Il coefficiente di correlazione di Spearman per ranghi

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1 Il coefficiente di correlazione di Spearman per ranghi Questo indice di correlazione non parametrico viene indicato con r s o Spearman rho e permette di valutare la forza del rapporto tra due variabili quando le assunzioni per il modello di correlazione parametrica, coefficiente r Pearson, non sono soddisfatte. In particolare quando la distribuzione delle variabili X ed Y non risulta normale (caso piuttosto frequente per popolazioni di dati ad elevato numero di casi) o quando le sottopopolazioni dei valori di Y od X non risultino avere la stessa varianza, la correlazione parametrica non viene utilizzata e si ricorre a questo indice che ha inoltre modalità di calcolo piuttosto semplice. Le assunzioni di applicabilità di questa procedura risultano : Il campione da cui sono estratti i valori di X ed Y è casuale e semplice I valori di X ed Y sono misurati ad un livello almeno ordinale Il coefficiente di correlazione di Spearman assume i valori tra 1 e + 1 indicando nel segno e nel valore il tipo e la forza della correlazione. Il segno + indica una correlazione direttamente proporzionale, il segno indica una correlazione inversamente proporzionale; valori di rho vicini ad 1 indicano una correlazione perfette, il valore rho = o molto vicino a 0 indica una correlazione nulla. Procedura di calcolo Si ordinano i valori di X ( che corrispondono alla colonna X nella coppia dei valori X ed Y) da 1 ad n e si assegnano i ranghi tenendo conto anche dei valori uguali, ties che assumono la media del rango. Si ordinano i valori di Y ( che corrispondono alla colonna Y nella coppia dei valori X ed Y) da 1 ad n e si assegnano i ranghi tenendo conto anche dei valori uguali, ties che assumono la media del rango. Per ogni coppia si calcola la differenza d i del rango di Y - il rango di X, si eleva d i al quadrato; Si calcola la somma dei d i al quadrato d i Viene quindi utilizzata la formula rho = 1- ( 6 d i ) / n(n -1)

2 Significatività del coefficiente rho Per valutare se il coefficiente determinato risulta significativo rispetto ai valori di alfa fissati viene confrontato il valore ottenuto con i valori critici della tabella rho Spearman per il rispetivo n ed il valore alfa di significatività. In particolare: se viene formulata preliminarmente una ipotesi di correlazione diretta positiva (al variare positivo di X corrisponde un variare positivo di Y, test monodirezionale coda di destra ) il valore rho è significativo se supera il valore critico indicato nella tabella per alfa e n dati; se viene formulata preliminarmente una ipotesi di correlazione inversa negativa ( al variare positivo di X corrisponde un variare negativo di Y, test monodirezionale coda di sinistra ) il valore rho è significativo se supera il valore critico preceduto da - indicato nella tabella per alfa e n dati; se viene formulata preliminarmente solo una ipotesi di correlazione, ovvero di non indipendenza senza specificare il segno (corrispondente ad un test bidirezionale, code in entrambi i lati ) il valore di rho è significativo se supera in valore assoluto il valore critico riportato nella tabella per alfa/ ( alfa mezzi, se alfa =0.05 allora alfa mezzi = 0.05) ed n dati. Se n è maggiore di 30 per la verifica della significatività si può usare la distribuzione z dei valori della normale standardizzata previa la trasformazione z= rho n 1 I pacchetti statistici inoltre permettono di applicare in automatico anche una correzione dovuta ad un possibile numero di osservazioni con uguale valore, ties, che comunque quando non sono molto numerose comportano variazioni minime nel valore di rho.

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4 Spearmann rho Esercizio 1 La seguente tabella riporta 10 cittadine ordinate secondo il numero di DMF (carie dentarie) per 100 bambini e la concentrazione di fluoro espressa in scala ordinale a 10 livelli. E vero che all aumentare della concentrazione del fluoro diminuisce il numero di carie dentarie DMF nei bambini? Poni alfa 0.05 cittadina n. DMF Concentrazione fluoro Poniamo che i dati del modello in analisi non soddisfino le assunzioni di applicabilità di una correlazione parametrica, ovvero la distribuzione delle variabili non sia normale gaussiana anche dovuta alla misurazione su scala ordinale della variabile concentrazione del fluoro. Sussistono invece le condizioni di applicabilità della correlazione non parametrica di Spearman. Ipotesi H0: i valori di DMF e concentrazione di fluoro sono indipendenti HA: i valori di DMF tendono a diminuire all aumentare della concentrazione al fluoro, correlazione inversa Procedimento: ordino ed assegno i ranghi alle coppie di valori, calcolo la differenza d i rango Y-rango X, elevo al quadrato d i ed ottengo la sommatoria d i = 3 cittadina Conc. Fluoro rango n DMF rango d i d i Somma d i =3

