Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica

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1 Fotogrammetra Scopo della fotogrammetra è la determnazone delle poszon d punt nello spazo fsco a partre dalla msura delle poszon de punt corrspondent su un mmagne fotografca. Ovvamente, affnché questo sa possble, è necessaro che sano note n modo precso le relazon geometrche fra le poszon spazal de punt dell oggetto rappresentato e quelle delle loro mmagn sul pano della fotografa. In generale, la descrzone d queste corrspondenze non è semplce e rchede una conoscenza dettaglata del cammno ottco de ragg lumnos attraverso l sstema lent che costtusce l obettvo della macchna fotografca. Tuttava è possble adottare, con buona approssmazone, una schematzzazone, n base alla quale s può affermare che segment che congungono punt dell oggetto rappresentato con le loro mmagn s ncontrano tutt n un punto, generalmente dstante qualche cm dal pano della fotografa, detto centro d presa (fg.1). La dstanza del centro d presa dal pano dell mmagne è detta dstanza prncpale, e dpende dalla confgurazone dell obettvo; pertanto, essa s mantene fssa fnché l assetto del sstema d lent non vene modfcato. Negl apparecch fotografc usat per fotogrammetra, qund, operazon come la messa a fuoco, che comportano un movmento relatvo delle lent, n generale non possono essere esegute, o rchedono n ogn caso un controllo rgoroso. A C B A dstanza prncpale O centro d presa B fg.1 Geometra della presa fotogrammetrca C Il rapporto fra la dstanza prncpale p e la dstanza dell'oggetto dal centro d presa fornsce la scala dell'mmagne. Ad esempo, con rfermento a fotografe aeree d una porzone d terrtoro, posto p=15cm (che è un valore tpco per gl apparecch fotografc n uso), una quota d volo d 450m corrsponde a una scala d 1:3000, una quota d 900m a una scala d 1:6000, una quota d 1800m a una scala d 1:12000, e così va. Per poter esegure msure d poszone sull mmagne, è necessaro che sul suo pano sa defnto un sstema d ass cartesan, che n generale è vsualzzato da un nseme d marche mpresse su bord dell mmagne (fg.2). Idealmente, l obettvo dovrebbe essere costruto n modo che la perpendcolare condotta dal centro d presa al pano dell mmagne cada esattamente nell orgne delle coordnate. Generalmente questo non avvene n modo esatto: la proezone del centro d presa sul pano dell mmagne dsta alcun µ m (mcron, ossa mllesm d mllmetro) dall orgne. Tuttava le sue coordnate x e y possono essere msurate esattamente e dcharate dalla casa costruttrce nseme con la dstanza prncpale. Quest 3 numer sono dett parametr d orentamento nterno.

2 y x marche O proezone ortogonale del del centro d presa fg.2 Orentamento nterno Inoltre, per le caratterstche ottche dell obettvo, la poszone de punt sull mmagne s dscosta leggermente (anche n questo caso d alcun mcron) da quella prevsta n base allo schema geometrco sopra descrtto. Sono coè present delle deformazon ottche. Anche queste, tuttava, s mantengono fsse per una data confgurazone dell obettvo, e possono essere msurate, modellzzate e dcharate dalla casa costruttrce. In genere la parte prevalente d queste deformazon è radale (ossa, dpende solo dalla dstanza dall orgne) ed è ben descrtta da un polnomo: 3 5 δ r = k1r + k2r con k 1 >> k 2. Quest coeffcent, nseme con parametr d orentamento nterno, sono nsert nel certfcato d calbrazone. Con l uso dell appareccho queste quanttà possono subre lev varazon nel tempo, ed è qund consglable rcalbrare perodcamente l appareccho. Per esegure un rlevo fotogrammetrco è qund n lnea d massma necessaro dsporre d apparecch specal (camere metrche o semmetrche) molto pù costos d quell reperbl sul mercato a scopo amatorale, che non offrono la possbltà d controllare n modo rgoroso la geometra della presa. Immagn dgtal Negl ultm ann hanno avuto grande dffusone, anche per scop fotogrammetrc, apparecch fotografc dgtal. Come è noto, le mmagn memorzzate per l'elaborazone nformatca sono dscretzzate, ossa suddvse n un retcolo regolare d pccole aree (pxel, che sgnfca pcture elements), a cascuna delle qual vene attrbuto un tono d grgo (per le mmagn n banco e nero) secondo una scala, anch'essa dscretzzata, che, nelle applcazon pù comun, contene 2 8 = 256 lvell. Ogn pxel occupa qund n memora 8bt=1byte. Le mmagn a color rsultano dalla composzone d un certo numero (ad esempo 3) d color fondamental, per cascuno de qual s ha una scala d lvell. In questo caso, lvell d colore sono 2, ossa crca 16 mlon. Tpcamente un mmagne fotografca dgtale contene alcun mlon d pxel. Per fare un esempo numerco, s consder un mmagne con = pxel. Se quest mmagne è rappresentata n un formato cm, ogn mm lneare contene 20 pxel, e qund ogn pxel msura 50µ m. Spesso la rsoluzone d un mmagne vene msurata n dp (dots per nch, ossa punt per pollce lneare); poché un pollce corrsponde a crca 25.4mm, nell esempo vsto sopra la rsoluzone è = 508 dp.

