F è la tensione equivalente al piede del dente nel punto più sollecitato (tensione effettiva) espressa nel modo seguente: F n

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1 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 3 4 Calcolo a faica 4. Normaiva UNI 886 Resiseza a flessioe Per quao riguarda il calcolo a faica per flessioe delle ruoe di igraaggi la ormaiva UNI 886 (987) fa riferimeo alla codizioe di resiseza a roura del dee ramie la relazioe: F FP (7) dove F è la esioe equivalee al piede del dee el puo più solleciao (esioe effeiva) espressa el modo seguee: F F Fa Sa β A V Fβ Fα b m y y y y K K K K ( ) (8) ed è ua esioe calcolaa che dipede dalla forza ageziale F (forza media di fuzioameo), dalla larghezza di fascia b, dal modulo ormale m e da ua serie di faori (parameri relaivi all igraaggio e parameri relaivi al fuzioameo). La esioe FP è dea esioe ammissibile, ma è calcolaa i modo compleamee diverso dalla esioe ammissibile del calcolo saico. Essa ifai vale: FP y S Flim ST NT Fmi y y y y δrelt RrelT X (9) ed è fuzioe della esioe limie di faica del maeriale F lim, del faore di sicurezza miimo alla flessioe S F mi e di ua serie di coefficiei (parameri relaivi alla faica) che correggoo il limie di faica del maeriale, uo dei quali, il faore di duraa Y NT, rappresea la curva di Wöhler del compoee. I parameri relaivi all igraaggio soo: y Fa faore di forma del dee, y Sa faore di correzioe della esioe, y e faore del rapporo di codoa, y b faore dell agolo d elica, e egoo coo degli effei della geomeria del dee sulla massima esioe equivalee che si realizza el maeriale. I paricolare: y Fa è il faore di forma e iee coo dell effeo della geomeria del dee sulla esioe omiale di flessioe; è calcolabile aaliicamee ramie la relazioe seguee: hfa 6 a m cosα YFa (0) s F cosα m che è aaloga a quella relaiva al calcolo del faore di forma y Lw (secodo Lewis) (4); i queso caso, però, si iee coo dell effeivo agolo di icliazioe γ della forza globale F

2 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 4 scambiaa fra i dei (co γ α a ) riferio alla sezioe ormale del dee (che ovviamee coicide co quella froale el caso di ruoe a dei drii) (Figura 6). La sezioe più solleciaa secodo la ormaiva è idividuaa da due ree icliae di 30 rispeo all asse di simmeria del dee (avei origie el puo di iersezioe fra l asse di simmeria e la rea dei coai) e agei al profilo ad evolvee (Figura 7) (mere el calcolo di Lewis si faceva riferimeo al puo di ageza co la parabola di uiforme resiseza (Figura 6)). Parabola di uiforme resiseza a F F a a x h Fa W s F Figura 6 Icliazioe della forze scambiaa fra i dei Figura 7 Ree che idividuao la sezioe più solleciaa alla base del dee Il valore di y Fa è ache facilmee leggibile da diagrammi forii dalla ormaiva (diversi a secoda della ipologia della deiera di riferimeo) i fuzioe del umero di dei viruale z v (9). y Sa è il faore di correzioe della esioe omiale di flessioe e iee coo delle cocerazioi di esioe al piede del dee e del fao che la esioe effeiva o è dovua solo alla flessioe. Il calcolo aaliico di ale faore è piuoso complicao e presea moli casi paricolari che soo descrii dalla ormaiva; se o si ecessia di paricolare precisioe il valore di y Sa può essere agevolmee ricavao da diagrammi forii dalla ormaiva sessa ed esaamee aaloghi a quelli uilizzai per il calcolo di y Fa. I sosiuzioe dei faori y Fa e y Sa si può uilizzare il prodoo dei due, idicao i leeraura [3] come faore y SF ; queso faore è impiegao per il calcolo della esioe equivalee al piede del dee ed è diagrammao i fuzioe del umero di dei Z (o ZV el caso di ruoe a dei elicoidali) (Figura 7). y e è il faore del rapporo di codoa e iee coo del fao che, se ci soo più di due dei i presa coemporaeamee, elle codizioi di massima esioe al piede la forza o è applicaa i esa al dee (codizioe per cui soo calcolai y Fa e y Sa ), ma i u alro puo del

