Analisi Matematica 1

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1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale aa y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Industriale, Facoltà di Ingegneria, Università del Salento

2 1 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, A 1 Determinare le soluzioni della seguente equazione: e rappresentarle geometricamente z 5 + z = 0 2 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: n=0 ( 1) n nn (1 + sin n) n! 3 n 3 Studiare il seguente limite: lim x log(1 + x) cos x x 4 Studiare il seguente limite: x 3 (1 + sin 2 x) lim x e x Foglio 3 5 Teoria: Teoremi di confronto per i limiti (dim) 6 Teoria: Serie a termini positivi e proprietà di regolarità Criterio di Raabe e di condensazione

3 2 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, A 1 Si può scrivere z(z 4 + 1) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici quarte di 1 = cos π + i sin π, che sono date dalla formula w k = cos π + 2kπ 4 + i sin π + 2kπ 4, k = 0, 1, 2, 3 La rappresentazione geometrica prevede l origine e il quadrato di vertici (± 2/2, ± 2/2) 2 Si tratta di una serie a segni alterni Per quanto riguarda l assoluta convergenza, si osserva che n! 3 n è convergente in quanto, dal criterio del rappor- e la serie + to, lim n + 2 nn n n (1 + sin n) n! 3 n 2 nn n! 3 n (n + 1)n+1 n! 3 n 2 (n + 1)! 3 n+1 2n n = lim n + = 1 ( ) n + 1 n lim = e 3 n + n 3 < 1 1 (n + 1) n (n + 1) n! 3 n n (n + 1)! Pertanto, per il teorema di confronto per le serie a termini positivi, la serie assegnata è assolutamente convergente e quindi convergente 3 Usando i limiti notevoli: 1 + log(1 + x) cos x 1 + log(1 + x) 1 lim = lim x 0 x x 0 x 1 + log(1 + x) 1 log(1 + x) = lim = 1 x 0 log(1 + x) x cos x x 4 Il termine x 3 è un infinito di ordine 3 mentre il denominatore è un infinito di ordine arbitrariamente grande in quanto composto da un infinito di ordine arbitrariamente grande (la funzione 1 + e x ) e un infinito di ordine 1/2 (la funzione radice) Pertanto lim x + Poiché x 3 (1 + sin 2 x) 1 + e x x e x anche il limite assegnato è uguale a 0 2x3 1 + e x,

4 3 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, B 1 Determinare le soluzioni della seguente equazione: e rappresentarle geometricamente z 3 iz = 0 2 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: n=0 ( 1) n nn+1 (1 + cos n) (n + 1)! 2 2n 3 Studiare il seguente limite: 4 Studiare il seguente limite: e tan x 1 + x 1 lim x 0 x (1 + cos 2 x)e x lim x x 4 Foglio 3 5 Teoria: Teorema sul limite delle funzioni composte (dim) Ordine della funzione composte di due infinitesimi o infiniti 6 Teoria: Serie assolutamente convergenti e proprietà Criterio sull ordine di infinitesimo

5 4 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, B 1 L equazione si può scrivere z(z 2 i) = 0 e quindi ha come soluzioni z = 0 e le radici quadrate di i = cos π/2+i sin π/2, che sono date dalla formula w k = cos π/2 + 2kπ 2 + i sin π/2 + 2kπ 2, k = 0, 1, da cui w 0 = 2/2 + i 2/2, w 1 = 2/2 i 2/2 Le soluzioni si trovano sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante e sono costituite dall origine e due punti simmetrici 2 Si tratta di una serie a segni alterni Per studiare l assoluta convergenza si osserva che la serie n=0 n n+1 (n + 1)! 2 2n è convergente in quanto dal criterio dal rapporto lim n + (n + 1) n+2 (n + 1)! 2 2n (n + 2)! 2 2(n+1) n n+1 = lim n + ( ) n + 1 n+1 n + 1 = lim n + n 4(n + 2) = lim 1 n + 4 = e 4 < 1 (n + 1) n+2 n n+1 2 2n (n + 1)! 2 2(n+1) (n + 2)! ( ) n ( ) n n Poichè n n+1 (1 + cos n) n n+1 (n + 1)! 2 2n 2 (n + 1)! 2 2n, anche la serie assegnata è assolutamente convergente e quindi convergente 3 Usando i limiti notevoli e tan x 1 + x 1 lim = lim x 0 x 1 + x 1 = lim x 0 x 4 Risulta lim x + e x 1+x 4 e tan x ( 1 + x 1) x 0 x + etan x 1 tan x tan x x + etan x 1 x = = 3 2 = + in quanto il numeratore è un infinito di ordine arbitrariamente grande mentre il denominatore è un infinito di ordine 2 e l funzione è positiva Poiché (1 + cos 2 x)e x 1 + x 4 anche il limite assegnato è uguale a + e x 1 + x 4

