Dalla distribuzione unitaria a quella di frequenza

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1 Dalla distribuzione unitaria a quella di frequenza Cognome sesso età Livello soddisfaz ione Tipo albergo (categoria) Giorni permanenza Bianchi F 8 basso 4 Alimov F 5 medio 3 6 More M 19 alto 4 Wieser F 3 alto 3 10 Lincoln M 60 medio 5 8 Distribuzione di frequenza assoluta Elencazione del numero delle volte che una modalità di un carattere viene osservata nel collettivo Corrisponde alla suddivisione delle unità statistiche in sottogruppi Sesso frequenza F 3 M totale 5 Livello soddisfazion e frequenza basso 1 medio alto Totale 5 Osservazioni: Evidenzia le caratteristiche del fenomeno Implica perdita di informazione

2 Distribuzione di frequenza relativa e percentuale Relativa f i = n j /n rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale delle unità osservate Percentuale p i = f i *100 frequenza relativa moltiplicata per 100 Sesso Freq. assoluta F 3 M totale 5 Sesso Freq. rel F (3/5)=0.6 M (/5)= 0.4 totale 1 Sesso Freq. % F (3/5*100)=60 M (/5*100)= 40 totale 100 Distribuzione di frequenza percentuale: esempio Sesso Freq. assol. F 3 M totale 5 Sesso Freq. assol. F 180 M 10 totale 300 Attenzione: le distribuzioni percentuali implicano la perdita dell informazione sulla numerosità dei collettivi Possibile il confronto tra due o più collettivi di dimensioni diverse rispetto ad un carattere Sesso Freq. % F (3/5*100)= 60 M (/5*100)= 40 totale 100 Sesso Freq.% F (180/300*100)= 60 M (10/300*100)= 40 totale 100

3 La notazione X : Carattere osservato x 1, x,, x i,, x K : K modalità assunte del carattere X x i modalità generica x K ultima modalità Se X quantitativo x 1 < x << x i << x K n : numero di u.s. che compongono il collettivo n 1, n,, n i,, n K : freq. Assol. associate alle K modalità n 1 + n + + n i ++ n K =n Car. X FREQUENZE ASSOLUTE x 1 n 1 x n x i x K Totale n i n K n Distribuzione di frequenze assolute: la formalizzazione CARATTERE FREQUENZE ASSOLUTE Car. X FREQUENZE ASSOLUTE Modalità uno Numero di u.s. del collettivo considerato che presentano la modalità uno del carattere x 1 n 1 Modalità due Numero di u.s. del collettivo considerato che presentano la modalità due del carattere x n Modalità i Numero di u.s. del collettivo considerato che presentano la modalità i del carattere x i n i Modalità kappa Numero di u.s. del collettivo considerato che presentano la modalità kappa del carattere x K n K Totale Numero totale di u.s. del collettivo considerato (corrisponde alla somma delle frequenze assolute) Totale n

4 Frequenze Relative e percentuali Frequenze relative Frequenze percentuali Si indicano con f i p i Si calcolano così Sono = numeri compresi tra 0 e 1 (con la virgola) = numeri compresi tra 0 e 100 (possono avere la virgola) Sono tali che f 1 + f ++ f i ++ f K = 1 p 1 + p ++ p i ++ p K = 100 Distribuzione di frequenza Carattere X Frequenza Frequenza Frequenza Assoluta Relativa Percentuale n i f i = n i /n p i = f i x 100 x 1 n 1 f 1 p 1 x n f p x i n i f i p i x K n K f K p K Totale n 1 100

5 Esercizio Internet Users Paese (%) 01 Belgium 80 Czech Republic 71 Denmark 9 France 80 Germany 80 Greece 56 Hungary 71 Italy 56 Luxembourg 9 Malta 66 Netherlands 9 Slovenia 66 Spain 66 Sweden 9 United Kingdom 80 (fonte Eurostat) E una tabella unitaria o una distribuzione di frequenze? Calcolare la distribuzione di frequenze assolute, relative percentuali. Tabella di frequenza Internet Users % n j fi p i Totale complessivo Esercizio N. di Paesi per % di Utenti Internet Tabella di frequenza Internet Users % n j fi p i Totale complessivo Quanti paesi hanno una % di Utenti non superiore al 66%? Tabella di frequenza Internet Users % n j fi p i Totale complessivo Questo numero sarà uguale a : +3=5 In percentuale sarà il : =33.33% del collettivo Per rispondere al quesito abbiamo cumulato le frequenze!