3 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 5 profilo del dee sesso. Il valore di y può essere oeuo dalle seguei formule forie dalla ormaiva: y y 0,75 0,5+ 0,5 α α α < () co α ( R + R ) AB e b e b () p b R R + R R p cosα si α dove R ed R soo i raggi primiivi rispeivamee delle ruoe e, R e ed R e i raggi di rocaura esera, R b ed R b i raggi di base, p e p b i passi sulla circofereza primiiva e di base e α è l agolo di pressioe sulla sezioe froale del dee.. Figura 8 Adameo del faore y SF y b è il faore dell agolo d elica e iee coo dell effeo dell elicoidalià del dee sulla esioe effeiva (assume valore uiario el caso di ruoe a dei dirii). Sulla ormaiva può essere ricavao sia ramie ua relazioe aaliica (i fuzioe dell agolo d elica β e del

4 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 6 coefficiee di ricoprimeo β ), sia ramie u diagramma (sempre i fuzioe dell agolo d elica β e del coefficiee di ricoprimeo β ) (Figura 9). I parameri relaivi al fuzioameo soo: K A faore di applicazioe del carico; K V faore diamico; K Fb faore di disribuzioe logiudiale del carico (o di disallieameo); K Fa faore di disribuzioe rasversale del carico. Figura 9 - Adameo del faore y b Nel caso più geerale è ecessario calcolarli ell ordie appea idicao, poiché oguo di essi è fuzioe ache dei precedei (o meglio della forza ageziale F correa). Esisoo però, ache i queso caso, dei meodi di calcolo semplificai che egoo coo dei vari faori i modo meo preciso, ma di solio acceabile se o si hao esigeze paricolari. E da precisare iolre che gli effei diamici ieri ed eseri di cui egoo coo i primi due coefficiei soo deermiai i maiera piuoso arbiraria e sarebbe preferibile, quado possibile, effeuare u calcolo più preciso della forza ageziale F araverso ua aalisi diamica del sisema. K A è il faore di applicazioe del carico e iee coo dell eià dei sovraccarichi a cui è sooposo il sisema per cause esere all igraaggio; può essere deermiao ramie ua abella i fuzioe dei ipi di sovraccarico che si preseao sul moore e sulla macchia operarice (Tabella 3) (Prospeo I, []). K V è il faore diamico e iee coo degli effei dovui alle masse roai, e, secodo u calcolo di prima approssimazioe, è fuzioe solo della massima velocià periferica della ruoa deaa v p (velocià calcolaa i corrispodeza della circofereza primiiva). Si può, i queso caso, oeere ramie la formula reperibile i leeraura [4]: k V 5,6 + v p (3) 5,6 Per igraaggi e codizioi di fuzioameo ordiarie la ormaiva forisce u alra espressioe aaliica:

