SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTI ELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 MAGGIO Esercizio 18

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1 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTI ELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 MAGGIO 2018 HYKEL HOSNI Esercizio 18 Scrivere le tabelle booleane per i seguenti enunciati: (1) p q (2) q p (3) p p (4) q q (5) q q (6) (q q) p p q p q q p p p q q q q (q q) p Esercizio 19 Scrivere le tabelle booleane per i seguenti enunciati: (1) (θ φ) ψ (2) (θ φ) ( φ θ) (3) ( φ θ) (θ φ) (4) ((θ φ) ψ) (θ (φ ψ)) (5) θ (φ θ) (6) (θ φ) θ Date: May 14,

2 2 HYKEL HOSNI Soluzione. L esercizio si risolve costruendo, come sopra, le tabelle booleane per gli enunciati. Notate però che perché il metodo sia applicabile è necessario assumere che, per esempio (θ φ) ψ possa essere scritto, senza perdita di informazione, come (p q) r In altre parole, in questo, come in tutti gli esercizi simili, prendete gli enuniciati distinti come variabili proposizionali distinte. Esercizio 20 Verificare se i seguenti insiemi di enunciati sono soddisfacibili: (1) Γ = {θ φ, θ} (2) = {θ φ, θ, φ} (3) Λ = {θ φ, ψ φ, (θ ψ) ψ} (4) Giustificare l asserzione secondo cui, nella tavola booleana?? è sufficiente prendere in considerazione le righe indicate da per determinare se Γ = θ Soluzione. (1) Γ è soddisfacibile poiché esiste una valutazione che assegna 1 a tutti gli enunciati di Γ: v(θ) = 0 e v(φ = 1). Per questa valutazione abbiamo: v(θ φ) = v( θ) = 1, come richiesto dalla definizione. (2) è soddisfacibile poiché esiste una valutazione che assegna 1 a tutti gli enunciati di : v(θ) = 0 e v(φ) = 1. Per questa valutazione abbiamo: v(θ φ) = v( θ) = v(φ) = 1, come richiesto dalla definizione. (3) Λ è soddisfacibile poiché esiste una valutazione che assegna 1 a tutti gli enunciati di : v(θ) = v(φ) = v(ψ) = 1. Per questa valutazione abbiamo: v(θ φ) = v(ψ φ) = v((θ ψ) ψ) = 1, come richiesto dalla definizione.

3 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTIELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 (4) Nel caso in cui esistano valutazioni che soddisfano Γ, la definizione di conseguenza logica ci consente di concentrarsi soltanto su quelle, dal momento che tutto ciò che dobbiamo verificare per decidere se Γ = θ è che per quelle valutazioni, v(θ) = 1. Esercizio 22 Determinare se le seguenti sono tautologie: (1) θ φ (2) θ ( θ θ) (3) θ ( θ φ) (4) (θ φ) (θ ψ) (θ (φ ψ)) (5) (θ φ) ( θ φ) (6) (θ φ) ((θ φ) θ) Soluzione. Come nell esercizio 20, quando serve, potete scrivere la tabella booleana supponendo che enunciati distinti siano sostituibili da variabili proposizionali distinte. Convenzionalmente, stipuliamo: θ è rimpiazzato da p φ è rimpiazzato da q ψ è rimpiazzato da r Potete dunque risolvere tutte le domande costruendo le tabelle booleane appropriate. Qui sotto la soluzione è data in altro modo. (1) No. La valutazione v(θ) = v(φ) = 0 rende falso l enunciato. (2) No. E sufficiente trovare una valutazione che renda falso l enunciato, e dunque una valutazione tale che e v(θ) = 1 v( θ θ) = 0. Da questa segue che la valutazione richiesta è v( (θ) = 1 e v(θ) = 0, cioè v(θ) = 0. (3) Sì. Supponiamo che θ ( θ φ) non sia una tautologia. Allora esisterebbe una valutazione tale che v(θ) = 1 e v( θ φ) = 0. Questa valutazione sarebbe dunque tale che v( θ) = 1 e v(φ) = 0, e in particolare sarebbe tale per cui v(θ) = 0. Ma questo sarebbe

