Vibrazioni Meccaniche

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1 Vibrazioni Meccaniche A.A Esempi di scrittura dell equazione di moto per sistemi a 2 gdl Turbina Una turbina pone in rotazione un generatore elettrico per mezzo della trasmissione schematizzata in figura. L albero in uscita dalla turbina è in acciaio G = 6 MPa), di Figura : Turbina diametro d =. m e di lunghezza l =.5 m. Al termine del primo albero è calettata una ruota dentata con z = 2 denti che ingrana con una seconda ruota di z 2 = 3 denti, introducendo il rapporto di trasmissione τ = 2/3 fra gli alberi. Le due ruote hanno rispettivamente momenti d inerzia J = 5 kgm 2 e J 2 = kgm 2. Fra la seconda ruota dentata ed il generatore è posto un albero in acciaio di diametro d 2 =.3 m e di lunghezza l 2 = m. Il momento d inerzia della turbina è J t = 3 kgm 2 mentre quello del generatore è J g = 2 kgm 2. Si chiede di determinare le pulsazioni proprie del sistema ed i modi principali di vibrare. Il problema in esame presenta due cedevolezze k e k 2 rigidezze torsionali degli alberi), ha 3 gradi di libertà rappresentati dalle rotazioni della turbina, ruote dentate e generatore. L esercizio può essere ricondotto allo schema rappresentato in figura 2. Infatti tutti gli elementi sul secondo asse inerzie e rigidezze) possono essere trasportati considerando la rotazione della prima ruota dentata. Le ruote dentate sono rigidamente collegate fra loro, l inerzia della seconda ruota può essere trasportata sulla prima ruota introducendo il momento d inerzia J 2 = J 2 τ 2. L effetto della rigidezza del secondo albero sulla prima ruota dentata è equivalente ad una rigidezza k 2 = k 2 τ 2, mentre l inerzia del generatore proiettata sulla prima ruota è J g = J g τ 2.

2 Figura 2: Modello della Turbina L esercizio si riconduce allora a tre dischi di momento d inerzia noto, collegati fra di loro da due rigidezze torsionali. Le rigidezze torsionali degli alberi sono k = GJ p J p = πd4 l 32 k =.78 6 Nm/rad k 2 = GJ p 2 J p2 = πd4 2 l 2 32 k 2 = Nm/rad Risulta: J a = J 3 kgm 2 J b = J + J kgm 2 J c = J g 889 kgm 2 k a = k.78 6 Nm/rad k b = k Nm/rad Le equazioni di moto possono essere ottenute ricorrendo al metodo energetico. L energia cinetica risulta T = 2 J θ a J θ b J θ c 3 2 mentre l energia potenziale è V = 2 k aθ θ 2 ) k bθ 2 θ 3 ) 2. Applicando Lagrange per le tre coordinate si ottiene il sistema di equazioni differenziali J a θ + k a θ θ 2 ) = J b θ2 + k a θ 2 θ ) + k b θ 2 θ 3 ) =. J c θ3 + k b θ 3 θ 2 ) = Considerando il vettore delle coordinate libere θ x = θ 2 θ 3 il sistema precedente è equivalente alla forma matriciale in cui M = J a J b J c Mẍ + Kx = K = k a k a k a k a + k b k b k b k b Le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare vengono calcolati determinando le condizioni in cui tutte le coordinate libere oscillano alla medesima pulsazione ω. Si deve risolvere il sistema lineare omogeneo ω 2 M + K ) x = ). 2

