CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

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1 CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta edizione, casa editrice Maxwell Macmillan Es1 Da un mazzo di 40 carte (10 carte per ciascuno dei 4 semi) ne vengono estratte in modo casuale Qual è la probabilità che le carte estratte abbiano lo stesso seme? Es2 Si lanciano due dadi non truccati Sia E l evento che la somma dei numeri usciti è dispari, F l evento che almeno uno dei due numeri usciti è 1, G l evento che la somma dei numeri usciti è 5 a) Scrivere in modo esplicito l evento EF e calcolarne la probabilità b) Calcolare la probabilità degli eventi: E F, F G, E F, EF G Es Da un mazzo di 52 carte (1 carte per ciascuno dei 4 semi) ne vengono estratte 5 in modo casuale Qual è la probabilità di : a) avere 5 carte dello stesso seme; b) avere una coppia (2 carte di uguale valore); c) avere due coppie distinte; d) avere un tris ( carte di uguale valore); e) avere un poker (4 carte di uguale valore) Es4 Da un mazzo di 40 carte se ne scelgono 10 con ordine a) Qual è la probabilità che la decima carta sia un asso? b) Qual è la probabilità che la decima carta sia l unico asso scelto? Es5 Su una scacchiera vengono piazzate 8 torri in modo casuale Qual è la probabilità che ciascuna torre sia su una riga ed una colonna distinta? Es6 Si consideri un urna A contenente palline rosse e palline nere, ed un urna B contenente 4 palline rosse e 6 palline nere Da ogni urna viene estratta una pallina Qual è la probabilità che le palline estratte abbiano lo stesso colore? 1

2 Es7 Si consideri un urna contenente 5 palline rosse, 6 palline bianche e 8 palline verdi Se si estraggono palline (senza reimbussolamento), a) Qual è la probabilità che abbiano lo stesso colore? b) Qual è la probabilità che abbiano tutte colore diverso? c) Calcolare le analoghe quantità nel caso di estrazione con reimbussolamento Es8 Si consideri un urna contenente palline rosse e 7 palline nere A e B scelgono consecutivamente una pallina dall urna (senza reimbussolamento) fino a quando uno dei due estrae una pallina rossa Se A estrae per primo, qual è la probabilità che A estragga la prima pallina rossa? Es9 M ragazzi ed N ragazze sono allineati in riga in modo casuale ((N + M)! possibili ordinamenti) Qual è la probabilità che l i-esimo in riga sia una ragazza? Es10 10 palline vengono distribuite in modo casuale in 5 scatole Ciascuno dei 5 10 arrangiamenti è equiprobabile Qual è la probabilità che m palline, con m {0,, 10}, finiscano nella prima scatola? Es11 Si lanciano due dadi non truccati a) Qual è la probabilità che sia uscito almeno un 6 sapendo che sono uscite due facce diverse b) Qual è la probabilità che il primo dado abbia valore 6 sapendo che la somma dei numeri usciti è m, con m {2,, 12}? Es12 Si consideri un urna contenente 8 palline bianche e 4 palline nere Dall urna vengono estratte 4 palline con reimbussolamento Si considerano gli eventi E i = {l i-esima pallina estratta è bianca}, con i = 1, 2,, 4, e si denota con X il numero di palline bianche estratte (X = 4 i=1 E i) a) Calcolare la probabilità dell evento E 1 E, sapendo che X = b) Calcolare la stessa quantità del punto a) nel caso di estrazione senza reimbussolamento 2