6 5 Facoltà di Ingegneria, Brindisi Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, A 1 Determinare le soluzioni della seguente equazione: e rappresentarle geometricamente z 4 + iz = 0 2 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: 3 Studiare il seguente limite: ( 1) n log nn n 3/2 lim x x 2 cos x x log x 4 Teoria: Teorema di unicità del limite (dim) e proprietà di permanenza del segno 5 Teoria: Serie armonica e serie geometrica Proprietà di convergenza

7 6 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, A 1 Si ha z(z 3 + i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze di i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 e sono date da w k = cos 3π/2 + 2kπ 3 + i sin 3π/2 + 2kπ 3, k = 0, 1, 2, e quindi sono w 0 = cos π/2+i sin π/2 = i, w 1 = cos 7π/6+i sin 7π/6 = 1/2 i 3/2, w 2 = cos 11π/6 + i sin 11π/6 = 1/2 + i 3/2 Geometricamente sono rappresentate dall origine e dai vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza di centro l origine e raggio 1 2 Si ha log n n /n 3/2 = n log n/n 3/2 = log n/n 1/2 e quindi la serie è a termini di segno alterno e il termine generale è un infinitesimo di ordine minore di 1/2 e maggiore di 1/2 ε per ogni 0 < ε < 1/2 Quindi la serie è assolutamente divergente La convergenza invece è assicurata dal criterio di Leibnitz 3 Nel punto 0 si ha 1 + x 2 cos x = 1 + x cos x x 2 /2 + x 2 /2 = x 2 e quindi 1 + x 2 cos x x2 x x = x è un infinitesimo di ordine 1 Poiché log x è un infinito di ordine arbitrariamente piccolo, il limite assegnato è uguale a 0

8 7 Facoltà di Ingegneria, Brindisi Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, B 1 Determinare le soluzioni della seguente equazione: e rappresentarle geometricamente z 4 iz = 0 2 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: 3 Studiare il seguente limite: ( 1) n log n log(cos 1/n) tan 3 x 2 e 1/x lim x 0 + x 9 4 Teoria: Teoremi sul limite delle funzioni monotone (caso reale e infinito) 5 Teoria: Criterio di Raabe e serie armonica generalizzata

9 8 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, B 1 Si ha z(z 3 i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze di i = cos π/2 + i sin π/2 e sono date da w k = cos π/2 + 2kπ 3 + i sin π/2 + 2kπ 3, k = 0, 1, 2, e quindi sono w 0 = cos π/6+i sin π/6 = 1/2+isqrt3/2, w 1 = cos 5π/6+ i sin 5π/6 = 1/2 i 3/2, w 2 = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = i Geometricamente sono rappresentate dall origine e dai vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza di centro l origine e raggio 1 2 Poiché 0 < 1/n 1, si ha 0 < cos 1/n 1 e quindi log(cos 1/n) 0 Conseguentemente la serie è a termini di segno alterno Inoltre log(cos 1/n) = log(1 + (cos 1/n 1)) cos 1/n 1 1/(2n 2 ) e quindi, a causa del termine log n, il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine minore di 2 ma maggiore di 2 ε per ogni 0 < ε < 2 Segue che la serie è assolutamente convergente e quindi convergente 3 Poiché, nel punto 0 +, tan 3 x 2 (x 2 ) 3 = x 6 e e 1/x è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande, il numeratore è equivalente a tan 3 x 2 x 6 e quindi dalla regola di sostituzione il limite è uguale a +

