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1 ËÈÇÆ Æ Á Ä Á Å ÌÊÁ Á Queste note (attualmente e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori 31 Sistemi lineari Consideriamo un sistema lineare nella forma ẋ Ax con x R n e A Mat(nR) Perchè studiare i sistemi lineari? Perchè l approssimazione linare permette di comprendere gli aspetti essenziali della dinamica del sistema non-lineare di partenza (eg in un intorno di un punto di equilibrio) Consideriamo un sistema ẋ f(x) e supponiamo di aver trovato un punto stazionario x Allora possiamo scrivere f(x) f( x) Df( x)(x x)+o( x x ) Ricordiamo che Df( x) è un operatore lineare quindi trascurando i termini di ordine superiore otteniamo d (x x) Df( x)(x x) dt che non è altro che un sistema lineare Esercizio 31: {ẋ 1 x 2 +y ẏ y 3 Anzitutto calcoliamo i punti di equilibrio { 1 x 2 +y y 3 x 1 (23) x 2 ( 23)

2 2 Esercitazione 3 La matrice Jacobiana del sistema è data da ] Df [ f1 x f 2 x f 1 y f 2 y [ ] 2x 1 dunque abbiamo Df(x 1 ) [ ] 4 1 [ ] 4 1 Df(x 2 ) ed i corrispondenti sistemi linearizzati sono dati da [ ] [ ] ẏ y and ẏ y Esercizio 32: Consideriamo l equazione del pendolo ϑ+ω 2 sinϑ che possiamo riscrivere come un sistema di due equazioni differenziali di ordine 1 { ϑ ϕ ϕ ω 2 sinϑ I punti di equilibrio sono ovviamente x 1 () e x 2 π La matrice Jacobiana del sistema è data da [ ] Df(ϕϑ) ω 2 cosϑ dunque abbiamo [ ] Df() ω 2 [ ] Df(π) ω 2 La linearizzazione attorno a x 1 è data dall oscillatore armonico { ϑ ϕ ϑ+ω 2 ϑ ϕ ω 2 ϑ La linearizzazione attorno a x 2 è data dal repulsore armonico { ϑ ϕ ϑ ω 2 ϑ ϕ ω 2 ϑ

3 32 Esponenziale di matrice Consideriamo di nuovo un sistema lineare Esponenziale di matrici 3 ẋ Ax con x R n e A Mat(nR) La soluzione corrispondente al dato iniziale x(t ) x puo essere scritta in forma compatta come x(t) exp((t t )A)x Vediamo quindi come calcolare effettivamente l esponenziale di una matrice Esercizio 33: Data la matrice λ1 A λ 2 calcolare exp(a) Dalla definizione dell esponenziale di matrice abbiamo Anzitutto osserviamo che exp(a) 1+A+ A2 2! A k λ k 1 λ k 2 + da cui otteniamo immediatamente che ( 1+λ exp(a) 1 + λ2 1 2! + λ3 1 3! + +λ 2 + λ2 2 e λ 1 e λ 2 Esercizio 34: Data la matrice A λ λ 2! + λ3 2 3! + ) calcolare exp(a) Iniziamo a calcolare qualche potenza di A A 2 λ 2 λ 2 A 3 λ 3 λ 3 e ci rendiamo facilmente conto che ( A 2k ( 1) k λ 2k ( 1) k λ 2k A 2k+1 ( 1) k+1 λ 2k+1 ( 1) k+1 λ 2k+1 )

4 4 Esercitazione 3 da cui otteniamo immediatamente che 1 λ 2 exp(a) 2! + λ4 4! + λ+ λ3 3! + λ λ3 3! + 1 λ2 2! + λ4 4! + cosλ sinλ sinλ cosλ Osservazione Come faccio a calcolare facilmente l esponenziale di una matrice A? La risposta è semplice: se A PDP 1 allora exp(a) P exp(d)p 1 Quindi se l esponenziale della matrice D è semplice da calcolare otteniamo facilmente anche l esponenziale della matrice A In particolare se la matrice è diagonalizabile l unica cosa da fare è calcolare autovalori ed autovettori della matrice A l esponenziale exp(d) è la parte più semplice! Esercizio 35: Determinare la soluzione del sistema di equazioni differenziali (ẋ ) 2 1 x x ẏ 1 2 y 2 L equazione per gli autovalori della matrice associata al sistema è data da (2 λ) 2 1 da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ 1 1 λ 2 3 Osservazione Come utile controllo verificare sempre che y TrA λ 1 +λ 2 deta λ 1 λ 2 Consideriamo l autovalore λ 1 1 e calcoliamo l autovettore associato 1 1 (1) v x 1 1 v y (1) v (1) 1 Consideriamo l autovalore λ 2 3 e calcoliamo l autovettore associato 1 1 (2) v x 1 1 v y (2) v (2) 1 Dunque le matrici P e P 1 sono date da 1 1 P P e vale l eguaglianza A P 1 P