6 Frequenze Cumulate Hanno senso solo se il carattere in esame è almeno un carattere qualitativo ordinale La frequenza cumulata associata alla modalità x i del carattere rappresenta il numero di u.s che presentano una modalità non superiore a x i Frequenze Cumulate si ottengono sommando le frequenze assolute (relative o percentuali) associate alle modalità inferiori o uguali alla modalità per la quale si sta calcolando la frequenza cumulata Calcolo delle frequenze cumulate: esempio = = Tabella di frequenza Internet Users % n j N i fi F i p i Pi Totale complessivo h= h= h = h = + + +

7 Calcolo delle frequenze cumulate Frequenza Assoluta Cumulata della modalità x i = h = h= Frequenza Relativa Cumulata della modalità x i = h = h= Frequenza Percentuale Cumulata della modalità x i = h = h= Osservazione Sommatoria x : indica in modo sintetico la somma di un insieme di numeri x Sia x 1 =3, x =5, x 3 =1, x 4 =9, x 5 =15 = = = =

8 Calcolo delle frequenze cumulate Ovviamente in corrispondenza della modalità più grande x K si avrà Frequenza assoluta cumulata N K =n Frequenza relativa cumulata F K =1 Frequenza percentuale cumulata P K =100 In sintesi Carattere X Frequenza Assoluta n i Frequenza Cumulata N i x 1 n 1 N 1 =n 1 x n N =n 1 +n x i n i N i =n 1 +n ++n i x K n K N K =n Totale n

9 Esercizio In un collettivo di 40 clienti di un albergo si è rilevato il numero di notti di permanenza nella struttura. La distribuzione è riportata nella tabella seguente. Quanti clienti, in numero assoluto e percentuale, hanno pernottato meno di15 notti? E almeno 15 notti? Pernottamenti (x i) Freq.assoluta (n i ) Da 1 a 4 notti 60 Da 5 a 7 notti 70 Freq.assoluta cumulata (N i ) Freq. Percentuale (pi) Freq. Percentuale Cumulata (Pi) = Da 8 a 14 notti 0 Da 15 a 1 notti 60 Oltre 1 notti 30 Totali = = = Indici sintetici di dimensione Obiettivi dell analisi dei dati : Studiare i fenomeni collettivi che si manifestano in modo diverso da unità a unità variabilità Sintetizzare la distribuzione del carattere mediante un solo valore Indici sintetici di dimensione: medie La media dà un idea sintetica della distribuzione del carattere sul collettivo in esame

10 Le medie Esistono molti tipi di media a seconda dell informazione che si vuole fornire e del tipo di situazione che si sta analizzando La media deve essere un valore omogeneo con i dati osservati compreso tra le modalità della distribuzione (tra le modalità minima e massima se si è in presenza di una mutabile ordinale o di una variabile (principio di Cauchy)) Si distinguono: medie di posizione medie analitiche Medie di Posizione Moda e Mediana Si possono calcolare sia per caratteri qualitativi che quantitativi Modalità che occupano particolari posizioni all interno della distribuzione del carattere Non necessariamente cambiano se cambiano i dati della distribuzione Sfruttano solo parzialmente l informazione disponibile

11 Moda Si può calcolare sia per caratteri qualitativi che quantitativi Modalità cui corrisponde la max frequenza (assoluta, relativa o percentuale) Può non essere unica Se il carattere è diviso in classi Classe modale: classe di modalità a cui corrisponde la max densità media di frequenza Esempio: qual è la moda? Distribuzione dei laureati di SDC nell a.a. 003/004 per Corso di Laurea CDL n i STC 48 SCPO 71 La moda è SCPO COOP 6 Totale 15 Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 secondo la Soddisfazione della Scelta Universitaria Soddisfazione n i f i p i Per nulla Poco Abbastanza La moda è ABBASTANZA Pienamente Totale

12 Esempio: qual è la moda? Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequentati Num. Corsi Freq. n i Num. Corsi Freq. n i Totale La moda è 3 Totale 83 Esempio: distribuzione multimodale Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Tipo di Maturità Tipo di Maturità n i f i p i Classica 1 0,300 30,0 Scientifica 1 0,300 30,0 Tecnica 7 0,175 17,5 Altro 9 0,5,5 Totale Tipo di Maturità n i f i p i Classica 1 0,300 30,0 Scientifica 1 0,300 30,0 Tecnica 7 0,175 17,5 Altro 9 0,5,5 Totale La distribuzione è bimodale Le mode sono Classica e Scientifica

