Istituzioni di Logica Matematica

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1 page.1 Istituzioni di Logica Matematica Sezione 3 del Capitolo I Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

2 page.2 Linguaggi Simboli, termini e formule Linguaggi Definizione Un linguaggio L del prim ordine consiste dei seguenti oggetti: i simboli (, ),,,,,,, e =, una lista infinita di simboli detti variabili v 0, v 1, v 2,... Useremo le lettere x, y, z,... per indicare una generica variabile v n, dei simboli di costante c, d, e,..., dei simboli di funzione f, g, h,..., dei simboli di predicato P, Q, R,... Ad ogni simbolo di funzione e di predicato è associato un numero intero positivo detto arietà del simbolo i simboli di arietà 1, 2 e 3 si dicono, rispettivamente, simboli unari, binari e ternari. Per il momento supporremo che i simboli di costante, funzione e predicato siano in quantità finita. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

3 page.3 Linguaggi Simboli, termini e formule Termini Definizione una variabile è un termine, un simbolo di costante è un termine, un espressione del tipo f(t 1,..., t n ) è un termine, dove f è un simbolo di funzione n-ario e t 1,..., t n sono termini. Un termine t è una sequenze finita di simboli, ma può essere visualizzato come un albero in cui la radice è occupata da t e gli altri nodi sono occupati da termini che compongono t. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

4 page.4 Linguaggi Simboli, termini e formule Termini h(f(h(x, z, g(f(c), y))), g(x, f(g(z, y))), f(h(f(z), h(y, c, x), z))) h(f(h(x, z, g(f(c), y))), g(x, f(g(z, y))), f(h(f(z), h(y, c, x), z))) f(h(x, z, g(f(c), y))) g(x, f(g(z, y))) f(h(f(z), h(y, c, x), z)) h(x, z, g(f(c), y)) x f(g(z, y)) h(f(z), h(y, c, x), z) x z g(f(c), y) g(z, y) f(z) h(y, c, x) z x f(c) y z y z y c x c A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

5 page.5 Linguaggi Simboli, termini e formule Termini Notazione Se f è un simbolo di funzione binaria spesso scriveremo t 1 f t 2 invece di f(t 1, t 2 ). Per esempio t 1 + t 2 e t 1 t 2 invece di +(t 1, t 2 ) e (t 1, t 2 ). Nell espressione t 1 f... f t n si intende sempre che si associa a destra, cioè t 1 f (t 2 f (... (t n 1 f t n )... )). In particolare t t n sta per t 1 + ( + (t n 1 + t n ) )) e t 1 t n sta per t 1 ( (t n 1 t n ) )). Inoltre utilizzeremo le abbreviazioni nt al posto di t + + t }{{} n e t n al posto di t } {{ } t. n A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

6 page.6 Linguaggi Simboli, termini e formule Misure di complessità dei termini lh(t), la lunghezza (incluse le parentesi) della stringa t e ht(t), l altezza di t, cioè la massima lunghezza di un cammino nell albero sintattico di t che parta dalla radice ed arrivi ad un nodo terminale. lh e ht sono utili per fare dimostrazioni per induzione sull insieme dei termini si verifica che una proprietà P vale per i termini di complessità minima (caso base) e che se P vale per tutti i termini di complessità inferiore alla complessità di t, allora anche t gode della proprietà P. Un termine è chiuso se non contiene variabili. La scrittura t(x 1,..., x n ) indica che le variabili che eventualmente occorrono in t sono tra le x 1,..., x n. (Non chiediamo che tutte le x i occorrano in t.) Se x occorre in t(x), il termine ottenuto rimpiazzando il termine s al posto di x viene indicato con t[s/x]. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

7 page.7 Linguaggi Simboli, termini e formule Formule Una formula atomica è un espressione della forma P (t 1,..., t n ) oppure della forma t 1 = t 2 dove t 1, t 2,..., t n sono termini. L insieme delle formule è definito induttivamente dalle clausole: una formula atomica è una formula, se ϕ è una formula, allora anche (ϕ) è una formula, se ϕ e ψ sono formule, allora anche (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) e (ϕ ψ) sono formule, se ϕ è una formula e x è una variabile, allora anche xϕ e xϕ sono formule. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

8 page.8 Linguaggi Simboli, termini e formule Formule Notazione Scriveremo ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ e ϕ ψ invece di (ϕ ψ), (ϕ ψ),... e legano più fortemente di e, e che lega più fortemente di tutti gli altri connettivi. Quindi ϕ ψ χ e ϕ ψ sono abbreviazioni per ((ϕ ψ) χ) e (( ϕ) ψ). Se è un connettivo binario scriveremo ϕ 1... ϕ n al posto di ϕ 1 (ϕ 2 (... ϕ n )... )). Se P è un simbolo di relazione binario scriveremo t 1 P t 2 invece di P (t 1, t 2 ). t 1 t 2 è un abbreviazione di (t 1 = t 2 ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

