Franco Taggi Reparto Ambiente e Traumi Dipartimento Ambiente e connessa Prevenzione Primaria Istituto Superiore di Sanità

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1 Il metodo del Rispondente Cancellato (ERM) per i controlli su strada della guida sotto l influenza di alcol o sostanze (e non solo): un paradigma illustrativo. Franco Taggi Reparto Ambiente e Traumi Dipartimento Ambiente e connessa Prevenzione Primaria Istituto Superiore di Sanità Premessa Con il Metodo del Rispondente Cancellato (Erased Respondent Method - ERM), il rispondente viene davvero cancellato! Ad esempio, fermando casualmente tre conducenti per un controllo su strada relativo alla guida sotto l influenza di cocaina, si preleva ad ognuno un campione di saliva e poi, attenzione!, si mescolano insieme i tre campioni in modo da formare quello che in gergo di laboratorio si chiama pool. Una volta raccolto un certo numero di pools, li si fa analizzare e si vede così in quanti di essi era presente cocaina e in quanti no. Ora, se un pool risulta negativo, sappiamo con certezza che nessuno dei conducenti aveva assunto di recente tale droga: ma questa conoscenza specifica, individuale, non dà fastidio a nessuno. Se invece il pool risulta positivo alla cocaina, sappiamo che qualcuno l ha presa di recente, ma non sappiamo chi: potrebbe essere stato uno dei tre conducenti, o due, o al limite tutti e tre. L individuo è quindi scomparso. In altri termini, non c è dato individuale. Ora, se tutto finisse qui, la cosa non servirebbe a nulla. Invece, con l ERM, dato un certo numero di pools risultati negativi alla cocaina, e altri risultati positivi, siamo in grado di conoscere quanti tra i conducenti controllati avevano di recente fatto uso della droga. Sicché, alla fine, possiamo stimare quanti conducenti su 100 guidavano sotto l influenza della cocaina, senza sapere chi. E questo serve, e molto. Per esempio, per valutare se quello che facciamo per la prevenzione funziona. Al proposito, immaginiamo di stimare oggi con l ERM che in ore serali-notturne il 6% dei conducenti giovani guida sotto l influenza della cocaina. A fronte di questo dato allarmante, promuoviamo poi delle azioni (es. campagne televisive, radiofoniche, maggiori controlli di fondato sospetto, ecc.). Se dopo queste azioni ripetessimo i controlli con l ERM e trovassimo ancora un 6%, allora verrebbe da domandarsi cosa non abbia funzionato in quello che abbiamo fatto (e cercheremmo probabilmente di fare altre cose); se trovassimo invece un 2-%, potremmo congratularci con noi stessi e magari insistere ulteriormente con le azioni promosse. Qualcuno a questo punto potrà osservare: ma tutto questo non lo possiamo già fare con i normali controlli (quelli per fondato sospetto)? La risposta è: NO!. Tali controlli non hanno alcuna rappresentatività statistica, perché sono mirati, mirati a chi sta manifestando una guida pericolosa e quindi deve essere quanto prima controllato, e se del caso messo in condizioni di non nuocere. I controlli per fondato sospetto servono a migliorare la sicurezza di noi tutti; l ERM per conoscere affidabilmente, e in modo praticabile ed economico, lo stato delle cose. I controlli casuali individuali sono dispendiosi ed eccessivamente sensibili: l ERM ne attenua l inutile sensibilità e ne potenzia i contenuti, riducendone consistentemente il numero necessario. Dunque due obiettivi diversi, due metodi diversi. Proviamo adesso, perciò, a spiegare in modo non tecnico i meccanismi di questo nuovo metodo. Armiamoci di un mazzo di carte e facciamo un esperimento approssimato Lasciando per un momento da parte il problema dei controlli su strada, utilizziamo un paradigma più semplice per capire a fondo il metodo ERM. Costruiamo a questo scopo uno speciale mazzo di 90 carte, 18 rosse e 72 nere (ad esempio, con quelle francesi). Il mazzo sarà il nostro campione statistico. Le carte rosse indicheranno i soggetti positivi ; quelle nere i soggetti negativi. Sicché, nel mazzo c è una percentuale di carte rosse (soggetti positivi) pari a 18/90 = %. Si osservi che questo dato viene fuori subito perché conosciamo lo stato di ogni carta (se è rossa o se è nera): contiamo quante sono le rosse (18), dividiamo questo numero per il totale 1

