La teoria dei giochi non cooperativi

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1 La teoria dei giochi non cooperativi Kreps: "Microeconomia per manager" 1

2 Ci occuperemo soltanto di giochi non cooperativi: l unità d analisi è il singolo giocatore che cerca di compiere le scelte per sé migliori date le regole del gioco e i vincoli posti dall interazione strategica con altri giocatori: in maniera un po imprecisa non possono essere fatti ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che expost conviene infrangere. In questo tipo di giochi nulla vieta che i giocatori possano giocare strategie cooperative. Kreps: "Microeconomia per manager" 2

3 Rappresentazione di giochi Nel rappresentare un gioco dobbiamo specificare: 1. il numero dei giocatori (cioè degli individui coinvolti); 2. le regole del gioco, ossia chi sceglie, quali opzioni ha, quando agisce e quale tipo di informazione ha a sua disposizione; 3. il risultato ottenuto da ciascun giocatore, in termini di utilità o vincita, per ogni possibile esito del gioco. Questi dati possono modellarsi in due modi: in forma strategica e in forma estesa. Kreps: "Microeconomia per manager" 3

4 Giochi in forma strategica Un gioco G in forma strategica è definito da una tripla dove G = {N, S, Π} N = 1, 2,..., n indica il numero dei giocatori, S l insieme delle strategie di tutti i giocatori e Π rappresenta l insieme delle vincite. Una strategia èun piano d azione completo, che prevede quale azione scegliere per ogni possibile situazione. Un profilo di strategie profilo di strategie èun vettore di scelte strategiche che prevede una strategia per ogni giocatore. Kreps: "Microeconomia per manager" 4

5 Quando il gioco coinvolge solamente due giocatori, tutte le informazioni del gioco in forma strategica possono essere rappresentate con una bimatrice (matrice a 2 dimensioni), dove le strategie di un giocatore costituiscono le righe e le strategie dell altro giocatore formano le colonne; all interno delle varie celle sono indicate le vincite associate al profilo di strategie corrispondente. Per convenzione, il primo numero della cella rappresenta la vincita del giocatore di riga e il secondo numero quella del giocatore di colonna. Kreps: "Microeconomia per manager" 5

6 UN ESEM PIO: ilgioco disonia e Gianni Due amici, Sonia e Gianni, devono decidere simultaneamente ed indipendentemente dove trascorrere la serata. Le scelte possibili sono tre: 1) un pub chiamato Old Pros, 2) un museo d arte e 3) un bar chiamato Cafeen. Kreps: "Microeconomia per manager" 6

7 Questa situazione è rappresentabile come una matrice 3 3: nelle tre righe sono indicate le strategie di Sonia, nelle tre colonne quelle di Gianni, in ogni cella della matrice sono presenti due numeri, che rappresentano le preferenze dei due amici rispetto ai nove esiti possibili (il primo numero si riferisce alle preferenze di Sonia, il secondo a quelle di Gianni). Old Pros GIANNI Museo Cafeen Old Pros 6; 4 4; 3 4; 2 SONIA Museo 2; 1 5; 5 2; 2 Cafeen 1; 1 1; 3 3; 6 Kreps: "Microeconomia per manager" 7

8 Nei giochi anche solo moderatamente complessi, il numero di strategie può assumere dimensioni enormi. Ma, in teoria, possiamo elencarle tutte. È questo elenco delle strategie (una per ogni giocatore) che definisce il gioco in forma strategica. Nel gioco di Sonia e Gianni, se la scelta è simultanea, i due amici hanno tre strategie ciascuno e vi sono 3 3 = 9 profili di strategie (quelli elencati nella matrice vista prima); se la scelta è sequenziale con Gianni che compie la prima mossa, Gianni ha 3 strategie, Sonia 27 (perché Sonia deve pianificare l azione che adotterà a seconda delle informazioni che ha sulla scelta di Gianni) e vi sono 3 27 = 81 profili di strategie. Kreps: "Microeconomia per manager" 8

9 Strategie di Sonia 1. OP a prescindere da Gianni 2. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C 3. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C 4. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, C se Gianni va a C 5. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, M se Gianni va a C 6. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C 7. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C 8. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, C se Gianni va a C 9. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, OP se Gianni va a C 10. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C 11. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C 12. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, M se Gianni va a C 13. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, OP se Gianni va a C 14. OP se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C 15. OP se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C 16. M a prescindere da Gianni 17. M se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C 18. M se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C 19. C se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C 20. C se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C 21. OP se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M 22. OP se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M 23. M se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M 24. M se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M 25. C a prescindere da G 26. C se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M 27. C se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M 9

10 Consideriam o ora ilseguente gioco e rappresentiam olo in form a strategica: Due individui, il giocatore 1 ed il giocatore 2, partecipano ad un asta per acquistare un oggetto di valore, ad esempio un quadro. Ogni giocatore fa un offerta in busta chiusa (che viene poi consegnata al banditore) senza conoscere l offerta dell altro. Le offerte devono essere in multipli di 100 ed il massimo che ogni giocatore può offrire è 400. Il quadro vale 300 per il giocatore 1 e 200 per il giocatore 2. Kreps: "Microeconomia per manager" 10