9 page.9 Linguaggi Simboli, termini e formule Sottoformule se ϕ è atomica, allora non ha sottoformule, se ϕ è ψ, allora le sue sottoformule sono ψ e le sottoformule di ψ, se ϕ è ψ χ dove è un connettivo binario, allora le sue sottoformule sono ψ, χ e le formule che sono sottoformule di ψ o di χ, se ϕ è xψ o xψ, allora le sottoformule di ϕ sono ψ e tutte le sue sottoformule. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

10 page.10 Linguaggi Simboli, termini e formule Sottoformule Le sottoformule di sono x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) x y(p (x, y) Q(x)) y(p (x, y) Q(x)) P (x, y) Q(x) P (x, y) Q(x) zr(z) S(z) zr(z) R(z) S(z) Le formule possono essere descritte mediante alberi. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

11 page.11 Linguaggi Simboli, termini e formule Sottoformule x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) x y(p (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) y P (x, y) Q(x) R(z) P (x, y) Q(x) P (x, y) Q(x) Anche per le formule abbiamo due nozioni di complessità: la lunghezza e l altezza. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

12 page.12 Linguaggi Ancora sulla formalizzazione Formule e pseudo-formule Le espressioni x y = x + + x }{{} y x y = x x }{{} y non dimostrano che la moltiplicazione sia esprimibile mediante somma o che l esponenziazione sia esprimibile mediante prodotti. Problema di Waring: per ogni k > 1 c è un n tale per cui ogni naturale è somma di n numeri che sono delle potenze di esponente k viene scritto come k > 1 n x y 1,..., y n ( x = y k y k n), ma non è una formula. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

13 page.13 Linguaggi Strutture e validità Formule e strutture Per definire la nozione di semigruppo partiamo da un insieme non vuoto S dotato di un operazione binaria e richiediamo che x, y, z S ((x y) z = x (y z)) Questa è una pseudo-formula dato che abbiamo scritto S. Esempi di semigruppi sono (N, +) (M n,n (R), ) le matrici n n su un anello R, con la moltiplicazione, (F, ) l insieme delle funzioni da un insieme X in sé stesso, con l operazione di composizione. In logica diremo che la formula x y z ((x y) z = x (y z)) è vera nelle strutture (N, +), (M n,n (R), ), (F, ),... A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

14 page.14 Linguaggi Strutture e validità Formule soddisfacibili e valide L obbiettivo è trovare una procedura per verificare quando una formula ϕ è vera in una struttura. Alcune formule risultano vere in ogni struttura, indipendentemente dal significato che attribuiamo ai simboli del linguaggio formule di questo tipo si dicono valide. All estremo opposto abbiamo le formule insoddisfacibili cioè che risultano sempre false in ogni struttura. ϕ è valida se e solo se ϕ è insoddisfacibile. Una formula è soddisfacibile se non è insoddisfacibile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

15 page.15 Linguaggi Strutture e validità Formule soddisfacibili e valide Esempi di formule valide x = x x = y y = x x = y y = z x = z x 1 = y 1 x n = y n (P (x 1,..., x n ) P (y 1,..., y n )) x 1 = y 1 x n = y n f(x 1,..., x n ) = f(y 1,..., y n ). Esempi di formule soddisfacibili, ma non valide. x, y (x y = y x) x y (x < y z (x < z z < y)) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

16 page.16 Linguaggi Strutture e validità Formule primitive Le formule primitive sono le formule atomiche, le esistenziali e le universali. Ogni formula ϕ individua univocamente un insieme di sue sottoformule primitive, e ϕ può essere ricostruita da queste usando solo i connettivi logici. Per esempio le sottoformule primitive di x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) sono x y (P (x, y) Q(x)) quindi la formula diventa A B C. A zr(z) B S(z) C A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

17 page.17 Linguaggi Strutture e validità Valutazioni Una valutazione è una funzione v dalle formule primitive a valori in {0, 1}. Ogni v può essere estesa ad una funzione dall insieme delle formule in {0, 1}, ponendo v( ϕ) = 1 v(ϕ), v(ϕ ψ) = min {v(ϕ), v(ψ)}, v(ϕ ψ) = max {v(ϕ), v(ψ)}, v(ϕ ψ) = 1 (v(ϕ) (1 v(ψ))) v(ϕ ψ) = v(ϕ) + v(ψ) + 1 (mod 2). Diremo che ϕ è vera secondo v se e solo se v(ϕ) = 1, altrimenti diremo che è falsa secondo v. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

18 page.18 Linguaggi Strutture e validità Tautologie Una formula ϕ è una tautologia se v(ϕ) = 1 per ogni valutazione v, una contraddizione proposizionale se v(ϕ) = 0 per ogni valutazione v. Quindi una tautologia è una formula valida e una contraddizione proposizionale è una formula insoddisfacibile. ϕ è tautologicamente equivalente a ψ se ψ ϕ è una tautologia, ϕ è conseguenza tautologica di ψ 1,..., ψ n se (ψ 1 ψ n ) ϕ è una tautologia. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

19 page.19 Linguaggi Strutture e validità Forma normale disgiuntiva ϕ è combinazione Booleana di sue sottoformule primitive A 1,..., A n se è ottenibile dalle A i mediante connettivi proposizionali. ϕ è in forma normale disgiuntiva se è D 1 D m in cui ciascuna D i è una congiunzione C i,1 C i,ki tale che ciascuna C i,j è una formula primitiva o la negazione di una formula primitiva. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

