0.1 Moto circolare uniforme Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R=50 cmconaccelerazionenormale a N =1.

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1 0.1 Moto circolare uniforme Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R=50 cmconaccelerazionenormale a N =1.5 metri sec costanteinmodulo. Sichiedeilperiododelmotoelaleggeorariadellaproiezione 2 delmotosuundiametrodelcerchio.... Ricordiamo dalla teoria che qualunque sia la traiettoria seguita da un punto materiale, prendendo un riferimento sulla traiettoria e quindi descrivendo il moto con l ascissa curvilinea s(t) allora la velocità può essere espressa come v(t)=ṡ(t)ˆt (1) doveṡ(t)= ds dt e ˆT èilversoretangenteallatraiettoriastessa(anchequesto versorecambianeltempo: noninmodulo,essendounversoreequindidimodulo uno,maindirezione,almenoselatraiettorianonèunaretta: quindi,arigore, andrebbe indicato con ˆT(t)). L accelerazione può essere espressa come la sovrapposizione di una parte tangente e di una parte normale alla traiettoria a(t)= s(t)ˆt+ṡ2 (t) ρ(t) ˆN (2) dove ρ è il raggio di curvatura, ovveroil raggio del cerchio osculatore cioè del cerchio che approssima meglio il tratto di traiettoria ove siamo(vedi figura AccelerazioneTN)mentre ˆNèilversorenormaleallatraiettoriaedirettoverso il centro del cerchio osculatore(per questo l accelerazione normale è detta anche centripeta); vedi figura Accelerazione T N: Accelerazione T N 1

2 Ovviamente, per necessità grafica, abbiamo disegnato una traiettoria su un piano: ma quanto detto varrebbe ugualmente se la traiettoria fosse una curva nello spazio. Ritorniamo al problema. Dato che l accelerazione centripeta o normale è costante in modulo e la traiettoria è circolare e quindi anche il raggio di curvatura ècostante ρ(t)=r (3) alloradalla(2)ricaviamochelavelocitàèpurecostanteevale Abbiamo quindi un moto circolare uniforme: v=ṡ= Ra N (4) s=0 (5) con legge oraria s(t)=s(0)+vt (6) Ponendo s(0) = 0(scelta del riferimento: è nostra prerogativa) s(t)=vt (7) Ilmotosiripeteràdopoungiro(s(T)=2πR) (nota 1) cioèdopountempot dato da 2πR=vT (8) Risolvendoeusandola(4)eidati T = 2πR v = 2πR R =2π =3.63sec (9) RaN a N Resta da trovare la proiezione del moto su un diametro del cerchio. Prendiamo un riferimento cartesiano appropriato: metteremo l origine al centro del cerchio, l asse x punterà verso P 0 (posizione del punto materiale all istante t = 0), l asse y sarà determinato di conseguenza(essendo il moto su un piano l asse z non serve). Vedi figura Moto circolare: 2

3 Moto circolare Ad un generico tempo t la posizione del punto materiale sulla traiettoria sarà data dall ascissa curvilinea e/o dalle coordinate cartesiane s(t)=vt (10) x(t)=rcos(φ(t)) (11) masel angoloφ(t)èespressoinradiantiabbiamo y(t)=r sin(φ(t)) (12) φ(t)= s(t) R = v R t (13) Notiamo che la(13) descrive altrettanto bene il moto della(??): potremmo usare l angolo φ(t) come coordinata e allora per definizione avremo una velocità angolare φ(t) (nota 2) cheinquestocasosarà(13): φ(t)= v R (14) 3

4 eunaaccelerazioneangolare φ(t) (nota 2) chenelnostrocasoènulla. Quindiin questa coordinata angolare abbiamo un moto uniforme cioè con velocità costante (nota 3) cheabitualmentesidenotaconomegaedvalenelnostrocaso ω= v R (15) Utilizzando le formule sopra nelle(11,12) abbiamo x(t)=rcos(ωt) (16) y(t)=r sin(ωt) (17) Possiamo derivare rispetto al tempo queste formule ottenendo ẋ(t)= ωr sin(ωt) (18) eancora ẏ(t)=ωr cos(ωt) (19) ẍ(t)= ω 2 Rcos(ωt) (20) ovvero, riutilizzando le(16,17) ÿ(t)= ω 2 R sin(ωt) (21) ẍ(t)= ω 2 x(t) (22) ÿ(t)= ω 2 y(t) (23) Lo studente avrà riconosciuto le equazioni del moto armonico. Dunque sia sul diametroorizzontalep 0 P 3 chesuquelloverticalep 1 P 2 abbiamomotiarmonici con la stessa pulsazione ω = v R e quindi con lo stesso periodo T = 2π ω = 2πR v (ma sfasati... di quanto?): su P 0 P 3 si parte da P 0 con velocità nulla e accelerazione massima diretta verso il centro, poi al tempo T 4si arriva in O convelocitàmassimaversosinistraedaccelerazionenulla,dopoancora T 4 cioè al tempo T 2 siamo in P 3 con velocità nulla ed accelerazione massima verso il centroequindisiripassainoaltempo 3T 4 conancoralavelocitàmassimama verso destra per ritornare al tempo T nella posizione iniziale con la velocità e l accelerazione iniziale. Lo studente consideri e studi la proiezione del moto su un diametro generico. Qualche studente potrebbe anche chiedersi: se il moto è adeguatamente descritto da una sola coordinata(o l ascissa curvilinea s o l angolo φ), come mai nel riferimento cartesiano abbiamo bisogno di due coordinate? La risposta è banale, comunque come hint e facile esercizio si ricavi dalle (16, 17) l equazione cartesiana della traiettoria. 4

5 Nota1 Si ricordi che affinchè un moto sia periodico non basta certo ritornare alla posizione iniziale dopo un certo tempo... (altrimenti in una gara di corsa su un circuito tutti i moti lo sarebbero, salvo incidenti!) e neanche è sufficiente fare tuttiigiriconlostessotempo: unmotoèperiodicosesiripeteesattamentedopo un tempo T. In alcuni testi liceali si trova(va) questa definizione: un moto è periodico se si ritorna in una generica posizione della traiettoria con la stessa velocità e la stessa accelerazione(del passaggio precedente). E una definizione rigorosa? Nota2 Si noti che la variabile angolare è adimensionale e quindi la velocità angolare hadimensione t 1 mentrel accelerazioneangolarehadimensione t 2 5

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