Geometria e Topologia I

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1 Appunti di Geometria e Topologia I Davide L. Ferrario A.A. 2005/2006 Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca

2 c Davide L. Ferrario, 2006 Prima bozza: Marzo-Maggio Copia Preliminare (Per uso didattico e personale): 30 Maggio 2005 Copia Preliminare (Per uso didattico e personale): 6 Giugno 2006 Data di stampa: 8 giugno 2006 Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2005/2006) Davide L. Ferrario Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano-Bicocca

3 Premessa Queste sono le note per il corso di Geometria e Topologia I (primo anno del CdL in Matematica), tenuto nel secondo semestre dell A.A. 2005/2006 presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell Università di Milano-Bicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassunti in modo molto schematico (e approssimativo nonché non esente da errori di varia natura); ogni settimana viene presentato un elenco di esercizi assegnati (facoltativi). La parte teorica di queste note non può essere considerata un testo su cui studiare, ma solo un compendio abbastanza dettagliato degli argomenti affrontati. Lo studio deve essere necessariamente svolto sui libri consigliati (o sui numerosi volumi presenti in letteratura e in biblioteca dedicati a questi argomenti) e sui propri appunti, possibilmente confrontando quanto si legge con quanto presentato in queste note. Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, di media difficoltà, oppure presentare difficoltà significative (questi esercizi sono segnalati in genere con un asterisco). A volte l asterisco segnala semplicemente l importanza dell argomento affrontato nell esercizio. Milano, 6 Giugno 2006 Davide L. Ferrario i

4 Indice 1 Richiami di logica matematica 1 2 Richiami di teoria degli insiemi 4 3 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici 6 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico 13 5 Spazi topologici 15 6 Funzioni continue 20 7 Topologia prodotto 21 8 Spazi di identificazione e topologie quoziente 22 9 Compattezza Compattezza in spazi metrici ed euclidei Spazi metrici completi Spazi connessi Gruppi topologici Gruppi di trasformazione Spazi affini Sottospazi affini Mappe affini Incidenza e parallelismo Spazi affini euclidei Angoli e proiezioni ortogonali Spazi proiettivi Coniche proiettive Coniche affini e coniche euclidee 96

5 mar-06 Geometria e Topologia I (U1-4) 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell enunciato: l essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato, per esempio). Variabili: Lettere dell alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): A, x, B 1, j,... Assegnamento di valore alle variabili. Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date. negazione: p. congiunzione (AND): p q. disgiunzione (OR, p vel q): p q. disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p q. implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p = q. doppia implicazione (se e solo se): p q. Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q,... assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità. p p p q p = q p q p q p q p q p q p q p q p XOR q Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r,... si costruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalenti se e solo se A B è una tautologia. Le seguenti sono tautologie: (i) A A (terzo escluso); (ii) (A A) (non contraddizione); mar-06 D.L. Ferrario

6 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-06 3 (iii) ( A) A (doppia negazione); (iv) A A A, A A A; (v) A B B A, A B B A (commutatività); (vi) associatività: (A B) C A (B C); (A B) C A (B C); (vii) Leggi distributive: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C); (viii) Leggi di de Morgan: (A B) A B; (A B) B A; Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni. (i) (A B) = A; (ii) (A = B) ( B = A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo); (iii) (A = B) A = B (modus ponens); (iv) (A = B) B = A (modus tollens); (v) (A = B) (B = C) = (A = C) (modus barbara, sillogismo ipotetico); (vi) ((A B) A) = B (sillogismo disgiuntivo). Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto. Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate. Quantificatore universale: (per ogni, per tutti). Uso: x, p(x). Significato: Per ogni x (nell universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U, p(x). Quantificatore esistenziale: (esiste, esiste almeno un x). Uso: x : p(x). Significato: Esiste almeno un x (nell universo U) per cui la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U : p(x). D.L. Ferrario 2006-mar-06 3

7 mar-06 Geometria e Topologia I (U1-4) ( x, p(x)) x : p(x) (principio di negazione). ( x : p(x)) x, p(x) (principio di negazione). x, y, p(x, y) y,, xp(x, y) (principio di scambio). x : y : p(x, y) y : : xp(x, y) (principio di scambio). x : y, p(x, y) = y, x : p(x, y) (principio di scambio) mar-06 D.L. Ferrario

