Separazione in due fondi Security Market Line CAPM

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1 Separazione in due fondi Security Market Line CAPM Eduardo Rossi Economia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/ Separazione in due fondi Un vettore di rendimenti er può essere separato in due fondi, α 1 e α 2,seper ogni portafoglio q esiste uno scalare λ tale che: E [u (λer α1 +(1 λ) er α2 )] E [u (er q )] per tutte le funzioni di utilità concave. Proprietà dei portafogli di separazione: 1. I portafogli α 1 e α 2 stanno sulla frontiera; 2. Per ogni portafoglio q, il portafoglio dominante (quello che sta sulla frontiera) formato con 2 portafogli di separazione è il portafoglio che sta sulla frontiera che ha lo stesso rendimento atteso di q. 3. Quando vi è separazione in due fondi due distinti portafogli (qualunque essi siano) possono essere portafogli di separazione. 1

2 Prendiamo due portafogli sulla frontiera: p, zc (p). Per ogni portafoglio q vale: er q = 1 β qp erzc(p) + β qp er p + e² qp E (e² qp )=0 Definiamo il tasso di rendimento del portafoglio dominante: eq β qp 1 βqp erzc(p) + β qp er p La condizione necessaria e sufficiente per la separazione in 2 fondi è: h E e² qp Q e i βqp =0 q Il tasso di rendimento su un portafoglio realizzabile è uguale al tasso di rendimento su un particolare portafoglio più un termine di disturbo che ha un valore atteso condizionale nullo, dato il tasso di rendimento su quel particolare portafoglio. 2

3 2 Portafoglio di mercato Quando esiste separazione e i mercati per le attività rishiose sono in equilibrio, vi è una semplice restrizione lineare sui rendimenti: la relazione di equilibrio fra i rendimenti è lineare. Definizione di portafoglio di mercato: W0 i > 0 ricchezza iniziale dell individuo i, i =1,...,I. w ij, proporzione della ricchezza iniziale investita nella j -esima attività. La ricchezza totale dell economia: W m0 = W0 i. In equilibrio: W m0 = valore totale delle attività Condizione di equilibrio sui mercati delle attività: w ij W0 i = w mjw m0 w mj, proporzione della ricchezza totale costituita dal valore totale della j esima attività. P I w ijw0 i è la domanda di attività j da parte di tutti gli individui. I pesi del portafoglio di mercato sono w ij W i 0 W m0 = w mj w mj è la proporzione della ricchezza totale costituita dal valore totale della j-esima attività, questi possono essere interpretati come i pesi del portafoglio di mercato. Questi sono una combinazione convessa dei pesi dei portafogli individuali. 3

4 1. Se esiste separazione in due fondi il portafoglio di mercato èun portafoglio della frontiera. Perchè: Separazione significa che i portafogli di separazione stanno sulla frontiera. E viceversa, 2 portafogli sulla frontiera possono essere portafogli di separazione. 2. Questo significa che gli individui detengono una combinazione di portafogli sulla frontiera, ma ogni combinazione lineare di portafogli sulla frontiera si trova sulla frontiera. 3. In equilibrio, il portafoglio di mercato è una combinazione convessa di portafogli individuali. Il portafoglio di mercato è una combinazione lineare convessa di portafogli che stanno sulla frontiera dunque sta anch esso sulla frontiera. 4

5 3 Security Market Line Prendiamo un portafoglio p sulla frontiera 6= mvp e un portafoglio q qualunque. E (er q )= 1 β qp E erzc(p) + βqp E (er p ) questa relazione è un risultato matematico che si ottiene dalla frontiera senza alcun ragionamento economico. Quando vi è separazione in 2 fondi, il portafoglio di mercato (MP) sta sulla frontiera. Se MP 6= mvp, vale che: E (er q )= 1 β qm E erzc(m) + βqp E (er m ) er m = er m è il tasso di rendimento su MP, w mi er i β qm = Cov (er q, er m ) Var(er m ) Ogni attività rischiosa è un portafoglio realizzabile, basta pensare a un vettore dei pesi di portafoglio del tipo 0. w j = 1. 0 dove 1 si trova nella posizione j-esima,sipuòscrivere vale quindi er j = w 0 jer E (er j )= 1 β jm E erzc(m) + βjm E (er m ) questa è una restrizione sul rendimento atteso delle attività rischiose. Riscriviamola come E (er j )=E er zc(m) + βjm E (erm ) E er zc(m) (1) Adesso per stabilire il segno di E (er m ) E er zc(m) dobbiamo fare alcune ipotesi. In particolare, E (er m ) E er zc(m) > 0 corrisponde al caso di efficienza del portafoglio di mercato. 5