4 4 HYKEL HOSNI in contraddizione con l ipotesi che v(θ) = 1. l ipotesi che l enunciato non sia una tautologia. Dunque rigettiamo Le altre sono simili. Esercizio 23 Verificare le seguenti equivalenze logiche (1) θ θ θ (2) θ θ θ (3) θ φ φ θ (4) θ φ θ φ (5) θ θ (6) θ (φ ψ) (θ φ) ψ (7) (θ φ) ( θ φ) (8) θ (θ φ) (θ φ). (9) θ (θ φ) θ (10) θ φ (θ φ) ( θ φ) (θ φ) Soluzione. Si ragiona esattamente come per gli esercizi precendenti: stipuliamo che enunciati distinti siano riscrivibili come variabili proposizionali distinte e costruiamo le relative tabelle booleane. L equivalenza sussiste se le colonne che danno il risultato della computazione dei valori di verità degli enunciati coincidono. Altrimenti potete ragionare come segue: (1) Sì. Non esiste infatti alcuna valutazione tale che v(θ θ) = 1 e v(θ) = 0 e viceversa, non esiste alcuna valutazione tale che Abbiamo cioè dimostrato che come desiderato. Le altre sono simili. v(θ) = 1 e v(θ θ) = 0. θ θ = θ e θ = θ θ,

5 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTIELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 Esercizio 24 Decidere, per ognuno dei seguenti argomenti proposizionali, se sono corretti. (1) θ φ, θ φ (2) θ φ, θ φ (3) θ θ φ (4) θ ψ, φ ψ, θ φ ψ (5) θ ψ, ψ θ (6) θ θ Soluzione. Per ognuno degli argomenti, dobbiamo decidere se la conclusione è conseguenza logica delle premesse. Per farlo possiamo stipulare, al solito, che ogni enunciato distinto corrisponda a una variabile proposizionale distinta e così usare le tabelle booleane per decidere. Per esempio supponendo che θ è rimpiazzato da p φ è rimpiazzato da q costruiamo la tabella booleana per decidere la (1) come segue p q p q p q v v v v Osservando la tabella notiamo che le valutazioni che soddisfano le premesse dell argomento sono v 3 e v 4. D altra parte v 3 non soddisfa la conclusione. Dunque esiste una valutazione che soddisfa le premesse ma non la conclusione: l argomento non è corretto. La (2) si decide costruendo la seguente tabella p q p q p q v v v v In questo caso esiste un unica valutazione che soddisfa le premesse, v 4, e quella stessa valutazione soddisfa anche la conclusione. L argomento dunque è corretto.

6 6 HYKEL HOSNI Le altre si risolvono in modo analogo. Esercizio 42 Descrivere le computazioni (possibili) che portano a calcolare la probabilità di ottenere, lanciando un dado regolare, i seguenti esiti: (1) un numero dispari (2) un numero primo (3) almeno 4 (4) un numero tra 4 e 6 Soluzione. Fissiamo Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e supponiamo che la distribuzione di probabilità su Ω sia uniforme, cioè P (ω i ) = 1/6, i = 1, (1) Sia A: otteniamo un numero dispari e dunque A = {1, 3, 5}. Per l ipotesi di uniformità abbiamo P (1) = P (3) = P (5) = 1/6 e poiché gli esiti in questione sono mutualmente esclusivi abbiamo P (A) = P (1) + P (3) + P (5) = 3/6 = 1/2. (2) Sia B: otteniamo un numero primo e dunque B = {2, 3, 5}. Per l ipotesi di uniformità abbiamo P (2) = P (3) = P (5) = 1/6 e poiché gli esiti in questione sono mutualmente esclusivi abbiamo P (B) = P (2) + P (3) + P (5) = 3/6 = 1/2. (3) Sia C: otteniamo almeno 4 e dunque C = {4, 5, 6}. Per l ipotesi di uniformità abbiamo P (4) = P (5) = P (6) = 1/6 e poiché gli esiti in questione sono mutualmente esclusivi abbiamo P (C) = P (4) + P (5) + P (6) = 3/6 = 1/2.