20 page.20 Linguaggi Strutture e validità Forma normale congiuntiva ϕ è in forma normale congiuntiva se è in cui ciascuna D i è una disgiunzione D 1 D m C i,1 C i,ki tale che ciascuna C i,j è una formula primitiva o la negazione di una formula primitiva. Proposizione Ogni formula è tautologicamente equivalente ad una in forma normale disgiuntiva e ad una in forma normale congiuntiva. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

21 page.21 Linguaggi Strutture e validità Dimostrazione si applicano le trasformazioni B C B C e B C ( B C) ( C B), mediante le leggi di De Morgan spostiamo il simbolo di negazione all interno della formula, fino alle formule primitive, si applicano ripetutamente le trasformazioni A (B C) (A B) (A C) e A (B C) (A B) (A C) fino ad ottenere una formula in forma normale disgiuntiva/congiuntiva. Poiché le trasformano formule in altre formule tautologicamente equivalenti alle prime, il risultato segue. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

22 page.22 Linguaggi Strutture e validità Variabili libere e vincolate Definizione Sia ϕ una formula. Se ϕ è atomica allora ogni occorrenza di una variabile è libera. Se ϕ è della forma ψ allora le occorrenze libere di ϕ sono quelle di ψ. Se ϕ è della forma ψ χ, dove è un connettivo binario, allora le occorrenze libere di ϕ sono quelle di ψ e quelle di χ. Supponiamo ϕ sia della forma xψ oppure xψ e sia y una variabile che occorre in ϕ. Se y è la variabile x, allora tutte le occorrenze di y in ϕ sono vincolate. Se invece y è una variabile diversa da x, allora le occorrenze libere di y in ϕ sono esattamente le sue occorrenze libere in ψ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

23 page.23 Linguaggi Strutture e validità Variabili libere e vincolate ϕ(x 1,..., x n ) significa che le variabili che occorrono libere in ϕ sono tra le x 1,..., x n. Una formula che non contiene variabili libere è un enunciato. Esempio Le occorrenze libere in x y(p (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) e le sue sottoformule sono: x y(p (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) x y(p (x, y) Q(x)) y(p (x, y) Q(x)) P (x, y) Q(x) P (x, y) Q(x) zr(z) S(z) zr(z) R(z) S(z) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

24 page.24 Linguaggi Strutture e validità Sostituzione Se t 1,..., t n sono termini, e ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] è la stringa di simboli ottenuta rimpiazzando le occorrenze di x i in ϕ con t i, (i = 1,..., n), non è detto che si ottenga una formula: se ad x sostituisco una c nella formula xp (x, y) R(x) si ottiene cp (c, y) R(c). Se t 1,..., t n sono termini, indicheremo con ϕ t 1 /x 1,..., t n /x n la formula ottenuta rimpiazzando le occorrenze libere di x i in ϕ con t i, (i = 1,..., n). Se, per esempio, x 1 non occorre libera in ϕ, allora la formula diventa ϕ t 2 /x 2,..., t n /x n, quindi la definizione è di interesse quando tutte le x 1,..., x n occorrono libere in ϕ. In questo caso la formula ϕ asserisce qualche cosa sugli oggetti x 1,..., x n e ϕ t 1 /x 1,..., t n /x n dovrebbe asserire la medesima cosa su t 1,..., t n. Per essere sicuri che ciò avvenga, è però necessario che nessuna variabile di un t i risulti vincolata dopo che la sostituzione è avvenuta. Se ciò non accade il significato di ϕ t 1 /x 1,..., t n /x n può cambiare completamente! A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

25 page.25 Linguaggi Strutture e validità Esempio y (2 y + 1 = x) dice che x è dispari, y (2 y + 1 = z + 2) dice che z + 2 è dispari, ma y (2 y + 1 = y) non dice che y è dispari! Definizione t è sostituibile per x in ϕ se nessuna delle variabili di t risulta vincolata da un quantificatore in ϕ t/x. In particolare, se x non occorre libera in ϕ oppure t è un termine chiuso (cioè non contiene variabili), allora t è sostituibile per x in ϕ. Convenzione Quando scriviamo ϕ t 1 /x 1,..., t n /x n assumiamo sempre che i termini t 1,..., t n siano sostituibili per x 1,..., x n in ϕ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

26 page.26 Linguaggi Strutture e validità Nota bene: la sostituzione delle x 1,..., x n con t 1,..., t n avvenga in simultanea: se ϕ è x 1 < x 2, allora ϕ x 2 /x 1, x 1 /x 2 è x 2 < x 1, mentre ϕ x 2 /x 1 è x 2 < x 2 e (ϕ x 2 /x 1 ) x 1 /x 2 è x 1 < x 1. Le formule z (2 z + 1 = x), w (2 w + 1 = x), u (2 u + 1 = x),... ottenute sostituendo ovunque la y con una nuova variabile, si dicono varianti di y (2 y + 1 = x) e asseriscono tutte che x è dispari. Fa eccezione il caso in cui ad y venga sostituita x, dato che x (2 x + 1 = x) non dice che x è dispari! A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