11 Il quadro viene aggiudicato a chi dei due giocatori offre la somma maggiore. Se i giocatori offrono la stessa cifra, il quadro va al giocatore 1. Il vincitore deve pagare un prezzo p pari alla somma che ha offerto (si tratta cioè di un asta di primo prezzo). Quindi, se il quadro vale v i per il giocatore i (dove v 1 = 300 e v 2 = 200) ed il giocatore i vince l asta, la sua vincita è v i p, dove p è il prezzo da lui offerto. Se, invece, i non vince l asta, la sua vincita è nulla. Come possiamo rappresentare questo gioco in forma strategica? Kreps: "Microeconomia per manager" 11

12 Insieme dei giocatori: N = {1, 2} Strategie di ogni giocatore (assumiamo che i giocatori possono offrire anche 0): S 1 = S 2 ={0, 100, 200, 300, 400} Vincite dei giocatori (rappresentabili in una matrice): GIOCATORE GIOCATORE , 0 200, 0 100, 0 0, 0 100, 0 0, 100 0, 0 0, 100 0, , 0 100, 0 100, 0 0, 0 0, 100 0, 200 0, 0 0, 0 0, 0 0, 100 0, 200 0, , 0 100, 0 100, 0 100, 0 Kreps: "Microeconomia per manager" 12

13 I giochi a somma costante Un gioco è a somma costante se: la somma delle vincite dei giocatori è sempre la stessa (costante) per ogni profilo di strategie. Se la costante è pari a zero, si parla di giochi a somma zero. Ogni gioco a somma costante può essere ricondotto ad un gioco a somma zero considerando lo scostamento delle vincite associate ad ogni profilo di strategie dalla media. Kreps: "Microeconomia per manager" 13

14 Esempio di gioco a somma costante S A D U B D 3; -5-3; 1 4; -6 1; -3 B La media delle vincite è 1. Sottraendo 1 da ogni vincita: S A Otteniamo un gioco D a somma zero: U (3 + 1); (-5+1) (4+1); (-6+1) 4 4 = 0; 5 5 = 0; D (-3 + 1); (1 +1) (1+1); (-3 + 1) = 0; 2 2 = 0. Kreps: "Microeconomia per manager" 14

15 Un metodo alternativo per rappresentare una situazione di interazione strategica (che pone in evidenza le tattiche dinamiche dei giocatori) è rappresentato dai Giochi in forma estesa Iniziamo a considerare la situazione in cui ogni giocatore, quando è chiamato a compiere la propria mossa, conosce tutte le scelte precedenti. Per esempio, quando Gianni sceglie per primo dove recarsi e Sonia reagisce dopo aver appreso la sua scelta. Tali giochi sono definiti giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta. Kreps: "Microeconomia per manager" 15

16 I giochi in forma estesa si rappresentano con un diagramma ad albero: Gianni Old Pros museo Cafeen Sonia Sonia Sonia Old Pros Old Cafeen Pros Cafeen Old museo museo Pros museo Cafeen 6;4 2;1 1;1 4;3 5;5 1;3 4;2 2;2 3;6 Kreps: "Microeconomia per manager" 16

17 Nel diagramma ad albero: i vari pallini (sia quello iniziale in bianco sia quelli intermedi neri) sono chiamati nodi e rappresentano le posizioni dove un giocatore deve compiere una mossa; da ogni nodo partono delle frecce, che rappresentano le opzioni disponibili al giocatore cui spetta la mossa; ogni freccia porta a una posizione o intermedia (dove un altro giocatore deve scegliere) o finale (dove il gioco si conclude); le posizioni terminali sono contrassegnate dai vettori delle vincite dei giocatori. Kreps: "Microeconomia per manager" 17

18 Un elemento molto importante dei giochi in forma estesa sono gli insiemi informativi. Se non specificato diversamente e quando l informazione è completa e perfetta, gli insiemi informativi coincidono con i nodi (punti nei quali gli agenti si trovano a scegliere le loro azioni). In questo caso, si dice che gli insiemi informazione sono dei singleton. Alternativamente possono essere insiemi di nodi. In questo caso i giocatori non sanno in quale dei nodi appartenenti all insieme si trovano. Kreps: "Microeconomia per manager" 18

19 Consideriamo un gioco modificato di Sonia e Gianni dove i due amici devono scegliere solo fra due strategie: il museo o il pub. Se Gianni sceglie per primo e Sonia sa cosa ha scelto Gianni quando fa la sua scelta (gioco a informazione completa e perfetta), gli insiemi di informazione sono dei singleton. In tal caso, il diagramma ad albero è: Supponiamo ora che Sonia non sa quale sia stata la scelta di Gianni. Il gioco è sempre sequenziale ma c è il problema della mancanza di informazione. In tal caso, gli insiemi informativi sono insiemi di nodi ed il diagramma ad albero è: Gianni Gianni Museo Pub Museo Pub Sonia Sonia Sonia Museo Pub Museo Pub Museo Pub Museo Pub 5; 5 4; 3 2; 1 6; 4 5; 5 4; 3 2; 1 6; 4 Kreps: "Microeconomia per manager" 19