5 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 7 K V + BA per F z N mi < 50, > 50 (4) b mm dove B ([B]s/m) e A ([A]m/s) hao le seguei espressioi: A v pz mi 00 B (9 G) c(0,7) (5) essedo G il grado di precisioe della ruoa deaa e c ua cosae: ( c 0, 8 per ruoe a dei dirii co G 9 e c 0, per ruoe a dei elicoidali co G 9). Se il umero di dei miimo è superiore a 50 o la forza riferia alla larghezza di fascia è iferiore al limie, bisoga usare dei K V più cauelaivi di quelli calcolai, oppure svolgere ua aalisi diamica complea. Iolre, se A o supera i 3m/s, possiamo assumere valore uiario per il faore diamico. K Fb è il faore di disribuzioe logiudiale del carico (o di disallieameo) e iee coo delle disuiformià di applicazioe del carico lugo il dee (el caso di macaza di iformazioi precise si può ipoizzare uiario). KFa è il faore di disribuzioe logiudiale del carico (o di disallieameo) e iee coo delle disuiformià a causa di errori di passo e di profilo ell applicazioe del carico (el caso di macaza di iformazioi precise si può ipoizzare uiario). Tabella 3 Valori del faore di applicazioe del carico K A I parameri relaivi alla faica soo: y ST faore di correzioe della esioe; S Fmi faore di sicurezza a flessioe; y drelt faore relaivo di sesibilià all iaglio; y RrelT faore relaivo dello sao della superficie al piede del dee; y X faore di dimesioe; y NT faore di duraa. Essi egoo coo delle riduzioi della esioe ammissibile per cause preamee correlae alla faica. I paricolare: y ST è il faore di correzioe della esioe e iee coo del ipo di solleciazioe (pulsae, aleraa, aleraa posiiva ) e si ricava uilizzado il diagramma di Smih e Goodma (Figura 0). Nel caso, ad esempio, di solleciazioe pulsae posiiva si ha (come impliciamee idicao ella ormaiva):

6 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 8 s s FP Flim ys 0 S Fmi è il faore di sicurezza a flessioe (per le solleciazioi di faica i geerale è uiario). Figura 0 - Diagramma di Smih e Goodma y drelt è il faore relaivo all iaglio e dipede dal grado di precisioe ecologica della ruoa deaa (è pari a uo per ruoe ecologicamee perfee prese come riferimeo). Si calcola come: ( + q ) + 0, s ρ' y δrelt (6) +,ρ' m π/4 h a0 ρ a0 Figura - Deiera di riferimeo Il coefficiee r dipede dalla sesibilià iriseca del maeriale all iaglio e si può ricavare da abelle forie dalla ormaiva; q s è deo paramero d iaglio e può essere calcolao come:

7 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 9 q s s F (7) ρ F Tale paramero è oeibile cooscedo le caraerisiche della deiera di riferimeo della ruoa (Figura ); s F ([s F ]mm) è lo spessore del dee al piede ed è calcolabile co le formule forie dalla ormaiva: co s F m z v π si 3 ϑ + G 3 cosϑ ρa m 0 (8) G ρ m ha m 0 a 0 + x (9) dove x è il coefficiee di sposameo del profilo della deaura e r F ([ρ F ]mm) è il raggio di curvaura i corrispodeza della esa del dee. Le formule per il calcolo soo forie dalla ormaiva: G m ρ F ρa0 + (30) cosϑ ( z cos ϑ G) y RrelT è il faore relaivo dello sao della superficie al piede del dee e dipede dal grado di fiiura superficiale ei pui di maggiore solleciazioe alla base del dee. La ormaiva forisce delle espressioi aaliiche del ipo: v y RrelIT a b( R y RrelIT m + ) c R µ m R m µ m m 40µ m (3) dove R m è la rugosià media al piede del dee ([R m ]µm). Le cosai a, b, c, dipedoo dal maeriale. La ormaiva forisce ache dei grafici per u calcolo più veloce, se o si ecessia di paricolare precisioe. y X è il faore di dimesioe e dipede dalle dimesioi della ruoa. Il faore di dimesioe è diagrammao i fuzioe del modulo ormale e del ipo di maeriale (Figura ). Se il maeriale cosiuee la ruoa è idoeo alla dimesioe della sessa ed è sao raao i modo opporuo, si può assumere queso faore di valore uiario. y NT è il faore di duraa o faore della curva di Wöhler e dipede dal maeriale uilizzao. Per la maggior pare dei maeriali uilizzai i meccaica si può esprimere come: y y y NT NT NT k N N per N N Lv E ol per N ol N N per N > N A A (3) dove k, N ol, N A, E soo cosai dimesioali dipedei dal maeriale e forie dalla ormaiva.