27 page.27 Linguaggi Strutture e validità Analogia con l analisi: 1 0 f(x, y) dy = 1 0 f(x, z) dz è una funzione, mentre 1 0 f(x, x) dx denota un numero. Definizione Una variante di ϕ(x 1,..., x n ) è una formula ϕ (x 1,..., x n ) con le medesime variabili libere, ottenuta sostituendo alcune delle variabili quantificate con altre variabili di modo che nessuna occorrenza libera di una x i in ϕ risulti vincolata in ϕ. Data ϕ(x 1,..., x n ) e t 1,..., t n, costruiamo una variante ϕ in cui nessuna variabile vincolata occorra in qualche t i così che i termini t 1,..., t n risultano essere sostituibili ad x 1,..., x n in ϕ. Allora la formula ϕ t 1 /x 1,..., t n /x n coincide con la formula ϕ [t 1 /x 1,..., t n /x n ]. Nota bene Se x non occorre libera nella formula ϕ, allora ϕ è equivalente a xϕ e xϕ per esempio le formule x (y 2 3y + 2 = 0) e x (y 2 3y + 2 = 0) sono equivalenti a y 2 3y + 2 = 0. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

28 page.28 Linguaggi Strutture e validità x (ϕ ψ) xϕ xψ, x (ϕ ψ) xϕ xψ, xϕ xψ x (ϕ ψ), x (ϕ ψ) xϕ xψ, sono formule logicamente valide e le due ultime implicazioni non possono essere trasformate in biimplicazioni. Se x non occorre libera nella formula ϕ, e ϕ xψ x (ϕ ψ) ϕ xψ x (ϕ ψ) sono formule valide. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

29 page.29 Linguaggi Strutture e validità Per esempio x ( x 2 3x + 2 = 0 ) x ( x 2 + x 12 = 0 ) asserisce che x 2 3x + 2 = 0 e x 2 + x 12 = 0 hanno una radice ed è equivalente a x ( x 2 3x + 2 = 0 x ( x 2 + x 12 = 0 )) e a x ( x ( x 2 3x + 2 = 0 ) x 2 + x 12 = 0 ). Quindi se x non occorre libera in ϕ, xϕ xψ x (ϕ ψ), xϕ xψ x (ϕ ψ), sono logicamente valide. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

30 page.30 Linguaggi Strutture e validità Queste equivalenze sono molto utili per trasformare una formula ϕ(x 1,..., x n ) in un altra formula equivalente ϕ (x 1,..., x n ) che sia in forma prenessa cioè della forma Q 1 y 1 Q 2 y 2... Q m y m ψ, dove Q 1,..., Q n sono quantificatori e ψ è priva di quantificatori. Mostreremo ora un algoritmo per ottenere ϕ (x 1,..., x n ) a partire da ϕ(x 1,..., x n ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

31 page.31 Linguaggi Strutture e validità Passo 1 trasformare tutte le implicazioni A B in A B e tutte le biimplicazioni A B in ( A B) ( B A), Passo 2 mediante le leggi di De Morgan, la regola della doppia negazione, e le trasformazioni x(... ) x (... ) e x(... ) x (... ), spostare le negazioni all interno della formula, fino al livello delle sotto-formule atomiche, Passo 3 applicare ripetutamente la seguente operazione: trasformare le sotto-formule del tipo (QxA) (Q yb) dove Q, Q sono quantificatori e è oppure, in QzQ w (A z/x B w/y ) dove z è sostituibile in A e non occorre libera in B e w è sostituibile in B e non occorre libera in A. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

32 page.32 Linguaggi Strutture e validità Per esempio, applicando l algoritmo a x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z) otteniamo: ( x y ( P (x, y) Q(x))) zr(z) S(z) x y (P (x, y) Q(x)) wr(w) S(z) x y (P (x, y) Q(x)) w (R(w) S(z)) x y w ((P (x, y) Q(x)) R(w) S(z)). La forma prenessa equivalente ad una data formula è ben lungi dall essere unica! Per esempio anche w x y ((P (x, y) Q(x)) R(w) S(z)) è equivalente a x y (P (x, y) Q(x)) zr(z) S(z). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

33 page.33 Linguaggi Strutture e validità Fissiamo un linguaggio del prim ordine L. Una struttura per L o L-struttura consiste di: un insieme non vuoto M, detto universo o dominio della struttura degli elementi privilegiati di M, uno per ogni simbolo di costante, delle operazioni, una per ogni simbolo di operazione, dei sottoinsiemi di M n, uno per ogni simbolo di predicato n-ario. Se non c è pericolo di ambiguità, identificheremo una struttura con il suo dominio. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

34 page.34 Linguaggi Strutture e validità Il linguaggio per studiare i campi ordinati L il linguaggio per studiare i campi ordinati ha due simboli di costante 0 e 1, due operazioni binarie + e, un operazione unaria, e una relazione binaria <. Una L-struttura è data da un insieme M con due elementi privilegiati 0 e 1 (non necessariamente distinti), due operazioni binarie + e, un operazione unaria, e una relazione binaria <. Affinché M sia un campo ordinato deve soddisfare: gli assiomi di gruppo abeliano e... x y z ((x + y) + z = x + (y + z)) x y (x + y = y + x) x (x + 0 = x 0 + x = x) x (x + ( x) = 0 ( x) + x = 0) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