8 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Richiami di teoria degli insiemi Concetti primitivi (non definiti): Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia). Relazione di appartenenza: x X, x X. In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x y). Si assumono anche i seguenti principi: (i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. (ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzione che gli elementi di A sono esattamente gli oggetti x per cui P (x) è vera: (iii) Assioma della... Estensioni di questa notazione: A = {x : p(x)}. {x A : p(x)} Esempio: {x R : x 4} Insieme vuoto:. 2 Relazioni tra insiemi: {f(x) : p(x)} Esempio: {x 2 : x Z} {1, 2, 3}, {1, 2} (Inclusione) A B (anche A B): se x A implica x B. A è un sottoinsieme di B. A B: se B A. A = B se e solo se (A B) e (B A). Operazioni con gli insiemi: Unione A B = {x : x A x B}. Intersezione A B = {x : x A x B} (due insiemi sono disgiunti quando A B = ). Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A B = {(a, b) : a A, b B} = {(a, b) : a A b B}. 1 G. Cantor ( ). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x x); se X appartiene a se stesso, X X, allora per definizione X X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa... 2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S intende che questo viene scelto e sottinteso in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali,... D.L. Ferrario 2006-mar-08 5

9 mar-08 Geometria e Topologia I (U1-4) Complemento di A in B A (differenza tra insiemi): A (= A c = B A) = {x B : x A}. Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l insieme delle funzioni f : X {0, 1}). Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria può essere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J 2 U una funzione. Per ogni i J, il sottoinsieme f(i) 2 U può anche essere denotato con X i, per esempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)). i J X i := {x U : ( i I : x X i )}, o equivalentemente 3 i J X i := {x U : x X i per qualche i I}. i J X i := {x U : ( i J, x X i )}, o equivalentemente i J X i := {x U : x X i per tutti gli i J}. In ultimo, si ricordi che una funzione f : X Y si dice iniettiva se x X, y Y, (x y = f(x) f(q)), suriettiva se y Y, x X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. (2.1) Definizione. Sia f : X Y una funzione. Se B Y è un sottoinsieme di Y, la controimmagine di B è f 1 (B) = {x X : f(x) B}. 3 Si noti l uso del simbolo := usato per le definizioni o gli assegnamenti mar-08 D.L. Ferrario

10 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici. (3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X X R tale che per ogni x 1, x 2,x 3 X: (i) x 1, x 2, d(x 1, x 2 ) 0 e d(x 1, x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2. (ii) Simmetria: d(x 1, x 2 ) = d(x 2, x 1 ). (iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1, x 3 ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ). La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti. (3.2) Esempio. Metrica su R: d: R R R, d(x, y) = x y, ha le proprietà che per ogni x, y R (i) x y 0 e x y = 0 x = y. (ii) x y = y x. (iii) x z x y + y z. Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza: (3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 X (X spazio metrico): B r (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) < r}. (Anche più esplicitamente B r (x 0, X)) (3.4) Nota. Una funzione f : A R R è continua nel punto x A se per ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che x y < δ = f(x) f(y) < ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua in x R se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y B δ (x) = f(y) B ɛ (f(x)), cioè f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). In generale, f : A R è continua in A R se è continua per ogni x A, cioè se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). Dal momento che f(a) B A f 1 B (esercizio (1.7) a pagina 13), la funzione f è continua in A se e solo se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))). (3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un punto x U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale che B δ (x) U Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U. 4 U può non essere aperto... D.L. Ferrario 2006-mar-9 7

11 mar-9 Geometria e Topologia I (U1-4) (3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U V, allora V è un intorno di V. Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f 1 (B ɛ (f(x))) di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ogni suo punto (esercizio (1.10) a pagina 13). (3.7) Se f : A X Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y (intervallo!) è intorno di ogni suo punto. Dimostrazione. Se x f 1 B ɛ (y), cioè f(x) B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cui B r (f(x)) B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f 1 (B r (f(x))) è intorno di x. Ma B r (f(x)) B ɛ (y) = f 1 (B r (f(x))) f 1 (B ɛ (y)) e quindi f 1 (B ɛ (y)) è un intorno di x. (3.8) Definizione. Un sottoinsieme A X di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A). (3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto. Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 13) (3.10) Una funzione f : X Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X di ogni palla B r (y) di Y è un aperto. Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla B r (y) è un aperto. Allora, per ogni x X e per ogni ɛ > 0 f 1 (B ɛ (f(x))) è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni x e ɛ esiste δ > 0 tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua. 3.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti Se A X è aperto, allora per ogni x A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) A, e quindi A è unione di (anche infinite) palle aperte A = x A B r(x) (x). Viceversa, si può mostrare che l unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale: (3.11) Un sottoinsieme A X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle). (3.12) Corollario. L unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto. (3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici mar-9 D.L. Ferrario