2 delle carte (90), e la percentuale è bella che calcolata. Il problema che abbiamo davanti, però, è stimare tale proporzione senza conoscere il colore delle singole carte che costituiscono il mazzo. Ora, mescoliamo bene il mazzo e poi facciamo mazzetti di carte. Avremo 0 mazzetti ( 0 = 90 ). Diremo che un mazzetto è negativo se le carte sono tutte nere; diremo invece che è positivo se qualche carta è rossa (una sola, o due o tutte e tre). Un risultato di questa operazione può essere quello di tab.1, assolutamente casuale, ottenuto per simulazione col computer. Ora ragioniamo. In ogni mazzetto ci sono carte. Poiché nel mazzo 8 carte su 10 sono nere (72/90 80%), la probabilità che la prima carta sia nera è 8 su 10, ovvero 0.80; ma anche la probabilità che la seconda sia nera è ancora 0.80; così pure la probabilità che la terza sia nera è Quindi, la probabilità che le tre carte di un mazzetto risultino tutte nere è: = 0.80 = Dunque, la probabilità che il mazzetto venga tutto nero (cioè negativo ) è data dalla probabilità che una carta sia nera (0.80) elevata al numero di carte del mazzetto, in questo caso. Questo è un risultato elementare del Calcolo delle Probabilità: se in una popolazione una certa caratteristica è presente con probabilità π, la probabilità che n facendo n prove indipendenti si presenti sempre quella caratteristica è pari a π. Fine. Ricordiamoci questo risultato, e andiamo avanti. Supponiamo ora che i mazzetti di tre carte li abbia fatti un nostro amico (noi non li possiamo vedere), e che lui ci dica semplicemente e solamente che sono venuti fuori 16 mazzetti negativi e 14 positivi (come risulterebbe se i mazzetti fossero quelli della tabella). Se fate caso (attenzione, questo è il punto cruciale dell ERM!!!), il fatto che siano venuti fuori 16 mazzetti negativi su 0 mazzetti vi segnala frequentisticamente che la probabilità che un mazzetto risulti negativo è pari a 16/0 = 0.5. Insomma, quel 16 su 0 è una misura della propensione del mazzo a generare mazzetti negativi. D altra parte, come già visto, questa probabilità è pari alla probabilità che una carta estratta a caso dal mazzo risulti nera, elevata alla terza. Sicché, se calcolate la radice terza della proporzione empirica dei mazzetti negativi (16/0 = 0.5), il risultato vi deve fornire una stima della probabilità che una carta del mazzo sia nera! Avremo, quindi: 0.5 = Questo valore è una stima della probabilità che una carta del mazzo sia nera (si ricordi che quella vera, che stiamo cercando di stimare, è per costruzione pari a 0.80). Ora, poiché le carte sono o rosse o nere, se la probabilità che una carta sia nera è 0.811, allora la probabilità che la carta sia rossa non potrà che essere pari a ( ) = 0.189, che tradotto in percentuale fa il 18.9%. La vostra valutazione della proporzione di carte rosse nel mazzo sarà quindi del 18.9% (contro il 20% che era il valore esatto). Facciamo ora un parallelo con un controllo su strada per la guida sotto l influenza di cocaina. Adesso, le carte nere sono i conducenti che non utilizzano o non hanno preso di recente cocaina; quelle rosse sono coloro che l hanno di recente usata. Un mazzetto è un pool delle salive di tre conducenti. I conducenti che sono stati controllati sono 90, e quindi abbiamo 0 pools di salive (analoghi ai 0 mazzetti). Se in un pool c è la saliva di un conducente (o due o tutti e tre) che ha preso cocaina, il pool risulterà positivo alle analisi di laboratorio; se nessuno dei tre ha preso cocaina, risulterà invece negativo. I pools totali sono 0, quelli negativi sono 16 i conducenti che guidano sotto l influenza di cocaina sono quindi stimabili intorno al 18.9%. Elementare, Watson. Perché l esperimento ora visto è approssimato Ho dovuto sacrificare il rigore alla chiarezza. In effetti, se ho 90 carte, 18 rosse e 72 nere, se la prima carta viene nera, la probabilità che la seconda venga anch essa nera non è del 80% ma un poco meno: nel mazzo ci sono ora 89 carte, 18 rosse e 71 nere. Quindi, detta 2