20 Quindi, quando l informazione è imperfetta, gli insiemi di informazione si rappresentano tramite delle linee tratteggiate che congiungono quei nodi in cui un giocatore deve prendere una decisione ma tra i quali il giocatore non può distinguere. Gianni È la linea tratteggiata, anziché i due singoli nodi, ad essere contrassegnata con il nome del giocatore che deve muovere per secondo (Sonia). Museo Sonia Pub Museo Pub Museo Pub 5; 5 4; 3 2; 1 6; 4 Kreps: "Microeconomia per manager" 20

21 La dominanza e i giochi in forma strategica Dopo aver rappresentato una data situazione come un gioco o in forma estesa o in forma strategica, il passo successivo consiste nel prevedere che cosa accadrà (come si comporteranno i giocatori). Con i giochi in forma strategica si può stabilire se determinate strategie non verranno adottate dai giocatori coinvolti applicando il criterio della dominanza. Kreps: "Microeconomia per manager" 21

22 ' Formalmente, una strategia s i è strettamente dominata da per il giocatore i se '' s i u i ( s ' i, s i ) i '' i < u ( s, s ) s i i S i Se il giocatore i ha una strategia strettamente dominata, sembra ragionevole assumere che non la giochi. Se l altro giocatore ( i) anticipa che i non sceglierà la strategia strettamente dominata, può fare la propria scelta facendo riferimento solamente alle rimanenti strategie di i. Potrebbe allora escludere una propria strategia in quanto sua dominata. Se un gioco può risolversi applicando più volte il principio di dominanza, si parla di soluzione per dominanza iterata. Kreps: "Microeconomia per manager" 22

23 Per spiegare questo procedimento, consideriamo il seguente gioco: A COLONNA S C D 7; 3 3; 1 0; 5 RIGA B 5; 1 5; 3 2; 2 Consideriamo il giocatore di colonna. Possiamo eliminare una delle sue tre strategie? Sì, possiamo eliminare S perché S è dominata da D: se Riga sceglie A, Colonna preferisce D a S (5 > 3); se Riga sceglie B, Colonna preferisce D a S (2 > 1). Poiché D domina strettamente S, Colonna non sceglierà S. Possiamo quindi eliminare S. Kreps: "Microeconomia per manager" 23

24 A S 7; 3 COLONNA C 3; 1 D 0; 5 RIGA B 5; 1 5; 3 2; 2 Consideriamo ora il giocatore di riga. Possiamo eliminare una delle sue due strategie? Se Riga riproduce il ragionamento precedente, anticipa che Colonna non sceglierà S. Allora, a prescindere dal fatto che Colonna scelga C o D, Riga è più soddisfatto con B che con A (se C : 5 > 3; se D : 2 > 0). Quindi B domina iterativamente A, dopo aver applicato il criterio di dominanza per eliminare S. Sulla base del criterio di dominanza iterata, prevediamo che Riga non sceglierà A. Kreps: "Microeconomia per manager" 24

25 A S 7; 3 COLONNA C 3; 1 D 0; 5 RIGA B 5; 1 5; 3 2; 2 Avendo eliminato A, C domina iterativamente D (3 > 2). Possiamo quindi eliminare anche D. Rimangono solo C per il giocatore di colonna e B per il giocatore di riga. L applicazione del criterio di dominanza iterata ci ha portato ad un unico profilo di strategie; abbiamo cioè eliminato tutte le strategie eccetto una per ogni giocatore. Possiamo pertanto affermare che questo gioco è risolvibile per dominanza. Kreps: "Microeconomia per manager" 25

26 Un gioco che può essere risolto col criterio della dominanza è il dilemma del prigioniero. Due persone che commettono un reato vengono arrestate dalla polizia. La polizia sa che i due hanno commesso il reato ma non ne ha le prove e, senza una confessione, deve rilasciarli. Allora, per indurli a confessare, li separa e presenta a ciascuno la seguente offerta: «Se ci rilasci una confessione in cui coinvolgi il tuo compagno, mentre lui non confessa, ti concediamo la condizionale e imprigioniamo il tuo compagno per molti anni. Se entrambi confessate, entrambi andrete in prigione, ma per un numero minore di anni. Se tu non confessi mentre il tuo compagno lo fa, sarà lui a ottenere la condizionale, mentre tu finirai in prigione per lunghissimo tempo.» Entrambi i criminali sanno che se rimangono zitti, tutti e due verranno rilasciati. Kreps: "Microeconomia per manager" 26