6 Perchè ciò possa verficarsi i portafogli individuali devono essere efficienti. Questa possibilità si ha se gli individui possiedono funzioni di utilità crescenti e strettamente concave. Inoltre assumiamo che i rendimenti siano distribuiti in modo normale. Con queste ipotesi un individuo sceglierà di detenere il portafoglio di tangenza tra la curva di indifferenza e la frontiera nella sua parte efficiente. Sceglie, cioè, un portafoglio efficiente. Applicando lo stesso ragionamento a tutti gli individui, il portafoglio di mercato risulta efficiente (combinazione convessa di portafogli individuali). La relazione (1) è rappresentabile in una spazio bidimensionale E (er j ), β jm dove si rappresenta la dipendenza di E (er j ) da β jm.questaèlasecurity Market Line. Maggiore è il valore di β jm per il titolo j, maggiore il suo tasso di rendimento atteso di equilibrio. Il tasso atteso di rendimento di equilibrio su un titolo rischioso dipende dalla covarianza tra il suo tasso di rendimento con quello di mercato. Quando il portafoglio di mercato non è efficiente, abbiamo ancora una relazione lineare fra E (er j ) e β jm. Tuttavia l inclinazione della security market line è negativa. In questo caso, maggiore è la covarianza tra il tasso di rendimento su un attività con quello del portafoglio di mercato, minore è il suo tasso atteso di rendimento di equilibrio. 6

7 4 Il Capital Asset Pricing Model Quando si hanno N attività rischiose ed una non rischiosa, con r f 6= A/C con un offerta strettamente positiva dei titoli rischiosi, i portafogli di tangenza tra la frontiera nel caso N+1 e quella nel caso N contengono titoli rischiosi. Il portafoglio di mercato coincide in equilibrio, nei due casi, con quei portafogli di tangenza. La varianza di un portafoglio nel caso N+1 σ 2 (er p )=wp 0 Vw p = (E (er p) r f ) 2 H La covarianza tra due portafogli, q portafoglio qualsiasi e p portafoglio sulla frontiera: Cov (er p, er q ) = wq 0 Vw p = (E (er q) r f )(E (er p ) r f ) H da cui H E (er q ) r f = Cov (er p, er q ) (E (er p ) r f ) H (E (er p ) r f ) = Cov (er p, er q ) (E (er p ) r f ) (E (er p ) r f ) Cov (er p, er q ) = (E (er p ) r f ) 2 /H (E (er p) r f ) = Cov (er p, er q ) (E (er σ 2 p ) r f ) (er p ) = β qp (E (er p ) r f ) Usando questa relazione possiamo scrivere: E (er q ) r f = β qm (E (er m ) r f ) per ogni portafoglio q nell equilibrio di mercato. Quando r f = A/C l attivitàsenzarischiohaun offerta strettamente positiva e i titoli rischiosi hanno un offerta netta nulla. Quando r f = A/C un individuo alloca tutta la sua richezza nell attività senza rischio (visto che il portafoglio a minima varianza costituito da soli titoli rischiosi ha lo stesso rendimento atteso di quello senza rischio). Affinchè i mercati siano in equilibrio è necessario che il titolo senza rischio abbia un offerta netta positiva mentre i titoli rischiosi devono avere offerta nulla. Quando gli investitori hanno funzioni di utilità strettamente crescenti, il premio al rischio del portafoglio di mercato deve essere strettamente positivo quando i titoli rischiosi hanno un offerta positiva. 7