3 Nella memora del computer l mmagne s confgura come una matrce numerca le cu rghe e colonne corrspondono alle rghe e colonne d pxel e cu valor numerc rappresentano ton d grgo o d colore. L occupazone d memora è 1byte per pxel; qund nell esempo vsto sono byte 4.96 Mbyte (1Mbyte= 2 byte). Tuttava, è possble esegure una compressone d mmagne, che comporta n generale una sgnfcatva rduzone della memora occupata. La compressone consste n un modo dverso d organzzare l nformazone su ton d colore contenut nell mmagne, che, anzché ndcare ton d colore pxel per pxel, utlzza opportune funzon che descrvono le varazon de ton d colore sulla superfce dell mmagne, sfruttando l fatto che vaste zone dell mmagne spesso sono occupate da pxel l cu tono d colore è rappresentato da numer che varano lentamente (ad esempo, porzon d celo). Questo fa sì che n genere foto con una dstrbuzone unforme d color occupno meno memora d foto con fort contrast. L utlzzo d questo sstema d memorzzazone rchede n generale una leve modfca de ton d colore, che però, se s usa una compressone ad alta qualtà, rsulta pressoché mpercettble all occho. Raddrzzamento Poché l mmagne è pana (qund 2-dm.), mentre l oggetto rprodotto è 3-dm., non è possble, n base alla geometra della presa, determnare n modo unvoco la poszone de punt dell oggetto dalle msure della poszone de punt corrspondent su una sngola mmagne. Infatt, una volta ndvduata la retta congungente un punto dell mmagne con l centro d presa, pur sapendo che l punto corrspondente sull oggetto deve stare su questa retta, l mmagne non fornsce alcuna ulterore nformazone sulla dstanza dal centro d presa a cu questo punto s trova. Tuttava, se anche l oggetto è pano (ad esempo la faccata d un edfco, gnorando tutt gl aggett e le rentranze present, la cu profondtà è spesso pccola rspetto alle dmenson della faccata), è possble, analzzando le deformazon prospettche, rcostrure l orentazone relatva del pano dell oggetto rspetto al pano dell mmagne, e qund, utlzzando anche un pccolo numero d msure esegute drettamente sull oggetto, stablre precse relazon fra le poszon de punt sull mmagne e quelle de punt corrspondent sull oggetto. A causa delle deformazon prospettche, dovute al fatto che pan dell oggetto e dell mmagne non sono parallel, fasc d rette parallele sull oggetto vengono trasformat sull mmagne n fasc d rette che s ncontrano tutte n un unco punto, detto punto d fuga. Se s consdera ad esempo una faccata rettangolare, e se s assume che la perpendcolare al pano dell mmagne sa nclnata sa rspetto ad un pano orzzontale sa lateralmente, fasc d rette parallele agl spgol vertcal e a quell orzzontal della faccata vengono entramb trasformat n fasc d rette convergent n due punt d fuga (fg.3). Introducendo un sstema d ass xy sull mmagne e un sstema d ass XY sull oggetto (quest ultmo generalmente scelto n modo che l asse X sa orzzontale e l asse Y vertcale), l espressone matematca della trasformazone (detta trasformazone omografca) è ax + by + c X = px + qy + 1 a' x + b' y + c' Y = px + qy + 1 (1) S verfca che la trasformazone nversa, che esprme le coordnate sull mmagne n funzone d quelle sull oggetto ha un espressone smle:

4 mx + ny + k x = rx + sy + 1 m' X + n' Y + k' y = rx + sy + 1 (2) fg.3 Deformazon prospettche La trasformazone dpende da 8 parametr (nella (1), a, b, c, a', b', c', p, q ). Poché quest parametr dpendono dall orentazone del pano dell mmagne rspetto al pano dell oggetto, oltre che da parametr d orentamento nterno, l loro valore è dverso da foto a foto, e va qund determnato per ogn mmagne. A tale scopo, è necessaro che nella (1) parametr sano le unche ncognte, e qund per alcun punt devono essere note non soltanto le coordnate x,y sull mmagne, ma anche le coordnate X,Y de corrspondent punt sull oggetto. Pù precsamente, dato che parametr da determnare sono 8, è necessaro scrvere 8 equazon. Poché per ogn punto s possono scrvere le 2 equazon d (1), bsogna consderare 4 punt d cu devono essere note sa le coordnate sull mmagne sa le coordnate sull oggetto. S not che le equazon (1) sono lnear ne parametr: ad esempo, la prma s può scrvere xxp + yxq xa yb c = X. Per poter conoscere le coordnate sull oggetto è necessaro esegure msure topografche. I punt d coordnate note sull oggetto sono dett punt d appoggo. Una volta calcolat valor de parametr, è possble utlzzare la (1) per calcolare le coordnate X,Y d qualsas punto sull oggetto dverso da punt d appoggo dopo aver msurato le sue coordnate x,y sull mmagne. Naturalmente eventual error nella msura delle coordnate sull mmagne e sull oggetto s rpercuotono su valor calcolat de parametr, e qund sulle coordnate sull oggetto de punt dvers da punt d appoggo. Poché n generale l sstema d equazon ammette un unca soluzone, non c è modo d accorgers degl error d msura commess. Se nvece s msura un numero rdondante (maggore d 4) d punt d appoggo, s può scrvere un numero d equazon pù grande del numero d parametr. In generale queste equazon rsultano ncompatbl a causa della presenza degl error d msura, dstrbut casualmente. Questo sgnfca che n generale non esste una soluzone esatta, e c s deve accontentare d una soluzone approssmata, determnata, come s vedrà n seguto, con l metodo de mnm quadrat; l enttà degl scart present nelle dverse equazon rflette n qualche modo l enttà degl error commess. Il prodotto fnale del raddrzzamento (fg.4) è una nuova mmagne cu punt sono ottenut da quell dell mmagne orgnara eseguendo una trasformazone omografca con parametr calcolat,

5 e che qund rappresenta correttamente l oggetto n scala. Bsogna però tenere presente che, se l mmagne è dgtale, l trasformato d un pxel, che è d forma quadrata o tutt al pù rettangolare, non è n generale un pxel: nfatt un rettangolo s trasforma n un quadrlatero cu lat non sono parallel. E' qund necessaro defnre con un opportuno algortmo l tono d grgo da attrbure a cascun pxel dell'mmagne trasformata. Ad esempo, s può attrbure a cascun pxel l tono d grgo del pxel dell'mmagne orgnara a cu appartene l punto l cu trasformato è l suo punto centrale, oppure, consderat tutt pxel contenent punt cu trasformat appartengono ad un dato pxel dell'mmagne raddrzzata, attrbure a quest'ultmo l valore medo de loro ton d grgo. Queste procedure, che sono classfcate fra le procedure d rcamponamento, modfcano qualtatvamente l'mmagne e possono anche portare a un suo deteroramento. fg.4 presa nclnata e raddrzzamento Il raddrzzamento può essere eseguto drettamente sull'mmagne anche se non s dspone d poszon d punt sull'oggetto; n tal caso, per ottenere unctà della soluzone, occorre mporre 8 vncol drettamente sull mmagne. Per ottenere questo rsultato s può ndvduare la poszone sull'mmagne de due punt d fuga (2 coordnate per cascuno d ess, ossa 4 condzon), rcavabl come punt d ncontro d lnee ben ndvduabl sull'mmagne e corrspondent sull'oggetto a segment d rette parallele agl ass del sstema d coordnate, e noltre un punto che rmane fsso (2 condzon), e un fattore d scala per cascuno de due ass (2 condzon). Questa operazone vene eseguta automatcamente da molt programm d trattamento d mmagn dgtal. Tuttava, dato che è necessaro ntrodurre due dstnt fattor d scala nelle drezon de due ass, n generale l'mmagne rsultante non dà una rappresentazone fedele dell'oggetto, a meno che l rapporto fra