12 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-9 9 Si possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema. (3.14) Teorema. Una funzione f : X Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X. Dimostrazione. Sia V un aperto di Y. Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j ) V = j J B j e dunque la sua controimmagine ( ) f 1 V = f 1 B j = f 1 B j j J j J è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Y è un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è un aperto di X, e quindi f è continua. La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica. (3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l insieme vuoto e X sono aperti. (3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l intersezione A B è un aperto. Dimostrazione. Sia x A B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali che B ra (x) A e B rb (x) B. Sia r il minimo tra r A e r B : B r B ra, B r B rb, e quindi B r A B r B( B r A B). Quindi A B è intorno di x e la tesi segue dall arbitrarietà di x. Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell insieme delle parti A 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X. (3.17) L insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 8) di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. (3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X: (i) Ogni elemento x X ha almeno un intorno (aperto) B x. (ii) L intersezione di due intorni circolari B 1 B 2 è un aperto, e quindi per ogni x B 1 B 2 esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x B B 1 B 2. D.L. Ferrario 2006-mar-9 9

13 mar-9 Geometria e Topologia I (U1-4) (3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire dalla metrica). (X, d) (X, d, A) Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia. (3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti se inducono la stessa topologia su X. (3.21) Due metriche d e d su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni x X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r > 0 tale che Br d (x) Bd r (x) (dove Br d (x) è la palla nella metrica d ) e, viceversa, per ogni r e x esiste r tale che Br d (x) Br d (x). Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d siano equivalenti e siano x e r > 0 dati. Per (3.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologia indotta da d : pertanto esiste r tale che Br d (x) Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolo di d e d. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x A esiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che ed un corrispondente r > 0 tale che Cioè, per ogni x esiste r = r (x) > 0 tale che B d r (x) A, B d r (x) Bd r (x). Br d (x) A, e quindi A è aperto nella topologia indotta da d. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da d è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono. (3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 : (i) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 = x y (metrica euclidea). { 0 se x = y (ii) d(x, y) = (metrica discreta). 1 altrimenti (iii) d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. (iv) d(x, y) = max i=1,2 x i y i. (v) d(x, y) = min i=1,2 x i y i (?). (vi) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (?) mar-9 D.L. Ferrario

14 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-9 11 (3.23) Esempio. Sia p N un primo 2. Sappiamo che ogni intero n Z ha una decomposizione in fattori primi, per cui esiste unico l esponente α per cui n = p α k, dove l intero k non contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione p definita da p α k p = p α ogni volta che k è primo con p, e n p = 0 quando n = 0. Sia quindi d: Z Z Q R la funzione definita da d(x, y) = x y p. Si può vedere che è una metrica su Z. D.L. Ferrario 2006-mar-9 11

15 mar-9 Geometria e Topologia I (U1-4) Esercizi: foglio 1 (1.1) Dimostrare che: (i) L insieme vuoto è unico. (ii) per ogni insieme A, A. (iii) per ogni insieme A, A A. (iv) per ogni insieme A, A = A. (1.2) Dimostrare (utilizzando le tautologie viste nella lezione 1) che se A, B, C e X sono insiemi arbitrari: (i) A B = B A. (ii) A B = B A. (iii) (A B) C = A (B C). (iv) (A B) C = A (B C). (v) A (B C) = (A B) (A C). (vi) A (B C) = (A B) (A C). (vii) Se A X, allora X (X A) = A. (viii) Se A, B X, allora X (A B) = (X A) (X B). (ix) Se A, B X, allora X (A B) = (X A) (X B). (1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti: (i) A B; (ii) A B = A; (iii) A B = B. (1.4) Costruire una bijezione tra l insieme delle parti P(X) di un insieme X e l insieme delle funzioni f : X {0, 1}. *(1.5) Siano A e B due insiemi e X l insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a A, b B}. Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una bijezione X A B. *(1.6) Sia f : X Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A X e B Y sono sottoinsiemi di X e Y : (i) f (f 1 (B)) B. (ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B Y, ff 1 (B) = B. (iii) A f 1 f(a) mar-9 D.L. Ferrario