10 9 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 5 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = x e x2 1 2 Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 2 8x sin 5x dx 3 Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x + log(1 + x) x(x 2 dx + 1) 0 4 Teoria: Punti di disocntinuità e classificazione 5 Teoria: Teorema di Cauchy (con dim)

11 10 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 5 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = (x 2 1) e x 2 Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 cos 2 6x sin 7x dx 3 Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x + arctan 2 x dx x(x + 1) 0 4 Teoria: Funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor 5 Teoria: Teorema di Lagrange (con dim)

12 11 Facoltà di Ingegneria Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x f(x) = 2 6x 7 x 1 2 Calcolare il seguente integrale definito: 1 0 x 5 e x dx 3 Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + 0 log (1 + 3 x) + x x 4/3 dx Foglio 3 4 Teoria: Teorema di Weierstrass (con dim) 5 Teoria: Regole di l Hôpital

13 12 Facoltà di Ingegneria Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x f(x) = 2 3x x Calcolare il seguente integrale definito: e 1 log 7 x dx 3 Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x + x 2 e x log(1 + x) dx 0 Foglio 3 4 Teoria: Formula di Taylor con il resto di Peano 5 Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim)

14 13 Facoltà di Ingegneria, Lecce 11 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x 1 x Calcolare le radici quarte del numero complesso z = (1 + 3i) 6 (1 i) 4 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( ) log n log n n ( 1) n Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale: sin 3 x 1 + cos 3 x dx

15 14 Facoltà di Ingegneria, Lecce 11 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = ex2 1 x Calcolare le radici quarte del numero complesso z = ( 3 + i) 6 (1 + i) 8 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log(n + 1) log ( n n ) Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale: cos 3 x 1 + sin 3 x dx

16 15 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 12 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x x Calcolare le radici terze del numero complesso z = (1 + 3i) 6 (1 i) 4 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log ( ) n n Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale: sin 3 x 2 + cos x dx

17 16 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 12 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = ex2 x Calcolare le radici terze del numero complesso z = ( 3 + i) 6 (1 + i) 8 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( ) ( 1) n e 1/(n n) 1 Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale: cos 3 x 2 sin x dx

18 17 Facoltà di Ingegneria, Lecce 25 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 1 x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z z 4 z 2 = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log n ( log ( 2 + n 2) log ( 1 + n 2)) Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: e 2x 1 e 2x + 1 dx

19 18 Facoltà di Ingegneria, Lecce 25 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 1 x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z z 6 z 3 = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log ( ) (log (2 + n) log (1 + n)) n Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: e 2x + 1 e 2x 1 dx

20 19 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 27 febbraio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x 1 1 f(x) = arctan x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z z 2 = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n sin 3 1 n Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: e x 1 e 2x + 1 dx

21 20 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 27 febbraio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x f(x) = arctan x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z z 2 = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( ( 1) n log ) n Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: e x + 1 e 2x 1 dx

22 21 Facoltà di Ingegneria, Lecce 15 aprile 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x2 1 x 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (i 1)2 ( 3 + i) 3 (1 + i) 4 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) (log (1 n + 1n ) 2 sin 1n ) 3 Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 2 x 1 cos 3 sin x dx x + 1

23 22 Facoltà di Ingegneria, Lecce 15 aprile 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x2 x 1 2 Determinare le radici quarte del numero complesso: z = (i 1)3 ( 3 + i) 6 (1 + i) 5 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( ( 1) n e 1/n3 cos 1 ) n 2 Foglio 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: log 2 x 1 log 3 x x dx

24 23 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 22 aprile 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x 4 f(x) = log x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z z = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n arctan ( 1 n ) n 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: x 3 (x 1) 2 (x + 2) dx

25 24 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 22 aprile 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x 9 f(x) = log x 2 Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z + z = 0 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n sin ( 1 n ) n 3 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: x 3 (x 1) 3 dx