6 due fattor d scala non sa dervato da un'nformazone rcavata drettamente da msure sull'oggetto stesso. Rcostruzone stereoscopca del modello 3D S è gà osservato che un mmagne 2D non fornsce nformazon suffcent per la rcostruzone trdmensonale d un oggetto. Queste nformazon possono essere ottenute se s dspone d 2 mmagn che rproducono l oggetto osservato da 2 punt d vsta dfferent (fg.5). E facle capre che, se sono note le poszon de 2 centr d presa e le orentazon delle 2 mmagn al momento dello scatto, la poszone d un punto sull oggetto è unvocamente determnata dalle poszon de punt che lo rappresentano sulle mmagn (dett punt omologh); nfatt l punto sull oggetto è l punto d ncontro delle 2 rette che congungono 2 punt omologh con centr d presa corrspondent (fg.6). In generale, tuttava, le nformazon sulle poszon de centr d presa e sull orentazone delle mmagn non sono dsponbl. Soltanto n temp recent, n fotogrammetra aerea, sono state svluppate delle tecnche che consentono, con l uso d strumentazone GPS e d accelerometr a bordo dell aereo, d rcostrure stante per stante poszone e orentazone del sensore fotografco. E però possble rcavare queste nformazon dall esame delle mmagn fotografche, con l aggunta della conoscenza delle poszon d un pccolo numero d punt sull oggetto, rcavata da msure topografche. Date 2 mmagn che rappresentano lo stesso oggetto, per ndvduare la loro poszone relatva all stante dello scatto, occorre dsporle n modo che, per ogn coppa d punt omologh, le rette che l congungono con centr d presa corrspondent s ncontrno. Ovvamente, dato che le coppe d punt omologh sono nfnte (o n ogn caso, per un mmagne dscretzzata, un numero molto elevato), è mpossble verfcare che tutte soddsfno questa condzone; tuttava, come s vedrà, è suffcente fare la verfca per un pccolo numero d coppe. Questa operazone è detta orentamento fotogrammetrco. Una volta determnata la poszone e l orentazone delle mmagn, è possble determnare la poszone 3D d un qualsas punto le cu rappresentazon sulle mmagn sano ben dentfcabl; s può così esegure la resttuzone stereoscopca del modello 3D. Bsogna però osservare che la condzone mposta d ncontro delle rette congungent punt omologh con corrspondent centr d presa non defnsce n modo unvoco le poszon delle 2 mmagn e dell oggetto. Innanztutto, la confgurazone dell oggetto e delle mmagn è nvarante per roto-traslazon, e qund, come è ovvo, è necessaro fssare una terna d ass ad essa soldale. Inoltre, una volta stablta una confgurazone, la condzone d ncontro delle rette vene mantenuta se centr d presa vengono spostat lungo la loro congungente, mantenendo nvarata l orentazone delle mmagn: nfatt n questo caso le rette corrspondent a cascuna coppa d punt omologh s mantengono sempre nello stesso pano (fg.7). Qund, qualunque sa la poszone de centr d presa lungo la retta congungente, punt d ncontro delle rette uscent da punt omologh generano un modello 3D che è una rappresentazone dell oggetto n una scala proporzonale alla dstanza da centr d presa.

7 A B fg.5 coppe stereoscopche d fotogramm A archtettonca B aerea

8 La rcostruzone dell oggetto può qund essere descrtta ndvduando due fas dstnte (tuttava non necessaramente separate sul pano operatvo, come s vedrà). La prma, detta orentamento relatvo, consste nell ntrodurre una terna d ass arbtrara soldale alle mmagn e una dstanza arbtrara fra 2 centr d presa, n modo da avere l unctà della soluzone ottenuta mponendo l ncontro delle rette e costrure un modello 3D dell oggetto n una poszone e n una scala arbtrara; la seconda, detta orentamento assoluto, consste nel rportare l modello alla scala dell oggetto e nell esegure una roto-traslazone dal sstema d ass fssato arbtraramente ad un sstema soldale con l oggetto. fg.6 - schema d coppa stereoscopca Per entrare pù n dettaglo, s assuma, ad esempo, che l sstema d ass soldale alle mmagn abba l orgne nel centro d presa d una delle mmagn, l asse Z perpendcolare a questa mmagne, con l verso postvo dretto dall orgne verso l mmagne, gl ass X e Y parallel agl ass defnt dalle marche sull mmagne stessa. In questo modo, le coordnate X,Y,Z d un punto appartenente a questa mmagne sono determnate n modo molto semplce: se x,y sono le coordnate del punto nel sstema d ass defnto dalle marche, e se ξ, η sono le coordnate n questo stesso sstema della proezone ortogonale del centro d presa sull mmagne, s ha X = x ξ, Y = y η, Z = p (p=dstanza prncpale). (3) Per quanto rguarda l altra mmagne, se s voglono conoscere le coordnate d punt ad essa appartenent nel sstema d ass XYZ, è necessaro conoscere la poszone del suo centro d presa, defnta dalle coordnate X,Y,Z, e la sua orentazone, descrtta da 3 angol: 2 per defnre la drezone della retta ad essa perpendcolare (per esempo, l angolo con l asse Z e l angolo della sua

