ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (Oy) è assegnata la funzione: y a b log ove log denota il logaritmo naturale di e a e b sono numeri reali non nulli. a) Si trovino i valori di a e b per i quali il grafico G della funzione passa per i punti (e ; ) e (e ; e ); b) si studi e si disegni G; c) si determini l equazione della curva G simmetrica di G rispetto alla retta y y (); d) si determini, con uno dei metodi numerici studiati, un approssimazione dell area delimitata, per, da G e da G ; e) si disegnino, per i valori di a e b trovati, i grafici di: y a b lo, g y a b log. PROBLEMA È data la sfera S di centro O e raggio r. Determinare: a) il cono C di volume minimo circoscritto a S; b) il cono C di volume massimo inscritto in S; c) un approssimazione in litri della capacità complessiva di C e C, posto r metro; d) la misura, in gradi sessagesimali, dell angolo del settore circolare sviluppo della superficie laterale del cono C; e) la misura approssimata, in gradi sessagesimali, dell angolo di semiapertura del cono C applicando uno dei metodi numerici studiati. QUESTIONARIO Da un urna contenente 9 palline numerate se ne estraggono quattro senza reimbussolamento. Supponendo che l ordine in cui i numeri vengono estratti sia irrilevante, come è nel gioco dell Enalotto, si calcoli la probabilità che esca la quaterna (7, 7, 67, 87). Calcolare la probabilità che in dieci lanci di una moneta non truccata dal quinto lancio in poi esca sempre testa. Zanichelli Editore, 7

2 6 Calcolare la derivata rispetto a della funzione b f (t)dt, ove f () è una funzione continua. Calcolare:. sen t dt lim Utilizzando il teorema di Rolle provare che tra due radici reali di e sen c è almeno una radice reale di e cos. Applicando il teorema di Lagrange all intervallo di estremi e, provare che: log e dare del risultato un interpretazione grafica Verificare che la funzione: y e e è invertibile e detta g la funzione inversa, calcolare g (). Con uno dei metodi di quadratura studiati, si valuti l integrale definito lo g d con un errore inferiore a. Verificato che l equazione cos log ammette una sola radice positiva compresa tra e se ne calcoli un approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati. Chiarire, con esempi appropriati, la differenza in matematica tra «concetto primitivo» e «assioma». Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 7

3 PROBLEMA a) Imponendo il passaggio del grafico G per i punti assegnati si ottiene il seguente sistema: a b e e a b e SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva a b a b Tale sistema ha per soluzione a b. La funzione corrispondente a questi valori dei parametri è f () log. b) Il campo di esistenza della funzione f è l intervallo D ]; [. Quindi G non interseca l asse y, mentre interseca l asse nel punto (e ; ). Inoltre la funzione è positiva per e e negativa per e. Calcoliamo i limiti agli estremi del campo di esistenza: lim log e, per il teorema di De L Hospital, lim log lim. La curva ha asintoto verticale e asintoto orizzontale y. + Studiamo la derivata prima: ( log ) f () lo g. Tale derivata è positiva per, negativa per e nulla solo in. Nella figura è riportato il quadro dei segni della derivata prima. Per la funzione presenta un massimo assoluto. Tale massimo ha immagine f (). Studiamo ora la derivata seconda: log f () log. Il denominatore di tale derivata è sempre positivo nel campo di esistenza della funzione, quindi f () è positiva se log, cioè se e, negativa se e e nulla solo in e (figura ). La funzione f ha un flesso nel punto (e; f (e)), cioè in F e; e. Il grafico G della funzione f è rappresentato nella figura. Figura. e y f'() f() f''() f() M O Figura. Figura. e F e ma e flesso G + Zanichelli Editore, 7