13 Esempio: classe modale Distribuzione di laureati di SDC nell a.a. 003/004 per Voto di Laurea Voto Laurea n i [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 ( ] 35 Qual è la classe modale? Voto Laurea n i [87-98] 18 (98-10] 7 (10-105] 5 ( ] 35 ( ] 5 Totale 130 Ampiezza classe a i 98-87= = = = = Densità media d i (18/11)=1,64 7/4=6,75 8/=8,33 35/4=8,75 5/=1,50 a i ( ] 5 Totale 130 xi xi 1 d i ni / ai La classe modale è ( ] Mediana Si può calcolare per caratteri qualitativi ordinati e per caratteri quantitativi Definizione modalità che bipartisce la graduatoria (crescente o decrescente) delle osservazioni U.S. Alice Marco Elisa Lucia Fabio Modalità Basso Basso Medio Medio Alto Mediana

14 Calcolo della mediana per una variabile: 1 Collettivo di n=5 unità Variabile osservata X = Altezza 1. Ordino le unità secondo un ordine crescente di Altezza Calcolo della mediana per una variabile: Collettivo di n=5 unità Variabile osservata X = Altezza. Identifico l unità centrale nella serie ordinata dei dati

15 Calcolo della mediana per una variabile: 3 Me=155 cm 3. La mediana è il valore che la variabile Altezza assume sull unità che divide il collettivo in due parti numericamente uguali Formalmente n dispari Me=x [(n+1)/] =x [(5+1)/] =x 3 Me N.B. Le misure di posizione sono VALORI, NON FREQUENZE!!

16 Esempio Distribuzione unitaria dei giudizi di 5 studenti Senza ordine U.S. Giudizio U1 Buono U Insuf. U3 Discreto U4 Suff. U5 Ottimo Ordine crescente Posto U.S. Giudizio 1 U Insuf. U4 Suff. 3 U3 Discreto 4 U1 Buono 5 U5 Ottimo La mediana è Discreto Esempio Distribuzione unitaria dei voti di 8 studenti Senza ordine U.S. Voto U1 U 30 U3 8 U4 18 U5 7 U6 0 U7 5 U8 8 Ordine crescente Posto U.S. Voto 1 U4 18 U6 0 3 U1 4 U7 5 5 U5 7 6 U3 8 7 U8 8 8 U 30 Le mediane sono 5 e 7

17 Mediana: il calcolo 1) Ordinare in senso crescente (decrescente) le u.s. rispetto alle modalità su di esse osservate del carattere in esame ) Individuare l unità che occupa il posto centrale n dispari Il posto centrale è n pari n 1 Ci sono due posti centrali : n e n 1 Mediana: il calcolo 3) Calcolare la Mediana: è la modalità presentata dall unità individuata al punto ) n dispari La mediana è la modalità dell u.s. che occupa il posto n 1 cioè Me= x n1 n pari La mediana è rappresentata dalla coppia di modalità delle u.s. che occupano i posti n/ e (n/)+1 cioè Me= x (n/) e Me=x (n/)+1 Se il carattere è quantitativo, la mediana è la semisomma delle modalità individuate cioè x n x n 1 Me

18 Esempio Distribuzione unitaria dei giudizi di 5 studenti Senza ordine U.S. Giudizio U1 Buono U Insuf. U3 Discreto U4 Suff. U5 Ottimo Ordine crescente Posto U.S. Giudizio 1 U Insuf. U4 Suff. 3 U3 Discreto 4 U1 Buono 5 U5 Ottimo n 5 n 1 3 x n 1 x 3 Discreto La mediana è Discreto Esempio Distribuzione unitaria dei voti di 8 studenti Senza ordine U.S. Voto U1 U 30 U3 8 U4 18 U5 7 U6 0 U7 5 U8 8 Ordine crescente Posto U.S. Voto 1 U4 18 U6 0 3 U1 4 U7 5 5 U5 7 6 U3 8 7 U8 8 8 U 30 n 8 n n x n x 5 x 7 4 x Me x x n 1 Le mediane sono 5 e 7 n n 1 x4 5 x