35 page.35 Linguaggi Strutture e validità... gli assiomi di campo e... x y z ((x y) z = x (y z)) x (x 1 = x 1 x = x) x y z ((x + y) z = (x z) + (y z)) x y (x y = y x) 0 1 x (x 0 y (x y = 1))... gli assiomi degli ordine i totali e... x (x < x) x y z(x < y y < z x < z) x y (x < y x = y y < x) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

36 page.36 Linguaggi Strutture e validità... gli assiomi che garantiscono la compatibilità dell ordinamento con le operazioni algebriche x y z (x < y x + z < y + z) x y z (x < y 0 < z x z < y z) Definizione Dire che M soddisfa un enunciato σ di L significa che se sostituiamo i simboli 0, 1, +,,, < con le costanti, le operazioni e la relazione di M, e se restringiamo i quantificatori agli elementi di M, otteniamo un affermazione vera in M. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

37 page.37 Linguaggi Strutture e validità Se M è una L-struttura e σ un enunciato di L, scriveremo M σ per dire che la struttura M soddisfa l enunciato σ; equivalentemente diremo che σ è vero in M. Quando ciò non accade scriveremo M σ. Osserviamo che la scrittura... equivale a dire... M σ M σ, M σ τ M σ e M τ, M σ τ M σ oppure M τ, M σ τ se M σ allora M τ, M σ τ M σ se e solo se M τ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

38 page.38 Linguaggi Strutture e validità Se M rende vero ogni enunciato σ di un certo insieme Σ di enunciati, diremo che M è un modello di Σ. Poiché una struttura soddisfa una congiunzione se e solo se soddisfa tutte le formule di cui la congiunzione è costituita, dire che M è un modello di un insieme finito di enunciati {σ 1,..., σ n } equivale a dire che M 1 i n σ i. Definizione τ è conseguenza logica di Σ se ogni modello di Σ è un modello di τ Se Σ = {σ} scriviamo σ = τ. Σ = τ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

39 page.39 Linguaggi Strutture e validità Una teoria T è un insieme di enunciati. Un sistema di assiomi per T è un insieme Σ di enunciati tali che T = σ, per ogni σ Σ e tale che Σ = τ per ogni τ T. Nota bene Non si richiede che Σ T. T è finitamente assiomatizzabile se ha un sistema finito di assiomi. Teorema Se {σ n n N} è un sistema di assiomi per T tale che n m > n {σ 0,..., σ n } = σ m, allora T non è finitamente assiomatizzabile. Esempio L linguaggio privo di simboli non logici. La teoria degli insiemi infiniti ha per assiomi {ε n n 1} e non è finitamente assiomatizzabile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

40 page.40 Linguaggi Strutture e validità Due teorie sono logicamente equivalenti se una è un sistema di assiomi per l altra. Σ è indipendente se non è un logicamente equivalente ad un suo sottoinsieme proprio. Se Σ è finito, allora contiene sempre un sistema di assiomi indipendente. Ogni insieme di enunciati ammette un sistema di assiomi indipendente. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

41 page.41 Linguaggi Strutture e validità Definizione T è una teoria soddisfacibile se ha un modello. T è completa se è soddisfacibile e T = σ oppure T = σ per ogni σ. M e M sono elementarmente equivalenti se soddisfano esattamente gli stessi enunciati. La teoria di una L-struttura M è l insieme dei σ tali che M σ. Proposizione Se T è una teoria soddisfacibile, le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1 T è completa, 2 T è un sistema di assiomi per la teoria di un qualche suo modello, 3 due modelli di T sono elementarmente equivalenti. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

42 page.42 Linguaggi Strutture e validità Dimostrazione. 1 2 Sia M un modello di T e sia σ un L-enunciato: dalla definizione di teoria completa segue che T = σ se e solo se M σ e quindi T è un sistema di assiomi per la teoria di M. 2 3 Supponiamo T sia un sistema di assiomi per la teoria di M, vale a dire T = σ se e solo se M σ per ogni L-enunciato σ. Supponiamo N T : se M σ allora T = σ e quindi N σ; se M σ allora M σ e quindi N σ da cui N σ. Abbiamo verificato che un modello N di T soddisfa gli stessi enunciati del modello M, quindi due modelli di T soddisfano esattamente gli stessi enunciati. 3 1 Dimostriamo il contrappositivo: se T è soddisfacibile ma T = σ e T = σ allora ci sono M e M modelli di T tali che M σ e M σ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

43 page.43 Linguaggi Strutture e validità Abbiamo visto che cosa vuol dire che un enunciato è vero in una struttura. Che dire delle formule ϕ(x 1,..., x n ) che non sono enunciati? Una formula ϕ(x 1,..., x n ) definisce un insieme di n-ulpe di elementi della struttura che, sostituiti al posto delle variabili x 1,..., x n, rendono vera ϕ nella struttura: data una L-struttura M, l insieme di verità di ϕ in M è l insieme T ϕ = T M ϕ(x 1,...,x n) delle n-uple di elementi di M che soddisfano la formula ϕ(x 1,..., x n ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