9 proezone sul pano XY con l asse X), e 1 per ndvduare l orentazone degl ass legat alle marche nel pano dell mmagne. Qund complessvamente 6 parametr ncognt da determnare. fg.7 - varazone d scala del modello Bsogna però rcordare che, per rsolvere n modo unvoco l problema dell orentamento relatvo, occorre fssare la dstanza fra centr d presa. D conseguenza, le coordnate X,Y,Z del centro d presa non sono fra d loro ndpendent, e possono essere tenut come ncognt, ad esempo, soltanto 2 angol che defnscono l orentazone della retta congungente centr d presa. Complessvamente, qund, parametr d orentamento che vanno consderat ncognt sono soltanto 5. Per determnare quest parametr devono essere mposte le condzon d ncontro delle rette congungent le coppe d punt omologh con corrspondent centr d presa. S scrvono qund le equazon d tal rette (dette equazon d collneartà), che sono della forma X X 1 2 X X 0 0 Y = Y 1 2 Y 0 Y 0 = Z Z 1 2 Z Z 0 0 (4)

10 dove, Y Z sono le coordnate del centro d presa, X, Y Z le coordnate del punto X 0 0, 0 1 1, 1 X 2, Y2, Z 2 sull mmagne, le coordnate del punto sull oggetto. Per la retta relatva alla prma X 0 0 mmagne, s ha Y0 = 0, X 1, Y1, Z1 sono date dalla (3), mentre X 2, Y2, Z 2 sono ncognte. Z 0 0 Per la retta relatva alla seconda mmagne, nvece, le coordnate del centro d presa e quelle del punto sull mmagne possono essere espresse n funzone de 5 parametr ncognt d orentamento, mentre la condzone d ncontro fra le 2 rette vene espressa semplcemente mponendo che le coordnate ncognte X, Y Z della seconda retta sano ugual a quelle della prma retta. 2 2, 2 Qund complessvamente le equazon d collneartà per una coppa d punt omologh (che sono 4, dato che ogn retta è espressa da 2 equazon) contengono 8 ncognte. Pù n generale, se vengono prese n consderazone le equazon d collneartà per n coppe d punt omologh, le equazon sono 4n, mentre le ncognte sono 3n+5, dato che le coordnate sull oggetto sono dverse per le dverse coppe, mentre parametr d orentamento sono sempre gl stess. Per n<5 l numero d ncognte è superore al numero d equazon, e non è possble determnare una soluzone unca. Il blanco fra numero d equazon e numero d ncognte s raggunge per n=5. E qund possble determnare l orentamento se la condzone d ncontro delle rette è soddsfatta per 5 coppe d punt omologh. Per n>5 l numero d equazon è superore al numero d ncognte, e n generale n questo caso, come s è gà vsto per l problema del raddrzzamento, è possble soltanto trovare una soluzone approssmata. Come s è gà detto, con l orentamento assoluto l modello 3D vene rportato alla scala dell oggetto e nserto n un sstema d rfermento legato all oggetto. Il cambamento d scala è dato da un sngolo parametro (costante moltplcatva). La trasformazone fra 2 sstem d ass è una roto-traslazone, descrtta da 3 parametr d traslazone (le 3 component del vettore che congunge le orgn de 2 sstem) e da 3 parametr d rotazone. Gl aspett algebrc delle trasformazon fra sstem d rfermento saranno descrtt n un captolo successvo; che parametr d una rotazone sano effettvamente 3, lo s può capre dal fatto, dscusso n precedenza, che per descrvere l orentamento relatvo d 2 mmagn sono necessar 3 angol. Per determnare quest 7 parametr ncognt bsogna rsolvere almeno 7 equazon d trasformazone che legano fra d loro le coordnate ne 2 sstem d ass, n cu le unche ncognte sano parametr; per questo devono essere note, oltre alle coordnate sul modello 3D calcolabl a partre dalle msure esegute sulle 2 mmagn, almeno 7 coordnate nel sstema d ass legato all oggetto (ossa le coordnate d 2 punt pù 1 coordnata d un terzo punto (punt d appoggo); per evtare ndetermnazone, l terzo punto non deve essere allneato con gl altr due, e noltre è opportuno che la coordnata nota sa rferta ad un asse la cu drezone è l pù possble dstante da quella della congungente gl altr 2 punt). E possble dare una descrzone n termn ntutv d questa operazone: - se sono note le coordnate d 2 punt nel sstema dell oggetto, è possble calcolare la loro dstanza; la varazone d scala è data dal rapporto fra questa dstanza e la dstanza fra corrspondent punt nel modello 3D;