27 Il dilemma del prigioniero È un gioco a mosse simultanee, due giocatori e due strategie a testa: confessare e rimanere zitti. Le vincite della figura riflettono il seguente ordine di preferenze: I. confessare mentre il compagno rimane zitto (u i = 8, i = 1, 2); II. nessuno dei due confessa (u i = 5) III.confessione di entrambi (u i = 0) IV.rimanere zitto mentre il compagno confessa (u i = 3). zitto 2 confessa Qualsiasi cosa faccia 1, 2 sta meglio se confessa. zitto Qualsiasi cosa faccia 2, 5; 5-3; 8 1 sta meglio se confessa. 1 Pertanto, confessare confessa 8; -3 0; 0 domina sul rimanere zitti per entrambi i giocatori. Kreps: "Microeconomia per manager" 27

28 La dominanza debole Consideriamo il gioco della figura seguente: In questo gioco per il giocatore 1 A domina debolmente B: B se 2 gioca D, per 1 A è migliore di B (2 > 0) mentre se 2 gioca S, per 1 A è esattamente uguale a B (3 = 3). Possiamo concludere che la riga B non sarà scelta? Possiamo iterare tale ragionamento e dire che, poiché 1 non sceglie B, 2 non sceglierà S? 2 L evidenza empirica ci mostra S D che: 3; 0 2; 1 A la dominanza debole non funziona bene quanto la 1 dominanza stretta, e 3; 4 0; 0 B una dominanza debole iterata può funzionare piuttosto male. Kreps: "Microeconomia per manager" 28

29 Formalmente, una strategia giocatore i se ' s i è debolmente dominante per il u i ( si ', s i ) u i ( s i, s i ) s i S i s i S i In altri termini, una strategia è debolmente dominante se conduce a vincite non minori rispetto alle altre strategie indipendentemente da cosa faccia l altro giocatore. Kreps: "Microeconomia per manager" 29

30 L equilibrio di Nash Gli economisti impiegano il criterio della dominanza e della dominanza iterata, sia stretta sia debole, ogniqualvolta ciò sia possibile. In molti casi, tuttavia, questo procedimento non conduce a un esito prevedibile. In questi casi si ricorre agli equilibri di Nash. Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che nessun giocatore può migliorare la propria vincita modificando la propria strategia in modo unilaterale. Kreps: "Microeconomia per manager" 30

31 In altri termini, un equilibrio di Nash è un insieme di strategie, una per ogni giocatore, che sono mutualmente risposte ottime. Formalmente, chiarendo che * indica una risposta ottima, un profilo di strategie ( s, s ) è un equilibrio di Nash se vale: * i * i u i ( s * i, s * i ) u i ( s i, s * i ) i Kreps: "Microeconomia per manager" 31

32 Nel gioco di Sonia e Gianni ci sono due equilibri di Nash: 1. entrambi i giocatori si recano all Old Pros e 2. entrambi si recano Ora passiamo al museo ad d arte. individuare la risposta ottima Le risposte ottime reciproche (ossia le celle in cui convergono le frecce Se Gianni per entrambi sceglie l Old i giocatori) Pros, qual rappresentano è la strategia gli equilibri migliore per di Gianni Sonia? E se Gianni ad ogni sceglie strategia E se Gianni il museo? scelta sceglie da Sonia. il Cafeen? di Nash del gioco. Old Pros Old Pros 6; 4 GIANNI Museo 4; 3 Cafeen 4; 2 SONIA Museo 2; 1 5; 5 2; 2 Cafeen 1; 1 1; 3 3; 6 Kreps: "Microeconomia per manager" 32

33 Nel dilemma del prigioniero, l unico equilibrio di Nash è la confessione di entrambi. OBIEZIONE: se entrambe le parti passano alla strategia del silenzio sono entrambe più soddisfatte. Vero, ma quando si controlla se un profilo di strategie è un equilibrio di Nash occorre verificare se un giocatore può migliorare la sua vincita cambiando unilateralmente strategia. zitto 1 confessa zitto 5; 5 8; -3 2 confessa -3; 8 0; 0 Se 1 confessa, 2 può migliorare la propria vincita deviando dall equilibrio e, quindi, rimanendo zitto? Se 2 confessa, 1 può migliorare la propria vincita deviando dall equilibrio? Kreps: "Microeconomia per manager" 33

34 Molti giochi presentano più equilibri di Nash. In alcuni casi, questo non è un problema perché il gioco in esame presenta un ovvio metodo di gioco. In altri casi, tuttavia, l esito del gioco non è facilmente prevedibile. Consideriamo, ad esempio, il gioco seguente che è definito coordinamento semplice. 1 A B S 0; 0 15; 15 2 D 5; 5 0; 0 Sebbene questo gioco abbia due equilibri di Nash, sembra ovvio assumere che l esito finale sarà il profilo (B, S) poiché è nell interesse di entrambi i giocatori adottarlo. Kreps: "Microeconomia per manager" 34

35 Il gioco seguente, definito coordinamento rischioso, è meno chiaro. I due giocatori possono coordinare le loro azioni secondo i profili (B,S) e (A, D). Poiché (B,S) prevede un esito migliore di (A, D) per entrambi i giocatori, sembrerebbe che possa applicarsi lo stesso ragionamento del gioco precedente. Tuttavia, se 1 sceglie A, si garantisce perlomeno 5; scegliendo B invece corre dei rischi poiché se 2 scegliesse D, 1 otterrebbe -10. S 2 D A Questo ragionamento si autorinforza: 5; ; 10 1 è più sicuro se sceglie A e 2 è 1 più sicuro se sceglie D e i 15; 15-10; 5 rischi associati alle scelte non B sicure aumentano se ciascuna parte ritiene che l altra sceglierà l equilibrio sicuro. Kreps: "Microeconomia per manager" 35