5 Esponenziale di matrici 5 Dunque abbiamo e t exp(ta) P e 3t P 1 e t +e 3t e t e 3t 1 2 e t e 3t e t +e 3t e la soluzione con dato iniziale (x y ) è data da x exp(ta) 1 ( e t +e 3t e t e 3t y 2 e t e 3t e t +e 3t 1 3e t e 3t 2 3e t +e 3t Esercizio 36: Data la matrice A λ 1 λ ) 1 2 calcolare exp(ta) Questa è la forma del blocco di Jordan (2 2) utile nel caso di matrici non diagonalizzabili Anzitutto osserviamo che possiamo scrivere A λ1+n N e che ovviamente 1 ed N sono due matrici che commutano! Possiamo quindi scrivere exp(ta) exp(tλ1)exp(tn) e λt exp(tn) L osservazione fondamentale a questo punto è che N 2 da cui segue immediatamente che exp(tn) 1+tN Otteniamo quindi Esercizio 37: Data la matrice e λt te exp(ta) λt e λt A calcolare exp(ta) L equazione per gli autovalori della matrice A è data da (1 λ)(3 λ)+1 da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ 1 2 λ 2 2

6 6 Esercitazione 3 Calcoliamo l autovettore associato 1 1 (1) v x 1 1 v y (1) v (1) 1 1 Osservazione L autovalore 2 ha molteplicità algebrica 2 e molteplicità geometrica 1 La matrice non è quindi diagonalizzabile ma possiamo ridurla alla forma canonica di Jordan Per calcolare la matrice invertibile che mi permette di scrivere A PDP D 2 dobbiamo calcolare l autovettore generalizzato La prima colonna della matrice P e costituita dall autovettore appena calcolato per la seconda colonna dobbiamo risolvere il sistema 1 1 (2) (1) v x v 1 1 v y (2) x v y (1) v (2) 1 Abbiamo quindi ottenuto A PDP 1 P D da cui segue immediatamente (1 t)e 2t te exp(ta) 2t te 2t (1+t)e 2t Esercizio 38: Data la matrice A a b b a calcolare exp(ta) Anzitutto osserviamo che possiamo scrivere 1 A a1+bj J e che ovviamente 1 ed J sono due matrici che commutano! Possiamo quindi scrivere exp(ta) exp(at1)exp(btj) e at exp(btj) Il calcolo di exp(btj) è banale (si veda l Esercizio 34) cosbt sinbt exp(btj) sinbt cosbt da cui otteniamo exp(ta) e ta cosbt sinbt sinbt cosbt

7 Esponenziale di matrici 7 Osservazione Confrontare la soluzione appena ottenuta con l operatore esponenziale di matrici con la discussione relativa ai punti di centro e fuoco nelle note del Prof Giorgilli (sezione 324) Esercizio 39: Data la matrice A calcolare exp(ta) L equazione per gli autovalori della matrice A è data da λ(2 λ)+2 da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ 1 1+i λ 2 1 i Consideriamo l autovalore λ 1 1+i e calcoliamo l autovettore associato 1 i 1 (1) v x 2 1 i v y (1) v (1) 1 i La utovalore relativo a λ 2 1 i sarà il complesso coniugato di v (1) v (2) 1 1+i Volendo restare nel campo dei reali consideriamo le componenti reali e complesse di autovalori ed autovettori u 1 λ 1 +λ 2 2 w (1) v(1) +v (2) 2 È ora banale osservare che da cui segue immediatamente che u 2 λ 1 λ 2 2i w (2) v(1) v (2) 2i 1 A(w (1) +iw (2) ) (u 1 +iu 2 )(w (1) +iw (2) ) A PBP 1 P Possiamo quindi scrivere B ( exp(ta) P exp(tb)p 1 e t cost+sint 2sint Esercizio 31: Data la matrice A ) sint cost sint

8 8 Esercitazione 3 calcolare exp(ta) Esercizio 311: Data la matrice calcolare exp(ta) A Esercizio 312: Dato il sistema x y x y z 4 z calcolare la soluzione con l esponenziale di matrice x y z Esercizio 313: Data la matrice A calcolare exp(a) Forma canonica di Jordan Come fare se A non è diagonalizzabile? Questo argomento viene trattato in ogni corso di algebra lineare (o nel corrispondente corso dal nome più o meno esotico in cui vengono affrontate le applicazioni lineari e la loro rappresentazione matriciale) quindi non troverete qui alcun teorema o spiegazione teorica solamente uno schema banale per il calcolo dei cosiddetti autovettori generalizzati Osservazione Ogni matrice A Mat(n n R) può essere trasformata nella corrispondente forma canonica di Jordan con una trasformazione lineare invertibile In formule P 1 AP J J diag(j 1 J m ) con λ i 1 λ J i i 1 J i Mat(n i n i C) λ i blocco di Jordan di dimensione n i ed autovalore λ i (n n 1 +n m ) Osservazione Poichè abbiamo considerato una matrice A a coefficienti reali consideriamo nel seguito solamente il caso di autovalori reali Nel caso di un autovalore non reale possiamo sempre ricondurci ad un blocco di Jordan reale con una piccola modifica (si veda l Esercizio 37) Questo caso è lasciato per esercizio essendo una piccola variazione sul tema