7 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTIELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 (4) Sia D: otteniamo un numero tra 4 e 6 e dunque C = {4, 5, 6}. Per l ipotesi di uniformità abbiamo P (4) = P (5) = P (6) = 1/6 e poiché gli esiti in questione sono mutualmente esclusivi abbiamo P (D) = P (4) + P (5) + P (6) = 3/6 = 1/2. Esercizio 43 Sia Ω = {1, 2, 3, 4}. Le seguenti sono distribuzioni di probabilità su Ω? (Giustificare la risposta) (1) P ( ) = 0; P (Ω) = 1; P ({1, 2}) = 5/8; P ({3, 4}) = 5/8; (2) P ( ) = 0; P (Ω) = 1; P ({1}) = 1/8;P ({4}) = 3/8; P ({2, 3}) = 1/2;P ({1, 4}) = 1/2; P ({3, 4}) = 5/8; Soluzione. (1) Non è una distribuzione di probabilità perché P ({1, 2}) + P ({3, 4}) = 5/4 > 1 contrariamente a quanto prescritto dalla definizione. (2) Si tratta di una distribuzione di probabilità. Infatti abbiamo (a) P (1) + P ({2, 3}) + P (4) = 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1 (b) Inoltre questi valori sono coerenti con P ({1, 4}) = 1/2 e P ({3, 4}) = 5/8. Per il primo, basta osservare che 1/8 + 3/8 = 1/2. Per il secondo valore basta osservare che 2/8 + 3/8 = 5/8. Esercizio 45 Consideriamo il lancio di tre monete. Qual è lo spazio aleatorio di questo esperimento? Descrivere una distribuzione di probabilità uniforme su questo spazio. Calcolare la probabilità di (1) Ottenere più Testa che Croce (2) Ottenere esattamente due Testa (3) Ottenere la stesso risultato in ogni lancio

8 8 HYKEL HOSNI Soluzione. Per ogni moneta abbiamo: (1) Ω 1 = {T, C} (2) Ω 2 = {T, C} (3) Ω 3 = {T, C} Dunque Ω = Ω 1 Ω 2 Ω 3 = {T T T, T T C, T CT, T CC, CT T, CT C, CCT, CCC} In assenza di ulteriori informazioni è naturale assumere che la distribuzione appropriata sia l uniforme, e quindi P (T T T ) = P (T T C) = P (T CT ) = P (T CC) = P (CT T ) = P (CT C) = P (CCT ) = P (CCC) = 1/8. Fissiamo: (1) Ottenere più Testa che Croce : A = {T T T, T T C, T CT, CT T } (2) Ottenere esattamente due Testa : B = {T T C, T CT, CT T } (3) Ottenere la stesso risultato in ogni lancio : C = {T T T, CCC} Dunque: P (A) = 1/2, P (B) = 3/8, P (C) = 1/4. Esercizio 47 Consideriamo un gioco con due dadi (cubici), ognuno dei quali ha soltanto tre punteggi possibili, diciamo 1,2 e 3. Un esperimento consiste nel lanciare i dadi e sommare i risultati ottenuti. Qual è lo spazio aleatorio? Descrivere una distribuzione di probabilità per questo spazio. Soluzione. Osserviamo innanzitutto che un dado cubico ha sei facce. Dunque per ognuno dei due dadi si daranno sei esiti. Rappresentiamo la situazione con i due spazi aleatori: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Lo spazio aleatorio dell esperimento è al solito Ω Ω. Possiamo rappresentare l informazione relativa al fatto che soltanto i primi tre esiti sono possibili per ogni dado considerando una distribuzione di probabilità che assegni 0 agli esiti 4, 5, 6 e 4, 5, 6, e che per il resto sia uniforme. Cioè per il primo dado e analogamente per il secondo P (1) = P (2) = P (3) = 1/3

