Dalla meccanica alla fisica moderna

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1 Termodinamica e onde WALKER Dalla meccanica alla fisica moderna COMPETENZE ASSE SCIENTIFICO

2 WALKER Dalla meccanica alla fisica moderna Termodinamica e onde EAN xbcg-gyu7-syih Authorized translation from the English language edition, entitled Physics, 4th Edition by James Walker, published by Pearson Education, Inc, publishing as Addison-Wesley, Copyright 010 by Pearson Education, Inc. or its affiliates. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc. Italian language edition published by Pearson Italia, Milano-Torino. Copyright 01 Adattamento e cura del testo Revisione e cura dell apparato didattico Responsabile editoriale Coordinamento redazionale Redazione Vincenzo Barone Carlo Villavecchia Valeria Cappa Valeria Castellar OTTO srl, Ricerca iconografica Progettazione grafica, impaginazione e adattamento dei disegni da edizione originale Coordinamento tecnico grafico e controllo qualità Copertina Immagine di copertina Simona Picco EsseGi, Torino Franco Barbero Roberta Levi Getty Images Referenze iconografiche: Modulo 3 Archivio iconografico Pearson Italia; Corbis Corporation/B. Omori; Fotolia/Caprasilana, Niid; istockphoto LP/DenGuy, O. Dusegård, J. Steidl; NASA Archives. Modulo 4 Archivio iconografico Pearson Italia; Corbis Corporation/ Aurora Open/ S. Davey; Dreamstime.com/ I. Mikhaylov, N. Spiers; Fotolia/ Byheaven; Laura Ronchi/ Getty Images/ Stone/ Art Walfe; NASA Archives; SIS Images/ Photo Researchers. Per l opera di Paul Signac by SIAE Tutti i diritti riservati 01, Pearson Italia spa, Milano-Torino Per i passi antologici, per le citazioni, per le riproduzioni grafiche, cartografiche e fotografiche appartenenti alla proprietà di terzi, inseriti in quest opera, l editore è a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire nonché per eventuali non volute omissioni e/o errori di attribuzione nei riferimenti. È vietata la riproduzione, anche parziale o ad uso interno didattico, con qualsiasi mezzo, non autorizzata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge aprile 1941 n Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, corso di Porta Romana n. 108, 01 Milano, segreteria@aidro.org e sito web Stampato per conto della casa editrice presso: STIAV, Firenze, Italia Prima edizione: 01 Ristampa Anno

3 MODULO 3 Termodinamica GUIDA AL MODULO PER COMPETENZE 1 Osservare e identificare fenomeni CAP 8 La temperatura e il comportamento termico dei gas. Modello di gas ideale come approssimazione del comportamento dei gas reali. Relazioni fra pressione, temperatura e volume di un gas ideale. Interpretazione dei fenomeni macroscopici mediante la teoria cinetica dei gas. Relazione fra energia cinetica e temperatura in un gas ideale CAP 9 Le leggi fondamentali che governano i processi termodinamici: principi zero, primo, secondo e terzo della termodinamica. Trasformazioni termodinamiche reversibili e irreversibili. Trasformazioni isòbare, isòcore, isoterme e adiabatiche. Macchine termiche e loro rendimento. Macchine frigorifere. Relazione fra l entropia e la misura del disordine di un sistema Formulare ipotesi esplicative utilizzando modelli, analogie, leggi CAP 8 Temperatura e scale termometriche. Equazione di stato dei gas ideali. Leggi dei gas ideali: legge di Boyle, leggi di Gay-Lussac. Teoria cinetica dei gas. Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas. Energia cinetica ed energia interna CAP 9 Il principio zero della termodinamica. Il primo principio della termodinamica. Espressioni del lavoro nelle trasformazioni termodinamiche. Calori specifici a pressione e a volume costante. Il secondo principio della termodinamica: equivalenza dei postulati di Clausius e di Kelvin. Teorema e ciclo di Carnot. Variazione di entropia di un sistema. Formula di Boltzman. Il terzo principio della termodinamica

4 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica CAPITOLO 9 Le leggi della termodinamica 3 Formalizzare problemi di fisica e applicare gli strumenti matematici e disciplinari rilevanti per la loro risoluzione Esercizi, problemi, rifletti sui concetti nella teoria Test, quesiti, problemi guidati e proposti nella sezione finale di esercitazione 5 Comprendere e valutare le scelte scientifiche e tecnologiche che interessano la società Fisica intorno a noi Fisica e astronomia A bit of physics Il sudore Le atmosfere dei pianeti Atomic processes 4 Fare esperienza e rendere ragione del significato dei vari aspetti del metodo sperimentale LAB La costruzione e la taratura di un termometro LAB La dilatazione termica di un gas: la prima legge di Gay-Lussac LAB L equilibrio termico LAB Equivalenza tra calore e lavoro: il mulinello di Joule LAB Il calore specifico di diverse sostanze LAB Il calore latente di fusione del ghiaccio Fisica intorno a noi Fisica e chimica A bit of physics Qualità dell energia e cogenerazione Entalpia e processi chimici The second law of thermodynamics

5 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica L uomo regola la propria temperatura corporea sudando. L evaporazione delle goccioline di sudore è facilmente interpretabile alla luce della teoria cinetica dei gas, che stabilisce una relazione tra la temperatura e la velocità media delle molecole. In ogni istante, le molecole d acqua più veloci lasciano la pelle dell atleta e si disperdono nell aria, trasferendo calore dal suo corpo all ambiente circostante. In questo capitolo studieremo i gas e la teoria cinetica che descrive microscopicamente il loro comportamento termico. Lo stato gassoso è lo stato di aggregazione della materia più facile da descrivere fisicamente. In questo capitolo mostreremo che un gas ideale, cioè un gas le cui molecole non interagiscono tra loro, ha un comportamento termico governato da alcune semplici leggi che mettono in relazione la pressione, il volume e la temperatura. A livello microscopico, i fenomeni gassosi trovano un elegante spiegazione nella teoria cinetica dei gas, che riconduce tali fenomeni al moto molecolare. In particolare, la teoria cinetica stabilisce che la pressione di un gas è proporzionale all energia cinetica media delle sue molecole e questa è direttamente legata alla temperatura. CONOSCENZE Conoscere il comportamento termico dei gas e il concetto di zero assoluto Utilizzare il modello del gas ideale come approssimazione del comportamento dei gas reali Conoscere l equazione di stato dei gas ideali e saper interpretare le relazioni tra le grandezze considerate nell equazione Conoscere le leggi che esprimono le relazioni fra la pressione, la temperatura e il volume di un gas ideale Individuare le relazioni tra grandezze macroscopiche e microscopiche alla luce della teoria cinetica dei gas ABILITÀ Applicare le leggi dei gas ideali e l equazione di stato per risolvere semplici problemi su gas reali Calcolare l energia cinetica media e la velocità media delle molecole di gas mono e biatomiche