26 25 Facoltà di Ingegneria, Lecce 3 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x(x + 3) f(x) = log x 1 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z = z i 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n en sin n! n! 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 5 x sin 2 x dx

27 26 Facoltà di Ingegneria, Lecce 3 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x(x + 3) f(x) = log x 1 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z = z i 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n en sin n! n! 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 5 x sin 2 x dx

28 27 Cenni sulla soluzione 3 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x(x + 3) f(x) = log x 1 Per l insieme di definizione bisogna imporre x(x+3) x 1 > 0 e x 1 = 0 Tenendo presente che il valore assoluto è sempre positivo e che si annulla solo quando il suo argomento si annulla, deve essere x 0, x 3 e infine x 1 Quindi la funzione è definita in X f = R \ { 3, 0, 1} L insieme di definizione non è simmetrico né periodico e quindi non possono valere tali proprietà La funzione è positiva per x(x+3) x(x+3) x 1 x 1 1 cioè per x(x+3) x 1 1 La prima disequazione è equivalente a (x+1)2 x 1 1 oppure per 0 ed è soddisfatta in { 1} ]1, + [ La seconda è equivalente a x2 +4x 1 x 1 0 ed è soddisfatta in ], 2 5] [ 2 + 5, 1[ Riassumendo la funzione è positiva in ], 2 5] { 1} [ 2 + 5, 1[ ]1, + [ ed è negativa in [ 2 5, 3[ ] 3, 0[ ]0, 2 + 5] Vi sono intersezioni con l asse x nei punti A( 2 5, 0), B( 1, 0), C( 2 + 5, 0) La funzione è continua e quindi gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti di accumulazione reali non appartenenti all insieme di definizione Si ha lim f(x) =, lim x 3 f(x) =, lim x 0 f(x) = +, x 1 e quindi le rette di equazione x = 3 e x = 0 sono asintoti verticali in basso mentre la retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale in alto Inoltre lim f(x) = +, lim x ± f(x) x ± x = 0, e quindi non esistono asintoti orizzontali né obliqui Per quanto riguarda la derivabilità si osserva che il valore assoluto non è derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla, ma tali

29 28 punti sono esclusi dall insieme di definizione Pertanto la funzione è derivabile in X f e si ha, per ogni x X f, f (x) = 1 x(x+3) x 1 = x 1 x(x + 3) D ( ) x(x + 3) D = x 1 ( x 2 ) + 3x x 1 = x2 2x 3 x(x 1)(x + 3) 1 x(x+3) x 1 = x 1 x(x + 3) x(x+3) x 1 x(x+3) x 1 D ( ) x(x + 3) x 1 (x 1)(2x + 3) x 2 3x (x 1) 2 Il segno della derivata prima è positivo in ] 3, 1] ]0, 1[ [3, + [ e negativo in ], 3[ [ 1, 0[ [1, 3[ Quindi f è strettamente crescente in ciascuno degli intervalli ] 3, 1], ]0, 1[ e [3, + [ mentre è strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli ], 3[, [ 1, 0[ e [1, 3[ Il punto 1 è un punto di massimo relativo proprio per f e si ha f( 1) = 0; inoltre il punto 3 è di minimo relativo proprio per f e si ha f(3) = log 9 Non ci sono massimi e minimi assoluti in quanto per la presenza di asintoti verticali in alto e in basso la funzione non è limitata né superiormente né inferiormente Infine f è derivabile due volte in X f e si ha, per ogni x X f, ( x f 2 ) 2x 3 (x) = D x 3 + 2x 2 = x4 4x x x 9 3x (x 3 + 2x 2 3x) 2 Si omette lo studio del segno della derivata seconda per semplicità Il grafico approssimativo della funzione è il seguente 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z = z i 3 Posto z = x + iy, il modulo di z + 1 = (x + 1) + iy è (x + 1) 2 + y 2, mentre il modulo di z i = x + i(y 1) è dato da x 2 + (y 1) 2 Quindi ( (x + 1) 2 + y 2 ) 3 = ( x 2 + (y 1) 2 ) 3 da cui (x+1) 2 +y 2 = x 2 +(y 1) 2 e quindi sviluppando x 2 +2x+1+y 2 = x 2 + y 2 2y + 1; semplificando si ottiene x = y e quindi le soluzioni sono date da tutti i numeri complessi z = x(1 i) con x R

