DETERMINAZIONE DEL K I DI RUOTE DENTATE AL VARIARE DELLE CONDIZIONI DI INGRANAMENTO

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1 DETERMINAZIONE DEL K I DI RUOTE DENTATE AL VARIARE DELLE CONDIZIONI DI INGRANAMENTO M.Guagliano, M. Sangirardi, L.Vergani Dipartimento di Meccanica, Politecnico di Milano, P.zza L. da Vinci, 32, Milano mario.guagliano@mecc.polimi.it, michele.sangirardi@mecc.polimi.it laura.vergani@mecc.polimi.it Sommario Nel presente lavoro si affronta il prolema del calcolo del fattore di intensificazione degli sforzi di cricche di fatica in ruote dentate, con corone di differente spessore, a denti diritti. Dopo aver identificato il punto di nucleazione della cricca di fatica se ne è seguita l evoluzione, anche in termini di direzione di propagazione. In particolare le analisi svolte hanno permesso di seguire l effettivo ciclo del fattore di intensificazione degli sforzi durante l'ingranamento. I risultati mostrano che piccoli riposizionamenti del punto di nucleazione possono dar luogo a modalità di propagazione differenti, che in taluni casi possono interessare l'intera corona. Astract The present paper deals with the fatigue crack growth prediction in spur gear teeth with different ri thickness. After having determined the position of initiation of the crack, its evolution was analysed in terms of crack growth direction. The analyses allowed researchers to evaluate the effective K during the contact cycle. The results shows that little deviation of the crack initiation point can lead to different crack propagation evolutions, that sometimes lead to damage the rim thickness. 1. Introduzione La previsione della propagazione di cricche di fatica nelle ruote dentate è un argomento di crescente attualità, infatti è en noto che l applicazione delle norme di calcolo internazionali (ad esempio [1], [2]) per il progetto di ruote dentate conduce a dimensionamenti il più delle volte eccessivamente conservativi, impedendo l ottimizzazione del progetto in relazione alla effettiva durata richiesta. L adozione di criteri progettuali differenti impone tuttavia la definizione di procedure di calcolo capaci di tenere in considerazione le effettive condizioni di sollecitazione delle ruote.

2 Focalizzando l attenzione sulla verifica a fatica alla ase del dente è necessaria la messa a punto di approcci capaci di valutare la durata delle fasi di nucleazione e di propagazione di cricche di fatica; infatti, solo sulla ase di queste indicazioni è possiile procedere mediante tecniche del tipo damage tolerant. Molti sono gli autori che nell ultima decade si sono interessati al prolema: tra i numerosi interventi pulicati, gli studi di Flasker et al [3-5] rappresentano un importante contriuto per la definizione di modelli numerici ad elementi finiti 2D e 3D idonei per la simulazione della propagazione e per la messa a punto di metodologie di progetto innovative, tenendo in considerazione le effettive condizioni di contatto. In tempi più recenti Ballarini et al [6-8] hanno sviluppato algoritmi per la simulazione automatica, in 2 e 3 dimensioni, di cricche di fatica in ruote dentate di interesse aeronautico, considerando anche l effetto di chiusura della cricca ed ottenendo risultati di interesse applicativo. Nicoletto [9] ha invece proposto un approccio asato sul metodo delle Weight Functions per la determinazione dei fattori di intensificazione degli sforzi relativi al I ed al II modo di apertura della cricca, evidenziando l influenza del K II sulla direzione di propagazione della frattura. Recentemente, Ciavarella e Demelio [10] hanno sviluppato una metodologia asata su analisi BEM per l ottimizzazione del progetto delle ruote dentate. Anche i presenti autori si sono occupati del prolema, soffermandosi sull influenza dei trattamenti superficiali sulla vita a fatica delle ruote dentate [11] e definendo un approccio asato sulle Weight Functions in 3 dimensioni per il calcolo del K I di cricche con fronte curvilineo [12]. In tutti i lavori precedentemente citati per il calcolo del valore di K max si considera la condizione di contatto singolo più esterno, condizione di verifica indicata anche dalle norme. Partendo dall evidenza che, almeno per il tipo di ruota dentata considerata, esiste un lungo tratto alla ase del dente nell'intorno del punto indicato dalle norme interessato da elevate sollecitazioni e sede preferenziale di innesco della frattura, si è esaminato come la frattura evolva al variare del punto di nucleazione ed al variare dello spessore della corona. I risultati mostrano come la direzione di propagazione risenta dello spessore della corona e che in taluni casi è ene considerare anche la condizione di contatto singolo più interno. Lo studio è di natura prevalentemente numerica: prove fotoelastiche hanno tuttavia convalidato i risultati raggiunti. 2.Descrizione delle ruote dentate La ruota oggetto dell analisi è a denti diritti con profilo ad evolvente fortemente corretto ed è utilizzata per cami automoilistici di vetture di media cilindrata per realizzare la retromarcia. Il coefficiente di intaglio teorico, calcolato facendo riferimento al metodo delle rette a 30 indicato in [1], è pari a Sempre seguendo le indicazioni contenute nelle norme e con l ausilio di strumenti di calcolo automatici, sono stati determinati il punto di contatto singolo più esterno (PSE) e più interno (PSI), nei quali nelle successive analisi ad elementi finiti è stato applicato un carico corrispondente alla coppia di progetto. In Fig.1 è illustrato un disegno schematico della ruota. La corona è, come si vede in figura, piena. Nel presente lavoro sono stati considerati i casi di corona di vario spessore per valutare come questa grandezza modifichi le modalità di propagazione. 3. Definizione dei modelli numerici Il calcolo dell evoluzione di cricche di fatica nelle ruote dentate è stato affrontato con analisi