3 Es1 Si consideri un urna A contenente 2 palline bianche e 4 palline rosse, un urna B contenente 8 palline bianche e 4 palline rosse, un urna C contenente 1 pallina bianca e palline rosse Si estrae una pallina da ciascuna delle urne e si indica con X il numero delle palline bianche estratte Qual è la probabilità che la pallina estratta dall urna A sia bianca, sapendo che X = 2? Es14 Da un lotto di 20 macchine, ne vengono scelte 2 in modo casuale Sapendo che 5 delle 20 macchine sono difettose, calcolare: a) la probabilità che la prima macchina scelta sia difettosa; b) la probabilità che la seconda macchina scelta sia difettosa sapendo che la prima non lo è Es15 Un gruppo di 100 persone prenota un volo Bologna-Barcellona presso le compagnie aeree A, B e C 60 persone volano con A, 25 persone volano con B e 15 persone volano con C Le compagnie aeree hanno dei ritardi che avvengono con probabilità pari a, rispettivamente, 0, 15, 0, 1 e 0, 05 a) Qual è la probabilità che il volo di un passeggero scelto a caso fra i 100 sia in ritardo? b) Qual è la probabilità che un passeggero scelto a caso fra i 100 abbia volato con la compagnia B, sapendo che il suo volo è in ritardo? Es16 Sia X il risultato del lancio di un dado non truccato Da un mazzo di 52 carte si estraggono X carte con reinserimento Sia E l evento che sia stato estratto almeno un asso nelle X estrazioni a) Calcolare P (E X = k), per k {1,, 6} b) Calcolare P (E) c) Calcolare la previsione di X, condizionata dalla conoscenza di E Es17 In una scuola ci sono 80 alunne e 120 alunni I 2/5 delle alunne e 1/2 degli alunni portano gli occhiali Si scelgono 2 studenti in modo casuale fra tutti gli alunni della scuola a) Qual è la probabilità che il primo studente scelto porti gli occhiali? b) Qual è la probabilità che il primo studente scelto sia un alunna, sapendo che porta gli occhiali?

4 c) Qual è la probabilità che il secondo studente scelto porti gli occhiali, sapendo che il primo non li porta? Es18 Da un urna con 4 palline bianche e 6 palline nere se ne estraggono senza reimbussolamento Si denoti con E i, per i = {1, 2, }, l evento che l i-esima estratta è una pallina bianca a) Calcolare P (E i ), per i = {1, 2, } b) Calcolare P (E 2 E 1 ), P (E 1 E 2 ), P (E E 2 E 1 ), P (E E 2 ) Cosa si può dedurre? Soluzioni Es 1: La probabilità richiesta si calcola come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, ed è pari a 4 (10 ) Il 4 corrisponde al ( 40 ) numero di modi per scegliere un seme fra i 4 presenti, e il ( ) 10 ai modi di scegliere carte fra le 10 dello stesso seme Es 2: a) EF = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (2, 1); (4, 1); (6, 1)} Quindi P (EF ) = casi favorevoli casi possibili = 6 6 = 1 6 b) P (E) = 18 6 = , P (F ) = 6 F G = {(1; 4), (4; 1)} = P (F G) = 2 6 = 1 18 P (E F ) = P (E) P (EF ) = = 1 = P (E F ) = P (E)+P (F ) P (EF ) = 2 6 G E = P (EF G) = P (F G) = 1 18 Es : Tutte le probabilità richieste si calcono come casi favorevoli casi possibili : a) 4 (1 5 ), come nell esercizio 1 ( 52 5 ) b) Se l evento avere una coppia è inteso (come lo si pensa comunente nel gioco a carte) come l evento due carte hanno stesso valore, e le restanti carte assumono valori diversi tra di loro e dalla coppia, allora la probabilità è data da 1 (4 2) ( 12 )4 dove, al numeratore, 1 conta il numero di possibili ( 52 5 ) valori per la coppia, ( 4 2) conta i modi di scegliere due carte di uguale valore, ) conta i modi di scegliere i valori delle restanti tre carte e, per ciascuno ( 12 valore, 4 sono i modi di scegliere una carta di corrispondente valore Se invece (come si poteva equivocare) l evento avere una coppia è inteso come l evento avere almeno due carte uguali, allora la probabilità richiesta 4