16 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-9 13 (1.7) Sia f : X Y una funzione tra insiemi, A X e B Y sottoinsiemi di X e Y. Dimostrare che: f(a) B A f 1 B. (1.8) Sia X un insieme e f : X X R una funzione tale che: (i) f(x, y) = 0 se e solo se x = y. (ii) x, y, z X, f(x, z) f(x, y) + f(z, y). Dimostrare che f è una metrica su X. (1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo punto. *(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è un aperto). (1.11) Dimostrare che l unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metrico è un aperto. *(1.12) Sia {B j } j J una famiglia di insiemi in Y e f : X Y una funzione. Dimostrare che ( ) f 1 B j = f 1 B j j J j J (1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R 2 (con la metrica euclidea) sono aperti? (i) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} {(1, 0)}. (ii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. (iii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 1}. (iv) {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 1}. (v) {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 1}. *(1.14) È vero che l intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R è un aperto? Se la famiglia è finita? *(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x 0 X, la funzione f(x) = d(x, x 0 ) è continua. (1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metriche dell esempio (3.22) sono equivalenti? (1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni). D.L. Ferrario 2006-mar-9 13

17 mar-15 Geometria e Topologia I (U1-4) 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico (4.1) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r > 0 l intersezione B r (x) A contiene almeno un punto oltre al centro x. Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A. Se A = {x n } n N X è una successione convergente, allora il limite della successione è punto limite di A. (4.2) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C X si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. (4.3) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X di un aperto è chiuso. Quindi C X è chiuso se e solo se X C è aperto. Dimostrazione. Sia C X un chiuso e x X C. Dato che C è chiuso, x non può essere un punto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui B r (x) C =. Ma allora B r (x) (X C) e quindi X C è intorno di x. Per l arbitrarietà di x in X C si ha che X C è aperto. Viceversa, sia A X un aperto e sia C il complementare X A. Se x è un punto di accumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui ci sarebbe r > 0 tale che B r (x) A, ma allora B r (x) C A C =, cioè x non sarebbe di accumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C e dunque C è chiuso. (4.4) L insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) C, X C, (ii) B C = C B C C, (iii) B C, B è finito, allora C B C C. Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (3.17) e il fatto che i chiusi sono i complementari degli aperti (dualità). (4.5) Definizione. Sia A X. L unione di A con l insieme di tutti i suoi punti di accumulazione si dice chiusura di A in X e si indica con A. (4.6) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A B, si ha che A B (esercizio (2.5)). (4.7) La chiusura A di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (in altre parole: l intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso. Dimostrazione. Per prima cosa vediamo che A è chiuso e per farlo mostriamo che X A è aperto. Se x X A, cioè x non è né punto di A né punto di accumulazione, allora in particolare esiste r > 0 per cui B r (x) A = ; l altro canto B r (x) è aperto (cioè intorno di ogni suo punto), e quindi non può contenere punti di accumulazione per A. Ma allora B r (x) A =, cioè B r (x) X A. Ora, consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A C, si ha che A C, ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A C, cioè A è contenuto in tutti i chiusi che contengono A. Essendo A chiuso, in particolare A è un chiuso contenente A, e quindi la tesi mar-15 D.L. Ferrario

18 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar (4.8) Corollario. Un insieme A X è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura A = A. (4.9) Sia f una funzione f : X Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso. Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 = 2. Sia x A. Se x A, allora f(x) f(a) f(a), e quindi f(x) f(a). Se x A A, allora x deve essere di accumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f(x) appartiene a f(a) oppure ne è punto di accumulazione. Se f(x) f(a), allora non c è altro da dimostrare. Supponiamo altrimenti che f(x) f(a). Ora, dato che f è continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell intorno circolare f 1 (B r (f(x))) è un intorno di x, e quindi esiste ɛ > 0 (che dipende da r e x) per cui B ɛ (x) f 1 (B r (f(x))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi B ɛ (x) A {x}, cioè esiste un punto z B ɛ (x) A, z x, ed in particolare f(z) B r (f(x)) Dato che stiamo supponendo f(x) f(a) e che z A, si ha che f(z) f(a) e quindi f(z) f(x). Cioè, per ogni r > 0 l intorno B r (f(x)) contiene punti di f(a) diversi da f(x), e quindi f(x) è di accumulazione per f(a). Ora dimostriamo che (ii) = (iii). Sia C Y un chiuso e A = f 1 C la sua controimmagine in X. Dal momento che f(a) f(a), e che f(a) C, f(a) C = C, e quindi A f 1 C. Ne segue che A A, da cui A = A, visto che anche A A. Ora dimostriamo che (iii) = (i). Se A Y è aperto, allora C = Y A è chiuso in Y, e quindi f 1 C è chiuso in X, il che implica che X f 1 C è aperto. Ma X f 1 C = {x X : f(x) C} = f 1 (X C) = f 1 (A), quindi f 1 (A) è aperto. (4.10) Nota. Continuità: f(lim) = lim(f)... Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y x X e r = d(x, y), allora r > 0 e y B r/2 (y) x, cioè X {x} è aperto. D.L. Ferrario 2006-mar-15 15

