoidali distinte affiancate specularmente, in modo che le forze assiali si annullino a vicenda. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 45

46 Ruote cilindriche a denti elicoidali Se uno dei due cilindri degenera in un piano si ottiene la dentiera elicoidale, la quale può essere vista come una dentiera a denti dritti di cui si considera una parte, delimitata da due piani paralleli inclinati di un angolo rispetto alla generatrice dei denti. L angolo è l inclinazione dell elica misurata sul cilindro primitivo. Il fatto che una dentiera elicoidale sia ricavabile da una dentiera a denti dritti porta al vantaggio che le ruote a denti elicoidali possono essere realizzate utilizzando le stesse dentiere utensili delle ruote a denti dritti inclinate di un angolo. Esiste una relazione tra e b. Sia h il passo dell elica, h risulta lo stesso sia se misurato sul cilindro primitivo sia se misurato sul cilindro di base; allora con riferimento alla figura è possibile scrivere: h tg h r tg b eliminando h si ha: r tg b tg 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 46

47 Ruote cilindriche a denti elicoidali semplificando si ha: ricordando che: tg si può scrivere, infine, la relazione cercata: tg b tg cos tg r Esiste anche una relazione tra modulo normale (m n ) e modulo periferico (m): m n r cos b mcos 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 47

48 Trasmissione del moto tra assi incidenti Riferendoci alla figura consideriamo due assi: a e a, tra loro incidenti nel punto O, consideriamo anche due generici corpi rigidi ruotanti, il primo con velocità attorno all asse a e il secondo ruotante con velocità angolare attorno all asse a. Vogliamo determinare le primitive del moto relativo dell asse rispetto all asse. Per far ciò introduciamo l ipotesi che il rapporto tra le velocità angolari dei due corpi sia costante, ovvero: cost Se imprimiamo a tutto il sistema una rotazione -, il moto risultante sarà ancora una rotazione, con velocità angolare, il cui valore analitico sarà dato da: cos cos 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 48

49 Trasmissione del moto tra assi incidenti Varranno inoltre anche le seguenti relazioni: sin sin cos t Dal momento che si è fatta l ipotesi cost si ha: ed essendo costante anche la somma dei due angoli si arriva infine a: sin sin cos t cost cost cos t quindi le primitive del moto relativo sono due coni rotondi di vertice comune O e aventi aperture e. Si può quindi pensare di prendere, come superfici coniugate, dei tronchi di cono ottenendo così ruote di frizione coniche. Tali ruote di frizione presenteranno però gli stessi inconvenienti visti nel caso di trasmissione per assi paralleli. 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 49

50 Ruote dentate coniche Un sistema di ruote dentate coniche può essere definito intersecando i coni primitivi con una sfera di centro O; le superfici dei denti si ottengono proiettando da O due profili coniugati sferici. Un sistema di dentature che utilizzi il metodo dell epiciclo avrà come profili coniugati delle evolventi sferiche ottenute come traiettorie di un generico punto P della circonferenza massima che rotola sulle circonferenze di base. Un caso particolare si ha quando uno dei due coni degenera in un piano, in questo caso la ruota prende il nome di dentiera piano-conica e contrariamente al caso della dentiera a denti diritti non avrà la superficie dei denti piana ma questa avrà curvatura opposta nella costa e nel fianco. Se si applica il metodo dell epiciclo utilizzando le curve e (che in questo caso coincidono con due circonferenze massime della sfera) si otterrà un profilo coniugato non coincidente con l evoluta sferica. In questo caso però le superfici della dentiera piano-conica saranno piane. 50

51 Metodo di Tretgold/ Il profilo del dente risulta definito su una superficie sferica: problema superficie sferica non è sviluppabile : Non esiste cioè trasformazione geometrica che consenta di ottenere lo sviluppo esatto di una superficie sferica e quindi di una curva generica su essa definita (esempio classico le proiezioni utilizzate per realizzare mappe geografiche) 5

52 Metodo di Tretgold/ Circonf. primitiva Cono Complementare a Si approssima la superficie sferica su cui è definito il profilo del dente con la corrispondente superficie conica tangente sulla circonferenza primitiva, il cosidetto cono complementare. Il profilo del dente costruito sulla sfera di raggio R viene quindi approssimato con la corrispondente proiezione sul cono complementare 5

53 Metodo di Tretgold/3 Rc b r circonferenza primitiva; r R sin R R c c sviluppo cono complementare R tan R tan R sin cos Una volta calcolato l angolo b si procede costruendo la dentatura sullo sviluppo del cono complementare di raggio Rc che diventa il raggio primitivo della ruota a denti diriitti equivalente 53

54 Metodo di Tretgold/4 Circ. Piede Rc b d a * Z * m ; Zconica Z ; cos R c * Z Zconica * Z poichè Zconica m Z R R cos c c conica Si costruisce il profilo come quello di una ruota a denti diritti con raggio primitivo pari a Rc il modulo viene scelto in modo da assicurare un numero di denti intero alla ruota conica, (periodicità del passo del dente rispetto a b) 54