5 si può calcolare facilmente passando all evento complementare, ed è data da 1 (1 5 )4 5 (1 ( 52 5 )4 Qui 5 è la probabilità di non avere nessuna carta di uguale 5 ) ( 52 5 ) valore, ed il numeratore, corrispondente alle estrazioni di 5 carte tutte di valore diverso, si ottiene scegliendo 5 valori dai 1 possibili e, per ciascun valore, scegliendo una carta fra le 4 di valore corrispondente c) Analogamente al punto b), se l evento avere due coppie distinte è inteso (come lo si pensa comunente nel gioco a carte) come l evento avere due coppie di carte di uguale valore, ma distinto fra loro, ed una carta di valore diverso da quello delle due coppie, allora la probabilità richiesta è data da ( 1 2 ) ( 4 2) , che si ottiene ragionando come in b) ( 52 5 ) Se invece, in modo un po più macchinoso, si include nell evento avere due coppie distinte anche il caso in cui la carta non accoppiata possa assumere il valore delle due coppie, allora si dovrà sommare alla probabilità che abbiamo ora calcolato, la probabilità dell evento avere un tris ed una coppia (che non ha ambiguità di terminologia!) Ne risulterà una probabilità pari a ( 1 2 ) ( 4 2) (4 ) 12 ( 4 2) ( 52 5 ) ( 52 5 ) d) Come hai punti b) e c), se l evento avere un tris è inteso (come lo si pensa comunente nel gioco a carte) come l evento avere carte di uguale valore e 2 carte di valore diverso tra loro e dal tris, allora (ragionando come prima) la probabilità richiesta è data da 1 (4 )( 12 2 )4 2 ( 52 5 ) Se invece si include nell evento avere un tris anche il caso in cui le 2 carte che non compongono il tris assumano stesso valore fra di loro, oppure che una di esse assuma lo stesso valore del tris, allora si dovrà sommare alla probabilità che abbiamo ora calcolato, la probabilità dell evento avere un tris ed una coppia alla probabilità dell evento avere un poker In definitiva si ottiene una probabilità pari a 1 (4 )( 12 2 ) (4 ) 12 ( 4 2) + 1 (4 4)48 ( 52 5 ) ( 52 5 ) ( 52 5 ) e) Come già calcolato al punto precente, questa è data da 1 (4 4)48 ( 52 5 ) Es 4: Come suggerito dal testo, in questo caso è necessario considerare l ordinamento delle 10 carte scelte a) La probabilità richiesta è pari a 4 k=1 ( 4 ( k) k! 6 ) ( 10 k (10 k)! 9 ) k 1 ) 10! Nella sommatoria, il k denota il numero di assi scelti (al minimo 1 e al massimo 4) Il termine ( 4 k) k! conta i modi con cui possono essere scelti k assi su 4 (con ordine) Il termine ( 6 10 k) (10 k)! conta i modi con cui possono 5 ( 40 10

6 essere scelti 10 k non-assi su 6 (con ordine) Il termine ( 9 k 1) conta i modi con cui k 1 assi possono essere posizionati su 9 carte, essendo il k-esimo asso fissato nel decimo posto b) Utilizzando la formula del punto sopra, per k = 1, si ottiene una probabilità pari a 4(6 9 )9! ( 40 10)10! Es 5: La scacchiera ha 64 riquadri (8X8), dunque la prima torre può essere collocata in 64 modi diversi Per collocare la seconda torre nel modo richiesto bisogna escludere la riga e la colonna in cui si è disposta la prima torre Questo riduce la scacchiera a 7X7 riquadri, e permette quindi 49 diverse collocazioni Procedendo iterativamente, è facile verificare che il numero di casi favorevoli (ovvero di modi di disporre le torri sulla scacchiera come richiesto nell esercizio) è = (8!) 2 Và però osservato che questo conteggio tiene conto dell ordine con cui le torri vengono disposte sulla scacchiera, come se queste potessero essere in qualche modo identificate le une dalle altre Dividendo allora per i possibili ordinamenti di 8 elementi, cioè per 8!, otteniamo la probabilità richiesta che è pari a 8! Es 6: Siano E r = {le palline estratte sono rosse} E n = {le palline estratte sono nere}, ( 64 56) cosicchè E = {le palline estratte hanno lo stesso colore} = E r + E n Poichè gli esiti delle due estrazioni sono indipendenti fra loro (urne diverse), si calcola: P (E r ) = 6 Es 7: Siano 4 10 = 1 5, P (E n ) = 1 2 E r = {le palline estratte sono rosse} E b = {le palline estratte sono bianche}, E v = {le palline estratte sono verdi}, 6 10 = 10 = P (E) = 1 2 cosicchè E = {le palline estratte hanno lo stesso colore} = E r + E b + E v a) Gli esiti delle due estrazioni non sono indipendenti fra loro (stessa urna) Si calcola comunque facilmente : ( 5 ) ( 6 ) ( 8 ) P (E r ) = ( 19 ) P (E b ) = ( 19 ) P (E v ) = ( 19 ) = P (E) = P (E r )+P (E b )+P (E v ) 6