36 Il gioco seguente è definito coordinamento difficile. Esistono tre modi in cui i giocatori possono coordinare le loro azioni: (A, C), (M, S) e (B, D). I giocatori non concordano tuttavia sul profilo da scegliere: 1 preferisce il profilo (M, S) mentre 2 preferisce (B, D). A S -5; -5 2 C 10; 10 D -5; -5 1 M 15; 5-5; -5-5; -5 B -5; -5-5; -5 0; 30 Kreps: "Microeconomia per manager" 36

37 Quando i giocatori non possono comunicare prima di compiere la scelta, solo il primo dei tre giochi di coordinamento appena visti sembra presentare un ovvio metodo di gioco. Se le due parti possono comunicare prima di giocare, possono mettersi d accordo sul cosa scegliere. Ad esempio, una conversazione prima di iniziare il gioco del coordinamento rischioso è solitamente sufficiente per portare i due partecipanti a scegliere (B, S) cioè l esito rischioso ma migliore per entrambi. Kreps: "Microeconomia per manager" 37

38 L equilibrio di Nash e la dominanza Abbiamo visto due metodi di analisi dei giochi in forma strategica: uno basato sulla dominanza e uno basato sull equilibrio di Nash. Qual è il nesso tra i due metodi? Una strategia che viene eliminata per dominanza stretta iterata non può mai far parte di un equilibrio di Nash. Se eliminiamo alcune strategie per dominanza iterata, impiegando in alcuni passaggi anche la dominanza debole, tra le strategie che non vengono eliminate esiste sempre un equilibrio di Nash. Kreps: "Microeconomia per manager" 38

39 L induzione a ritroso nei giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta L analisi di giochi in forma estesa con mosse della natura e insiemi di informazione può risultare piuttosto difficile. Invece, i giochi a informazione completa e perfetta possono essere analizzati in modo semplice con l induzione a ritroso. Kreps: "Microeconomia per manager" 39

40 In maniera intuitiva, l idea è la seguente: Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare (nodi terminali) e si suppone (coerentemente con l ipotesi di razionalità) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre la vincita maggiore. Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa cosa farà l ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa che l ultimo giocatore è razionale. Così lui si comporta come se fosse l ultimo a giocare in quanto la vincita che ottiene da ciascuna strategia gli è nota perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta. In questo modo si procede passo dopo passo In conclusione, il giocatore che è chiamato a scegliere nel primo nodo sa già cosa succederà in corrispondenza di ogni sua scelta. Kreps: "Microeconomia per manager" 40

41 ESEMPIO Consideriamo un gioco con 4 giocatori: Paul, John, George e Ringo. Paul Y X George A B John a b c Ringo x y 1;3;2;2 Paul k l 4;4;4;2 2;6;6;1 3;4;2;1 2;5;4;0 1;2;5;3 6;8;6;1 Le vincite dei quattro giocatori sono nell ordine: Paul, John, George e Ringo. Kreps: "Microeconomia per manager" 41

42 Primo stadio Paul X A George B Y 3;4;2;1 2;5;4;0 x John c a b Ringo y 1;2;5;3 6;8;6;1 1;3;2;2 Paul Iniziamo con i nodi dove la scelta del giocatore termina il gioco. Nodo terminale in cui George è chiamato a giocare: poiché B gli dà una vincita maggiore di A, George sceglierà B ed il vettore delle vincite sarà (2; 5; 4; 0). Nodo terminale in cui tocca a Ringo giocare: Ringo può scegliere x, guadagnando 3, o y, guadagnando 1; sceglierà quindi x con un vettore delle vincite pari a (1; 2; 5; 3). Nodo terminale in cui sceglie Paul: Paul sceglie tra k, guadagnando 4, e l, guadagnando 2: sceglierà k con un vettore delle vincite (4; 4; 4; 2). Kreps: "Microeconomia per manager" 42 k l 4;4;4;2 2;6;6;1 Ordine delle vincite: (P, J, G, R)

43 Secondo stadio Paul X George B Y 2;5;4;0 x 1;2;5;3 John c a b Ringo 1;3;2;2 Paul k 4;4;4;2 Ordine delle vincite: (P, J, G, R) Possiamo eliminare quelle strategie che non verranno mai giocate in quanto chi è chiamato a giocare nei nodi precedenti sa cosa succederà nei nodi terminali. Il giocatore a cui tocca giocare è John che deve scegliere tra a, guadagnando 3, oppure b, ripassando il turno a Paul, che termina il gioco con k e quindi con 4 per John, oppure c, passando il turno a Ringo, che termina il gioco con x che implica 2 per John. Pertanto, la scelta migliore per John è b. Kreps: "Microeconomia per manager" 43