3 in cui il vettore x rappresenta le ampiezze di oscillazione delle coordinate libere. Tale sistema ammette soluzione diversa da quella banale solo il determinante della matrice dei coefficienti è nullo. Tale posizione permette il calcolo delle pulsazioni proprie del sistema. Risulta det ω 2 M + K ) = det da cui si ottiene il polinomio caratteristico ω 2 J a + k a k a k a ω 2 J b + k a + k b k b k b ω 2 J c + k b = ω 6 J a J b J c J a K b J c + J a J b K b + K a J b J c + J a K a J c ) ω 4 + K a K b J b + J a + J c ) ω 2 = che ha soluzioni ω =, rappresentante il moto rigido del sistema e ω,2 2 = Kb + K a + K b + K ) a ± Kb + K a + K b + K ) 2 a 4 J b + J a + J c 2 J b J c J a 2 J b J c J a J b J a J c Introducendo i valori numerici si ottiene M = K = ω = 3.96 rad/s ω 2 = 26 rad/s Per la determinazione dei modi principali di vibrare si considerano le prime due equazioni del sistema. { ω 2 J a + k a )θ k a θ 2 = k b θ 2 + ω 2 J c + k b )θ 3 = Per il primo modo principale di vibrare, sostituendo ad ω ω si ottiene il vettore modale.5973 x ) =.957 mentre per il secondo modo si ottiene x 2) = La figura 3 rappresenta i modi principali di vibrare del sistema. Figura 3: Modi principali di vibrare della turbina 3

4 Figura 4: Puleggia con masse appese 2 Puleggia con masse appese In figura 4 è rappresentato un sistema costituito da una puleggia incernierata in o che sostiene due masse per mezzo di due funi di rigidezza k e 2k. Si chiede di determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare. Siano m = kg, J = 2.4 kgm 2, R =.25 m e k = N/m. L esercizio è facilmente risolvibile utilizzando l approccio energetico. In questo caso le forze costanti agenti nelle condizioni di equilibrio statico non compaiono nell equazione di moto, per cui si prendono in considerazione le tre coordinate libere indicate in figura 4 a partire dalla posizione di equilibrio statico. L energia cinetica è espressa dalla relazione T = 2 J θ mẋ2 + 2 mẋ2 2 mentre l energia potenziale degli elementi elastici è V = 2 kx Rθ) kx 2 + Rθ) 2. Indicando con L ) = T V ed applicando Lagrange si ottengono i termini x d L dt x = mẍ L x = kx Rθ) ) x 2 d L dt x 2 = mẍ 2 L x 2 = 2kx 2 + Rθ) ) θ d L dt θ = J θ L θ = kx Rθ) R) + 2kx 2 + Rθ)R che definiscono il sistema di equazioni differenziali mẍ + kx Rθ) = mẍ 2 + 2kx 2 + Rθ) = J θ + kx Rθ) R) + 2kx 2 + Rθ)R Considerando il vettore delle coordinate libere x x = x 2 θ il sistema precedente è equivalente alla forma matriciale Mẍ + Kx = 4

5 in cui M = m m J K = k kr 2k 2kR kr 2kR 3kR 2 Le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare vengono calcolati determinando le condizioni in cui tutte le coordinate libere oscillano alla medesima pulsazione ω. Si deve risolvere il sistema lineare omogeneo ω 2 M + K ) x = 2). in cui il vettore x rappresenta le ampiezze di oscillazione delle coordinate libere. Tale sistema ammette soluzione diversa da quella banale solo il determinante della matrice dei coefficienti è nullo. Tale posizione permette il calcolo delle pulsazioni proprie del sistema. Risulta da cui si ottiene det ω 2 M + K ) = det ω 2 m + k kr ω 2 m + 2k 2kR kr 2kR ω 2 J + 3kR 2 ω 6 m 2 J + 3 m 2 kr mkj ) ω k 2 J 4 mk 2 R 2) ω 2 =. = Una soluzione è ω = rappresentante il moto rigido del sistema nessuna deformazione degli elementi elastici), mentre le altre sono le soluzioni della biquadratica in ω ω 4 m 2 J 3mk mr 2 + J ) ω 2 + 2k 2 J + 2 mr 2) = ω,2 2 = 3mk mr 2 + J) ± 9 m 2 R mr 2 J + J 2) 2m 2. J Introducendo i valori numerici si ottengono le matrici 25 M = K = ω 2 M + K ) x = ω2 +,, 25, ω 2 + 2, 5 25, 5, 2.4ω x = 3) da cui si ottiene facilmente, ad esempio sviluppando il determinante della matrice lungo la prima colonna, il polinomio in ω 2 det ω 2 M + K ) = 2.4ω ω ω 2 = che ha soluzioni ω =, rappresentante il moto rigido, e ω = 32 rad/s ω 2 = 45.3 rad/s. Per la determinazione dei modi principali di vibrare si dovranno introdurre nel sistema 3 le pulsazioni proprie e determinare in corrispondenza di ognuna di esse i vettori modali. Utilizzando le prime due equazioni del sistema si ottiene: I modo II modo pulsazione sistema ridotto vettore modale ω = 32 rad/s ω = 45.3 rad/s { 24 + )x 25θ = )x 2 + 5θ = { )x 25θ = )x 2 + 5θ = La figura 5 mostra le deformate dei due modi principali di vibrare. x ) = x 2) =