6 1. La temperatura e il comportamento termico dei gas 1. La temperatura e il comportamento termico dei gas 39 Tutti abbiamo delle sensazioni soggettive di ciò che è caldo e di ciò che è freddo. In fisica, come sappiamo, si introduce una grandezza misurabile, la temperatura, e si associano alti valori di questa grandezza agli oggetti caldi e bassi valori agli oggetti freddi. Per misurare la temperatura si usano strumenti chiamati termometri, il cui funzionamento è basato su alcuni effetti fisici determinati dalla variazione di temperatura, per esempio la dilatazione termica dei corpi. Si fissano poi una temperatura convenzionale di riferimento e un intervallo unitario di temperatura. Ciò equivale a scegliere una scala termometrica. La scala termometrica più familiare è la scala Celsius in cui si assegna il valore di 0 gradi Celsius (0 C) alla temperatura del ghiaccio fondente e il valore di 100 gradi Celsius (100 C) alla temperatura dell acqua in ebollizione. Un grado Celsius corrisponde quindi a un centesimo dell intervallo tra le temperature del ghiaccio fondente e dell acqua bollente. La scala termometrica comunemente usata in fisica è la scala Kelvin, basata sull esistenza dello zero assoluto, cioè di una temperatura al di sotto della quale non è possibile raffreddare un oggetto. Lo zero della scala Kelvin, che indichiamo con 0 K, è posto in corrispondenza dello zero assoluto. Le suddivisioni della scala Kelvin sono uguali a quelle della scala Celsius: un grado Celsius è uguale a un kelvin, 1 C 1 K. Nella scala Celsius lo zero assoluto è a 73,15 C, quindi la conversione tra temperatura T ( C) espressa in gradi Celsius e una temperatura T (K) espressa in kelvin è: F Ebollizione 1 dell acqua Congelamento dell acqua Laboratorio 3 online La costruzione e la taratura di un termometro MySocialBook C K Congelamento del ghiaccio secco Ebollizione dell azoto Zero assoluto FIGURA 1 Scale termometriche Un confronto fra le scale termometriche Fahrenheit, Celsius e Kelvin. Per ogni scala sono indicate alcune temperature di particolare interesse fisico Conversione tra la temperatura in gradi Celsius e la temperatura in kelvin T (K) T ( C) 73,15 Le scale termometriche Celsius, Kelvin e Fahrenheit (quest ultima usata nei paesi anglosassoni) sono confrontate nella figura 1. Per verificare l esistenza dello zero assoluto, iniziamo con la seguente osservazione: se un dato volume V d aria, ad esempio l aria contenuta in un pallone, viene raffreddato da 100 C a 0 C, esso diminuisce di circa V/4. Immaginiamo che questo andamento continui ininterrotto: allora nel raffreddamento da 0 C a 100 C il volume si ridurrà ancora di V/4, da 100 C a 00 C di un altro V/4 e infine da 00 C a 300 C di un altro V/4, il che porta il volume ad annullarsi. Ovviamente, non ha senso che il volume sia inferiore a zero, quindi deve esistere una temperatura minima attorno approssimativamente a 300 C. Tale risultato, sebbene grossolano, rappresenta un approssimazione corretta. Un esperimento più preciso può essere eseguito con uno strumento conosciuto come termometro a gas a volume costante, mostrato nella figura. Il funzionamento di questo strumento consiste nel regolare il livello del mercurio nel ramo destro del tubo, in modo tale che nel ramo sinistro si possa portare il mercurio a un livello prestabilito. Con il mercurio così livellato, il gas occupa un volume costante e la sua pressione è: p gas p at rgh dove r è la densità del mercurio e p at è la pressione atmosferica. Se la temperatura del gas varia, il livello del mercurio nel ramo di destra può essere riaggiustato come descritto. La pressione del gas può essere determinata nuovamente e il processo può essere ripetuto. Il volume del gas rimane costante Gas fino a che il mercurio è mantenuto al livello di riferimento. Livello di riferimento Mercurio FIGURA Termometro a gas a volume costante Regolando l altezza del mercurio nel ramo di destra del tubo, possiamo portare il mercurio del ramo di sinistra a un livello di riferimento. Ciò assicura che il gas occupa un volume costante. h

7 330 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica FIGURA 3 Determinazione dello zero assoluto Gas differenti hanno differenti pressioni a ogni data temperatura. Tuttavia, quando la pressione tende a zero, essi tendono tutti alla stessa temperatura, precisamente alla temperatura di 73,15 C. Questa è la posizione dello zero assoluto. Il risultato di una serie di misure effettuate nel modo descritto è mostrato nella figura 3. Osserviamo che, man mano che il gas viene raffreddato, la sua pressione diminuisce. La diminuzione di pressione ha un andamento approssimativamente lineare. A temperature abbastanza basse il gas può liquefare, e in tal caso il suo comportamento cambia, ma se estrapoliamo la retta ottenuta prima della liquefazione, vediamo che essa raggiunge la pressione zero (la più bassa pressione possibile) a 73,15 C. Va sottolineato che questo risultato è indipendente dal tipo di gas che utilizziamo nel termometro. Ad esempio i gas 1, e 3 hanno pressioni differenti l uno dall altro, ma se estrapoliamo le rette corrispondenti fino alla pressione zero, tutti e tre i gas raggiungono la medesima temperatura. Vedremo in seguito che questo comportamento è descritto da una delle leggi dei gas ideali (la seconda legge di Gay-Lussac). Lo zero assoluto 73,15 0 è la temperatura alla quale la pressione di qualsiasi gas tende a zero. p 100 Gas 1 Gas Gas 3 T C 1. PROBLEMA La variazione della pressione nel termometro a gas In un termometro a gas a volume costante, un gas ha una pressione di 70,0 kpa a 0,00 C. Supponendo un comportamento ideale, come quello dei gas in figura 3, calcola la pressione del gas a 110 C. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La figura mostra la pressione in funzione della temperatura. Osserviamo che a T 0,00 C la pressione è 70,0 kpa e che a T 73 C la pressione estrapolata è zero. Nel grafico è indicato anche il punto corrispondente a 110 C. 70,0 kpa p T STRATEGIA Supponiamo che la pressione segua un andamento lineare come quello mostrato in figura 3. Per determinare la pressione a T 110 C semplicemente prolunghiamo la linea retta. Sappiamo infatti che la pressione aumenta da 0 a 70,0 kpa quando la temperatura aumenta da 73 C a 0,00 C. Determiniamo quindi il coefficiente angolare della retta e usiamolo per calcolare il valore della pressione a T 110 C. SOLUZIONE Determiniamo il coefficiente angolare della retta: Scriviamo l equazione della retta: Calcoliamo la pressione a T 110 C: p(t) at p(0 C) (0,56 kpa/ C)T 70,0 kpa p(110 C) (0,56 kpa/ C)(110 C) 70,0 kpa 98, kpa OSSERVAZIONI Per entrambi i valori di temperatura considerati la pressione del gas è inferiore a un atmosfera (1 atm 101 kpa). PROVA TU A quale temperatura la pressione del gas vale 1 atm? a = p(0 C) - p( 73 C) 0 C - ( 73 C) (0,93 kpa/ C)(378 C) = 111 kpa = 70,0 kpa 73 C = 0,56 kpa/ C [11 C]

