CALCOLO INTEGRALE per Informatica Risoluzione dell'esercitazione n.4, 8 aprile 2013

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1 CALCOLO INTEGRALE per Informatica Risoluzione dell'esercitazione n., 8 aprile Es.. Calcolare i seguenti integrali indeniti (cioé le funzioni primitive o antiderivate), con l'aiuto del metodo di sostituzione, se necessario: osservando che D( + + 5) = + = (), la sostituzione u = g() = du = g ()d = ()d implica d = du u = ln u + C = ln C = ln( + + 5) + C, dove si è tolto il modulo poiché > per ogni R. ln osservando che D ln =, la sostituzione u = ln du = d implica ln d = u du = u (ln ) + C = + C. e osservando che D =, la sostituzione u = du = d implica e d = e d = e u du = eu + C = e + C. Es.. Calcolare i seguenti integrali indeniti (cioé le funzioni primitive o antiderivate), con l'aiuto del metodo di integrazione per parti: e vorrei eliminare integrando per parti in modo da doverlo derivare (derivando un polinomio lo si abbassa di grado). Considero quindi U() =, V () = e V () = e e integro per parti ottenendo: e d = e e d Calcolo nuovamente per parti l'integrale e d considerando U() =, V () = e V () = e, quindi e d = e e d = e e + C.

2 Sostituendo quest'ultimo integrale nell'espressione precedente ottengo quindi e d = e [e e ] + C = e ( ) + C. ln Non so come integrare la funzione ln, ma so che la sua derivata è una funzione razionale (cioé rapporto di due polinomi) e quindi puó essere utile applicare una integrazione per parti ponendo U() = ln (si sanno poi sempre integrare le funzioni razionali, come vedremo). Allora devo scegliere V () = V () =, e integrare per parti ottenendo: ln d = ln d = ln d = ln + C. sin()e so integrare ciascuna funzione ma non il loro prodotto. Provo a integrare per parti in modo da ottenere un'equazione che mi permetta di calcolare l'integrale che mi interessa (questo procedimento è suggerito in tutti i libri sugli integrali, non si pretende che sia inventato dallo studente). Considero quindi V () = e V () = e, U() = sin() e integro per parti ottenendo: ) sin()e d = sin() ( e ) cos() ( e d = sin()e + cos()e d. Ripeto un'integrazione per parti nell'ultimo integrale dove V () = e V () = e, U() = cos(), ottenendo: ) ( ) cos()e d = cos() ( e sin() )( e d = cos()e sin()e d. Nel calcolo dell'ultimo integrale ho riottenuto il primo. Sostituendo nell'espressione precedente ottengo la seguente uguaglianza da cui posso ricavare l'integrale che mi interessa: [ sin()e d = sin()e cos()e [ ] = e sin() + cos() sin()e d. ] sin()e d = Portando a primo membro della precedente uguaglianza l'integrale incognito, ottengo ( + ) [ ] sin()e d = e sin() + cos() + C [ ] sin()e d = e sin() + cos() + C. 5

3 Es.. Calcolare l'area della regione di piano compresa tra il graco della funzione f() = π e quello della funzione g() = arcsin nell'intervallo [, ]. Risoluzione: ricordando il graco della funzione arcsin, o studiandola brevemente, si osserva che per [, ] questa funzione è convessa e la retta y = f() = π passa per i punti estremi del suo graco, quindi rimane sempre al di sopra di esso (si veda il disegno allegato, in le jpeg). Poiché entrambe le funzioni sono dispari, nell'intervallo [, ] avremo che il graco di g è al di sopra di quello di f, ma le due aree sono uguali, quindi l'area A della regione compresa tra le due funzioni è data da A = f() g() d = = π (f() g()) d = arcsin d = π arcsin d. (π arcsin ) d = Non so integrare direttamente la funzione arcsin, ma conosco la sua derivata. Considero quindi U() = arcsin, scelgo V () = V () =, e posso integrare per parti ottenendo: arcsin d = arcsin d = π d. Con la sostituzione u = du = d si ottiene: d = = Allora per l'area cercata si ha: A = π u du = d = u du = [u ] =. u du = arcsin d = π [ π ] = π. Es.. Calcolare i seguenti integrali deniti: + Se u = + du = d, mentre riconosciamo che + d dá un arctan..., allora + d = = ln(+ ) + + d + d = + d + + ( d = ) + ( d = ) ln 8 ln +arctan( ) = ln ln +arctan = ln +π.