5 Applico la formula rho = 1- ( 6 d i ) / n(n -1) ottengo rho = 1- (6*3)/ 10(100-1) = 1-(193/990) = data l ipotesi HA di correlazine inversa il valore viene confrontato con il valore critico rho preceduto da segno ovvero per n=10 alfa= 0.05 rho critico= rho calcolato= supera di molto rho critico = e quindi si rifiuta H0, ovvero esiste una forte correlazione inversa negativa tra concentrazione di fluoro e numero di carie dentarie DMF percentuali. concentrazionefluoro ndmf

6 Spearmann rho Esercizio E stato condotto uno studio su 0 soggetti di diversa età per un particolare valore di EEG (encefaloframma); il ricercatore formula una ipotesi di ricerca relativa ad una possibile diminuzione di questo valore di ECG con l età. I dati suffragano questa ipotesi? poni alfa= 0.05 soggetto età EEG Poniamo che i dati del modello in analisi non soddisfino le assunzioni di applicabilità di una correlazione parametrica, ovvero la distribuzione delle variabili non sia normale gaussiana, in particolare EEG. Sussistono invece le condizioni di applicabilità della correlazione non parametrica di Spearman. Ipotesi H0: i valori di EEG ed età sono indipendenti HA: i valori di EEG tendono a diminuire all aumentare ed età, correlazione inversa EEG età

7 Procedimento: ordino ed assegno i ranghi alle coppie di valori, calcolo la differenza d i rango Y-rango X, elevo al quadrato d i ed ottengo la sommatoria d i = 340 soggetto età rango y rango d i d i Somma d i 340 Applico la formula rho = 1- ( 6 d i ) / n(n -1) ottengo rho = 1- (6*340)/ 0(400-1) = 1-(14040/7980) = data l ipotesi HA di correlazine inversa il valore viene confrontato con il valore critico rho preceduto da segno ovvero per n=0 alfa= 0.05 rho critico= rho calcolato= supera di molto rho critico = e quindi si rifiuta H0, ovvero esiste una correlazione inversa negativa tra età ed EEG.

8 Spearmann rho Esercizio 3 Si vuole valutare la correlazione tra livelli di testosterone plasmatici (ng/ml) e di acido citrico seminale (mg/l) in un piccolo campione di 9 maschi adulti. L ipotesi di ricerca è che vi sia una relazione diretta ovvero più testosterone più acido citrico. I dati suffragano questa ipotesi? Poni alfa= 0.05 n Testosterone Acido citrico Poniamo che i dati del modello in analisi non soddisfino le assunzioni di applicabilità di una correlazione parametrica, ovvero la distribuzione delle variabili non sia normale gaussiana, o le sottopopolazioni dei valori di testosterone ed acido citrico siano conosciute da non avere la stessa varianza. Sussistono invece le condizioni di applicabilità della correlazione non parametrica di Spearman. Ipotesi H0: i valori di testosterone ed acido citrico sono indipendenti HA: i valori di acido citrico tendono ad aumentare con l aumentare di testosterone, correlazione diretta. Procedimento: ordino ed assegno i ranghi alle coppie di valori, calcolo la differenza d i rango Y-rango X, elevo al quadrato d i ed ottengo la sommatoria d i = 14 n Testosterone rango Acido citrico rango d i d i Somma d i = 14

9 Applico la formula rho = 1- ( 6 d i ) / n(n -1) ottengo rho = 1- (6*14)/ 9(81-1) = 1-(84/70) = data l ipotesi HA di correlazione diretta il valore viene confrontato con il valore critico rho preceduto da segno + ovvero per n=9 alfa= 0.05 rho critico= rho calcolato= supera rho critico = e quindi si rifiuta H0, ovvero esiste una correlazione diretta tra concentrazione di testosterone plasmatico ed acido citrico seminale.

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