55 Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia ruota-vite e ruote ipoidali) 9/03/00 Ing. Meccanica Prato 55

56 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)/ O O Problema trasmissione del moto tra due assi sghembi 56

57 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)/ Piano p perpendicolare a m O M O Si definisce M intersezione del piano p con la normale m. sul piano p è possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocità angolari W e W 57

58 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)3 velocità relativa rispetto a M Si definisce M intersezione del piano p con la normale m. sul piano p è possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocità angolari W e W si valuta quindi W velocità relativa angolare di rispetto a 58

59 Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia ruota-vite e ruote ipoidali)/4 v s g g g M Dalla equazione generale dei moti rigidi sappiamo che un qualsiasi atto di moto rigido è sempre riconducibile ad un atto di moto elicoidale rispetto ad un asse detto asse di Mozzi che minimizza la velocità vs di traslazione assiale. Considerando che W è necessariamente l asse del moto relativo trovare tra gli infiniti piani perpendicolari a m quello che minimizza vs significa trovare il piano su cui far avvenire il contatto in modo che asse di mozzi passi per il punto di contatto tra le sup. dei denti/le primitive del moto e quindi si abbia il minimo strisciamento. 59

60 Trasmissione del moto tra assi (ruote iperboloidiche)/5 V r ; r MO M V r ; r MO M V M r V M M r Le velocità VM e VM del punto M rispetto ai due assi e due sono calcolate in base alle relative distanze r ed r 60

61 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)/6 v s g V M g VM g M La velocità relativa VM deve essere allineata alla vs per verificare la condizione di appartenenza all asse del Mozzi quindi deve essere verificata la seguente condizione: r cos V M cos VMcos r cos r cos ; r cos 6

62 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)7 g g g M Dalla condizione di appartenenza all asse di Mozzi (lucido precedente) si ha: r r cos cos ; Applicando il teorema dei seni al triangolo delle velocità angolari si ha: sin ; sin sin sin Ponendo a sistema le due condizioni Applicando il teorema dei seni al triangolo delle velocità angolari si ha: r r tan tan ; 6

63 Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote iperboloidiche)/8 v s g g VM V M g M v V sin V sin s M M r sin r sin sin r sin r sin sin interasse r r sin Si può dimostrare che la superfici rigate corrispondenti alle successive posizioni assunte dall asse del mozzi sono degli iperboloidi e che le superfici dei denti che minimizzano gli strisciamenti relativi hanno tale forma

64 Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/) Cilindro di Base Retta P bb P bb Retta P Il contatto avviene in un punto solo P intersezione delle due rette P e P appartenenti ai rispettivi piani dei contatti Cilindro di Base 64

65 Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/) Retta P bb P bb Per evitare la compenetrazione dei profili le due velocità normali devono essere uguali: cos cos b b cos b cos b 65

66 Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/) velocità allineata secondo t r cos r cos r cos sin r cos sin Z Z v r sin r sin s r sin r sin sin r sin r sin sin interasse r r sin t 66

67 Riduttore ruota elicoidale vite senza fine(g=90 ) f ' tan '; f tan ; cos cos f ' f cos Si raggiungono rapporti di trasmissioni enormi: principi della vite (,) 9/03/00 Ing. Meccanica Prato 67 Z Z p Z Rendimento: tan tan tan tan angolo elica corrisponde a complentare ' ; inclinazione parete filetto

68 Riduttore ruota elicoidale vite senza fine tan tan ' ; Per aumentare rendimento (generalmente non elevato): Lubrificare coppia e/o usare materiali diversi per vite e ruota. Sezione del filetto quadra ( vite di manovra, compatibilmente con problemi di taglio e contatto) 9/03/00 Ing. Meccanica Prato 68

69 Riduttore ruota elicoidale vite senza fine Si ricorda che basso rendimento può servire per rendere moto irreversibile rendendo impossibile il moto retrogrado (utile in alcune applicazioni): tan tan ' ; ' ; tan ' tan Più in generale (macchina generica): ' Lr Lr Lm Lr Lp Lm Lp Lr ' p p m r ' ; ' ; ; ' ; ' ' ' L L L L Ing. Meccanica Prato 69

70 Riduttore vite senza fine Ruota elicoidale, vite Madrevite, vite Madrevite, vite globoidale 9/03/00 Ing. Meccanica Prato 70

71 Vite quadra accoppiata con ruota elicoidale 7

72 Ruote ipoidali 9/03/00 Ing. Meccanica Prato 7

73 Dimensionamento delle ruote dentate Esempio numerico relativo alla scelta e al dimensionamento di due ruote dentate. I dati del problema sono: P = 4000 W potenza del motore N = 500 RPM velocità di rotazione = /3 rapporto di trasmissione La prima cosa da fare è cercare un valore dell interasse ottimale per il funzionamento delle due ruote. Solitamente tale valore viene determinato per tentativi, noi faremo l ipotesi che il valore ottimale dell interasse sia: i = 00 mm Una volta noto il valore di i si può scrivere il seguente sistema nelle incognite R e R, raggi delle due ruote: R R R R i Da cui si ricava R R 5mm 75mm 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 73