11 - una volta eseguta la varazone d scala, s consderno vettor congungent le 2 coppe d punt sull oggetto e sul modello, che a questo punto hanno la stessa lunghezza. E allora possble rendere 2 vettor parallel con una rotazone e sovrapporl con una traslazone - rmane l ndetermnatezza d una rotazone attorno alla congungente 2 punt; se però è nota una coordnata d un terzo punto non allneato lungo un asse non parallelo a questa drezone, anche questa ndetermnatezza può essere rsolta. Le coordnate de punt d appoggo vengono determnate con msure topografche; anche n questo caso, per l controllo degl error casual d msura, s usa determnare un numero rdondante d punt e cercare una soluzone approssmata. Tecnche d resttuzone Nella pratca, s sono succedute nel tempo dverse tecnche per la resttuzone stereoscopca del modello 3D: - resttuzone analogca: un'apparecchatura detta stereocomparatore (fg.8) consente d realzzare meccancamente l'orentazone relatva d due lastre fotografche, appoggate su due support mobl, n modo da rprodurre quella che le lastre avevano al momento dello scatto. L'operatore attua manualmente movment necessar, basandos sulla vsone stereoscopca realzzata da un bnocolo che consente d vedere con cascun occho una lastra dversa. Sempre meccancamente è possble determnare per ogn punto del modello, collmato con una marca che l operatore ha l mpressone d vedere e d poter muovere n uno spazo 3D, la "quota" del punto n cu s ncontrano le rette congungent punt omologh sulle due mmagn con centr d presa corrspondent, e qund rcostrure l modello trdmensonale. - fg.8 schema d stereocomparatore

12 - resttuzone analtca: le due lastre sono n poszone fssa; la vsone stereoscopca e l conseguente orentamento relatvo sono realzzat da movment dell ottca. Lo stereocomparatore, collegato ad un computer, legge automatcamente le coordnate de punt omologh sulle lastre. Se sono stat nsert parametr d orentamento nterno, l software del computer è n grado d rsolvere le equazon d col lneartà e d determnare le coordnate del punto sul modello 3D, ed eventualmente gl scart della soluzone approssmata se l numero d punt collmat è rdondante. Se vengono nserte le coordnate de punt d appoggo nel sstema d rfermento dell oggetto, vene fatto drettamente l orentamento assoluto. - fotogrammetra dgtale: le mmagn sono n forma numerca e vengono vsualzzate sullo schermo d un computer. Esstono dspostv che consentono all'operatore, dotato d appost occhal, d vedere n rapda alternanza l'mmagne snstra d una coppa stereoscopca con l solo occho snstro e l'mmagne destra con l solo occho destro, realzzando cos\` la vsone stereoscopca. L'aspetto pù nteressante della fotogrammetra dgtale, tuttava, non è la realzzazone sul computer delle procedure tradzonal della resttuzone fotogrammetrca, ma la possbltà d ntrodurre procedure automatche basate sulle tecnche dell'anals e della produzone d mmagn dgtal. Un aspetto fondamentale è l'ntroduzone d tecnche automatche per l'ndvduazone d punt omologh su due mmagn che rappresentano lo stesso oggetto da due punt d vsta dvers e, pur non essendo dentche, presentano fort correlazon (mage matchng). Avendo selezonato su una delle due mmagn una pccola area, vene rcercata fra tutte le aree della seconda mmagne che hanno le stesse dmenson quella che ha la massma correlazone n termn d ton d grgo o d colore con l'area selezonata. Per avere un dea d come s può msurare numercamente l grado d correlazone, s supponga che (k ) le aree selezonate sulle 2 mmagn abbano N pxel, e s ndchno con x numer corrspondent al colore dell -esmo pxel sulle 2 mmagn. S possono allora calcolare numer ( k ) 1 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) (k ) x = x (meda), ε = x x (scart dalla meda). Evdentemente gl sono n N parte postv, n parte negatv. S consder ora la quanttà ε (1) (2) ε ε. Se le 2 porzon d (1) (2) mmagne sono molto dssml, non c è relazone fra l segno d e quello d ; d conseguenza fra gl addend della sommatora ce ne sono molt con segno postvo e molt con segno negatvo. Qund sommando segn dscord s compensano e s ottene un numero pccolo. (1) (2) Se nvece le 2 porzon d mmagne sono sml, è molto probable che ε e ε abbano lo stesso segno; qund la maggor parte degl addend ha segno postvo e la somma è grande. Per realzzare l mage matchng s può ad esempo rendere massma la quanttà (1) (2) ε ε ρ = (coeffcente d correlazone emprco). 1/ 2 (1) 2 (2) ε ε 2 1/ ( ) ( ) 2 Ortofoto e DTM Prodott tpc della fotogrammetra, che vengono realzzat n modo automatco da molt software d fotogrammetra dgtale sono le ortofoto e DTM (Dgtal Terran Models). Le ortofoto sono mmagn che rappresentano la proezone ortogonale d un modello 3D su un pano partcolare (ad esempo, per foto aeree, un pano ortogonale alla vertcale n un punto della superfce terrestre). Queste mmagn, come s può faclmente nture (fg.9), sono dverse da quello che appare nel campo d vsta d un obettvo orentato ortogonalmente al pano (presa nadrale), e ε ε