8 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 0 Nella ormaiva soo riporai gli adamei dei faori di duraa per alcue classi di maeriali (Figura 3) e soo iolre forie le corrispodei relazioi aaliiche. A iolo di esempio si ripora la relazioe aaliica del faore di duraa per gli acciai cemeai, co empra superficiale (Figura 4) (adameo della curva corrispodee illusraa i Figura 3). Figura Faore di dimesioe y X Figura 3 Faore di duraa y NT Figura 4 Relazioi relaive al faore di duraa y NT per acciai co empra superficiale

9 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 4. Normaiva UNI 886 Resiseza a piig Per quao riguarda il calcolo a faica per coao herziao ripeuo o piig la ormaiva UNI 886 (987) fa riferimeo alla codizioe di resiseza a roura del dee ramie la relazioe: dove H HP (33) H è la pressioe di coao (pressioe di Herz) espressa el modo seguee: F u ± H zh ze z z K β A KV K K Hβ Hα d b u (34) ed è ua esioe calcolaa (come ella verifica a flessioe) che dipede dalla forza ageziale F (forza media di fuzioameo), dalla larghezza di fascia b, dal rapporo d igraaggio u ( u z / z ), dal diamero primiivo della ruoa più piccola d e da ua serie di faori (parameri relaivi all igraaggio e parameri relaivi al fuzioameo). La esioe HP è dea pressioe di coao ammissibile (pressioe di Herz ammissibile) ed è calcolaa el seguee modo: HP H S lim z Hmi N z z z z z L R V W X (35) dove H lim è la pressioe limie base di faica di superficie, S H mi è il faore di sicurezza miimo al piig e i parameri Z N, Z L, soo i faori relaivi alla faica; Z N è il faore di duraa e può essere cosiderao, aalogamee al caso della faica per flessioe, come la curva di Wöhler a piig del compoee. I parameri relaivi all igraaggio soo: z H faore di zoa; z E faore di elasicià del maeriale; z e faore del rapporo di codoa; z b faore dell agolo d elica. e egoo coo degli effei della geomeria del dee sulla massima la pressioe di coao che si realizza el maeriale. I paricolare: z H è il faore di zoa ed è fuzioe degli agoli caraerisici delle ruoe e iee coo degli effei della curvaura relaiva dei fiachi dei dei el puo primiivo di igraameo. Il faore di zoa si calcola ramie la relazioe seguee: z H ' ' cosβb cosα (36) cos α si α dove gli agoli α, α (le gradezze co l apice soo relaive al fuzioameo per igraaggi agliai co sposameo dei profili) possoo essere deermiai, oi, α e β, ramie le relazioi:

10 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie aα cosα / aα cos β d cosα / d (37) dove d è il diamero primiivo di riferimeo e d quello primiivo di fuzioameo. Ovviamee essi coicidoo per ruoe a profili o sposai, così come α e α. z E è il faore di elasicià del maeriale e dipede dalle caraerisiche elasiche del maeriale; si oiee dalla relazioe seguee ( E, E e ν, ν soo rispeivamee i moduli elasici e i coefficiei di Poisso delle due ruoe): z E ν π + E ν E (38) ze è il faore del rapporo di codoa e dipede dal rapporo di codoa rasversale e dal rapporo di ricoprimeo ed è pari a: z z 4 3 z α 4 3 ( ) α α β β + β β α 0 β < z b è il faore dell agolo d elica e iee coo degli effei dell agolo d elica sulla disribuzioe del carico. Si calcola ramie la relazioe (oeua sperimealmee): zβ cos β (39) I parameri relaivi al fuzioameo soo: K A faore di applicazioe del carico. K V faore diamico. K Hb faore di disribuzioe logiudiale del carico (o di disallieameo); K Ha faore di disribuzioe rasversale del carico. I parameri K A e K V soo ideici a quelli calcolai per il caso della flessioe. Iolre: K Hb è il faore di disribuzioe logiudiale del carico (o di disallieameo) e iee coo delle disuiformià di applicazioe del carico lugo il dee (el caso di macaza di iformazioi precise si può ipoizzare uiario). K Ha è il faore di disribuzioe rasversale del carico e iee coo delle disuiformià a causa di errori di passo e di profilo ell applicazioe del carico (el caso di macaza di iformazioi precise si può ipoizzare uiario). I parameri relaivi alla faica soo: S Hmi faore di sicurezza a piig; Z L faore del lubrificae;