4 c) Le equazioni della simmetria rispetto al generico asse y c sono: y c y Nel nostro caso, l asse è y y () e quindi la trasformazione ha equazioni: s: y y y y Sostituendo tali relazioni nell equazione y log, si ottiene: y log. Dunque la curva G ha equazione y log. d) Rappresentiamo nella figura i grafici G e G ed evidenziamo la superficie richiesta. y y= H A G' y= G O Secondo il calcolo integrale, l area vale: log log d log d. Per il calcolo approssimato di tale integrale utilizziamo il metodo dei trapezi. Non avendo alcun vincolo sulla precisione dell approssimazione, scegliamo una suddivisione dell intervallo [; ] in sottointervalli di ampiezza h mediante i cinque punti k k, k,,,,. log Sia g(). L approssimazione fornita dal metodo dei trapezi si esprime nel seguente modo: log d g() g() g g 6 g 7. Con l aiuto di una calcolatrice scientifica ricaviamo un approssimazione dei valori di g(), ottenendo: log d,,6,9,,. Osserviamo che l integrale di partenza può essere calcolato con esattezza: log d log log log log, Figura. Zanichelli Editore, 7

5 e) Disegniamo il grafico di y log. Osserviamo che si può scrivere: y log log se l og( ) se Quindi il grafico di tale funzione coincide con G per, mentre è il simmetrico di G rispetto all asse y per (figura ). +log y= Figura. Per rappresentare la funzione y log notiamo che si può scrivere: M' y M O y log f() f() se f() f() se f() y Il grafico di questa funzione è tracciato nella figura 6. M +log y= O e Figura 6. PROBLEMA V a) La figura 7 mostra una sezione del cono C circoscritto alla sfera, ottenuta sezionando con un piano passante per il vertice V e perpendicolare alla base. Scegliamo come incognita la misura dell altezza del cono, cioè VH. Tale incognita può variare nell intervallo ]r; [. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo VOT si ottiene: VT VO OT ( r) r r. Poiché i triangoli VOT e VBH sono simili (in quanto triangoli rettangoli con un angolo acuto in comune), si ha che VT OT VH HB, da cui: HB OT VH r. V T r Il volume del cono C è: O A H Figura 7. r T B V C HB VH r. r Determiniamo il minimo della funzione f () nell inter- r f'() r r + vallo ]r; [, calcolando la derivata prima della f : f () ( r) r. ( r) ( r) Lo schema in figura 8 riassume il segno della derivata prima. f() Figura 8. min Zanichelli Editore, 7

6 Si deduce che la funzione ha un minimo assoluto per r. In corrispondenza di tale valore il volume del cono C vale 8 r. b) La figura 9 rappresenta una sezione del cono inscritto alla sfera, ottenuta sezionando con un piano passante per il vertice V e perpendicolare alla base. V' O r A' H' B' Scegliamo come incognita la misura dell altezza del cono, cioè V H, con ]; r [. Ne segue che OH r e, per il teorema di Pitagora, H B OB OH r r r. Il volume del cono C è pertanto: V C H B V H (r ) (r ). Determiniamo il massimo della funzione g () r nell intervallo ]; r [. g () r (r ). Lo schema della figura riassume il segno della derivata prima. g'() Si ha il massimo assoluto della funzione g per r. In corrispondenza di tale valore il volume g() ma del cono C vale r Figura.. 8 c) Ponendo r metro e tenendo conto che m corrisponde a litri, il volume in litri del cono C vale: V C 8 m 8,778 m 877,8 litri. Figura 9. + r r Il volume, in litri, del cono C è invece: V C m, m, litri. 8 d) Sia l angolo del settore circolare sviluppo della superficie laterale del cono C, come mostrato nella figura. V α R Figura. 6 Zanichelli Editore, 7