44 Terzo stadio Paul Y X George B 2;5;4;0 John a b c Ringo x 1;2;5;3 1;3;2;2 4;4;4;2 Paul k Ordine delle vincite: (P, J, G, R) Siamo ora pronti a immaginare come Paul dovrebbe iniziare il gioco. Se Paul sceglie X, passa il turno a George, che porterebbe al vettore delle vincite (2; 5; 4; 0), con 2 per Paul. Se, invece, Paul sceglie Y, passa il turno a John, che porta al vettore delle vincite (4; 4; 4; 2), con 4 per Paul. Quindi, Paul è più soddisfatto con Y, in quanto anticipa che John risponderà con b e poi lui stesso sceglierà k, portando al vettore (4; 4; 4; 2). Kreps: "Microeconomia per manager" 44

45 Conclusioni Paul Y X George A B 3;4;2;1 2;5;4;0 John a b c Ringo x y 1;2;5;3 6;8;6;1 1;3;2;2 4;4;4;2 Paul k l 2;6;6;1 Ordine delle vincite: (P, J, G, R) Equilibrio del gioco Yk, b, B, x Sentiero di equilibrio Ybk Azioni di equilibrio mai giocate B x Kreps: "Microeconomia per manager" 45

46 Raffinamenti dell equilibrio di Nash: equilibrio perfetto nei sottogiochi Definizione di sottogioco: In un gioco G in forma estesa a informazione perfetta, un sottogioco a. inizia con un nodo di G (la radice del nuovo gioco) e b. include tutti i suoi successori (nodi che possono essere raggiunti dalla nuova radice). In pratica, si tratta di considerare un generico nodo e considerarlo come radice del gioco. Kreps: "Microeconomia per manager" 46

47 Paul X A Quali sono i sottogiochi del gioco di Paul, John, George e Ringo? George B Y 3;4;2;1 2;5;4;0 x John c a b Ringo y 1;2;5;3 6;8;6;1 1;3;2;2 Paul 1) Quello che inizia col nodo dove George deve giocare e i cui successori sono solo i nodi terminali. 2) Quello che inizia col nodo dove Ringo deve giocare. 3) Quello che inizia col nodo dove Paul deve giocare. 4) che inizia col nodo dove John deve giocare ed include i due nodi Paul e Ringo più i nodi terminali. k l 4;4;4;2 2;6;6;1 Ordine delle vincite: (P, J, G, R) Kreps: "Microeconomia per manager" 47

48 Un profilo di strategie rappresenta un equilibrio perfetto nei sottogiochi se è un equilibrio non solo nel gioco originale G ma rimane tale anche in ogni sottogioco di G. La condizione che imponiamo è quindi che non solo si abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando restringiamo le strategie ai sottogiochi del gioco dato. Il metodo dell induzione a ritroso per trovare un equilibrio di Nash in un gioco ad informazione completa e perfetta fornisce un equilibrio perfetto nei sottogiochi. Kreps: "Microeconomia per manager" 48

49 Consideriamo il seguente gioco. Quale risultato ci si può attendere applicando l induzione a ritroso? Se B sfida A, A deve scegliere tra le vincite 1 (se si arrende) e 0 (se combatte). Quindi, A sceglierà di arrendersi. B prevede che, quando tocca ad A scegliere, A deciderà di arrendersi e quindi lo sfida: in tal modo, infatti, ottiene 2 che per B rappresenta la vincita migliore possibile. B Sfidare A Combattere A Arrendersi 0; 0 2; 1 Non sfidare A 1; 2 Kreps: "Microeconomia per manager" 49

50 Riformuliamo il gioco in forma strategica e troviamo gli eq. di Nash. Questo gioco ha due equilibri di Nash: 1) il profilo sfida-resa, 2) il profilo non sfida-combattimento. Il primo è perfetto nei sottogiochi (l induzione a ritroso ci ha portato a questo equilibrio); il secondo non lo è. Qual è il senso del nuovo equilibrio che abbiamo trovato, ovvero (non sfida, combattimento)? Combatte A Si arrende Sfida A B Non sfida A 0; 0 1; 2 2; 1 1; 2 Kreps: "Microeconomia per manager" 50

51 Possiamo interpretarlo come risultato di una minaccia (di ritorsione ) da parte di A: se B sceglie di non sfidarlo (che dà a A il risultato migliore possibile), allora A per ritorsione combatterà, punendo il giocatore B. Tuttavia, in tal modo, A punisce anche se stesso! Se B lo sfida, il combattimento non è ottimale per A, che ottiene una vincita maggiore arrendendosi. Ma come è possibile che un equilibrio di Nash preveda per un giocatore una scelta non ottimale? A Combatte Si arrende Sfida A B Non sfida A 0; 0 1; 2 2; 1 1; 2 Kreps: "Microeconomia per manager" 51