44 page.44 Linguaggi Strutture e validità Esempi se ϕ(x 1,..., x n ) è valida, allora T ϕ = M n, se ϕ(x 1,..., x n ) è una contraddizione proposizionale, allora T ϕ =, l insieme di verità in N di y (y + y = x) è l insieme dei numeri pari, l insieme di verità in N di 1 < x y ( z(z y = x) y = 1 y = x) è l insieme dei numeri primi, l insieme di verità di x 2 < 1 nella struttura N è il singoletto {0}, mentre nella struttura R è l intervallo aperto ( 1; 1), l insieme di verità in R di y = x 2 3x + 2 è una parabola, cioè un sottoinsieme di R 2, nella struttura R l insieme di verità di x 2 + x + 1 = 0 è l insieme vuoto, mentre nella struttura C è una curva algebrica degenere (unione di due rette), quindi un sottoinsieme non vuoto di R 2. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

45 page.45 Linguaggi Strutture e validità Nota bene: La dimensione n di T ϕ dipende non solo dalla formula ϕ, ma anche dalla lista x 1,..., x n delle variabili per esempio se ϕ è y = x 2 3x + 2, allora l insieme di verità di ϕ(x, y, z) nella struttura R è il cilindro { (x, y, z) R 3 y = x 2 3x + 2 }. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

46 page.46 Linguaggi Strutture e validità Insiemi di verità e connettivi T ϕ = M n \ T ϕ T ϕ ψ = T ϕ T ψ T ϕ ψ = M n \ (T ϕ T ψ ) T ϕ ψ = T ϕ T ψ T ϕ ψ = (M n \ T ϕ ) T ψ Insiemi di verità e quantificatori Se ϕ è yψ e y non è una tra le x 1,..., x n, T ϕ(x1,...,x n) = p(t ψ(y,x1,...,x n)) dove p: M n+1 M n è la proiezione lungo la prima coordinata, cioè p(y, x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n ). Quindi data una formula ϕ(x 1,..., x n ) si ha M x 1... x n ϕ se e solo se T ϕ(x1,...,x n), M x 1... x n ϕ se e solo se T ϕ(x1,...,x n) = M n. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

47 page.47 Linguaggi Strutture e validità Esempi 1 M x (ϕ(x) ψ(x)) se e solo se l insieme di verità di ϕ(x) ψ(x) è M, vale a dire se T ϕ T ψ. 2 L enunciato x (ϕ(x) ψ(x)) ( xϕ(x) xψ(x)) è soddisfatto in ogni M. Per dimostrare ciò dobbiamo verificare che: se M x (ϕ(x) ψ(x)) allora M xϕ(x) xψ(x). Quindi supponiamo che M sia una struttura che soddisfa x (ϕ(x) ψ(x)) e xϕ(x), vale a dire T ϕ T ψ e T ϕ = M. Allora T ψ = M e quindi M xψ(x) come richiesto. 3 L enunciato x yϕ(x, y) vale in M se e solo se l insieme T ϕ M 2 ha tutte le sezioni verticali non vuote, mentre dire che M y xϕ(x, y) significa che c è una sezione orizzontale di T ϕ che è tutto M. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

48 page.48 Linguaggi Strutture e validità Definizione Fissati L con simboli di costante c 1, c 2,..., di operazione f 1, f 2,..., di predicato R 1, R 2,..., e una L-struttura (M, R M 1, R M 2,... c M 1, c M 2,..., f M 1, f M 2,... ), una sottostruttura è un N M contenente gli elementi c M 1, cm 2,... e chiuso sotto le funzioni f1 M, f 2 M,..., su cui definiamo le relazioni nel modo ovvio: se R i è k-aria poniamo Esempio R N i = R M i M k. Una sottostruttura di un campo ordinato (F, <, +,,, 0, 1) è un anello ordinato, ma, in generale, non è un campo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

49 page.49 Linguaggi Strutture e validità Definizione Un morfismo F : M N è una funzione che rispetta tutte le relazioni, tutte le funzioni e tutte le costanti: per ogni a 1,..., a n M se (a 1,..., a n ) R M allora (F (a 1 ),..., F (a n )) R N, F (g M (a 1,..., a n )) = g N (F (a 1 ),..., F (a n )), F (c M ) = c N. Se F è iniettivo e la prima condizione è rafforzata a (a 1,..., a n ) R M se e solo se (F (a 1 ),..., F (a n )) R N, diremo che è un immersione. Se F è una biezione e F 1 è un morfismo, diremo che F è un isomorfismo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

50 page.50 Linguaggi Strutture e validità Se M è una L-struttura e x 1,..., x n sono le variabili che compaiono in un termine t, definiamo t M : M n M che associa a (a 1,..., a n ) M n il valore t M (a 1,..., a n ) ottenuto rimpiazzando i simboli di funzione e di costante con le corrispettive funzioni e costanti di M. Esempio x (y y) + ((x y) + 1) definisce una funzione polinomiale R 2 R in ogni anello unitario R. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