3 probabilità sarà pari a 71/89 = E se anche la seconda carta viene nera, la probabilità che lo sia anche la terza è ancora minore (due carte nere sono già uscite!), ed è ovviamente 70/88 = Con il mazzo in questione, perciò, la probabilità che le prime carte vengano tutte nere non è 0.80 = , bensì = , valore un poco minore del precedente. E così di seguito: a mano a mano che escono carte nere e carte rosse le probabilità si modificano in relazione a quello che è già uscito: non c è indipendenza tra le prove. Si osservi che il colore dell ultima carta è certo: è il colore di quella che è rimasta. Insomma le prove non sono indipendenti in quanto il risultato ottenuto in una prova modifica le probabilità in ballo nella prova successiva. Un modo per rendere rigoroso l esperimento nel contesto del modello discusso (prove bernoulliane su una popolazione dicotomica caratterizzata da una probabilità di successo ) è considerare il mazzo come la popolazione, non come un campione statistico di questa. Ma il tutto diventerebbe assai più macchinoso, nel senso che dopo aver estratto una carta dovrei segnarne il colore, rimetterla nel mazzo, rimischiare, ed estrarre poi la carta successiva; e così via di seguito: in questo modo, la popolazione campionata avrebbe sempre esattamente il 20% di positivi e l estrazione di una certa carta non altererebbe la struttura della popolazione in quanto essa sarebbe poi reinserita nel mazzo. Comunque, niente paura: se il mazzo ha moltissime carte, le probabilità non si modificano più di tanto, come nei fatti avviene se fermo qualche conducente, uno dei dei possessori di patente attiva. Quindi, l esperimento, pur essendo approssimato, ha un suo valore didattico; e il modello ERM mostrato è certamente adeguato al fenomeno che si vuole trattare perché le unità statistiche che costituiscono la popolazione dei conducenti sono in numero assai elevato (è un mazzo di di carte ). E adesso tocca a voi! Per capire bene le cose, bisogna anche farle. La pratica rinforza la teoria. Sicché, mettiamoci all opera. Prendete un mazzo di carte francesi e togliete i due jolly: restano 52 carte, 26 rosse (cuori e quadri), 26 nere (fiori e picche). Ora, prima di usare questo mazzo, togliete un poco di carte rosse, diciamo 10. Restano 16 carte rosse e 26 nere. Nel mazzo, quindi, la proporzione di carte rosse è circa del 8%, quella delle nere di circa il 62% (8.0952% e %, per l esattezza). Questo sarà il nostro mazzo di lavoro. Nei fatti, abbiamo costruito un campione dove i soggetti positivi alle droghe sono il 8% e quelli negativi il 62%. Adesso procediamo con il metodo ERM. Mescoliamo bene il mazzo e facciamo dei mazzetti di tre carte. Vengono 14 mazzetti ( 14 = 42/ ). Vediamo ora lo stato dei singoli mazzetti, seguendo la seguente regola: se le tre carte di un mazzetto sono tutte nere, allora diremo che il mazzetto è negativo ; se c è anche una sola carta rossa, allora il mazzetto sarà positivo. Nella prova che sto facendo mentre scrivo, ho ottenuto 4 mazzetti negativi e 10 positivi. La proporzione di mazzetti negativi è quindi pari a 4/14 = , ovvero circa 28.6%. Adesso, secondo l ERM, se i mazzetti sono costituiti ognuno da n carte, una stima della proporzione di carte nere del mazzo è data dalla radice n-esima della proporzione di mazzetti neri ottenuti. K In formule: p n 0 =, dove con p 0 abbiamo indicato la stima in questione, con n il numero di N carte contenute in ogni mazzetto, con K il numero di mazzetti risultati negativi (senza carte rosse), con N il numero totale di mazzetti prodotti. Nel nostro caso, poiché ogni mazzetto è costituito da carte, una stima della proporzione di carte nere del mazzo che abbiamo preparato (che sappiamo, per costruzione, essere del 62%), è data dalla radice terza della proporzione osservata di mazzetti negativi. Dobbiamo perciò calcolare tale quantità. Risulta = La percentuale associata a questa proporzione, che si ottiene moltiplicandola per 100, è circa 65.9%. Questa è la nostra stima della percentuale di carte nere contenute nel mazzo. D altra parte, poiché le carte sono o nere o rosse, la nostra stima della percentuale di carte rosse sarà evidentemente 4.1%. Moltiplicando questa percentuale per il numero di carte del mazzo (42) troviamo per il numero di carte rosse un valore pari a

4 14., che arrotondiamo a 14 ( un certo numero di carte deve essere necessariamente un intero!). Morale della favola: con il nostro esperimento, anche se di piccole dimensioni, non conoscendo il colore delle singole carte che stanno dentro i mazzetti, ma soltanto sapendo quanti mazzetti non contengono carte rosse (e questo numero, ovvero quanti mazzetti sono negativi, potrebbe ad esempio comunicarcelo un nostro amico che ha provveduto a preparare i mazzetti), possiamo stimare che circa il 4.1% delle carte del mazzo sono rosse (il valore esatto era 8%) e che queste carte rosse sono intorno a 14 (e ce ne erano esattamente 16). Il parallelo con un controllo su strada è facile: il mazzo