7 b) Sia F = {le palline estratte hanno colore diverso} Allora P (F ) = (5 1)( 6 1)( 8 1) c) Nel caso di estrazione con reimbussolamento, vale che: P (E r ) = 5 19 P (E b ) = 6 19 mentre P (F ) =! Es 8: Siano E = {A estrae la prima pallina rossa} P (E v ) = 8 19 ( 19 ) = P (E) = F n = {la prima pallina rossa estratta è la n-esima}, per n = 1, 2,, 8 Si osservi che per n > 8 l evento F n non accade mai, poichè le palline nere nell urna sono 7 Si osservi inoltre che poichè A gioca per primo, l estrazioni di A sono quelle con n dispari, ovvero E = F 1 + F + F 5 + F 7 Dovendo tenere conto dell ordine di estrazione, vale che ( 7 ( P (F n ) = n 1) (n 1)! ) 1 ( 10 ), n = 1,, 8 = P (E) = n n! k=0 19 ( 7 ( 2k) (2k)! ) 1 ( 10 2k+1) (2k + 1)! Es 9: Il numero di casi favorevoli è n (n + m 1)!, dove n corrisponde al numero di modi per scegliere quale delle n ragazze sarà nella posizione i-esima, e (n + m 1)! al numero di ordinamenti nelle restanti (n + m 1) n (n + m 1)! postazioni Si ottiene quindi una probabilità pari a (n + m)! Es 10: ( m 10) sono i modi con cui si possono scegliere m palle su 10 da collocare nella prima scatola Le restanti 10 m palle vengono poi collocate nelle altre 4( scatole in 4 10 m modi possibili Si ottiene quindi una m ) m probabilità pari a 5 10 Equivalentemente, si può pensare ad un urna con 5 palline distinte da cui vengono eseguite 10 estrazioni con reibussolamento La probabilità di estrarre m volte una data pallina è quindi pari a ) ( 1 ) m ( )10 m ( m 10 Es 11: a) Siano E = {i dadi hanno valore diverso} F = {è uscito almeno un 6} E facile calcolare ( casi fav/ casi poss): P (E) = 5 6 ottiene quindi P (F E) = P (EF ) P (E) = 1 b) Siano A = {il primo dado ha valore 6} e P (EF ) = 10 6 Si 7

8 B m = {la somma dei numeri usciti è m}, per m {2,, 12} Per la formula di Bayes, vale che P (A B m ) = P (Bm A)P (A) P (B m) Se m 6, allora P (B m A) = 0 e quindi anche P (A B m ) = 0 Se m > 6, P (B m A) = 1 6 mentre P (B m) = 12 m+1 6 Poichè P (A) = 1 6, si ottiene che per m > 6, P (A B m ) = 1 12 m+1 Es 12: Dalla formula di Bayes, si ottiene che P (E 1 E X = ) = P (X= E 1E )P (E 1 E ) P (X=) a) Per estrazioni con reibussolamento gli eventi E i sono tutti indipendenti e vale che P (E i ) = 2, per ogni i = 1,, 4 Quindi P (E 1 E ) = P (E 1 )P (E ) = 4 9 e P (X = ) = ( 4 Sempre per l indipendenza tra gli eventi, si ha ) ( 2 ) 1 = 2 81 P (X = E 1 E ) = P (E 2 Ẽ 4 ) + P (Ẽ2E 4 ) = 4 9 da cui si ottiene (tramite la formula di Bayes) che P (E 1 E X = ) = 1 2 b) Per estrazioni senza reibussolamento gli eventi E i non sono più indipendenti, ma continua a valere che P (E i ) = 2, per ogni i = 1,, 4 Infatti si calcola P (E 1 E ) = P (E E 1 )P (E 1 ) = , con P (E E 1 ) = 7 11 P (X = ) = (8 )( 4 1) (dalla formula casi fav/ casi poss) ( 12 4 ) P (X = E 1 E ) = P (E 2 Ẽ 4 E 1 E ) + P (Ẽ2E 4 E 1 E ) = 8 15, dove si è usato che P (Ẽ2E 4 E 1 E ) = P (E 2 Ẽ 4 E 1 E ) = P (E 1E 2 E Ẽ 4 ) P (E 1 E ) = 4 5 Infine (dalla formula di Bayes sopra) si ottiene P (E 1 E X = ) = 1 2 Es 1: Siano E A = {la pallina estratta da A è bianca} E B = {la pallina estratta da B è bianca} E C = {la pallina estratta da C è bianca} cosicchè X = E A + E B + E C Per la formula di Bayes P (E A X = 2) = P (X=2 E A )P (E A ) P (X=2) Poichè P (E A ) = 1, P (E B) = 2, P (E C) = 1 4, ed usando l indipendenza degli eventi E A, E B, E C, si ricava P (X = 2) = P (E A E B Ẽ C ) + P (E A Ẽ B E C ) + P (ẼAE B E C ) = 7 108, P (X = 2 E A ) = P (E B Ẽ C ) + P (ẼBE C ) = 7 12 da cui infine (formula di Bayes) otteniamo che P (E A X = 2) = 21 7 Es 14: Siano E = {la prima macchina è difettosa} F = {la seconda macchina è difettosa} 8

