Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

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1 Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse) e può essere quindi generlizzto, lscindo inltert l trcci generle dell su soluzione. Perciò l soluzione di lcuni dei problemi esminti è seguit d quell del problem generlizzto. Le prime tre pgine nno crttere introduttivo; i problemi inizino pg... Tr tutti i prllelepipedi rettngoli di ltezz e di superficie totle costnte, qul è quello di volume mssimo? pg. 5. Tr tutti i prllelepipedi rettngoli venti per bse un qudrto e di volume costnte V, qul è quello di superficie totle minim? pg. Fr tutti i prismi retti venti per bse un poligono regolre e di volume costnte V, qul è quello di superficie totle minim? pg.. Fr tutti i prismi esgonli regolri inscritti nell medesim sfer di rggio di misur r, qul è quello di volume mssimo? pg. 7 Fr tutti i prismi retti con bse regolre inscritti nell medesim sfer di rggio di misur r, qul è quello di volume mssimo? pg. 7. E dto un tetredro qulunque VABC ; lo si tgli con un pino prllelo ll bse ABC in modo ce risulti mssimo il tetredro V A B C vente per bse l sezione determint e il vertice V in un punto qulunque dell bse del primo. pg Determinre l pirmide rett con bse qudrt di volume mssimo, vente l superficie totle di misur costnte. pg. 9 Determinre l pirmide regolre di bse tringolre e superficie totle costnte, vente volume mssimo. pg. 0 Fr tutte le pirmidi regolri di superficie totle costnte, determinre quell di volume mssimo. pg. 0. Fr tutte le pirmidi tringolri regolri di superficie lterle l costnte, qul è quell di volume mssimo? pg. Fr tutte le pirmidi bse qudrt, venti superficie lterle costnte l, determinre quell di volume mssimo. pg. Fr tutte le pirmidi regolri di superficie lterle costnte l determinre quell di volume mssimo. pg. 7. Fr tutte le pirmidi regolri bse qudrt di dto volume V, determinre quell l cui re dell superficie lterle è minim. pg. Fr tutte le pirmidi regolri con fcce lterli di dto volume V, determinre quell l cui re dell superficie lterle è minim. pg Fr tutte le pirmidi bse qudrt di volume V costnte, determinre quell di superficie totle minim. pg. Fr tutte le pirmidi regolri con fcce lterli e di volume V costnte, determinre quell di superficie totle minim. pg. 9. Determinre l ltezz del prism di mssimo volume inscritto in un pirmide di bse e ltezz ssegnte. pg Un pirmide bse qudrt di lto e ltezz. A qule distnz dll bse si deve condurre un pino d ess prllelo in modo ce il prism costruito proiettndo l sezione ottenut sul pino dell bse bbi superficie totle mssim? pg. 8 Determinre il prism di mssim superficie totle inscritto in un pirmide con bse regolre di lto e ltezz ssegnte. pg. 9