preparato simula il campione dei conducenti; le carte rosse rappresentano coloro che sono sotto l influenza di cocaina; le carte nere sono invece quelli che non ne hanno di recente consumata. Il generico mazzetto è un pool di saliva di soggetti; l amico che ci dice se il mazzetto è negativo o positivo è il metodo di analisi usato per vedere se nel pool c è presenza di cocaina (se ce n è, il pool risulta positivo; se non ce n è, negativo). Chiaramente, più aumenta il numero di mazzetti, migliore sarà la nostra stima. Possiamo provare a vederlo, ad esempio ripetendo più volte l esperimento fatto e poi lavorando sui risultati cumulati. Procedo, a questo fine, con una seconda smazzata : ottengo ora mazzetti negativi. Ancora, con una terza smazzata: i mazzetti negativi ora sono 5. Quarta smazzata: 2 mazzetti negativi. In totale abbiamo generato 14x4 = 56 mazzetti, di cui =14 sono risultati negativi. Dovremo, quindi, calcolarci la radice terza di 14 su 56. Avremo: 14 = = La nostra nuova stima della proporzione di carte nere presenti nel mazzo è adesso pari (arrotondando) al 6.0%: le carte rosse sono perciò il 7.0%; e, quindi, il loro numero è pari a 15.54, che arrotondiamo a 16. Come visto, facendo 56 mazzetti (ovvero misurando 56 pools) le stime ottenute sono migliorate; e sono davvero buone. In definitiva, conosciamo altrettanto bene la composizione del mazzo, nello stesso modo che si avrebbe in pratica conoscendo individualmente il colore delle carte che lo compongono. Chi volesse divertirsi (c è un masochista in sala?), può ripetere l esperimento variando il numero di carte del mazzo, la composizione del mazzo, il numero di carte contenute in ogni mazzetto: le stime sempre quelle, più o meno, verranno; e miglioreranno al crescere del numero di mazzetti prodotti. Conclusioni In base a quanto mostrato sia pur con qualche semplificazione e qualche peccato sui concetti di campione e popolazione- possiamo dire che conoscendo il numero di mazzetti negativi siamo in grado di stimare la proporzione di carte rosse contenute nel mazzo, come pure in base al numero di pools negativi alla sostanza indagata, quanti conducenti del campione guidavano sotto l influenza della sostanza (e quindi, possiamo fare inferenze sulla popolazione dei conducenti, poiché la proporzione di soggetti positivi del campione stima quella della popolazione da cui il campione è stato estratto). Se le carte contenute nei singoli mazzetti sono, useremo la radice cubica della proporzione dei mazzetti negativi ; se sono due, la radice quadrata; se sono quattro, la radice quarta; ecc. ecc.. Tutto qua. Quali carte erano rosse? Chi dei conducenti era sotto l influenza della sostanza? Con questo metodo non lo sapremo mai, né la cosa ci interessa in termini di conoscenza generale. L ERM non si occupa dello stato dell individuo, ma dello stato della popolazione. Per la conoscenza specifica ci sono già i controlli individuali per fondato sospetto, che funzionano egregiamente per conoscere Chi, e che a mio avviso andrebbero ulteriormente potenziati. Non dimenticando, però, di utilizzare anche l ERM per avere una visione rappresentativa e globale di quello che avviene sulle nostre strade. 4

5 Tab.1 Mazzetto I carta II carta III carta STATO 1 Nero Nero Rosso Positivo 2 Rosso Nero Nero Positivo Rosso Nero Nero Positivo 4 Nero Nero Nero Negativo 5 Nero Rosso Nero Positivo 6 Nero Nero Nero Negativo 7 Rosso Rosso Nero Positivo 8 Nero Nero Nero Negativo 9 Nero Nero Nero Negativo 10 Nero Nero Nero Negativo 11 Nero Nero Nero Negativo 12 Rosso Nero Nero Positivo 1 Nero Nero Nero Negativo 14 Nero Nero Nero Negativo 15 Nero Nero Nero Negativo 16 Rosso Rosso Nero Positivo 17 Nero Nero Rosso Positivo 18 Nero Rosso Rosso Positivo 19 Nero Nero Nero Negativo 20 Rosso Nero Nero Positivo 21 Rosso Nero Nero Positivo 22 Nero Nero Nero Negativo 2 Nero Nero Rosso Positivo 24 Rosso Nero Rosso Positivo 25 Nero Nero Nero Negativo 26 Nero Nero Nero Negativo 27 Rosso Nero Nero Positivo 28 Nero Nero Nero Negativo 29 Nero Nero Nero Negativo 0 Nero Nero Nero Negativo Tab.1 Possibile risultato della costituzione di 0 mazzetti di carte, ottenuti da un mazzo costituito da 18 carte rosse e 72 nere. Come si osserva, si sono ottenuti 16 mazzetti negativi, costituiti da sole carte nere e 14 mazzetti positivi, in cui ci sono anche carte rosse (una, due o tutte e tre). 5

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