8 . Gas ideali 331. Gas ideali Nel paragrafo precedente abbiamo visto che la pressione di un gas, mantenuto a volume costante, diminuisce linearmente con la diminuzione della temperatura, per un ampio intervallo di temperature. Tuttavia, a basse temperature, i gas reali si trasformano in liquidi e poi in solidi e il loro comportamento cambia. Questi cambiamenti sono dovuti alle interazioni tra le molecole: quanto più deboli sono queste interazioni, tanto maggiore è l intervallo di temperature nel quale permane il comportamento lineare del gas. Consideriamo un modello semplificato di gas, il gas ideale, nel quale l interazione tra le molecole è talmente piccola da poter essere trascurata. Sebbene il gas ideale non esista realmente in natura, il suo comportamento è in genere una buona approssimazione di quello di un gas reale. Studiando il semplice caso ideale, possiamo acquisire una buona conoscenza sul funzionamento di un gas reale. Questo tipo di idealizzazione è analogo a quello già utilizzato nello studio della meccanica, dove, ad esempio, abbiamo spesso considerato una superficie priva di attrito, mentre le superfici reali hanno sempre un certo attrito, anche se talvolta molto piccolo. Altre volte abbiamo immaginato che le molle obbedissero esattamente alla legge di Hooke, pur sapendo che le molle reali mostrano sempre qualche piccola deviazione. I gas ideali giocano un ruolo analogo nello studio della termodinamica. Equazione di stato dei gas ideali Possiamo descrivere il modo in cui la pressione p di un gas ideale dipende dalla temperatura T, dal numero di molecole N e dal volume V per mezzo di alcune semplici osservazioni sperimentali. Immaginiamo di mantenere il numero di molecole e il volume del gas costanti, come avviene nel termometro a gas a volume costante mostrato nella figura. Come abbiamo già osservato, la pressione di un gas in queste condizioni varia linearmente con la temperatura. Possiamo allora concludere che: p costante T volume V costante, numero di molecole N costante In questa espressione la costante che moltiplica la temperatura dipende dal numero di molecole contenute nel gas e dal suo volume; la temperatura è misurata nella scala Kelvin. Immaginiamo ora di avere una palla da basket leggermente sgonfia: la palla ha le dimensioni e l aspetto di una palla da basket, ma è un po troppo molle. Per aumentare la pressione dobbiamo pompare più molecole dall atmosfera all interno la palla, come mostrato nella figura 4. Perciò, mentre la temperatura e il volume del gas nella palla rimangono costanti, la sua pressione aumenta all aumentare del numero delle molecole e possiamo scrivere: p costante N volume V costante, temperatura T costante La nostra ultima osservazione riguarda la dipendenza della pressione dal volume. Consideriamo ancora la palla da basket e supponiamo che, invece di gonfiarla pompandovi all interno del gas, ci sediamo sopra di essa, come mostrato nella figura 5. Ciò la deforma un po, riducendone il volume; nello stesso tempo la pressione del gas nella palla aumenta. Perciò, quando il numero delle molecole e la temperatura rimangono costanti, la pressione varia inversamente al volume e possiamo scrivere: costante p numero di molecole N costante, temperatura T costante V Combinando le tre precedenti osservazioni possiamo scrivere la seguente espressione per la pressione di un gas: p = k NT V La pompa spinge un maggior numero di molecole all interno della palla facendo aumentare la pressione. FIGURA 4 Aumentare la pressione aumentando il numero di molecole Possiamo utilizzare una pompa per aumentare il numero di molecole all interno della palla. Ciò fa aumentare la pressione del gas nella palla, gonfiandola. FIGURA 5 Aumentare la pressione diminuendo il volume Sedendoci sulla palla ne riduciamo il volume e aumentiamo la pressione del gas che vi è contenuto.

9 33 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica La costante k che compare nell espressione p knt/v è una costante fondamentale della natura, nota come costante di Boltzmann, così chiamata in onore del fisico austriaco Ludwig Boltzmann ( ): Costante di Boltzmann, k k 1, J/K Nel SI si misura in joule su kelvin (J/K). PROBLEM SOLVING La temperatura nelle leggi dei gas ideali Quando utilizziamo l equazione di stato dei gas ideali, ricordiamo che la temperatura deve essere sempre espressa in kelvin. In generale, una relazione tra le proprietà termiche di una sostanza, come quella che abbiamo ricavato, è chiamata equazione di stato. L equazione p knt/v, detta equazione di stato di un gas ideale, può essere scritta nella forma seguente: Equazione di stato di un gas ideale pv NkT. PROBLEMA Fai un bel respiro I polmoni di una persona possono contenere 6,0 litri (1 litro 10 3 m 3 ) d aria alla temperatura corporea (310 K) e alla pressione atmosferica (101 kpa). a) Sapendo che l aria contiene il 1% di ossigeno, calcola il numero di molecole di ossigeno contenute nei polmoni. b) Se la persona sale sulla cima di una montagna, dove la pressione dell aria è molto minore di 101 kpa, il numero delle molecole nei suoi polmoni aumenta, diminuisce o rimane lo stesso? DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La figura mostra i polmoni della persona, che hanno un volume complessivo V 6,0 litri. Sono indicate inoltre la pressione p 101 kpa e la temperatura T 310 K. STRATEGIA a) Consideriamo l aria contenuta nei polmoni come un gas ideale. Dati il volume, la temperatura e la pressione del gas, possiamo utilizzare l equazione di stato pv NkT per calcolare N, il numero totale di molecole di gas. Infine calcoliamo il numero di molecole di ossigeno, ricordando che questo costituisce il 1% del volume dell aria. b) Applichiamo di nuovo l equazione di stato dei gas ideali, pv NkT, ma considerando un valore di pressione p ridotto. Osserviamo che V e T rimangono costanti, perché sono caratteristici del corpo della persona e quindi non variano con l altitudine. p 101 kpa T 310 K V 6,0 l SOLUZIONE a) Ricaviamo dall equazione di stato il numero di molecole N: Sostituiamo i valori numerici per calcolare il numero di molecole d aria nei polmoni: pv = NkT : N = pv kt 11, Pa16, m 3 N 11, J/K1310 K = 1, Calcoliamo il numero di molecole di ossigeno pari al 1% di N: 0,1N = 0,111, =,9 10 b) Dalla relazione N pv/kt possiamo dedurre che se il volume dei polmoni e la temperatura del corpo rimangono costanti, il numero di molecole N diminuisce linearmente con la pressione. Ad esempio, a un altitudine di 3000 m la pressione è circa il 70% di quella al livello del mare e quindi il numero di molecole di ossigeno nei polmoni è solo il 70% del valore normale. Non c è quindi da stupirsi se quando si cammina in alta montagna manca il fiato! OSSERVAZIONI Il numero di molecole contenute in una coppia di polmoni di normale dimensione è enorme. Per renderci conto di quanto sia grande questo valore, consideriamo che il numero di stelle della Via Lattea è solo dell ordine di PROVA TU Se la persona del problema fa un respiro particolarmente profondo, in modo che i polmoni si riempiano con 1, molecole, qual è il loro volume? [V 6, m 3 6,4 litri]