4 ln( + ) Non so come integrare la funzione ln( +), ma so che la sua derivata è una funzione razionale (cioé rapporto di due polinomi) e quindi puó essere utile applicare una integrazione per parti ponendo U() = ln( +) (si sanno poi sempre integrare le funzioni razionali, come vedremo). Allora V () = V () =, e integrando per parti otteniamo: ln( + ) d = [ ] ln( + ) + d = ln + d = = + ln d = ln ( + + ) d = = [ ] ln arctan = [ ] ln arctan = π ( ln ). Es. 5. Calcolare i seguenti integrali indeniti (cioé le funzioni primitive o antiderivate): sin Trattandosi di una potenza pari della funzione sin, uso la formula di bisezione sin = ( cos()), ottenendo sin d = ( cos()) d = ( ) cos() + (cos()) d = = ( sin() + ) (cos()) d. Per l'ultimo integrale uso l'altra formula di bisezione cos = ( + cos()), per sostituito con, ottenendo (cos()) d = ( + cos()) d = ( + sin()) + C, e utilizzando tale risultato per completare l'integrale di partenza, otteniamo sin d = ( sin() sin()) + C. sin() Integriamo per parti ponendo U() =, in modo da doverlo poi derivare ottenendo e V () = sin() V () = cos(),. Otteniamo cos() sin() d = [ cos() d ] = cos() + sin() + C.

5 sin 5 cos Essendo dispari la potenza di sin, voglio applicare il metodo di sostituzione con u = cos, cosí du = sin d. In questo modo la potenza dispari viene usata per la sostituzione e rimangono solo potenze pari di sin che possono essere espresse tramite un polinomio nella funzione cos : sin 5 cos d = = ( u ) u du = sin cos sin d = ( cos ) cos sin d = ( u +u )u du = ln Per sostituzione, posto u = ln du = d, otteniamo: ln d = ln d = arctan() (u u +u 6 ) du = u +u5 5 u7 7 +C. du = ln u + C = ln ln + C. u Per parti, devo poter derivare U() = arctan(), quindi prendo V () = V () =, ottenendo: arctan() d = arctan() d = + () arctan() L'ultimo integrale rientra in una tipologia che sapremo sempre integrare. avere a numeratore, il denominatore sommato ad altri termini otteniamo: + 9 d = [ d = + 9 d Qui, cercando di 9 + d = [ ] d = ] [ d = + () arctan()] + C. Allora per l'integrale di partenza si ottiene arctan() d = arctan() arctan() + C. Es. 6. Calcolare i seguenti integrali deniti: ( + ) ln()

6 Devo integrare per parti derivando U() = ln, quindi pongo V () = ( + ) V () = (+) ottenendo: [ ( + ) (+) ln() d = ] ln() (+) = ln(6) d = ln(6) = ln(6) [ ] + ++ln = 6 ln 6 d = ln(6) (+) d = ( ) d = = ln(6) [ ln ] 8 +ln = ( ) ln + ln = ln e Applico il metodo di sostituzione ponendo u = du = d, quindi d = d = udu. Allora e d = u e u u du = u e u du. Integro per parti l'ultimo integrale ponendo U(u) = u e V (u) = e u poi analoghe integrazioni per parti: [ = e 6 e (ue u u e u du = u e u 6 u e u du = e 6 [u e u V () = e u e ripeto ] ue u du = )] e u du = e 6e+ (e e u ) = e 6e+(e e+) = e = ( e).