6 Figura 5: Puleggia con masse appese 3 Pompa centrifuga su fondazione La pompa centrifuga rappresentata in figura ha una massa sbilanciata m =.25 kg ruotante ad una velocità Ω = 2 giri/ 2 rad/s con eccentricità e =.5 m. La massa della pompa è m = 4 kg. La pompa è vincolata ad una fondazione di massa Figura 6: Pompa centrifuga su fondazione m 2 = kg per mezzo di elementi elastici che complessivamente equivalgono ad una rigidezza k = 9 kn/m. La fondazione appoggia sul terreno che ha rigidezza equivalente k 2 = 35 kn/m. Si richiede di determinare l ampiezza di oscillazione di regime della fondazione e della pompa centrifuga. La massa rotante sbilanciata della pompa centrifuga è equivalente ad una forzante esterna applicata alla pompa di modulo F = meω 2 e di pulsazione Ω. Considerando solo gli spostamenti verticali della pompa e della fondazione, il problema è equivalente allo schema mostrato in figura 7. L equazione di moto può essere determinata scrivendo gli equilibri dinamici alla traslazione verticale delle due masse, si ottiene { m ẍ + k x x 2 ) = F sin Ωt. m 2 ẍ 2 + k x 2 x ) + k 2 x 2 = 6

7 Figura 7: Modello pompa centrifuga su fondazione Considerando il vettore delle coordinate libere { } x x = x 2 il sistema precedente è equivalente alla forma matriciale { } F Mẍ + Kx = sin Ωt in cui [ ] m M = m 2 [ ] k k K =. k k + k 2 Nelle condizioni di regime le coordinate del sistema oscilleranno con la pulsazione Ω della forzante { } x xt) = = x sin Ωt x 2 dove le ampiezze di oscillazione di regime x e x 2 sono determinabili risolvendo il sistema lineare Ω 2 M + K ) { } F x =. Introducendo i valori numerici si ottiene [ ] [ 4 M = K = ]. Le ampiezze di oscillazione di regime sono allora le soluzioni del sistema [ ] { } { 4Ω x F 9 Ω 2 = + 44 x 2 } il quale, introducendo Ω = 2, ha soluzioni x =. m x 2 =.3 m 4 Risposta libera Il sistema rappresentato in figura 8 ha 2 coordinate libere. Considerando il vettore delle coordinate { } x x =, x 2 7