11 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 3 Z R faore di rugosià; Z V faore di velocià; Z W faore del rapporo fra durezze; Z X faore di dimesioe; Z N faore di duraa. Essi egoo coo delle riduzioi della pressioe limie base di faica di superficie per cause preamee correlae alla faica. I paricolare: S Hmi è il faore di sicurezza a piig (i geerale è uiario). Z L è il faore del lubrificae ed è fuzioe della viscosià ciemaica del lubrificae a emperaure sadard (40 C e 50 C) e della esioe. La ormaiva ripora delle espressioi aaliiche per il calcolo e u diagramma che esprime l adameo di Z L i fuzioe della viscosià (Figura 5). H lim Figura 5 - Faore del lubrificae Z L Z R è il faore di rugosià ed è fuzioe delle rugosià medie sui fiachi dei dei e della esioe H lim. La ormaiva ripora delle espressioi aaliiche per il calcolo e u diagramma che esprime l adameo di Z R i fuzioe della rugosià di superficie (Figura 6). Z V è il faore di velocià e iee coo degli effei della roazioe ramie la massima velocià periferica v p. La ormaiva ripora delle espressioi aaliiche per il calcolo e u diagramma che esprime l adameo di Z V i fuzioe della velocià periferica e della esioe lim (Figura 7). Z W è il faore del rapporo ra durezze e iee coo del fao che la resiseza di ua ruoa di acciaio aumea se quesa igraa co u pigoe che ha subio u idurimeo superficiale e presea ua bassa rugosià sulla superficie dei dei. I prima approssimazioe è fuzioe solo della durezza della ruoa più eera e può essere espresso ramie la relazioe: H

12 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 4 HB 30 Z W, (40) 700 dove HB è la durezza Briell sui fiachi della ruoa. Se HB<30 oppure HB>400 si assume Z W pari a uo. I realà alri faori ifluiscoo su Z W, perciò la formula aaliica ci forisce solo il valore cerale di ua fascia di valori, come si può chiaramee oare dal diagramma forio dalla ormaiva (Figura 8). Z X è il faore di dimesioe e dipede dalle dimesioi della ruoa. Se il maeriale cosiuee la ruoa è idoeo alla dimesioe della sessa ed è sao raao i modo opporuo si può assumere valore uiario. Z N è il faore di duraa o faore della curva di Wöhler e dipede dal maeriale uilizzao. Per la maggior pare dei maeriali uilizzai i meccaica si può esprimere ramie relazioi aaloghe alle (3). La relazioe geerale per il faore di duraa è la seguee: NLV ZN N L dove N L è il umero di cicli richieso e N LV e d E hao i valori riporai i Figura 0. Nella ormaiva, ifai, soo riporai gli adamei dei faori di duraa per alcue classi di maeriali (Figura 9) e soo iolre forie le corrispodei relazioi aaliiche (Figura 0). E Figura 6 - Faore di rugosià Z R

13 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 5 Figura 7 - Faore di velocià Z V Figura 8 - Faore del rapporo fra durezze Z W

14 3ALPGC-Cosruzioe di Macchie 6 Figura 9 - Faore di duraa Z N Figura 0 - Relazioi relaive al faore di duraa Z N per acciai co empra superficiale