3 ad elementi finiti. Innanzitutto sono stati sviluppati modelli del dente in assenza di cricca idonei alla valutazione del punto più sollecitato; i modelli comprendenti la frattura sono stati ricavati da questi modificandone opportunamente la schematizzazione. Figura 1 Disegno schematico della ruota Tenendo presente precedenti risultati [12] indicanti come, a parte le prime fasi di propagazione, la cricca tenda a divenire rettilinea e, conseguentemente, il prolema, piano, le schematizzazioni adottate sono state idimensionali. In Fig.2 è illustrato il modello non criccato della ruota nelle due condizioni di carico considerate: la forza nel punto di contatto singolo più esterno (PSE) e angolo α en =32 e la forza nel punto di contatto singolo più interno (PSI) e angolo α en =7 ; come si può notare la modellazione comprende un solo dente. Le condizioni di vincolo non riproducono fedelmente quelle reali dei piani di contorno laterali della ruota; tuttavia si è visto [13] come, in assenza di cricche od in presenza di fratture di dimensioni modeste, tali condizioni non danno luogo a differenze sostanziali nel calcolo dello stato di sforzo nel dente. Il fattore di intensificazione degli sforzi è stato calcolato tramite la tecnica dell avanzamento virtuale della cricca [14] che permette di determinare il valore dell energia specifica G rilasciata G durante un avanzamento in varie direzioni possiili della frattura, da cui si ottiene: K = in cui E' E =E/(1-ν 2 ) per stati di deformazione piana. a

4 Figura 2- Modelli ad elementi finiti del dente non criccato: a) forza nel punto di contatto singolo più esterno, ) forza nel punto di contatto singolo più interno. Il K così ottenuto raccoglie gli effetti sia del I modo che del II di apertura delle cricche e può quindi essere utilizzato per descrivere la propagazione del difetto. E' stata considerata come direzione di propagazione quella per la quale si è ottenuto il massimo valore di G; la propagazione della cricca è stata così seguita aggiornando dimensioni e orientamento della cricca fino ad ottenere dimensioni che interessano gran parte dello spessore del dente. 4. Risultati numerici Le analisi sul dente integro hanno permesso di determinare la zona in cui la cricca nuclea, evidenziata in Fig.3. Dopo aver elaorato i valori di sforzo, si sono considerati i nodi più sollecitati (in termini di sollecitazione equivalente di von Mises) quando il carico agisce nelle due condizioni PSE e PSI. La propagazione è stata poi seguita a partire da questi due punti; nel caso di difetto che nuclea dal punto 1 la forza è stata applicata nella posizione di PSE, viceversa se il difetto nuclea dal punto 2 si fa riferimento alla condizione di forza applicata in PSI. In Fig.4 è rappresentato l andamento del fattore di intensificazione degli sforzi per i due casi considerati e per i differenti spessori di corona: è possiile notare che i risultati relativi al contatto nel PSE sono quelli più gravosi ma che anche i valori relativi alle condizioni di contatto nel PSI sono comunque di entità non trascuraile. K In Fig. 5 sono riportati gli andamenti dei fattori di forma, β, definito come: β =. σ n πa om (a) () Fig.3 Zona più sollecitata alla ase del dente: a) punto più sollecitato per carico applicato nel PSE, ) punto più sollecitato per carico applicato nel PSI. Interessante risulta l analisi della direzione di propagazione per i diversi casi considerati: in Fig.6 sono riportate, per la ruota di maggiore spessore, le configurazioni deformate in presenza di cricche ormai prossime alla propagazione instaile, considerando la forza applicata in PSE (a) e in PSI (); nelle Fig.7 e 8 sono mostrate le analoghe deformate nel caso, rispettivamente di ruota con corona di spessore ridotto al 75% e al 60%. Si nota che, nel caso di ruota con spessore ridotto al 60% e forza applicata nel PSI, la cricca si dirige non verso l estremità opposta del dente,