74 Dimensionamento delle ruote dentate Passiamo adesso a determinare il numero dei denti di ciascuna ruota dentata. Per fare questo dovremo tener conto delle condizioni di non interferenza tra i profili e la condizione di non interferenza al taglio tra ruota dentata e dentiera utensile. Supponiamo di utilizzare ruote aventi denti con proporzionamento normale e con angolo di pressione pari a 0. La condizione di non interferenza tra i profili è esprimibile con la relazione: z sin e si applica alla ruota di raggio minore, con i dati a noi assegnati si ottiene: La condizione di non interferenza a taglio è esprimibile con la relazione: e porta a: z z 5 sin z 8 Fissiamo quindi z =8 e calcoliamo il modulo: R 5 m. 8mm z 8 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 74

75 Dimensionamento delle ruote dentate questo valore del modulo non rientra fra quelli normalizzati, scegliamo quindi il valore normalizzato che più si avvicina: m. 5mm Scelto m si ricava il numero dei denti delle due ruote dentate: z z R 5 0 m.5 z 60 Una volta determinate le caratteristiche geometriche delle due ruote passiamo alle verifiche a flessione ed a usura. La coppia C agente sulla ruota motrice è data da: 60 C P 5N m n la forza scambiata da due denti è scomponibile in una azione radiale F ed in una azione tangenziale T: C T 000 N R F T tg 364N 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 75

76 Dimensionamento delle ruote dentate Per il calcolo della resistenza a flessione (convenzionalmente si trascurano azioni di taglio e sforzo normale) si suppone il dente assimilabile ad una trave incastrata con carico a sbalzo, si fa inoltre l ipotesi cautelativa che vi sia una sola coppia di denti in presa. La formula utilizzata per la verifica è la formula di Lewis espressa da: in cui: T amm y mb y è detto coefficiente di Lewis e si trova tabellato in funzione del numero di denti e dell angolo di pressione. Nel nostro caso si ha: y = 0.34 amm è la tensione ammissibile del materiale impiegato per realizzare le ruote. Nel nostro caso scegliamo un acciaio legato da bonifica con un valore della tensione ammissibile pari a 00 N/mm. Per tener conto del sovraccarico dinamico si introduce un coefficiente di riduzione della tensione ammissibile, dato da: A A V è il valore della velocità periferica della prima ruota; mentre A è un coefficiente che può essere paria 6 o 3 rispettivamente per ingranaggi precisi o poco precisi. Nel nostro caso assumiamo A = 6, si ha così: v 0.6 n v R /03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 76 m s

77 Dimensionamento delle ruote dentate b è lo spessore della ruota dentata. Introducendo questi valori nella formula di Lewis si ricava: Una volta determinato lo spessore minimo che garantisce la resistenza a flessione passiamo alla verifica ad usura. La formula da utilizzare è: dove: T p amm f mb b 0mm pamm è il valore ammissibile della pressione nel contatto tra i denti; per l acciaio scelto in precedenza si può porre: f è un coefficiente pari a: p amm 500 mm N sin f 0.7 E nell ipotesi che entrambe le ruote siano realizzate con lo stesso materiale. E è il modulo di Young dell acciaio. Nel nostro caso si ha che: z z z z f mm N 9/03/00 Componenti Meccanici per l'automazione 77

78 Dimensionamento delle ruote dentate Introducendo questi valori nella formula della verifica ad usura si ricava: b 9mm Dovendo la ruota essere in grado di resistere ad entrambi i tipi di sollecitazioni si prende come valore minimo dello spessore: b 9mm 78

79 Appendice: Calcolo Asse del Mozzi/centro istantanea rotazione P appartiene all'asse di mozzi se risulta verificato: V 0 V p V ox y z p o z y p o x 0 V oy z x p o x z p o y 0 ; V 0 oz x y p o y x p o z z V oy z x p o x z p o y V oz x y p o y x p o 0 x V oz x y p o y x p o z V ox y z p o z y p o 0 ; 0 y V ox y z p o z y p o x V oy z x p o x z p o A z y x y x z x p o yvoz zvoy x y x z z y y p o zvox xvoz x z z y y z p o xvoy yv ox x applicando kramer ; det A 0 z y x z y x x y z z y y z y x x y x z x z r A soluzioni la soluzione è un vettore di modulo arbitrario(un asse) indipendentemente dal valore di,, (purchè non tutti nulli) z y x p 79

80 Appendice: centro istantanea rotazione(moto piano) P è il centro di istantanea rotazione caso particolare del precedente: V p V 0 p Vox z yp o 0 0 Voy z xp o 0 0 ; 0 z 0 z Voy z x p o 0 z Vox z yp o 0 ; 0 0 A A* z 0 0 xp o zvoy 0 x 0 z 0 z po zvoy yp o zvox y 0 0 z po zv ox det A 0; det( A*) 4 z esiste una coppia di x y che verificano sistema p-o p-o (centro/asse di istanea rotazione) 80