10 . Gas ideali 333 La mole e il numero di Avogadro L equazione di stato dei gas ideali può anche essere scritta riferendosi alle moli piuttosto che al numero N di molecole. Nel sistema SI la mole (mol) è l unità di quantità di materia ed è definita in relazione al più abbondante isotopo del carbonio, chiamato carbonio-1. La definizione è la seguente: Mole, mol Una mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in 1 g di carbonio-1. L espressione entità elementari fa riferimento sia alle molecole che possono contenere un solo atomo, come il carbonio (C) e l elio (He), sia a quelle che possono contenere più atomi, anche diversi tra loro, come l acqua (H O). Sperimentalmente possiamo dimostrare che gli atomi contenuti in una mole di carbonio-1 sono 6, Questo numero è noto come numero di Avogadro, N A, in onore del fisico e chimico italiano Amedeo Avogadro ( ): Numero di Avogadro, N A N A 6, molecole/mol Nel SI si misura in mol 1. Se n indica il numero di moli di un gas, il numero di molecole corrispondente è: N nn A Sostituendo nell equazione di stato di un gas ideale, si ha: pv nn A kt Il prodotto delle costanti N A e k costituisce la costante universale dei gas R, così definita: Costante universale dei gas, R R N A k (6, molecole/mol)(1, J/K) 8,31 J/(mol K) Nel SI si misura in J/(mol K). L equazione di stato di un gas ideale può dunque essere anche scritta in un nuovo modo, in cui compare la costante universale R: Equazione di stato di un gas ideale pv nrt ESERCIZIO 1 Uno pneumatico di automobile ha un volume di 15,0 dm 3 e contiene aria alla pressione di 156 kpa alla temperatura di 0,00 C. Quante moli di aria contiene lo pneumatico? (Supponi che l aria sia un gas ideale) Dall equazione di stato dei gas ideali ricaviamo il numero di moli n: pv n RT Sostituendo i valori numerici p 156 kpa, V 0,0150 m 3, T 0,00 C 73 K, R 8,31 J/(mol K), otteniamo: n = (1, Pa) (0,0150 m 3 ) [8,31 J/(mol K)](73 K) = 1,03 mol L equazione di stato dei gas ideali fornisce una buona descrizione del comportamento dell aria degli pneumatici delle auto. Quando lo pneumatico si riscalda, cioè la temperatura dell aria aumenta, il volume varia pochissimo, ma la pressione aumenta.

11 334 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica Come abbiamo detto, una mole di qualsiasi sostanza ha precisamente lo stesso numero N A di particelle. Ciò che cambia da una sostanza all altra è la massa di una mole. Ad esempio, una mole di atomi elio ha una massa di 4,0060 g e una mole di atomi di rame ha invece una massa di 63,546 g. In generale, possiamo definire la massa atomica o molecolare M di una sostanza come la massa in grammi di una mole di quella sostanza. Perciò, la massa molecolare dell elio è M 4,0060 g/mol mentre quella del rame è M 63,546 g/mol. La massa molecolare offre un utile collegamento tra il mondo macroscopico, dove misuriamo la massa di una sostanza in grammi, e il mondo microscopico, dove consideriamo il numero delle molecole, che in genere è dell ordine di 10 3 o maggiore. Come abbiamo visto, una massa di rame di 63,546 g contiene effettivamente 6, atomi di rame. Di conseguenza otteniamo la massa m di un singolo atomo di rame, dividendo la massa molecolare per il numero di Avogadro: m = M N A Contare atomi e molecole è davvero troppo complicato, ma il concetto di mole fornisce un metodo per superare questa difficoltà. Una mole di qualunque sostanza contiene lo stesso numero di entità elementari (atomi o molecole), N A 6, Per avere N A molecole di un gas a temperatura e pressione standard, è sufficiente misurare un volume di gas di,4 litri. Analogamente, possiamo ottenere una mole di qualsiasi sostanza, prendendo un peso in grammi che sia uguale al peso atomico di quella sostanza. Perciò, la mole fornisce un utile collegamento tra il mondo degli atomi e delle molecole e il mondo macroscopico dei pesi e dei volumi osservabili. La fotografia mostra come si presenta una mole per quattro diverse sostanze: idrogeno, rame, mercurio e zolfo. Concludiamo ricordando un fondamentale principio formulato da Avogadro: Principio di Avogadro Volumi uguali di gas differenti, nelle medesime condizioni di temperatura e di pressione, contengono lo stesso numero N A di molecole. In particolare, una mole di gas alla temperatura di 0 C e alla pressione di 1 atm occupa un volume pari a,4 litri. ESERCIZIO Utilizzando le masse molecolari che puoi trovare nella Tavola Periodica degli elementi, determina la massa di: a) un atomo di rame; b) una molecola di ossigeno (O ). M Usiamo la formula generale m, dove M è la massa atomica del rame nel N A primo caso, e la massa molecolare dell O (pari al doppio della massa atomica dell ossigeno) nel secondo caso. Otteniamo così: M 63,546 g/mol a) m Cu 1, g/atomo N A 6, atomo/mol M 3,00 g/mol b) m 5, O g/molecola N A 6, molecola/mol 1. RIFLETTI SUI CONCETTI La pressione dell aria Sentendo un po di freddo, alzi il termostato dell impianto di riscaldamento di casa e dopo un po di tempo l aria è più calda. Supponendo che l ambiente in cui ti trovi sia ben sigillato, cioè non ci siano spifferi, la pressione dell aria, rispetto a quella che c era prima di riscaldare la stanza, risulta: A maggiore B minore C uguale RAGIONAMENTO E DISCUSSIONE Supponiamo che il numero di molecole e il volume occupato da esse siano approssimativamente costanti. Perciò, aumentando la temperatura T e mantenendo N e V costanti, in base all equazione di stato dei gas ideali possiamo affermare che si ha un aumento della pressione p. RISPOSTA La risposta corretta è la A: la pressione è maggiore.