9 a) P (E) = 5 20 = b) P (F Ẽ) = 19 Es 15: Siano E A = {il passeggero scelto vola con A} E B = {il passeggero scelto vola con B} E C = {il passeggero scelto vola con C} F = {il passeggero scelto è su un volo in ritardo} da cui possiamo esprimere i dati dicendo che P (E A ) = 5, P (E B) = 1 4, P (E C ) = 20, P (F E A) = 0, 15, P (F E B ) = 0, 1, P (F E c ) = 0, 05 a) Poichè E A + E B + E C = 1, P (F ) = P (F E A )P (E A ) + P (F E B )P (E B ) + P (F E C )P (E C ) = b) P (E B F ) = P (F E B)P (E B ) P (F ) = Es 16: Ricordiamo che X è una variabile aleatoria a valori in I(X) = 1,, 6, tale che P (X = k) = 1 6 per ogni k I(X) a) Poichè le carte sono scelte con reinserimento, ad ogni scelta vi è una probabilità pari a 4 52 = 1 1 di pescare un asso, e pari a 12 1 di non pescarlo Vale allora che P (E X = k) = 1 P (Ẽ X = k) = 1 ( 12 k 1), k I(X) b) Condizionando sul numero di carte pescate, si ottiene P (E) = 6 k=1 P (E X = k)p (X = k) = 1 6 = (1 ( 12 1) 7) c) Dalla formula di Bayes, P (X E) = 6 kp (X = k E) = k=1 6 k=1 6 k=1 (1 ( 12 1) k) = P (E X = k)p (X = k) k P (E) Inserendo i risultati dei punti precedenti, si ottiene la probabilità richiesta Es 17: Siano E = {il primo studente scelto porta gli occhiali} F = {il primo studente scelto è un alunna} M = F = {il primo studente scelto è un alunno} a) Si vuole calcolare P (E) sapendo che P (E M) = 1/2, P (E F ) = 2/5, P (F ) = 2/5, P (M) = /5 Condizionando sugli eventi F ed M, vale che P (E) = P (E F )P (F ) + P (E M)P (M) = 2 50 P (E F )P (F ) b) Usando la formula di Bayes, P (F E) = P (E) = 8 2 c) Dai dati iniziali si calcola che il numero di alunni con gli occhiali è di 92, su un totale di 200 La probabilità richiesta è pari alla proporzione di alunni 9

10 con gli occhiali dopo la prima scelta, ovvero, sapendo che il primo alunno 92 scelto non porta gli occhiali, è di 199 Es 18: a) P (E i ) = 4 (9 2)2! per ogni i = 1, 2, La formula si ottiene ( 10 )! = 2 5 come rapporto tra il numero di casi favorevoli, ovvero le scelte ordinate di elementi su 10 con una pallina bianca all i-esimo posto, e il numero di casi possibili, ovvero le scelte ordinate di elementi su 10 b) Per prima cosa calcoliamo P (E 1 E 2 ) = (4 2)8 ( = 1 10 )! 15, che si ottiene come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili Quindi, per la formula delle probabilità condizionate ed usando i risultati precedenti, si ha P (E 2 E 1 ) = P (E 1E 2 ) P (E 1 ) = 1 6, ed analogamente P (E E 2 ) = P (E 2 E 1 ) = 1 6 Ne deduciamo che gli eventi non sono fra loro stocasticamente indipendenti, poichè P (E i E j ) P (E i ) 10

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