5 causandone la rottura, ma verso la corona della ruota, con en più gravi conseguenze, visto che in questo caso sarà l intera ruota a rompersi. K [MPa m 0,5 ] PSE 100PSI 75PSE 75PSI 60PSE 60PSI PSE 100PSI 75PSE 75PSI 60PSE 60PSI a [mm] ,2 a/s 0,4 Fig.4 Andamento di K al variare di a per diversi spessori della corona Fig.5 Andamento di β al variare di a per diversi spessori della corona E quindi lecito affermare che la condizione di contatto singolo più interno, nonostante dia luogo, per le configurazioni esaminate, a K minori e conseguentemente a velocità di propagazione meno elevate deve essere tenuta in attenta considerazione perché più pericolosa rispetto a quella di contatto singolo più esterno giacché produce la rottura dell intera ruota. Per valutare, infine, come le condizioni di vincolo ipotizzate influenzino i risultati raggiunti è stata svolta un analisi in cui si è schematizzata l intera corona, tenendone quindi in conto la deformailità e, con essa, adottando una schematizzazione numerica più prossima a quella reale. I casi analizzati si riferiscono alla corona con spessore ridotto al 60%: i risultati hanno evidenziato una differenza del fattore di intensificazione degli sforzi del 10% mentre la direzione di propagazione resta praticamente invariata. a Fig.6 Caso della ruota piena : differente avanzamento dei difetti per forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI ().

6 a Fig.7 Caso della ruota con corona di spessore pari al 75% : differente avanzamento dei difetti per forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI (). a Fig.8 Caso della ruota con corona di spessore pari al 60% : differente avanzamento dei difetti per forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI (). 5. Modelli fotoelastici e risultati sperimentali Per verificare sperimentalmente i risultati ottenuti numericamente è stata svolta una indagine fotoelastica su modelli piani in resina epossidica artificialmente danneggiati, con cricca diretta normalmente al ordo e disposta nel punto di maggiore sollecitazione a trazione. Il modello fotoelastico riproduce soltanto tre denti e il danno è stato impresso alla ase di quello centrale. Per ottenere artificialmente la discontinuità si è operato impattando con una sottile lama sul ordo del modello; scegliendo opportunamente l'energia dell'impatto si può statisticamente prevedere la lunghezza della cricca. Il modello così preparato è stato quindi sottoposto a un carico applicato nelle due posizioni considerate usando l'attrezzatura di carico, vedi Fig.9. Con questa procedura sono stati studiati difetti con due diverse lunghezze di cricca, a 1 = 0.8mm e a 2 = 1.5 mm. In Fig.10, come esempio, si possono osservare le isocromatiche relative alla cricca a 1 e alla cricca a 2, nel caso di forza applicata nel PSI. Già da una ricognizione d'assieme sull'andamento delle isocromatiche si può osservare che nel caso della cricca a 1 si è in presenza di una condizione di semplice apertura (disposizione