12 3. Le leggi dei gas ideali Da un punto di vista storico, l equazione di stato dei gas ideali è il risultato degli sforzi di numerosi ricercatori. Ad esempio, lo scienziato inglese Robert Boyle ( ) stabilì che la pressione di un gas è inversamente proporzionale al volume, se la temperatura e il numero di molecole vengono mantenuti costanti. Questa relazione è nota come legge di Boyle: Legge di Boyle p i V i p f V f numero di molecole N costante, temperatura T costante Pressione 3. Le leggi dei gas ideali K 00 K 100 K Isoterme (curve a temperatura costante) di un gas ideale. Per verificare che la legge di Boyle è coerente con l equazione di stato dei gas ideali, pv NkT, osserviamo che, se N e T rimangono costanti, anche il prodotto pv lo è. Quindi, se il prodotto pv è costante, significa che il suo valore iniziale deve essere uguale al suo valore finale, e questa è proprio la legge di Boyle. Se N e T sono costanti, l equazione di stato pv NkT implica che: p = NkT V = costante V Il grafico di questa relazione è mostrato nella figura 6, dove è riportata la pressione p in funzione del volume V. Ogni curva della figura corrisponde a una diversa e ben definita temperatura. Tali curve sono dette isoterme, termine che significa letteralmente temperatura costante. O Volume FIGURA 6 Isoterme di un gas ideale Andamento della pressione in funzione del volume per un gas ideale. Ciascuna isoterma è rappresentata dall equazione p NkT/V costante/v. Le tre isoterme mostrate sono relative alle temperature 100 K, 00 K e 300 K. Osserviamo che, maggiore è la temperatura T, maggiore è la costante al numeratore; pertanto, le curve più lontane dall origine corrispondono a temperature più alte. 3. PROBLEMA Sotto pressione Un recipiente cilindrico, la cui sezione ha area A, è chiuso da un pistone a tenuta, libero di muoversi verticalmente. Nel recipiente è contenuto un gas ideale. Inizialmente la pressione esercitata dal pistone è 130 kpa e il pistone si trova a un altezza di 5 cm rispetto alla base del cilindro. Se aggiungi una massa sul pistone, la pressione aumenta fino a 170 kpa. Supponendo che il sistema sia sempre alla stessa temperatura di 90 K, determina la nuova altezza assunta dal pistone. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Il sistema fisico è mostrato in figura. Sono indicate la pressione iniziale p kpa e l altezza iniziale del pistone h 1 5 cm. Quando viene aggiunta una massa sul pistone, la pressione aumenta fino al valore p 170 kpa e l altezza diminuisce fino al valore h. La temperatura rimane costante. Sezione trasversale di area A h 1 p1 h p STRATEGIA Poiché la temperatura del sistema si mantiene costante, possiamo usare la legge di Boyle, p 1 V 1 p V per determinare V, essendo noti p 1, p e V 1. Sappiamo inoltre che il volume V del cilindro è legato alla sua altezza h dalla relazione V Ah. SOLUZIONE p 1 Uguagliamo i valori iniziale e finale di pv, quindi ricaviamo V : p 1 V 1 p V : V V 1 p p 1 Sostituiamo V 1 Ah 1 e V Ah e ricaviamo h : Ah Ah 1 : h h p 1 Sostituiamo i valori numerici: OSSERVAZIONI Per mantenere costante la temperatura del sistema, è necessario che una certa quantità di calore esca dal recipiente, quando il gas viene compresso. Perciò durante questo esperimento il recipiente non deve essere isolato termicamente. PROVA TU Quale pressione sarebbe necessaria per portare l altezza del pistone a 9 cm? p 1 p kpa h = h 1 = 15 cm = 19 cm p 170 kpa p [p 110 kpa]

13 336 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica Consideriamo la situazione in cui un subacqueo, che sta nuotando in acqua poco profonda, espirando emetta una piccola bolla d aria dalla bocca. Quando la bolla raggiunge la superficie dell acqua il suo diametro è maggiore, minore o uguale a quella iniziale? Possiamo osservare che, per la legge di Stevino, man mano che la bolla sale la pressione dell acqua circostante diminuisce e quindi il diametro della bolla aumenta. Possiamo però rispondere alla domanda anche utilizzano l equazione di stato dei gas ideali. Supponendo che la temperatura dell acqua rimanga costante e che non siano aggiunte o tolte molecole di gas dalla bolla, allora il volume della bolla varia secondo la relazione: La prima legge di Gay-Lussac stabilisce che il volume di un gas a pressione costante è proporzionale alla sua temperatura in kelvin. Ad esempio, questo palloncino è completamente gonfio a temperatura ambiente (93 K) e a pressione atmosferica, ma se lo raffreddiamo con vapori di azoto liquido (77 K), il volume dell aria contenuta nel palloncino diminuisce marcatamente, causandone lo sgonfiamento. V = NkT p = costante p Questa è di nuovo l espressione di una isoterma nella quale, effettivamente, il volume aumenta al diminuire della pressione. Un altro aspetto del comportamento dei gas ideali fu scoperto dallo scienziato francese Jacques Charles ( ) e studiato in seguito con maggiore dettaglio dal collega francese Joseph Gay-Lussac ( ). Il risultato dei loro studi, noto oggi come prima legge di Gay-Lussac, fu che il rapporto tra il volume di un gas e la sua temperatura rimane costante, fintanto che la pressione e il numero di molecole del gas rimangono costanti, cioè: V i T i = V f T f numero di molecole N costante, pressione p costante Laboratorio online La dilatazione termica di un gas: la prima legge di Gay-Lussac MySocialBook Come la legge di Boyle, anche questo risultato discende immediatamente dall equazione di stato dei gas ideali. Infatti, se dall espressione pv NkT ricaviamo il rapporto V/T, otteniamo: V T = Nk p Se N e p sono costanti, allora lo è anche il rapporto V/T. La prima legge di Gay-Lussac può essere riscritta come una relazione lineare tra il volume e la temperatura: Prima legge di Gay-Lussac V costante T (pressione p costante) Volume 0 Temperatura (K) 50 kpa 100 kpa 150 kpa FIGURA 7 Volume in funzione della temperatura in un gas ideale a pressione costante In questo grafico la temperatura è in kelvin, quindi T 0 corrisponde allo zero assoluto; a questa temperatura il volume tende al suo più basso valore possibile, lo zero. dove la costante è Nk/p. Nella figura 7, che riporta il volume V in funzione della temperatura, possiamo osservare che il volume di un gas ideale tende a zero man mano che la temperatura si avvicina allo zero assoluto. Supponiamo ora che venga tenuto costante il volume del gas. Dall equazione di stato dei gas ideali si ottiene: p T Nk V Se, come stiamo ipotizzando, N e V sono costanti, lo è anche il rapporto p/t e si ricava così la seconda legge di Gay-Lussac: Seconda legge di Gay-Lussac p costante T (volume V costante) dove la costante è ora Nk/V.