52 La risposta è semplice: l equilibrio (non sfida-combattimento) non prevede che A combatta davvero; la scelta di B fa terminare il gioco e quindi A non deve effettivamente scegliere. In generale, un equilibrio di Nash può prevedere delle scelte non ottimali, ma queste scelte avvengono in nodi dell albero che non sono mai raggiunti, se viene giocato quanto previsto dall equilibrio: quindi tale equilibrio non è perfetto nei sottogiochi. D altro canto, l equilibrio (non sfida-combattimento) sembra meno attendibile dell equilibrio (sfida-resa). La minaccia di A di combattere non è credibile: se B la ignora e sfida A, per la sua stessa razionalità, A sceglierà di arrendersi. Kreps: "Microeconomia per manager" 52

53 Utilizzando la forma estesa, abbiamo quindi scoperto che non tutti gli equilibri di Nash sono uguali. Se l idea di equilibrio perfetto nei sottogiochi permette di eliminare alcuni equilibri di Nash, diciamo inferiori, non ci si deve però aspettare che scompaiano tutti i problemi. Vediamo un paio di esempi Kreps: "Microeconomia per manager" 53

54 Gioco dell ultimatum Il gioco avviene così: a) Su un tavolo ci sono 100 monete da 1 euro. b) Il giocatore I deve fare una proposta di spartizione, indicando quante monete lui vuole prendere (da 1 a 99). c) Dopo di che tocca a II che può scegliere fra due opzioni: 1. accettare la proposta di spartizione di I; 2. rifiutarla. d) Nel caso in cui rifiuti, entrambi i giocatori non prendono nulla. Kreps: "Microeconomia per manager" 54

55 Possiamo disegnare (in parte) il gioco in forma estesa: I A II R II II II II II A R A R A R A R A R 1; 99 0; 0 2; 98 0; 0 3; 97 0; 0 97; 3 0; 0 98; 2 0; 0 99; 1 0; 0 È immediato verificare che, applicando l induzione a ritroso, l unico equilibrio perfetto nei sottogiochi prevede che I scelga 99 monete per sé e che II accetti. Kreps: "Microeconomia per manager" 55

56 Nella realtà effettiva, tuttavia, la probabilità che II accetti, se I tiene per sé più di una settantina di monetine, é molto bassa. Una spiegazione di questi risultati empirici contrastanti con la predizione della teoria dei giochi è basata sul fatto che le preferenze del giocatore II non tengono conto solo del denaro. Ma esse incorporano altri fattori quali aspetti di giustizia, o di rivalsa, od altro Kreps: "Microeconomia per manager" 56

57 Altro esempio in cui l equilibrio perfetto nei sottogiochi è problematico: gioco del prendere o lasciare Il gioco è il seguente (volendo lo si può allungare a piacimento): a) Vengono poste sul tavolo due monete da 0,10. b) Il giocatore 1 può prendere entrambe le monete, lasciando 2 senza alcunché, oppure dire passo. c) Se 1 passa, viene posta sul tavolo una terza moneta da 0,10 e spetta a 2 prendere tutto il denaro o passare. d) Se 2 passa, viene posta una quarta moneta sul tavolo, ed è nuovamente il turno di 1. e) Il gioco procede finché uno dei due giocatori prende il denaro dal tavolo oppure le monete sul tavolo raggiungono 1. f) A questo punto è il turno di 1, che può prendere tutto il denaro oppure dividere. Kreps: "Microeconomia per manager" 57

58 1 Albero di gioco: C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 D 1; 0 D 0,20; 0 D 0; 0,30 D 0,40; 0 D 0; 0,50 D 0,60; 0 D 0; 0,70 D D 0,80; 0 0; 0,90 C 0,50; 0,50 Strategie: D = defezionare (prendere il denaro); C = cooperare (passare) SOLUZIONE DEL GIOCO PER INDUZIONE A RITROSO Nell ultima mossa, 1 può vincere 1 o 0,50 (se dividesse). Se il denaro fosse tutto ciò che conta, 1 prenderebbe 1. Nella mossa precedente, 2 può o prendere 0,90 oppure passare il turno a 1 (che si prenderà 1, lasciando 2 con 0); quindi 2 prenderebbe 0,90. Proseguendo questo ragionamento a ritroso, alla prima mossa 1 prenderebbe i 0,20 senza lasciare nulla a 2. Kreps: "Microeconomia per manager" 58

59 Teoricamente questo ragionamento funziona, ma empiricamente la previsione che 1 prenderà i 0,20 fallisce miseramente. Le ragioni sono molteplici: Il risultato è inefficiente: se 1 arrivasse all ultima mossa il denaro sul tavolo sarebbe 1 (anziché 0,20). Un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non uscire subito dal gioco. Ma c è un problema ancora più grave: perché un giocatore dovrebbe conformarsi all induzione a ritroso (e quindi defezionare) se sa che l altro l giocatore ha deviato da essa? Appare un po curioso che, ad esempio, 2 esca dal gioco ipotizzando un comportamento futuro razionale da parte di 1, che se fosse stato adottato in passato non avrebbe certamente portato 2 a giocare! Kreps: "Microeconomia per manager" 59