51 page.51 Linguaggi Strutture e validità Ogni morfismo F : R 1 R 2 di anelli unitari commuta con le funzioni polinomiali indotte da t, cioè per ogni a, b R 1 F (ab 2 + ab + 1 R1 ) = F (a)f (b) 2 + F (a)f (b) + 1 R2. Più in generale, se F : M N è un morfismo di L-strutture e t è un L-termine con variabili libere x 1,..., x n, allora a 1,... a n ( F (tm (a 1,..., a n )) = t N (F (a 1 ),..., F (a n )) ). Quindi se ϕ(x 1,..., x n ) è una formula atomica, cioè della forma t 1 = t 2 oppure R(t 1,..., t k ), allora per ogni a 1,..., a n M e ogni morfismo F : M N si ha che se (a 1,..., a n ) T M ϕ(x 1,...,x n) allora (F (a 1),..., F (a n )) T N ϕ(x 1,...,x n). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

52 page.52 Linguaggi Strutture e validità Se M è una sottostruttura di N, allora l inclusione M N è un morfismo quindi per quanto detto T M ϕ(x 1,...,x n) = T N ϕ(x 1,...,x n) M n. Procedendo per induzione sulla complessità di ϕ, questa uguaglianza si generalizza a tutte le ϕ prive di quantificatori. Proposizione Sia M è una sottostruttura di N e ϕ(x 1,..., x n ) una formula priva di quantificatori. Allora se N x 1... x n ϕ allora M x 1... x n ϕ e se M x 1... x n ϕ allora N x 1... x n ϕ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

53 page.53 Linguaggi Strutture e validità Un morfismo suriettivo di strutture F : M N preserva la formula ϕ(x 1,..., x n ) se e solo se {(F (a 1 ),..., F (a n )) (a 1,..., a n ) T M ϕ(x 1,...,x n) } T N ϕ(x 1,...,x n). Ogni morfismo suriettivo preserva le formule atomiche. Se F : M N è un morfismo suriettivo, allora 1 se F preserva ϕ e ψ, allora preserva anche ϕ ψ e ϕ ψ, 2 se F preserva ϕ, allora preserva anche xϕ e xϕ. Quindi i morfismi suriettivi preservano le formule positive, cioè quelle ottenute dalle formule atomiche mediante i quantificatori e i connettivi e. In particolare, se F : M N è un morfismo suriettivo e M σ, dove σ è un enunciato positivo, allora N σ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

54 page.54 Linguaggi Strutture e validità Corollario L immagine omomorfa di un gruppo, di un gruppo abeliano, di un anello,... è ancora un gruppo, un gruppo abeliano, un anello,.... L immagine omomorfa di un dominio di integrità non è necessariamente un dominio di integrità: x, y (x 0 y 0 x y 0) non è positivo. Proposizione Sia M è una sottostruttura di N e ϕ(x 1,..., x n ) una formula priva di quantificatori, allora se N x 1... x n ϕ allora M x 1... x n ϕ e se M x 1... x n ϕ allora N x 1... x n ϕ. Dimostrazione. Per induzione sulla complessità di ϕ A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

55 page.55 Linguaggi Strutture e validità Prodotti Esercizio Sia F : M N un isomorfismo di L-strutture. Verificare che F preserva ogni formula. Il prodotto di due strutture (M, R1 M, RM 2,..., f 1 M, f 2 M,..., cm 1, cm 2,... ) e (N, R1 N, RN 2,..., f 1 N, f 2 N,..., cn 1, cn 2,... ) è la struttura che ha per dominio M N così definita: ((a 1, b 1 ),..., (a n, b n )) Ri M N se e solo se (a 1,..., a n ) Ri M e (b 1,..., b n ) Ri N (, (a1, b 1 ),..., (a n, b n ) ) = ( fi M (a 1,..., a n ), fi N (b 1,..., b n ) ), f M N i c M N i = (c M i, c N i ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

56 page.56 Linguaggi Strutture e validità Le formule positive non sono preservate dalla costruzione del prodotto. Sono preservate le formule della forma x 1,..., x n (t(x 1,..., x n ) = s(x 1,..., x n )) Una teoria che ha un sistema di assiomi di questa forma si dice equazionale A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

57 page.57 Linguaggi Strutture e validità Proposizione Una teoria equazionale T si preserva per sottostrutture, immagini omomorfe, e prodotti. In altre parole: 1 se M T e N M è una sottostruttura, allora N T, 2 se M T e F : M N è un morfismo suriettivo, allora N T, 3 se M T e N T, allora M N T. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

58 page.58 Linguaggi Strutture e validità Insiemi definibili Se X M n è l insieme di verità di una formula ϕ(x 1,..., x n ) diremo che ϕ definisce X, e un sottoinsieme di M n si dice definibile se è definito da qualche formula. Quando l insieme X è un singoletto {(x 1,..., x n )} diremo che (x 1,..., x n ) è definibile. L intero n si dice dimensione dell insieme definibile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