19 mar-16 Geometria e Topologia I (U1-4) 5 Spazi topologici Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzioni continue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e alcune proprietà caratterizzanti. Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A 2 X che verifica le proprietà di (3.17) consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuità. (5.1) Definizione. Una famiglia A 2 X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia se verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. Uno spazio X munito di una topologia A 2 X (spesso indicata con la lettera τ) viene detto spazio topologico 5 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X. È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associare ad ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (3.19), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l esistenza di una metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili). (5.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibile e quella con meno aperti possibile. (i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {, X} 2 X poter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (5.1)). (che devono esistere per (ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2 X. Questo serve a rilassare il concetto di vicinanza che è intrinseco per gli spazi metrici. (5.3) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A X è un sottoinsieme e x A, si dice che A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che x B A. 6 Allora x si dice punto interno di A. Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (3.14). (5.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X Y si dice continua se per ogni aperto A Y la controimmagine f 1 A è aperto di X. Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essere esteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni dei propri punti. 5 Così come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologico dovrebbe essere indicato come coppia (X, τ) con τ 2 X, ma per brevità la topologia non viene espressamente indicata, se non quando necessario. 6 Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x mar-16 D.L. Ferrario

20 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar (5.5) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di x l intersezione B A contiene almeno un altro punto oltre a x. La chiusura A di A è definita come l unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione. (5.6) Sia X uno spazio topologico e C X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti. (i) X C è aperto. (ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (4.3) sostituendo ovunque intorni aperti invece che intorni circolari. (5.7) Definizione. Un sottoinsieme C X di uno spazio topologico si dice chiuso se una delle due proposizioni equivalenti di (5.6) è verificata. Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (4.7) si può dimostrare che (vedi esercizio (2.8)): (5.8) La chiusura A di un sottoinsieme A X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A (in altre parole: l intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso. 5.1 Base di una topologia La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gli aperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famiglia di insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intorni circolari di spazi metrici di (3.18). (5.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B 2 X di un insieme X si dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte: (i) per ogni x X esiste almeno un elemento della base B B che contiene x (equivalentemente, X = B B B). (ii) Se B 1, B 2 B e x B 1 B 2, allora esiste B x B tale che x B B 1 B 2 (equivalentemente, B 1 B 2 è unione di elementi della base). Possiamo riscrivere (3.18) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo di generare una topologia a partire da una base procede dall osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari. (5.10) Sia X un insieme. Data una base B 2 X, sia A 2 X la famiglia di tutte le unioni di elementi di B unita a. Allora A è una topologia per X ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base B sono aperti. Dimostrazione. Esercizio. (5.11) Definizione. La topologia generata come in (5.10) si dice topologia generata dalla base B. D.L. Ferrario 2006-mar-16 17

21 mar-16 Geometria e Topologia I (U1-4) 5.2 Topologia indotta Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indotta per restrizione sui sottospazi Y X. Cioè, per definizione A Y è aperto se e solo se esiste U X aperto la cui intersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni A = Y U di aperti di X con Y. Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assume che abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo mar-16 D.L. Ferrario

22 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Esercizi: foglio 2 (2.1) Dimostrare che, se A, B X sono sottonsiemi di uno spazio metrico: (i) A B = A B. (ii) A B A B. (2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R: (i) { 1 n (ii) { k n : n N, n > 0}. : k, n N, n > 0}. (iii) { k 2 n : k, n N}. (iv) { 1 k + 1 n : k, n N, k, n > 0}. *(2.3) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora (i) A B = A B; (ii) A A; (iii) (A) = A; (iv) =. Viceversa, si consideri un operatore C : 2 X 2 X con le seguenti proprietà: (i) CA CB = C(A B); (ii) A CA; (iii) CCA = CA; (iv) C =. Dimostrare che, definiendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall operatore C (CA = A) si ottiene una topologia su X (cioè valgono gli assiomi.... Questi assiomi alternativi si chiamano assiomi di Kuratowski ). (2.4) Quali sono i punti di accumulazione per la successione { 1 } (per n > 0) nella retta reale { n 0 se x = y R munita della metrica discreta d(x, y) = 1 altrimenti? (2.5) Dimostrare che se A B, allora A B. *(2.6) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale non è metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile. *(2.7) Sia X uno spazio topologico e C X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti. D.L. Ferrario 2006-mar-16 19