19 Esempio: mediana per una distribuzione di frequenza Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 secondo la Soddisfazione della Scelta universitaria Soddisfazione n i N i Per nulla 4 4 Poco Abbastanza Posti in graduatoria Da 1 a 4 Da 5 a 38 Da 39 a 3 La mediana è Abbastanza Pienamente Totale 83 Da 4 a 83 n 83 n 1 14 x n x 1 14 Abbastanza Proprietà della Mediana 1) E sempre compresa tra la modalità minima x 1 e la modalità massima x K del carattere ) E robusta cioè è poco sensibile ai cambiamenti che possono avvenire sulle modalità estreme della distribuzione del carattere

20 Quartili Primo quartile Q 1 : modalità che nella graduatoria (crescente o decrescente) bipartisce il 50% delle osservazioni con modalità più piccole o al più uguali alla Me Terzo quartile Q 3 : modalità che nella graduatoria (crescente o decrescente) bipartisce il 50% delle osservazioni con modalità più grandi o al più uguali alla Me U.S. A G I F B D L H E M C x j Me Q 1 Q 3 Esempio Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti Senza ordine U.S. Affitto U1 40 U 43 U3 35 U4 33 U5 45 U6 40 U7 36 U8 36 U9 4 U10 38 U11 48 U1 51 U13 39 U14 4 U15 46 U16 59 U17 53 U18 55 U19 4 Ordine crescente Posto U.S. Affitto 1 U4 33 U U U U U U U U U U U U U U U U U U16 59 Affitto Primo Quartile è 38 La mediana è 4 Terzo Quartile è 48

21 Esempio: mediana e quartili Calcolo di mediana e quartili MEDIANA n 19 n Me x x n QUARTILI n Q 1 xn x5 4 3 n Q 3 x n x Medie Analitiche Media aritmetica Si possono calcolare solo per caratteri quantitativi (variabili continue o discrete) Sono funzioni matematiche di tutti i dati osservati Cambiano se si cambia anche un solo dato Sfruttano completamente l informazione statistica disponibile

22 Media Aritmetica: il calcolo 1) Distribuzione unitaria semplice del carattere X x 1, x,, x i, x n = = = U.S. Voto Maturità Ammontare del carattere n 10 = = = M Media Aritmetica: il calcolo ) Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X Car. X FREQUENZE ASSOLUTE FREQUENZE RELATIVE x 1 n 1 f 1 x n f = = = = = x i n i f i x K n K f K Totale n 1 MEDIA ARITMETICA PONDERATA

23 Esempio: distribuzione di frequenze = Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequentati n 83 K 7 = = Num. Corsi n Freq. i Totale 83 x i n i 1*15=15 *43=86 3*103=309 4*80=30 5*3=160 6*8=48 7*=14 95 (115) (43) (3103) (480) (53) (68) (7) 95 M = = 7 = =. Esempio Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Voto di Maturità n 40 K 4 = = = = = =. Voto Maturità n i Totale 40 x i n i

24 Media Aritmetica: il calcolo 3) Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X raggruppato in classi Car. X n i (x 0, x 1 ] n 1 (x 1, x ] n (x i-1, x i ] n i (x K-1, x K ] n K Totale n Valori centrali c 1 c c i c K = + = = = = = Esempio Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 001/00 per Voto di Maturità n 83 K 5 Voto Maturità n i [60-70] 7 (70-80] 78 (80-90] 65 (90-95] 18 (95-100] 50 Totale 83 c i c i n i = + = = = i 1 = c 1 =. 65 = =

25 Proprietà della media aritmetica h = = h + = = =. h = 9 = =.1 =. +. Maschi Voto Maturità n i Totale 16 x i n i =. = = = h h + Femmine Voto Maturità n i Totale 3 = + = x i n i =80.08 =.08 segue proprietà della media aritmetica La media di un collettivo è la media aritmetica delle medie dei sottogruppi in cui si può ripartire il collettivo stesso ponderata per le numerosità dei sottogruppi Gruppo 1 3 h L Medie M 1 M M 3 M h M L Numerosità n 1 n n 3 n h n L L M hnh L h M 1 con n n h1 n h

26 Punti deboli della media aritmetica Robustezza: sensibilità ai valori estremi Rappresentatività nei confronti di distribuzioni asimmetriche. La media aritmetica è un valore rappresentativo nei confronti di distribuzioni simmetriche