59 page.59 Linguaggi Strutture e validità Insiemi definibili La famiglia degli insiemi definibili in M di una dimensione fissata n contiene sempre (definito dalla formula 1 i n x i x i o anche dalla formula 1 i n x i x i ), l insieme M n (definito dalla formula 1 i n x i = x i o anche dalla formula 1 i n x i = x i ) ed è chiusa per complementi, intersezioni, unioni e differenze: se X, Y M n, sono definiti ϕ(x 1,..., x n ) e ψ(x 1,..., x n ) allora M n \ X è definito da ϕ, X Y è definito da ϕ ψ, X Y è definito da ϕ ψ, X \ Y è definito da ϕ ψ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

60 page.60 Linguaggi Strutture e validità Definibilità e automorfismi In generale è molto più semplice verificare che un X M n è definibile piuttosto che dimostrare l opposto: nel primo caso dobbiamo trovare una formula ϕ(x 1,..., x n ) il cui insieme di verità è X, mentre nel secondo caso dobbiamo dimostrare che nessuna formula ϕ(x 1,..., x n ) va bene. Un metodo spesso efficace per dimostrare la non-definibilità di un insieme si basa sulla nozione di automorfismo di una struttura, cioè un isomorfismo della struttura in sé stessa. Ogni struttura M ha almeno un automorfismo la funzione identica e se questo è l unico automorfismo diremo che M è rigida. Se X M n è definibile, allora viene mandato in sé stesso da ogni automorfismo, quindi per dimostrare che un X M n non è definibile è sufficiente trovare un automorfismo che non manda X su sé stesso. Per esempio, {i, i} è definibile nel campo complesso mediante la formula x x + 1 = 0, ma né l unità immaginaria né il suo coniugato sono definibili, visto che z z è un automorfismo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

61 page.61 Linguaggi Strutture e validità Osservazioni 1 Non è detto che un insieme invariante per automorfismi sia definibile. (Un X M n è invariante per automorfismi se per ogni automorfismo F e x 1,..., x n M si ha che (x 1,..., x n ) X (F (x 1 ),..., F (x n )) X.) Per esempio l unico automorfismo dei numeri naturali con l operazione di successore è l identità (esercizio) e quindi ogni sottoinsieme di N è invariante per automorfismi. I sottoinsiemi definibili sono tanti quanti le formule del linguaggio degli anelli e quindi, come vedremo in seguito, sono in quantità numerabile, mentre i sottoinsiemi di N sono molti di più. 2 Due L-strutture M e N sono elementarmente equivalenti se soddisfano esattamente gli stessi L-enunciati e quindi, per quanto detto, due strutture isomorfe sono elementarmente equivalenti. Il viceversa non vale perché, come vedremo in seguito, ci possono essere strutture elementarmente equivalenti di cardinalità differente. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

62 page.62 Linguaggi Strutture e validità Interpretabilità Una L-struttura M è definibilmente interpretabile in una L -struttura M se c è un isomorfismo F : M N tale che N è un sottoinsieme definibile (di opportuna dimensione) di M e se tutte le relazioni, le funzioni, le costanti di N possono essere definite in M. (Le operazioni k-arie di N possono essere vista come relazioni k + 1-arie su N.) Esempio Il gruppo (GL 2 (k), ) è definibilmente interpretabile nella struttura (k, +,, 0, 1), dove k è un campo. GL 2 (k) = { (x 11, x 12, x 21, x 22 ) k 4 x 11 x 22 x 12 x 21 0 k }, e la moltiplicazione di matrici è anch essa definibile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

63 page.63 Linguaggi Strutture e validità Interpretabilità nel quoziente Lo spazio proiettivo di dimensione n su un campo k P n (k) def = (k n+1 \ {0})/E dove E è la relazione di collinearità su k n+1, x E y λ k \ {0} (λx = y). Se f k[x 1,..., X n ] è un polinomio omogeneo di grado d, cioè esiste λ k tale che f(λx) = λ d f(x) per ogni x k n+1, la varietà proiettiva definita da f è V = {[x] P n (k) f(x) = 0}. Quindi, la struttura (P n (k), V ) è definibilmente interpretabile in k. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

64 page.64 Linguaggi Strutture e validità Assiomatizzabilità Mod(T ) = {M M una L-struttura tale che M T }. Mod(T ) = se e solo se T è insoddisfacibile, e Mod(T ) è la totalità delle L-strutture se e solo se T consiste di enunciati validi. Definizione Una classe C di L-strutture si dice assiomatizzabile se C = Mod(T ) per qualche teoria T. Se T può essere presa finita, diremo che C è finitamente assiomatizzabile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64

65 page.65 Linguaggi Strutture e validità Assiomatizzabilità La classe dei gruppi, la classe degli anelli, la classe dei campi ordinati sono finitamente assiomatizzabili. Teorema Siano C 0 C 1 delle classi assiomatizzabili e supponiamo che C 1 sia finitamente assiomatizzabile mentre C 0 no, relativamente ad un fissato linguaggio del prim ordine L. Allora C 1 \ C 0 non è assiomatizzabile, neanche ampliando il linguaggio L. Corollario La classe dei gruppi finiti non è assiomatizzabile. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 64