9 Esponenziale di matrici 9 Osservazione 1 Se A è diagonalizzabile allora J è una matrice diagonale i cui blocchi J i hanno dimensione n i 1; 2 La forma canonica di Jordan è unica (a meno di permutazioni dei blocchi); 3 Allo stesso autovalore possono corrispondere più blocchi Va bene ma come calcolare la matrice P? Anzitutto osserviamo che la dimensione del nucleo dell applicazione (A λ1) corrisponde al numero dei blocchi di Jordan con autovalore λ Inoltre vale la relazione dim N (A λ1) k λ i λmin(kn i ) dunque siamo anche in grado di determinare le dimensioni dei blocchi di Jordan A questo punto sappiamo determinare la forma canonica di Jordan associata ad una matrice A passiamo alla matrice di trasformazione Vogliamo che valga la seguente equazione Esprimiamo P come allora deve valere Sia ora segue che P 1 AP J diag(j 1 J m ) P (P 1 P m ) P i Mat(nn i R) AT i T i J i T i (v i1 v i2 v ini ) Av i1 λ i v i1 ovvero la prima colonna è un autovettore associato a λ i Per j 2n i invece abbiamo Av ij v ij 1 +λ i v ij che possiamo riscrivere nella forma (A λ i 1)v ij v ij 1 I vettori v i1 v ini sono i cosiddetti autovettori generalizzati Esercizio 314 (L equazione di Airy): Consideriamo l equazione di Airy ÿ ty y R Possiamo scrivere l equazione nella forma (ẏ ) y v t v tuttavia la matrice dipende dal tempo quindi non è possibile procedere sfruttando l esponenziale di matrice!

10 1 Esercitazione 3 Dobbiamo cercare un altro modo per risolvere il problema Un metodo efficace che risulta utile anche in contesti più complessi (lo vedremo anche per calcolare la deviazione dei gravi verso oriente e costituisce la base della teoria delle perturbazioni) è quello della soluzione per serie In questo esempio NON mi preoccuperò dei problemi di convergenza e procederò a livello puramente formale Le stime quantitative che permettono di ottenere risultati circa la convergenza della serie esulano dallo scopo di queste brevi note e del corso stesso! L idea è quella di sviluppare la soluzione in serie di potenze(in questo caso potenze del tempo) assumendo che la soluzione si possa scrivere nella forma y j a j t j La forma della soluzione costituisce il mio guess: cerco una soluzione che abbia quella forma! A questo punto sostituisco la mia soluzione (incognita) nell equazione e procedo alla soluzione ordine per ordine (per potenze crescenti della variabile t) È immediato osservare che ÿ j 2j(j 1)a j t j 2 e che l equazione assume la forma j 2j(j 1)a j t j 2 j Riscalando l indice della prima sommatoria ottengo a j t j+1 j 2j(j 1)a j t j 2 j (j +2)(j +1)a j+2 t j 2a 2 + j 1 (j +2)(j +1)a j+2 t j e similmente j a j t j+1 j 1 a j 1 t j Risolvendo ordine per ordine ottengo: 1 a a 1 sono dei coefficienti arbitrari; 2 2a 2 da cui ottengo a 2 ; 3 (j +2)(j +1)a j+2 a j 1 da cui ottengo a j+2 a j 1 (j+2)(j+1) I coefficienti arbitrari a a 1 sono da determinarsi in funzione dei dati iniziali y() e ẏ() Vediamo ora nel dettaglio la forma della soluzione Anzitutto determiniamo esplicitamente alcuni dei coefficienti a 3 a 2 3 a 4 a a 5 a a 6 a a 7 a a 8 a 5 7 8

11 Per induzione è banale mostrare che per k 1 abbiamo Esponenziale di matrici 11 a a 3k (2 3)(5 6) ((3k 1) (3k)) a 1 a 3k+1 (3 4)(6 7) ((3k) (3k +1)) a 3k+2 dunque la soluzione assume la forma t 3k y a 1+ (2 3)(5 6) ((3k 1) (3k)) k 1 t 3k+1 +a 1 t+ (3 4)(6 7) ((3k) (3k +1)) k 1

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