8 m = kg e k = N/m, determinare la risposta libera per le condizioni iniziali { } { }. x t = ẋ. t =. La risposta libera xt) Figura 8: Esempio per il calcolo della risposta libera xt) = 2 i= [ ] A i x i) sin ω i t + B i x i) cos ω i t, di un sistema a più gradi di libertà, è una combinazione lineare dei modi principali di vibrare, in cui le costanti A i e B i sono da determinarsi in base alle condizioni iniziali. Si devono allora calcolare i modi principali di vibrare. Si ricorda che per un modo principale di vibrare tutte le coordinate oscillano con la stessa pulsazione, con delle ampiezze il cui rapporto è definito dal vettore modale. L equazione di moto del sistema è facilmente determinabile con il metodo energetico. L energia cinetica è T = 2 mẋ2 + 2 mẋ2 2, mentre l energia potenziale associata agli elementi elastici è V = 2 kx kx x 2 ) kx 2 2. Indicando con L = T V ed applicando l equazione di Lagrange lungo le tre coordinate ) d L L = Q xk dt x k x k x x 2 d dt d dt ) L x ) L x 2 = mẍ L x = kx + kx x 2 ) = mẍ 2 L x 2 = kx x 2 ) ) + kx 2 si ottiene il sistema di equazioni differenziali { mẍ + kx + kx x 2 ) = mẍ 2 + kx 2 kx x 2 ) = equivalente alla forma matriciale in cui M = [ m m Mẍ + Kx = ] [ 2k k K = k 2k ]. 8

9 Le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare vengono calcolati determinando le condizioni in cui tutte le coordinate libere oscillano alla medesima pulsazione ω. Si deve risolvere il sistema lineare omogeneo ω 2 M + K ) [ ] { } ω x = 2 m + 2k k x k ω 2 = 4) m + 2k in cui il vettore x rappresenta le ampiezze di oscillazione delle coordinate libere. Tale sistema ammette soluzione diversa da quella banale solo il determinante della matrice dei coefficienti è nullo. Tale posizione permette il calcolo delle pulsazioni proprie del sistema. Si ottiene det [ ω 2 M + K ] [ ] ω = det 2 m + 2k k k ω 2 =. m + 2k Sviluppando il determinante lungo la prima riga si ottiene il polinomio ω 2 m + 2k) 2 k 2 = ω 4 m 2 4 ω 2 mk + 3 k 2 = x 2 le cui soluzioni sono ω 2 = k m ω 2 2 = 3 k m. Per la determinazione dei modi principali di vibrare si dovranno introdurre nel sistema 4 le pulsazioni proprie, e determinare in corrispondenza di ognuna di esse i vettori modali. Utilizzando la prima equazione del sistema si ottiene: pulsazione sistema ridotto vettore modale { } I modo ω 2 = k m kx kx 2 = x ) = II modo ω 2 = 3 k m kx kx 2 = x 2) = { La figura 9 mostra le deformate dei due modi principali di vibrare. } a) I modo b) II mdo Figura 9: Primo e secondo modo di vibrare Allo stesso risultato si poteva giungere introducendo fin dall inizio i valori numerici. I valori numerici delle pulsazioni proprie risultano allora ω = rad/s ω 2 = 7.32 rad/s. Per definire completamente la risposta libera del sistema si devono determinare le costanti della combinazione lineare dei modi principali di vibrare. Ricordando che ẋt) = 2 i= imponendo le condizioni iniziali date si ottiene [ ] A i ω i x i) cos ω i t B i ω i x i) sin ω i t, x) = B x ) + B 2 x 2) = x t 9

10 ẋ) = A ω x ) + A 2 ω 2 x 2) = ẋ t che portano ad un sistema lineare nelle quattro incognite. In questo caso la soluzione del sistema risulta facilitato, in quanto le 2 equazioni derivanti della condizione iniziale sullo spostamento non sono accoppiate con le 2 equazioni derivanti dalla condizione iniziale sulla velocità. Dalla condizione iniziale sulla posizione risulta B { } + B 2 { } = {.. } { B + B 2 =. B B 2 =. che ha soluzioni B =.5 B 2 =. Dalla condizione iniziale sulla velocità risulta { } { } { } A ω + A 2 ω 2 = { A ω + A 2 ω 2 = A ω A 2 ω 2 = che ha soluzioni A = A 2 =. Tale risultato mette in luce che le condizioni iniziali imposte eccitano solamente il primo modo di vibrare. Infatti le condizioni iniziale poste sulle coordinate hanno ampiezze i cui rapporti coincidono con il rapporto fra le ampiezze del vettore modale del primo modo. La risposta libera per le condizioni iniziali imposte è allora xt) =.5x ) cos ω t.