30 29 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n en sin n! n! La serie è a segni di segno arbitrario in quanto sin n! non ha segno costante né alternante Si studia pertanto l assoluta convergenza considerando la serie e n sin n! n! Poiché, per ogni n 1, e n sin n! n! en n!, si considera dapprima la convergenza della serie dal criterio del rapporto lim n + e n+1 (n + 1)! n! e n = e n n! ; lim e n+1 n! n + e n (n + 1)! = e lim n + 1 n + 1 = 0 e quindi la serie converge Dal primo criterio di confronto anche la serie assegnata converge assolutamente e quindi converge

31 30 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 5 x sin 2 x dx Posto t = sin x (da cui dt = cos x dx), si ha: cos 5 x sin 2 x dx = cos 4 x sin 2 x cos x dx = (1 sin 2 x) 2 sin 2 x cos x dx = (1 t 2 ) 2 t 2 dt = (t 2 2t 4 + t 6 ) dt = t3 3 2t5 5 + t7 7 + c = sin3 x 3 2 sin5 x 5 + sin7 x 7 + c, c R

32 31 Facoltà di Ingegneria, Lecce 3 luglio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x(x 2) f(x) = log x 1 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z 3 = z + i 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: n + 1 sin n ( 1) n 2 n 2 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 3 x cos 3 x dx

33 32 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 4 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x 1 x 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z + i 3 = z i 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n 3 e n n! 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: x 3 (x 1) x dx

34 33 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 4 luglio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x+1 x 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z = z + i 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: e ( 1) n n 3 n! 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: e 2x (e x 1) 2 dx

35 34 Facoltà di Ingegneria, Lecce 16 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 1 x 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z z = z 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n 1 n arcsin 1 n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: 1 sin 3 x dx

36 35 Facoltà di Ingegneria, Lecce 16 luglio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 1 x 2 Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione: z z 3 = z 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( ( 1) n 1 n log ) n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: 1 cos 4 x dx

37 36 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 17 luglio 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x2 + 1 x 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (1 + i)3 1 i 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n e n n 2 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 5 x dx

38 37 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 17 luglio 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x 2 f(x) = log 1 x 2 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (1 i)3 1 + i 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n n 2 e n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 5 x dx

39 38 Facoltà di Ingegneria, Lecce 10 settembre 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x2 1 x 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (1 i)6 ( 3 i) 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log n n n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: x 2 (x + 1)(x 2 + 1) dx

40 39 Facoltà di Ingegneria, Lecce 10 settembre 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x x Determinare le radici terze del numero complesso: z = ( 3 + i) 3 (1 + i) 6 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n n log n n 2 + n Calcolare il seguente integrale indefinito: x 2 (x 1) 2 (x + 1) dx

41 40 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 24 settembre 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x2 + 1 x 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (1 + i)9 (1 i) 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n 1 n sin n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 3 x + sin x 1 cos 4 x dx

42 41 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 24 settembre 2013, B 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x 2 1 x 2 2 Determinare le radici terze del numero complesso: z = (1 i)9 (1 + i) 3 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n log n + 1 n arctan 1 n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 3 x + cos x 1 sin 4 x dx

43 42 Facoltà di Ingegneria, Lecce 21 ottobre 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = cos(2x) + sin x 2 Determinare le soluzioni dell equazione: z z = z 3 Studiare il seguente limite: lim x 0 sin 2 x x 2 arcsin x 2 x sin x 4 Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + 0 e x x dx

44 43 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi 22 ottobre 2013, A 1 Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = cos x + sin 2x 2 Determinare le soluzioni della seguente equazione in campo complesso: z 5 z = z 2 3 Studiare la convergenza della seguente serie numerica: ( 1) n n ( 1 cos 1 ) n 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: x x dx