7 simmetrica rispetto all'asse della cricca), mentre per la più estesa è riscontraile la presenza di un modesto contriuto di taglio. I risultati ottenuti concordano con quanto ottenuto per via numerica e con quelli di letteratura [10], mostrando che il contriuto di taglio diventa influente solo quando la dimensione del difetto è elevata. Nella elaorazione delle frange quindi, nel caso a 1 si è usato il metodo dell'apogeo di Irwin, nel caso a 2 si è invece usato il metodo di Dally e Sanford [15]. I risultati ottenuti per i due casi trattati sono riportati in termini di fattore di forma in Ta. II insieme a quelli previsti con il calcolo per un utile confronto. 6. Conclusioni Taella II Valori dei fattori di forma determinati numericamente e sperimentalmente Forza applicata nel PSE Forza applicata Nel PSI a/s Numerico Fotoelastico Numerico Fotoelastico 0,05 1,31 1,22 2,2 1,87 0,09 1,02 0,94 1,18 1,23 E stata analizzata la propagazione di cricche di fatica in ruote dentate utilizzate in amito automoilistico. L attenzione è stata in particolare riposta sull analisi dell influenza dello spessore della corona sulla direzione di propagazione al variare della posizione del carico durante il ciclo di contatto. Gli andamenti riportati nelle Figg evidenziano una minore influenza dello spessore della corona per le situazioni in cui il carico è applicato nel PSE in confronto a quanto accade nei casi in cui il carico agisce nel PSI. I risultati numerici indicano comunque che la condizione di contatto singolo più esterno è quella che generalmente determina le condizioni di propagazione per fatica. Tuttavia, per inneschi in posizione leggermente differente da quella dettata dalle norme, è interessante considerare anche la condizione di contatto singolo più interno; in particolare, nel caso di ruote con spessore ridotto si può avere una direzione di propagazione tale da produrre la rottura della corona della ruota. I risultati sperimentali, seppure ancora meno estesi dei numerici, risentendo della distriuzione degli sforzi di contatto, semrano sottolineare l'esigenza di un ulteriore approfondimento di questa situazione. Biliografia 1. ISO :1996 Calculation of load capacity of spur and helical gears Part 3: Calculation of tooth ending strength. 2. AGMA Fundamental rating factors and calculation methods for involute spur and helical gear (Metric version) American Gear Manufacturers Association, Kato M., Deng G., Inoue K., Takatsu N. (1993) Evaluation of the Strength of Carurized Spur Gear Teeth Based on Fracture Mechanics JSME International Journal. Series C, Vol.36, No.2, pp J.Flasker, S. Glodez, S. Pehan Influence of contact area on service life of gears with crack in tooth root, Comm. Num. Meth. Engng, 11, 1995, pp Pehan S., Hellen T.K., Flašker J.(1995) Applying Numerical Method for Determining the Service Life of Gears Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. Vol.18, No.9, pp Pehan S., Hellen T.K., Flašker J., Glodez, S. (1998) Numerical methods for determining stress intensity factors vs crack depth in gear tooth root In,t Jou. of Fatigue, Vol.19, No.10, pp D. Lewicki and R. Ballarini (1997) Rim thickness effects on gear crack propagation life. Int. J. Fract., 87,

8 7. D. Lewicki, A.D. Sane, R. Drago and P. Wawrzynek (1998). Three-Dimensional Gear Crack Propagation Studies. NASA TM D. Lewicki and R. Ballarini (1997) Effect of rim thickness on gear crack propagation path, ASME Journal of Mechanical Design, 119, pp G. Nicoletto (1993). Approximate Stress Intensity Factors for Cracked Gear Teeth. Engng Fract. Mech., 44, M. Ciavarella, G. Demelio (1999) Numerical methods for the optimisation of specific sliding, stress concentration and fatigue life of gears, Int. Jou. of Fatigue, Vol. 21, pp A.Blarasin, M.Guagliano, L.Vergani Fatigue Crack Growth Prediction in Specimens Similar to Spur Gear Teeth, Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, Vo.20, No.8, 1997, pp Guagliano, M., Vergani, L. (1997) Influenza delle condizioni di contatto sulla propagazione a fatica dei difetti nelle ruote dentate per cami automoilistici, Atti XIII Convegno Nazionale Gruppo Italiano Frattura (IGF13), Cassino, pp M. Celik (1999) Comparison of three teeth and whole ody models in spur gear analysis, Mech. Mach. Theory, Vol. 34, pp D.M. Parks (1974) A Stiffness Derivative Finite Element Technique for Determination of Elastic Crack Tip Stress Intensity Factor. Int. J. of Fract. 10, Dally J.W., Riley W. F. (1991) Experimental Stress Analysis. Mc Graw Hill International Editions, New York. Fig.9 Attrezzatura di carico. a

9 Fig.10 Andamento delle isocromatiche con la forza nel PSI: a) a 1 =0,8mm; ) a 2 =1,5mm