14 4. La teoria cinetica dei gas 4. La teoria cinetica dei gas 337 Utilizzando un manometro e un termometro possiamo facilmente misurare la pressione e la temperatura di un gas. Queste sono grandezze macroscopiche che si riferiscono al gas nel suo insieme. Non è altrettanto facile misurare grandezze microscopiche, come la posizione o la velocità di una singola molecola. Esiste tuttavia un collegamento fra ciò che avviene a livello microscopico e ciò che osserviamo a livello macroscopico; questo collegamento è descritto dalla teoria cinetica dei gas. Nella teoria cinetica immaginiamo un gas come un insieme di molecole che si muovono all interno di un contenitore di volume V. In particolare facciamo le seguenti ipotesi: il contenitore contiene un numero N molto elevato di molecole identiche e ogni molecola ha una massa m e si comporta come un punto materiale. In altre parole, il volume di ogni singola molecola è trascurabile rispetto al volume del contenitore e la dimensione delle molecole è trascurabile rispetto alla distanza fra esse; le molecole si muovono all interno del contenitore in modo casuale e obbediscono in ogni istante alle leggi del moto di Newton; le molecole si urtano fra loro o contro le pareti del contenitore e tali urti sono perfettamente elastici. All infuori di queste collisioni, le molecole non interagiscono; l effetto della forza di gravità sulle molecole è trascurabile. Con queste semplici condizioni, possiamo mettere in relazione la pressione di un gas e il comportamento delle sue singole molecole. L origine della pressione La pressione esercitata da un gas è dovuta alle collisioni tra le molecole del gas e le pareti del contenitore. Ogni collisione provoca una variazione della quantità di moto di una data molecola, esattamente come avviene quando una palla lanciata contro un muro rimbalza. Il rapporto fra la variazione totale della quantità di moto delle molecole in un dato tempo e il tempo in cui tale variazione è avvenuta, non è altro che la forza che la parete deve esercitare sul gas per mantenerlo all interno del contenitore. Il rapporto tra il valore medio di questa forza nel tempo e la superficie della parete, è la pressione del gas. Per chiarire meglio questo punto, immaginiamo un contenitore a forma di cubo di lato L, il cui volume è V L 3. Consideriamo inoltre una molecola che si sta muovendo nella direzione negativa dell asse x verso una parete, come è mostrato nella figura 8. Se la sua velocità scalare è v x, la sua quantità di moto iniziale è p i,x mv x (il vettore ha solo la componente x diversa da zero). Dopo aver urtato elasticamente la parete, la molecola si muove nella direzione positiva dell asse x con la stessa velocità (essendo l urto perfettamente elastico), quindi la sua quantità di moto finale è p f,x mv x. Di conseguenza, la variazione della quantità di moto della molecola è: p x p f,x p i,x mv x ( mv x ) mv x La parete esercita sulla molecola una forza che è responsabile della variazione della sua quantità di moto. Dopo l urto, la molecola viaggia verso la parete opposta del contenitore e di nuovo, dopo un altro urto, torna verso la prima parete. Il tempo necessario per questo viaggio di andata e ritorno, di lunghezza L, è: t L v x v x L v x p i,x mv x p f,x mv x Distanza andata-ritorno L Tempo andata-ritorno L/v x FIGURA 8 Forza esercitata da una molecola su una parete del contenitore Una molecola rimbalza su una parete del contenitore, variando la sua quantità di moto da mv x a mv x ; la variazione della quantità di moto è mv x. Poiché il viaggio di andata e ritorno della molecola viene compiuto in un tempo t L/v x, la forza media esercitata sulla molecola dalla parete è F p x / t mv x /(L/v x ) mv x /L. x

15 338 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica Perciò, per la seconda legge di Newton, la forza media esercitata dalla parete sulla molecola è: F = p x t = mv x = mv x L>v x L La pressione media esercitata da questa parete è semplicemente il rapporto tra la forza e la superficie della parete, che è uguale a A L, e quindi: p = F A = 1mv x >L L = mv x L 3 = mv x V Per ricavare la pressione media esercitata dalla parete abbiamo supposto che la molecola si muovesse in direzione x, per semplificare i calcoli. Se la molecola si muove in una direzione inclinata rispetto all asse x, il ragionamento fatto vale solo per la componente x del moto; le conclusioni finali, tuttavia, sono le stesse. Probabilità relativa 300 K 1100 K Velocità, v (m/s) FIGURA 9 Distribuzione delle velocità di Maxwell La distribuzione di Maxwell delle velocità molecolari dell O alle temperature T 300 K e T 1100 K. Osserva che la velocità più probabile aumenta all aumentare della temperatura. Distribuzione delle velocità delle molecole Nel ricavare la relazione p mv x /V, abbiamo considerato una singola molecola con una particolare velocità; le altre molecole, naturalmente, avranno velocità diverse. Inoltre, la velocità di ogni molecola varia nel tempo in seguito agli urti con le altre particelle del gas. Ciò che rimane costante, tuttavia, è la distribuzione delle velocità delle molecole. Quanto abbiamo appena affermato è mostrato nella figura 9, in cui è illustrato il risultato ottenuto dal fisico scozzese James Clerk Maxwell ( ). Il grafico mostra la probabilità che una molecola di ossigeno (O ) abbia una determinata velocità. Ad esempio, sulla curva relativa alla temperatura di 300 K, la velocità più probabile è circa 390 m/s. Quando la temperatura viene aumentata a 1100 K, la velocità più probabile cresce approssimativamente a 750 m/s. Sono presenti anche altre velocità diverse, da zero a valori molto grandi, ma hanno probabilità decisamente inferiori. È quindi opportuno sostituire, nella relazione p mv x /V, al termine v x la media di v x calcolata su tutte le molecole del gas. Indicando tale valore medio come (v x ) m, possiamo scrivere la pressione media nella seguente forma: p = m1v x m V Poiché tutte le N molecole del gas seguono la stessa distribuzione, la pressione esercitata dal gas nel suo insieme è N volte questo risultato, quindi: p = N m1v x m V = a N V bm1v x m Naturalmente la direzione x non è particolare; la relazione precedente vale anche per le molecole che si muovono nelle direzioni y e z, sostituendo (v y ) m e (v z ) m al posto di (v x ) m. Possiamo allora esprimere la pressione del gas in funzione della velocità totale delle molecole piuttosto che in funzione delle singole componenti. Se v x, v y e v z sono le componenti della velocità di una molecola, il quadrato della sua velocità è: v = v x + v y + v z e quindi la media di v è: 1v m = 1v x m + 1v y m + 1v z m