9 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTIELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14. P (1 ) = P (2 ) = P (3 ) = 1/3 Osservazione: I dati del problema sono compatibili con un altra soluzione, quella per cui gli spazi aleatori dei due dadi sono ristretti ai soli esiti possibili (e dunque lo spazio aleatorio dell esperimento ha solo 9 elementi). Una distribuzione di probabilità uniforme su questo spazio condurrà a calcolare le probabilità nello stesso modo rispetto all impostazione discussa nella soluzione. Esercizio 48 Sia Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }. Definire una distribuzione su Ω tale che nessuno dei suoi tre elementi abbia la stessa misura. Soluzione. Una distribuzione che soddisfa la richiesta è la seguente P (ω 1 ) = 1/2; P (ω 2 ) = 1/3; P (ω 3 ) = 1/6. Esercizio 53 Dimostrare, nel modo che ritenete più opportuno le seguenti (1) P ( A) = 1 P (A) (2) Se A B allora P (A B) = P (A) P (B) (3) Se B A allora P (A B) = 1 (4) Se v(a B) = 0 e P (A), P (B) 0 allora P (A B) = 0 Osservazione Poiché nel Capitolo 3 abbiamo stabilito la sostanziale equivalenza tra eventi (asserzioni, euniciati logici ecc) e gli insiemi delle valutazioni che li soddisfano, possiamo ragionare in termini di diagrammi di Venn e delle loro aree. In particolare assumiamo che l universo coincida con Ω e che questo a sua volta coincida con l insieme delle valutazioni V su un opportuno linguaggio. Soluzione. (1) Poiché non esiste alcuna valutazione tale che v(a A), sappiamo che P (A A) = P (A) + P ( A). D altra parte, per definizione, oiché per definizione P (Ω) = 1 = P (A A). Dunque P (A) + P ( A) = 1 e cioè P ( A) = 1 P (A).

10 10 HYKEL HOSNI V [A] [A] (2) Per definizione P (A B) P (A B) =. P (B) Se A B allora A B A. Dunque per P (B) 0 (3) Simile a (2) P (A B) = P (A) P (B) (4) Un modo per impostare il problema è il seguente. Le considerazioni fatte su valutazioni e cardinalità degli insiemi ci permettono di interpretare la probabilità di un enunciato della logica proposizionale come il rapporto tra il numero delle valutazioni che lo soddisfano sul numero totale delle valutazioni possibili. Sotto questa interpretazione, se v(a B) = 0 segue immediatamente che P (A B) = 0 (e questo è vero per qualsiasi insieme non vuoto di valutazioni V). Ma allora a patto che P (B) 0. P (A B) = P (A B) P (B) Esercizio 55 = 0 P (B) = 0 Dimostrare che se P (A), P (B) 0,allora le seguenti sono equivalenti (1) P (A B) = P (A)

11 SOLUZIONI DI ESERCIZI SCELTIELEMENTI DI MATEMATICA E INFORMATICA TEORICA VERSIONE DEL 14 (2) P (B A) = P (B) (3) P (A B) = P (A)P (B) Soluzione. Supponiamo P (A), P (B) 0. Vogliamo dimostrare che (1) implica (2), che (2) implica (3) e che (3) implica (1). (1) (2) Supponiamo P (A B) = P (A). Dunque P (A B) = e dunque, poiché P (A) 0 P (A B) P (B) = P (A), P (A B) = P (A B) = P (A)P (B). Ma dall ipotesi P (A) 0 otteniamo P (A B) P (A) che poiché (A B) (B A) dà come desiderato. (2) (3) Simile (3) (1) Simile P (B A) P (A) = P (B), = P (B A) = P (B), Dipartimento di Filosofia, Università degli Studi di Milano address: hykel.hosni@unimi.it