7 La misura in radianti dell angolo è, per definizione, il rapporto fra la lunghezza l dell arco da esso sotteso (uguale alla lunghezza della circonferenza di base del cono) e il raggio R del settore circolare (che è uguale a VA di figura 7). L arco l è: l HB; sostituendo VH r nell espressione di HB trovata nel punto a), otteniamo che AH HB r e quindi l r. Applicando poi il teorema di Pitagora al triangolo AVH, si trova: R VA (r) (r) r. HB In conclusione, la misura in radianti di è r r e quindi, in gradi sessagesimali, VA vale. e) Si chiede un approssimazione della misura dell angolo HVˆB del cono C. Sappiamo che sen(hvˆb) HB, pertanto tale angolo vale arcsen. Cerchiamo di approssimare la soluzione dell equa- VB zione h(), con h() sen nell intervallo [; 9 ], con un errore, ad esempio, inferiore al centesimo di grado. Nell intervallo [; 9 ] la funzione y sen è crescente, inoltre sen, mentre sen. Possiamo quindi concludere che la soluzione cercata è tale che. Utilizziamo il metodo di bisezione restringendo l intervallo [; ] di partenza in successivi intervalli [a n ; b n ] finché ε n b n a n,. n a n b n m n a n b n, 7,, 8,7,7 8,7,,6,87 8,7,6 9,687,97 8,7 9,687 9,87, ,87 9,687 9,,7 7 9, 9,687 9,7, , 9,7 9,787, , 9,787 9,888, , 9,888 9,6777,68 9,6777 9,888 9,79766,7 Un approssimazione della soluzione a meno di, è, dunque, 9, Possiamo controllare tale risultato utilizzando la funzione «sin» di una calcolatrice scientifica: si ottiene arcsen 9,76 ε n 7 Zanichelli Editore, 7

8 QUESTIONARIO Il numero dei possibili gruppi formati da elementi, estratti da un insieme di 9 elementi distinti, che differiscono per almeno un elemento, sono le combinazioni C 9, : C 9, 9 9! 9. (9 )!! La probabilità di estrarre una particolare quaterna, nel nostro caso (7, 7, 67, 87), è data da: P,9, L evento considerato E è l evento composto dei seguenti dieci eventi indipendenti: E i in un lancio esce testa o croce, con i,,,, E k in un lancio esce testa, con k, 6, 7, 8, 9,. Poiché p (E i ) e p (E k ), risulta: p (E ) 6. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale vale D D b f (t)dt D b f (t)dt f (). b f (t)dt f (). Quindi: Il limite si presenta nella forma indeterminata. Applichiamo il teorema di De L Hospital, calcolando la derivata del numeratore tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale: lim sen t dt lim se n per il limite notevole lim se n risulta lim se n e quindi: lim se n. Siano a e b due soluzioni dell equazione e sen. Dalla relazione e sen ricaviamo sen e. Consideriamo ora la funzione f () sen e. Si ha f (a) f (b). Inoltre f è continua e derivabile nell intervallo ]a; b [. Pertanto la funzione f soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [a; b]. Esiste quindi un punto c interno all intervallo tale che f (c). Essendo f () cos e, si ha che f (c) cos c e c. Pertanto c è soluzione dell equazione cos e ; ossia e cos. 8 Zanichelli Editore, 7

9 6 Consideriamo la funzione f (t) log t nell intervallo [; ]. Essa è derivabile e continua in tale intervallo. Sono quindi verificate le ipotesi del teorema di Lagrange. Ne segue che esiste un punto c ]; [ tale che f ( ) f () f (c), cioè log log c. Pertanto vale c log. Inoltre, essendo c, si ha che. Ne segue: y c y= log. y=log Moltiplicando per i termini della doppia disuguaglianza y= si ottiene: O log log. La figura mostra come il grafico della funzione y log sia compreso nella regione delimitata dai grafici del ramo di iperbole y, con, e della retta y. Figura. 7 8 La funzione f () e è definita in tutto R, in quanto il denominatore non si annulla per nessun valore di. Calcoliamo la derivata prima di f : e e ( e ) ( e )( e ) e f (). ( ( e ) e ) Essa è positiva per ogni valore di. Quindi f è strettamente crescente in R. Pertanto la funzione f è invertibile. Definita la funzione inversa g () f (), calcoliamo g (). Osserviamo che f (), cioè f (). Quindi, ricordando il teorema di derivazione della funzione inversa, risulta: g (). f () Valutiamo l integrale definito della funzione f () lo g nell intervallo [; ] attraverso il metodo delle parabole. La funzione ammette derivata quarta continua su [; ], f () () log. Il massimo del valore assoluto di tale derivata nell intervallo considerato vale M. Indicato con n il numero di parti in cui dividiamo l intervallo generico [a; b], è noto che l errore che si compie con il metodo delle parabole è minore o uguale a ε n, con: ε n ( b a) M. 88n Nel nostro caso ε n ( ) 88n 9n. Posto si ricava n 9 n 9 8,6. Pertanto, preso n 9, dividiamo l intervallo [; ] in diciotto sottointervalli di ampiezza h 8 9. Costruiamo la seguente tabella. 9 Zanichelli Editore, 7