16 4. La teoria cinetica dei gas 339 Poiché le direzioni x, y e z sono equivalenti, abbiamo: 1v x m = 1v y m = 1v z m e quindi la media del quadrato della velocità totale è: 1v m = 1v x m + 1v y m + 1v z m = 31v x m oppure, in modo equivalente: 1v x m = 1 3 (v m Sostituendo questo risultato nell equazione per p otteniamo: p = 1 3 a N V bm1v m L ultima parte di questa espressione, m(v ) m, è il doppio dell energia cinetica media K m di una molecola. Perciò possiamo esprimere la pressione di un gas nel modo seguente: Pressione di un gas ideale (teoria cinetica dei gas) p = 3 a N V bk m = 3 a N V ba1 mv b m Per riassumere, utilizzando la teoria cinetica abbiamo mostrato che in un gas ideale la pressione è direttamente proporzionale al numero di molecole e inversamente proporzionale al volume, e inoltre che: La pressione di un gas è direttamente proporzionale all energia cinetica media delle sue molecole. La relazione ottenuta esprime il legame tra il comportamento microscopico delle molecole di un gas e ciò che si osserva macroscopicamente. ESERCIZIO 3 Calcolare l energia cinetica media di una mole di aria a 0,00 C e alla pressione di 1 atm, supponendo che l aria sia un gas perfetto. La relazione tra pressione e energia cinetica media di una molecola è: p Per una mole di gas si ha N N A, quindi: p 3 a N V bk m 3 a N A V bk m L energia cinetica media di una mole, K m,mole, è il prodotto dell energia cinetica media di una molecola, K m, per il numero N A di molecole in una mole, cioè K m,mole N A K m. Dalla relazione precedente si ricava: 3Vp K m,mole N A K m Alla pressione di 1 atm 101 kpa e alla temperatura di 0,00 C il volume di una mole è,4 dm 3,4 10 m 3. Sostituendo questi valori numerici otteniamo: 3(,4 10 m 3 )(1, Pa) K m,mole 3, J/mol

17 340 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica 5. Energia e temperatura Se confrontiamo l equazione di stato dei gas ideali pv NkT con il risultato fornito della teoria cinetica per la pressione di un gas, otteniamo: pv NkT N( mv ) m : ( mv ) m kt e possiamo scrivere la relazione tra l energia cinetica media delle molecole e la temperatura: Relazione tra energia cinetica media e temperatura in un gas ideale a 1 mv b m = K m = 3 kt La precedente espressione rappresenta uno dei più importanti risultati della teoria cinetica. In essa si afferma che l energia cinetica media delle molecole di un gas è direttamente proporzionale alla temperatura T, in kelvin. Quindi, quando scaldiamo un gas, ciò che avviene a livello microscopico è che le molecole si muovono con velocità in media maggiore. Analogamente, raffreddare un gas provoca un rallentamento delle velocità molecolari. Per essere precisi, quella che abbiamo calcolato è l energia cinetica traslazionale delle molecole, l unica che esse possiedono se sono monoatomiche, o nel caso di molecole più complesse, è l energia associata al moto traslazionale del loro centro di massa. ESERCIZIO 4 Determina l energia cinetica traslazionale media delle molecole di ossigeno dell aria, supponendo che la temperatura dell aria sia 1,0 C. Convertiamo la temperatura in kelvin, T (1,0 73,15) K 94 K e applichiamo la formula K m 3kT/: 3 3 K m kt (1, J/K)(94 K) 6, J Questa è anche l energia cinetica media delle molecole di azoto dell aria: non è infatti importante il tipo di molecola, ma solo la temperatura del gas. Probabilità relativa v mp v qm v m Velocità, v (m/s) FIGURA 10 Velocità più probabile, velocità media e velocità quadratica media Velocità caratteristiche dell O alla temperatura T 1100 K. Da sinistra a destra, le velocità indicate sono rispettivamente la velocità più probabile v mp, la velocità media v m e la velocità quadratica media v qm. Ritornando alla relazione tra energia cinetica e temperatura, con un semplice passaggio ricaviamo: 1 m(v 3 ) m kt : 1v m = 3kT m La radice quadrata di (v ) m è chiamata velocità quadratica media. Per le molecole di un gas, quindi, la velocità quadratica media è: Velocità quadratica media delle molecole di un gas, v qm v qm = 1v m = A 3kT m Riscrivendo questa relazione in termini di massa molecolare M, otteniamo: v qm = A 3kT m Infine, ricordando che N A k R, possiamo scrivere la velocità quadratica media nella forma: v qm = A 3RT M = 3kT A 1M>N A = 3N A kt A M

18 5. Energia e temperatura 341 La velocità quadratica media è una delle velocità caratteristiche della distribuzione delle velocità di Maxwell. Come è mostrato nella figura 10, v qm è leggermente maggiore della velocità più probabile v mp e della velocità media v m. Usando l equazione di stato possiamo esprimere la velocità quadratica media delle molecole di un gas in funzione della pressione e della densità del gas. Da pv NkT ricaviamo: pv kt N Sostituendo nell espressione di v qm otteniamo: v qm 3kT A m 3pV A mn Poiché mn è la massa totale del gas contenuto nel volume V, il rapporto mn/v non è nient altro che la densità r del gas. Abbiamo quindi: 3p v qm A r 4. PROBLEMA Aria fresca L atmosfera è composta essenzialmente da azoto N (78%) e ossigeno O (1%). a) La velocità quadratica media dell N (8,0 g/mol) è maggiore, minore o uguale a quella dell O (3,0 g/mol)? b) Determina la velocità quadratica media dell N e dell O a 93 K. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La figura mostra le molecole d aria che rimbalzano sulle pareti e sulla persona. Le molecole si muovono in tutte le direzioni e hanno, in generale, differenti velocità. La maggior parte delle molecole sono di azoto e circa il 1% di ossigeno. STRATEGIA Le velocità quadratiche medie possono essere calcolate direttamente dall equazione v qm = 3RT>M. Dobbiamo però fare attenzione alla massa molecolare delle molecole. In particolare, osserviamo che per l azoto la massa molecolare è 8,0 g/mol 0,080 kg/mol e per l ossigeno è 3,0 g/mol 0,030 kg/mol. SOLUZIONE a) Poiché entrambi i tipi di molecole sono alla stessa temperatura, hanno la stessa energia cinetica. Le molecole di azoto hanno una massa minore, quindi per avere la stessa energia cinetica debbono avere una velocità maggiore. Ci aspettavamo questo risultato, in base alla relazione v qm = 3RT>M. b) Per determinare la velocità quadratica media dell azoto, sostituiamo M 0,080 kg/mol nella relazione: v qm = A 3[8,31 J/1mol K]193 K 0,080 kg/mol = 511 m/s Per determinare la velocità quadratica media dell ossigeno, sostituiamo M 0,030 kg/mol nella relazione: v qm = A 3[8,31 J/1mol K]193 K 0,030 kg/mol = 478 m/s OSSERVAZIONI Come previsto, l azoto ha una velocità quadratica media maggiore. Come termine di paragone, tieni presente che la velocità del suono a 93 K è 343 m/s, cioè più di 1000 km/h; le molecole dell aria rimbalzano pertanto sulla nostra pelle con la velocità di un jet supersonico! PROVA TU Una delle molecole presenti nell aria è monoatomica e ha una velocità quadratica media di 48 m/s a 93 K. Di quale molecola si tratta? Utilizza la Tavola Periodica per dare la risposta. [M 0,0399 kg/mol; si tratta della molecola di Argon (Ar), presente nell atmosfera in una percentuale dello 0,94%]