23 mar-16 Geometria e Topologia I (U1-4) (i) X C è aperto. (ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione. *(2.8) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A X di uno spazio topologico X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A. (2.9) Sia X un insieme e Y X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ 2 X è una topologia per X, allora τ Y = {U Y : U τ} è una topologia per Y, e che l inclusione i: Y X è una funzione continua. (2.10) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie per X: (i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. (ii) {{}, {a}, {a, b, c}}. (iii) {{}, {a, b, c}}. Le seguenti non sono topologie (i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. (ii) {{a}, {a, b, c}}. Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2 X? *(2.11) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ 2 X la famiglia di tutti i sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioè tali che X A ha un numero finito di elementi, unita all insieme X (si vuole che sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia. (2.12) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R. (i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = {x R : a < x < b}. (ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = {x R : a x < b}. (iii) Tutti gli intervalli del tipo: (, a) = {x R : x < a}. (iv) Tutti gli intervalli del tipo: (, a] = {x R : x a}. Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè quando le topologie sono contenute una nell altra)? (2.13) Dimostrare che se f : R R è una funzione continua, allora l insieme {x R : f(x) = 0} è chiuso in R mentre l insieme {x R : f(x) > 0} è aperto in R. *(2.14) Sia A R un insieme e χ A la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da { 1 se x A; χ A (x) = 0 se x A; In quali punti di R la funzione χ A è continua? *(2.15) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R R siano continue? *(2.16) Dimostrare che una funzione f : R R è continua se e solo se per ogni successione convergente {x n } (cioè per cui esiste x tale che lim n x n x = 0) vale l uguaglianza lim f(x n) f( x) = 0. n (2.17) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite mar-16 D.L. Ferrario

24 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Funzioni continue Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione. (6.1) Sia f una funzione f : X Y tra spazi topologici. Le tre proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso in X. (iv) Se B è una base per Y, allora per ogni elemento della base B B la controimmagine f 1 B è aperto in X. (6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua. Dimostrazione. Sia f : X Y una funzione continua e g : Y Z una funzione continua. La composizione gf : X Z è continua se e solo se (gf) 1 (A) è aperto in X ogni volta che A è aperto in Z. Ora, (gf) 1 (A) = {x X : g(f(x)) A} = {x X : f(x) g 1 (A)} = f 1 (g 1 (A)) e dunque se A è aperto anche g 1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è continua f 1 (g 1 (A)) è aperto in X. (6.3) Teorema. Sia f : X Y una funzione continua. Se A X ha la topologia indotta, allora la restrizione f A è continua. Dimostrazione. Sia B Y un aperto. La controimmagine f 1 (B) è aperta in X, dato che f è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f A è data dall insieme {x A : f(x) B}, e quindi da A f 1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. (6.4) Definizione. Una funzione f : X Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f 1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X Y ). (6.5) Definizione. Una funzione f : X Y è (i) aperta se l immagine f(a) di ogni aperto A di X è aperta in Y. (ii) chiusa se l immagine f(c) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y. (6.6) Una funzione f : X Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera: D.L. Ferrario 2006-mar-22 21

25 mar-22 Geometria e Topologia I (U1-4) (i) f è biunivoca, continua e aperta. (ii) f è biunivoca, continua e chiusa. La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un cambiamento di coordinate in uno spazio, e l essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene conservata. (6.7) Esempio. Sia X l insieme delle matrici 2 2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito della metrica d((a i,j ), (b i,j )) = max ( a i,j b i,j ). X è omeomorfo a R 4 con la metrica euclidea d((x i ), (y i )) = 4 i,j i=1 (x i y i ) 2 tramite l omeomorfismo ( a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ) (6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2 7 Topologia prodotto (7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base base = {U V X Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }. Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X Y : esercizio (3.1). Le funzione p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y definite da p 1 (x, y) = x e p 2 (x, y) = y si dicono le proiezioni. (7.2) Se X Y ha la topologia prodotto, allora X Y Y X (sono omeomorfi), e le proiezioni p 1 : X Y X, p 2 : X Y Y sono continue e aperte. Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologici X 1,X 2,..., X n, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U 1 U 2 U n X 1 X 2 X n. (7.3) Esempio. La retta è omeomorfa ad un segmento aperto: R (a, b) per ogni a < b. (7.4) Esempio. La topologia di R n indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologia prodotto. (7.5) Esempio. I I è il quadrato (pieno) di R 2. Analogamente, I n è il cubo di dimensione n mar-22 D.L. Ferrario