60 È dunque abbastanza problematico giustificare l unico equilibrio perfetto nei sottogiochi nel gioco del prendere o lasciare. Ma Cosa avviene per gli equilibri di Nash? Per comodità, consideriamo una versione più corta del gioco: 1 D 1 (0,20; 0) C 1 d 1 2 c 1 1 C 2 2 c 2 (0,25; 0,25) D 2 (0; 0,30) d 2 (0,40; 0) (0; 0,50) dove le alternative disponibili in corrispondenza dei vari nodi sono indicate con simboli diversi: D 1 vuol dire che il giocatore 1 defeziona alla prima mossa, mentre ad esempio c 2 vuol dire che il giocatore 2 continua alla seconda mossa. Per trovare gli eq. di Nash, scriviamo il gioco in la forma strategica. Kreps: "Microeconomia per manager" 60

61 1 D 1 C 1 d 1 2 c 1 1 C 2 2 c 2 (0,25; 0,25) D 2 d 2 (0,20; 0) (0; 0,30) (0,40; 0) (0; 0,50) Insieme dei giocatori: Strategie di ogni giocatore: Giocatore 1 D 1 D 2 D 1 C 2 C 1 D 2 C 1 C 2 N = {1, 2} Giocatore 2 d 1 d 2 d 1 c 2 c 1 d 2 c 1 c 2 Vincite dei giocatori: descriviamole nella matrice seguente Kreps: "Microeconomia per manager" 61

62 1 D 1 C 1 d 1 2 c 1 1 C 2 2 c 2 (0,25; 0,25) D 2 d 2 (0,20; 0) (0; 0,30) (0,40; 0) (0; 0,50) 2 d 1, d 2 d 1, c 2 c 1, d 2 c 1, c 2 D 1, D 2 (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) 1 D 1, C 2 C 1, D 2 C 1, C 2 (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0; 0,30) (0; 0,30) (0,40; 0) (0,40; 0) (0; 0,30) (0; 0,30) (0; 0,50) (0,25; 0,25) Kreps: "Microeconomia per manager" 62

63 Questo gioco ha 4 equilibri di Nash: Gli equilibri di Nash corrispondono alle coppie di strategie per cui i giocatori defezionano alla prima mossa (D 1 e d 1 ). 2 d 1, d 2 d 1, c 2 c 1, d 2 c 1, c 2 D 1, D 2 (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) 1 D 1, C 2 C 1, D 2 C 1, C 2 (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0,20; 0) (0; 0,30) (0; 0,30) (0,40; 0) (0,40; 0) (0; 0,30) (0; 0,30) (0; 0,50) (0,25; 0,25) Kreps: "Microeconomia per manager" 63

64 Quindi, l esito previsto dall equilibrio di Nash coincide con quello previsto dall equilibrio perfetto nei sottogiochi: per entrambi questi concetti di soluzione, si prevede che i giocatori defezionino alla prima mossa. La differenza è che l equilibrio di Nash non pone restrizioni al comportamento dei giocatori nei nodi seguenti. L equilibrio perfetto nei sottogiochi è invece molto più rigido: infatti ce n è uno solo! Kreps: "Microeconomia per manager" 64

65 Riepilogo La teoria dei giochi non cooperativi consente di costruire modelli per studiare situazioni in cui interagiscono parti diverse con interessi contrastanti. La teoria dei giochi non cooperativi impiega due tipi generali di modelli, quelli in forma strategica e quelli in forma estesa, e adotta due tipi generali di analisi, quello della dominanza e quello dell equilibrio di Nash. Kreps: "Microeconomia per manager" 65

66 Un gioco in forma strategica è specificato 1. dall elenco dei giocatori, 2. dall elenco delle strategie di ciascun giocatore e 3. dal vettore delle vincite ottenute dai giocatori per ogni profilo di strategie. I giochi in forma estesa forniscono una rappresentazione dinamica del gioco. Nei giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta i giocatori agiscono uno alla volta e, in qualsiasi punto del gioco, il giocatore che compie la mossa conosce le scelte effettuate da coloro che hanno agito prima di lui. Kreps: "Microeconomia per manager" 66

67 La strategia di un giocatore domina un altra strategia, se, a prescindere dalle strategie altrui, consente di ottenere un risultato migliore. Dopo aver eliminato alcune strategie di alcuni giocatori applicando il criterio della dominanza, potrebbe essere possibile eliminare altre strategie di altri giocatori applicando nuovamente la dominanza. Questo tipo di procedimento è definito dominanza iterata. Le previsioni secondo cui un giocatore non giocherà una strategia dominata né una eliminata per applicazione iterata della dominanza non hanno sempre validità empirica. Kreps: "Microeconomia per manager" 67

68 Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che nessun giocatore può migliorare la sua vincita con una deviazione unilaterale. I giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta, possono analizzarsi con l induzione a ritroso. Nei giochi a informazione completa e perfetta, l induzione a ritroso porta a un equilibrio di Nash, ma potrebbero esservi altri equilibri di Nash che non sono perfetti nei sottogiochi. Kreps: "Microeconomia per manager" 68

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