13 non corrspondono ad alcuna vsone realzzable da un sngolo punto d vsta. Per poterle realzzare è necessaro produrre prelmnarmente un modello 3D. A B C B A B E A C presa nadrale D E ortofoto AD non è vsble CB è rappresentato da C B BA da B A vene rappresentato solo BA fg.9 presa nadrale e ortofoto I DTM rappresentano le quote rspetto ad un pano d rfermento d un nseme d punt n generale appartenent ad un retcolo regolare; anch'ess possono essere rcavat da un modello 3D. Dal punto d vsta del lnguaggo del computer, sa le ortofoto sa DTM sono matrc numerche corrspondent alla suddvsone n celle d una porzone d terrtoro (o d un altro qualsas oggetto). Nelle ortofoto numer rappresentano ton d grgo o d colore, ne DTM rappresentano quote. Le mmagn da utlzzare n fotogrammetra dgtale possono essere prodotte drettamente n forma numerca da camere dgtal, che sono orma molto dffuse n ambto amatorale, ma d uso ancora lmtato n fotogrammetra, soprattutto quella aerea, per cu soltanto n quest ultm ann s stanno mponendo sul mercato e non hanno ancora del tutto soppantato gl apparecch tradzonal; è qund ancora molto dffuso l uso d scanner d alta precsone per la trasformazone d mmagn su pellcola n mmagn dgtal.

14 Fotogrammetra aerea La fotogrammetra aerea è ogg lo strumento fondamentale per la produzone cartografca. Un volo fotogrammetrco è costtuto da una sequenza d percors rettlne affancat ( strscate, fg.10). In generale s rchede che 2 mmagn successve prese n una strscata rappresentno una parte comune d terrtoro per almeno l 60%; d conseguenza, su ogn mmagne c sono fasce che rappresentano porzon d terrtoro a comune con altre due mmagn. Inoltre, s rchede che strscate adacent rappresentno porzon comun d terrtoro per almeno l 10% (fg.11). In questo modo, è possble ndvduare punt appartenent a pù d due mmagn d una stessa strscata o d strscate adacent ed utlzzarl come punt d legame, la cu poszone a terra non è nota, o anche come punt d appoggo, le cu poszon sono determnate a terra per va topografca, e che servono per determnare parametr della trasformazone delle coordnate de modell 3-dmensonal ottenut dall'orentamento relatvo n coordnate sul terreno. In vrtù della presenza d punt d legame s realzza una concatenazone fra dvers modell stereoscopc, ottenut con l orentamento relatvo d 2 mmagn consecutve d una strscata, che possono essere trattat tutt nseme n una procedura d trangolazone aerea, senza bsogno d esegure l'orentamento assoluto d cascun modello, e rducendo così l numero d punt d'appoggo necessar. fg.10 blocco d strscate fg.11 sovrapposzone d fotogramm