26 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Spazi di identificazione e topologie quoziente Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati. Problema: sia una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X X/ la proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza). (8.1) Esempio. (i) I 0 1. (ii) R con x y x y Z. (iii) R 2 con x = (x 1, x 2 ) y = (y 1, y 2 ) x y Z 2. (iv) Striscia di Möbius. In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X Y, Y si può vedere come insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione x, y X, x y f(x) = f(y). (8.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X Y una funzione suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A Y per cui la controimmagine f 1 (A) X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f. (8.3) Se f : X Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X). Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X Y è continua e A Y è aperto nella topologia di Y, allora f 1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. (8.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A X un sottospazio, si scrive X/A (quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X A e A. (8.5) Esempio. Il toro: [0, 1] [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza... ) (i) (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1). (ii) (x, 0) (x, 1) per 0 < x < 1. (iii) (0, y) (1, y) per 0 < y < 1. È omeomorfo a S 1 S 1? (8.6) Esempio. Il disco: D 1 (0, R 2 ) = D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza: { x D 2 y D 2 (x e y stanno sul bordo) x y x = y altrimenti D.L. Ferrario 2006-mar-23 23

27 mar-23 Geometria e Topologia I (U1-4) (8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D 2 quozientato rispetto alla relazione: { x = y se x D 2 y D 2 x y x = y altrimenti Analogo: S 2 / dove x y x = ±y (antipodale). (8.8) Esempio. Nastro di Möbius: mar-23 D.L. Ferrario

28 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Esercizi: foglio 3 (3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U V, con U aperto in X e V aperto in Y è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X Y. (3.2) Dimostrare che se X Y ha la topologia prodotto e A X, B Y sono sottospazi, allora A B = A B, e che A B è aperto in X Y se e solo se A è aperto in X e B è aperto in Y. *(3.3) Dimostrare che [0, 1) [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] [0, 1). (3.4) Dimostrare che R = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha punti interni in R. (3.5) Dimostrare che il quadrato {(x, y) R 2 : max( x, y ) = 1} è omeomorfo alla circonferenza {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. (3.6) Dimostrare che la mappa diagonale : X X X definita da x (x, x) è continua. *(3.7) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente. *(3.8) È vero che la mappe di proiezione p 1 : X Y X è sempre una mappa chiusa? (3.9) Sia p 1 : R 2 = R R R la proiezione sulla prima coordinata. Sia A = {(x, y) R 2 : x 0 y = 0}, e f : A R la restrizione di p 1 a A. La mappa f è aperta/chiusa? (3.10) Dimostrare che se f : X Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x y f(x) = f(y) è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tra l insieme delle classi di equivalenza e f(x) Y. *(3.11) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius? (3.12) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi: (i) Cilindro = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 z 2 1}. (ii) Cono = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 0 z 1}. (iii) Toro ( S 1 S 1... ). (iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = 1) di bordo identificate ad un punto. (v) La sfera {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. (vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto. (vii) Il piano R 2. *(3.13) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R. (3.14) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R 2 : D.L. Ferrario 2006-mar-23 25

29 mar-23 Geometria e Topologia I (U1-4) (i) {(x, y) : xy = 1}. (ii) (x, y) : x 2 + y 2 = 1}. (iii) {(x, y) : x 2 + y 2 1}. (iv) {(x, y) : x 3 + y 3 = 1} (e in generale, {(x, y) : x n + y n = 1}). *(3.15) Sia f : X Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione continua g : Y X (inversa destra) tale che f g è l identità di Y, allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l inclusione di un sottospazio i: Y = A X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f i = 1 Y, e cioè x A, f(x) = x, cioè la restrizione f A è uguale all identità 1 A. In questo caso la mappa f si dice retrazione. *(3.16) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x y x y Q (se la differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/? (Dimostrare che è la topologia banale.) (3.17) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente. (3.18) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo. *(3.19) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y. Dimostrare che la funzione d: X Y R definita da d ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = d X (x 1, x 2 ) 2 + d Y (y 1, y 2 ) 2 è una metrica sul prodotto X Y. Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincide con la topologia prodotto. *(3.20) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l unione delle circonferenze {(x, y) R 2 : (x 1 n )2 +y 2 = ( 1 n )2 }, per n = 1, 2, 3... con la topologia indotta da R 2, e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi mar-23 D.L. Ferrario