19 34 CAPITOLO 8 I gas e la teoria cinetica Le reazioni chimiche avvengono normalmente a causa dell urto tra le molecole. Sebbene le molecole dell aria non si muovano abbastanza velocemente da innescare reazioni chimiche, alte velocità molecolari possono in molti casi favorirle. In generale, temperature più elevate corrispondono a maggiori velocità molecolari e a maggiore velocità nelle reazioni chimiche. Questo è il motivo per cui i grilli aumentano la frequenza del loro trillo quando aumenta la temperatura, trasformandosi così in un insolito termometro!. RIFLETTI SUI CONCETTI Confronta le velocità Due contenitori di uguale volume, A e B, contengono ciascuno un gas ideale. Nel contenitore A si trova il doppio delle molecole contenute in B. Se la pressione del gas è la stessa in entrambi i contenitori, la velocità quadratica media delle molecole in A rispetto a quella delle molecole in B risulta: A maggiore. B minore. C uguale. RAGIONAMENTO E DISCUSSIONE Sappiamo che la pressione di un gas è dovuta alle collisioni delle molecole contro le pareti del contenitore. Se un maggior numero di molecole occupa un dato volume, e le molecole rimbalzano con la stessa velocità di quelle presenti nel contenitore con meno molecole, la pressione sarà maggiore. Pertanto, per avere la stessa pressione nei due contenitori, è necessario che la velocità quadratica media nel contenitore A sia minore di quella nel contenitore B. Matematicamente osserviamo che p A p B e V A V B ; quindi p A V A p B V B. Utilizzando l equazione di stato dei gas ideali pv NkT, possiamo scrivere questa condizione come: N A kt A N B kt B Perciò, se N A N B, segue che: T A T B Poiché la temperatura nel contenitore A è minore, le molecole in esso contenute avranno velocità minore. RISPOSTA La risposta corretta è la B: la velocità quadratica media è minore nel contenitore A. L energia interna di un gas ideale L energia interna di una sostanza è la somma di tutte le energie potenziali e cinetiche delle molecole che la compongono. In un gas ideale non ci sono interazioni tra le molecole, se non urti perfettamente elastici; quindi non c è energia potenziale. Di conseguenza, l energia totale del sistema è la somma delle energie cinetiche di tutte le sue molecole. Perciò, l energia interna di un gas ideale di N molecole puntiformi, cioè di un gas monoatomico, è semplicemente: Energia interna di un gas ideale monoatomico E int = 3 NkT In termini di moli la precedente relazione risulta: E int = 3 nrt Ritorneremo su questo risultato nel prossimo capitolo.

20 5. Energia e temperatura 343 ESERCIZIO 5 Una palla da basket alla temperatura di 90 K contiene 0,95 mol di molecole d aria. Qual è l energia interna dell aria contenuta nella palla? Calcoliamo l energia interna utilizzando la relazione espressa in termini di moli: 3 3 E int (0,95 mol)[8,31 J/(mol K)](90 K) 3400 J nrt Il valore ottenuto è approssimativamente l energia cinetica che avrebbe la palla se fosse lasciata cadere da un altezza di 700 m. L equazione E int 3NkT/ si applica ai gas ideali costituiti da molecole dotate solo di moto traslazionale, la cui energia cinetica è data da K m 3kT/. Questo è il caso dei gas monoatomici, le cui molecole hanno 3 gradi di libertà, corrispondenti alle tre coordinate, x, y e z che ne individuano le posizioni. Come abbiamo visto nel paragrafo 4, ognuna delle direzioni x, y e z contribuisce in egual misura all energia cinetica media della molecola (fig. 11a). Se il gas è biatomico, ci sono ulteriori contributi alla sua energia interna. Una molecola biatomica, che ha la forma di un manubrio, può avere un energia cinetica rotazionale e possiede gradi di libertà in più, corrispondenti ai due angoli che individuano nello spazio il suo asse (fig. 11b). Le molecole biatomiche, infine, possono anche vibrare lungo la linea che congiunge i due atomi e hanno dunque un grado di libertà addizionale, legato alla variazione della distanza reciproca degli atomi (fig. 11c). z z z u x a) 3 gradi di libertà traslazionale y x w b) gradi di libertà rotazionale y x c) 1 grado di libertà vibrazionale y FIGURA 11 Gradi di libertà delle molecole Gradi di libertà delle molecole monoatomiche (a) e biatomiche (b e c). Complessivamente quindi, una molecola biatomica ha 5 gradi di libertà (i tre del moto traslazionale del centro di massa più i due del moto rotazionale), oppure 6 gradi di libertà se è dotata anche di moto vibrazionale (il che accade ad alte temperature). Un importante principio della teoria cinetica, il principio di equipartizione dell energia, stabilisce che: Principio di equipartizione dell energia A ogni grado di libertà di una molecola è associata una quantità di energia pari a 1 kt. Quindi l energia interna di un gas ideale biatomico è NkT oppure NkT 3NkT, a seconda che le molecole siano soggette solo a rotazioni o anche a vibrazioni. Riassumendo, possiamo esprimere l energia interna di un gas biatomico come segue: Energia interna di un gas ideale biatomico 5 E int NkT (moto rotazionale) oppure E int 3NkT (moto rotazionale moto vibrazionale) 5 6