10 a f (a) y y y y y y 6 y 7 y 8 y 9,98,69,76,8,8,6,6,67, b y y y y y y y 6 y 7 f (b),9,9,6,66,67,678,6779,67,66 Applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson: lo g h d [f (a) f (b) (y y y 6 y 6 ) (y y y y 7 y 7 )],66. Osserviamo che tale integrale è calcolabile esattamente e il suo valore è: lo g d [log ] log,67 Si osserva che l errore commesso, di circa,, è inferiore a quello richiesto ( ). 9 La funzione f () cos log è continua su [; ], ammette derivata prima f () sen che risulta negativa in tale intervallo. Inoltre vale f () e f (). Per il primo teorema dell unicità dello zero, la funzione ammette un unico zero nell intervallo [; ]. Ricaviamo un approssimazione di tale zero a meno di, procedendo con il metodo iterativo della bisezione, restringendo l intervallo [; ] di partenza in successivi intervalli [a; b] finché b a,. n a n b n a n b n,,,,,,,,7,,,7,,6 ε n Un approssimazione della soluzione a meno di, è pertanto,. In matematica vi sono alcuni «oggetti» che non si definiscono ma vengono accettati come noti. Essi sono detti «concetti primitivi» o «enti primitivi». Ad esempio, gli enti primitivi della geometria euclidea dello spazio sono il punto, la retta e il piano. A partire da questi oggetti si definiscono tutti gli altri. Gli «assiomi» o «postulati» chiariscono la natura degli enti primitivi fornendone le proprietà di base. Più precisamente, gli assiomi sono proposizioni accettate come vere, senza dimostrazione, che stabiliscono le relazioni che intercorrono tra gli enti primitivi nella particolare branca della matematica alla quale si riferiscono. Ad esempio, nella geometria euclidea si postula che «per un punto passano infinite rette», «per due punti distinti passa una sola retta». Il più famoso postulato della geometria euclidea è quello delle rette parallele («data una retta r ed un punto P non appartenente a essa, esiste un unica retta passante per P e parallela a r»). Modificando questo postulato si creano geometrie diverse, dette «non euclidee». Zanichelli Editore, 7

11 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema pag. W 68 (punti a, b, c) Esercizio pag. J 6 Problema 7 pag. 7 Problema Problema pag. W 68 Problema 6 pag. V 9 Esercizio 69 pag. 8 Quesito Esercizio pag. 9 Esercizio pag. 9 Problema pag. 9 Quesito Esercizio pag. 9 Problema pag. 99 Quesito Quesito pag. W 6 Quesito pag. W 6 Quesito 8 pag. W 6 Quesito Esercizio 9 pag. W Quesito pag. W 7 Quesito Quesito pag. W 7 Esercizio 7 pag. V Quesito 6 Quesito 6 pag. W 69 Quesito pag. V 88 Quesito 7 Esercizio pag. V Esercizio pag. V Quesito pag. W 67 Quesito 8 Problema 7 pag. 9 (punti b, c) Problema 6 pag. 6 (punto b) Quesito 9 Esercizio pag. Esercizio 7 pag. 8 Quesito pag. 6 Quesito Quesito pag. Zanichelli Editore, 7

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