30 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Compattezza Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e limitato): (i) L immagine di un compatto è compatta. (ii) L immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio). (iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso. (iv) Ogni successione di Cauchy converge. (v) Se A R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione convergente. Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale. Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi): (9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali: (i) Assiomi di campo: (a) x, y, z R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (b) x, y R, x + y = y + x, xy = yx. (c) 0 R : x Rx + 0 = x; 1 R : x R, x 0 = 1x = x. (d) x R, unico y R : x + y = 0. x R, x 0, unico y R : xy = 1. (e) x, y, z R, x(y + z) = xy + xz. (ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che (a) x > y = x + z > y + z. (b) x > y, z > 0 = xz > yz. (iii) Proprietà dell ordinamento (continuo lineare): (a) (Completezza di Dedekind) La relazione d ordine < ha la proprietà dell estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l estremo superiore). (b) Se x < y, allora esiste un numero z R tale che x < z < y. (9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y X, x y, esistono due intorni U x e U y di x e y rispettivamente tali che U x U y =. (9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)). Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici. D.L. Ferrario 2006-mar-29 27

31 mar-29 Geometria e Topologia I (U1-4) (9.4) Definizione. Si dice che una successione {x n } in X converge ad un punto x X se per ogni intorno U x di x esiste un intero n (che dipende da U x ) tale che j n = x j U x. In tal caso si scrive e si dice che x n converge a x. lim n x n = x (9.5) Se x nk è una sottosuccessione di una successione convergente x n (con limite lim n x n = x), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite lim k x nk = x. Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6). (9.6) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {x n } una successione in X. Se lim n x n = x e lim n x n = ȳ, allora x = ȳ. Dimostrazione. Esercizio (4.7). (9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto {U i } i di X (cioè una famiglia di aperti {U i } i J tale che X = i J U i ) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J 0 J tale che X = i J0 U i (9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con la topologia metrica) è compatto. (9.9) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito, allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {U i } è un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni U i è aperto) U i = j B i,j dove i B i,j sono una famiglia di intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora X = i U i = i j B i,j = i,j B i,j, e quindi {B i,j } i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l esistenza di un sottoricoprimento finito X = B i1,j 1 B i2,j 2 B in,j N. Dal momento che U i = j B i,j, per ogni i, j si ha B i,j U i, e quindi cioè {U i } i ammette sottoricoprimento finito. X = U i1 U i2 U in, (9.10) Se X è compatto e C X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la topologia indotta) mar-29 D.L. Ferrario

32 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar Dimostrazione. Se {U i } i J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C U i } i J, dove U i sono aperti di X. Dato che C è chiuso X C è aperto, e quindi {X C} {U i } i J è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C i U i ), e quindi esiste un sottoricoprimento finito, che sarà della forma {X C} {U i } i J0 oppure {U i } i J0. In entrambi i casi, risulta C i J 0 U i, e quindi la tesi. (9.11) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso. Dimostrazione. Sia C X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo che C è chiuso. Sia x X C. Per ogni c C, dato che X è di Hausdorff, esistono due intorni disgiunti U c e V c tali che U c V c =, c U c, x V c. Ora, {U c } c C è un ricoprimento di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè C U c1 U c2 U cn. L intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi V = V c1 V c2 V cn è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1... N, l intersezione V ci U ci =, V C =, cioè V X C e quindi X C è aperto per l arbitrarietà di x, cioè C è chiuso. (9.12) L immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta. Dimostrazione. Sia X compatto e f : X Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare che f(x) è compatto con la topologia indotta da Y. Ogni ricoprimento aperto {U i } i di f(x) in Y induce un ricoprimento aperto {f 1 (U i )} i di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal fatto che per ogni i f(f 1 (U i )) U i. (9.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e solo se Y è compatto. D.L. Ferrario 2006-mar-29 29