15 La presenza a bordo dell'aereo d uno o pù rcevtor GPS e d accelerometr consente d rlevarne la poszone e l'assetto al momento della presa del fotogramma, rendendo nutle n lnea d prncpo la rete d appoggo a terra. Ogg le tecnche per raggungere questo rsultato non sono ancora penamente svluppate, ed è possble soltanto semplfcare sgnfcatvamente la rete d appoggo, n modo da rdurne l costo. Per l'orentamento esterno d una coppa n fotogrammetra aerea s può sceglere un sstema d rfermento n cu l'asse x sa orentato lungo la drezone prevsta della strscata (che s suppone n un pano orzzontale), l'asse z lungo la vertcale e l'asse y a completare la terna (ovvamente anch'esso n un pano orzzontale), e fssare, n fase d orentamento relatvo, la dstanza fra centr d presa approssmatvamente uguale alla dstanza percorsa fra due scatt successv, deducble dalla veloctà dell'aereo e dall'ntervallo temporale fra gl scatt; n questo modo, n fase d orentamento assoluto, l fattore d scala dffersce d poco da 1, e questa dfferenza può essere trattata come una quanttà nfntesma. Dato che la lastra fotografca è rgdamente fssata al corpo dell'aereo, la sua orentazone dpende dall'assetto d volo, ed è descrtta da 3 angol, che n generale sono pccol: un angolo ω d rotazone attorno all'asse x, che rappresenta una devazone rspetto all'assetto orzzontale dell'aereo, un angolo ϕ d rotazone attorno all'asse y, che rappresenta una devazone della drezone d volo dal pano orzzontale, e un angolo κ d rotazone attorno all'asse z, che rappresenta una devazone nel pano orzzontale rspetto alla drezone d volo prevsta. In generale la composzone d rotazon attorno ad angol dvers dpende dall ordne n cu sono applcate; tuttava n questo caso, essendo gl angol pccol, la loro composzone è approssmatvamente ndpendent dall ordne. Compensazone d un blocco fotogrammetrco Un blocco fotogrammetrco è un nseme d mmagn con punt d legame che fanno n modo che dvers modell stereoscopc generat da coppe d mmagn possano essere concatenat fra loro. Ad esempo, una strscata o un nseme d strscate adacent prodotte secondo le specfche per la fotogrammetra aerea cu s è accennato sopra costtusce un blocco fotogrammetrco. In un blocco fotogrammetrco s può produrre un modello stereoscopco per ogn coppa d mmagn adacent, cascuno n un suo sstema d rfermento e n una sua scala. E qund necessaro, per costrure un unco modello 3D per tutta l area rlevata, determnare per cascun modello stereoscopco la roto-traslazone con cambamento d scala (7 parametr) che trasforma l sstema d rfermento d quel modello nel sstema d rfermento generale. Dsponendo d un numero suffcente d coordnate d punt d appoggo, è possble rportars ad un sstema d rfermento generale legato all oggetto. In ogn modello stereoscopco sono note, n quanto determnate dall orentamento relatvo, le coordnate d un certo numero d punt osservat. Per cascuna d esse s può scrvere un equazone d trasformazone, che dpende da parametr ncognt. Per determnare quest parametr, occorre che s possa scrvere un numero d equazon almeno uguale al numero delle ncognte, tenendo conto che sono ncognte anche le coordnate nel sstema d rfermento generale, a parte quelle de punt d appoggo. Inoltre occorre che l sstema d rfermento generale sa ben defnto (medante le coordnate de punt d appoggo), altrment s perde l unctà della soluzone del sstema d equazon. Anche n questo caso s cerca d fare n modo che l numero d equazon sa rdondante; n questo caso, come s è gà detto, s può ottenere soltanto una soluzone approssmata, ma è possble avere un controllo sugl error casual d msura.

16 Poché gl effett degl error d msura n generale s amplfcano quando c s allontana da punt d appoggo, è opportuno che s dsponga d punt d appoggo dstrbut l pù possble unformemente n prossmtà de bord dell area rlevata. fg.12 compensazone d un blocco fotogrammetrco a modell ndpendent Ad esempo, con rfermento alla fg.12 (dove punt contrassegnat da trangol sono punt d appoggo), s hanno: - 4 modell, qund 7 4 = 28 parametr d trasformazone - 4 punt osservat per ogn modello, qund = 48 osservabl - 5 punt d legame, qund 15 coordnate ncognte - 4 punt d appoggo. Complessvamente s hanno qund 48 equazon d osservazone, con 28+15=43 ncognte. Questa procedura prende l nome d compensazone a modell ndpendent (l termne compensazone, come s vedrà n seguto, sta propro a ndcare gl aggustament che s devono fare nella soluzone approssmata per superare le ncompatbltà dovute agl error d msura). Essa era l unca procedura possble quando, con lo stereocomparatore analogco, modell 3D dovevano essere costrut uno per volta. Ogg è possble al computer generare drettamente l modello 3D generale utlzzando contemporaneamente tutte le mmagn, senza bsogno d passare per modell generat dalle sngole coppe. La procedura, detta compensazone a stelle proettve, consste nel rsolvere contemporaneamente tutte le equazon d collneartà, ntroducendo come osservabl drettamente le coordnate sulle mmagn de punt d legame e de punt d appoggo, essendo assunt come not parametr d orentamento nterno delle mmagn e le coordnate sull oggetto de punt d appoggo. Le ncognte sono le coordnate sul terreno de punt d legame, le coordnate de centr d presa e parametr d orentamento de fotogramm. Con rfermento all'esempo n fg.13 - le osservabl sono = 48;

17 - le coordnate ncognte sul terreno sono 3 4 = 12 ; - le coordnate de centr d presa sono 3 4 = 12 ; parametr d orentamento assoluto sono 3 4 = 12 ; - c sono noltre 4 punt d appoggo sul terreno. Complessvamente s hanno qund 48 equazon d osservazone, con =36 ncognte. fg.13 compensazone d un blocco fotogrammetrco a stelle proettve

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