2 Introduzione I problemi di Geometri olid sono probbilmente i più difficili tr quelli ce si presentno uno studente delle scuole medie superiori. In prte, quest difficoltà è intrinsec questo prticolre settore dell Mtemtic (intuire l soluzione di un problem in tre dimensioni è cirmente più difficile ce in due), in prte deriv dlle lcune stesse dell insegnmento, ce spesso trscur l Geometri olid. Per poter impostre questo tipo di problemi bsterebbero solo poce nozioni, essenzilmente per il clcolo di ree e volumi. Per qunto rigurd prismi e prllelepipedi in prticolre, non vi è difficoltà, dto ce il volume del prism è comunque dto dl prodotto dell bse per l ltezz. Quest regol si estende nce l prism non retto, nel qule gli spigoli lterli non sono perpendicolri i pini delle bsi. i pplic nce l cilindro, ce intuitivmente può essere pensto come un prism vente come bse un poligono regolre con infiniti lti. Per l pirmide, bisogn tener presente ce molti problemi si riferiscono ll pirmide rett, cioè tle ce. il poligono di bse è circoscritto un cercio;. l proiezione del vertice sul poligono di bse coincide col centro del cercio inscritto. L crtteristic dell pirmide rett è ce tutte le fcce lterli nno l stess ltezz, l cui misur è dett potem dell pirmide. Inoltre, per il teorem delle tre perpendicolri, le ltezze delle fcce lterli uniscono il vertice con i punti di conttto tr i lti dell bse e l circonferenz del cercio inscritto nell bse: perciò l ltezz dell pirmide, le ltezze delle fcce lterli e il rggio r b del cercio inscritto nell bse formno tringoli rettngoli congruenti con ngolo retto nel centro del cercio di bse e ipotenus equivlente ll potem dell pirmide. Perciò, per l pirmide rett, vle l relzione r b + e poi l pirmide è nce regolre, cioè se è rett ed è regolre il poligono di bse, le fcce lterli sono tringoli isosceli e il rggio r b del cercio inscritto nel poligono di bse coincide con l potem del poligono bse. Per r b vle l formul generle, riferit un poligono di lti ciscuno dei quli è ugule L [ cot cotngente] L r b cot (scomponimo il poligono di bse in tringoli isosceli e dividimoli con l ltezz in due tringoli rettngoli, venti per cteti metà del lto L e l ltezz ce misur r b. L formul si

3 ottiene pplicndo il teorem dei tringoli rettngoli per il qule il rpporto tr i due cteti è ugule ll cotngente dell ngolo opposto l denomintore, ce misur ppunto ). Per il tringolo equiltero si ottiene r b L ; per il qudrto, rb L. e sostituimo quest ultim nell formul precedente bbimo L cot + L ; per l esgono, rb Un ltr formul interessnte è quell dell re del poligono di bse, in funzione del numero dei lti, dt d ( cot cotngente ) A L cot (inftti l re è l somm delle ree di tringoli isosceli ciscun delle quli è dt d L L cot - vedi fig. precedente). i può nce considerre l espressione A R sin dove R è il rggio del cercio circoscritto l poligono di bse, ce si giustific tenendo presente l formul trigonometric dell re di un tringolo sinγ cso, b R e γ. uperficie lterle dell pirmide rett è l somm delle ree delle fcce lterli, ciscun delle L quli è dt d L, per cui L p dove p è il semiperimetro dell bse. Volume Un pirmide (non necessrimente rett) è sempre equivlente ll terz prte di un prism con l stess bse e l stess ltezz, per cui il volume di un pirmide è sempre dto d V B

4 Proporzioni tr segmenti, superfici, volumi di pirmidi Per tutte le pirmidi vle inoltre il principio seguente. In un pirmide si distinguono segmenti (l ltezz dell pirmide, le ltezze delle fcce lterli, gli spigoli e in generle tutti i segmenti ce possimo definire in relzione ll pirmide), superfici e volumi. e un pirmide VA B C... è ottenut d un ltr VABC... intersecndol con un pino prllelo ll su bse ABC..., le bsi ABC... e A B C sono poligoni simili e sono simili le fcce lterli pprtenenti llo stesso pino; si può dimostrre ce il rpporto tr i corrispondenti segmenti delle due pirmidi è ugule l rpporto tr le rispettive ltezze, ce il rpporto tr superfici corrispondenti è ugule l qudrto del rpporto tr le rispettive ltezze, e ce il rpporto tr i volumi è il cubo del rpporto tr le rispettive ltezze. Per segmenti corrispondenti intendimo i segmenti VA, VA, ecc; le ltezze di fcce pprtenenti llo stesso pino, come VAB e VA B ; i lti delle bsi AB e A B ecc.; per superfici corrispondenti, i poligoni ottenuti intersecndo l pirmide con pini prlleli lle bsi, le fcce lterli ecc. Lo scem generle dei problemi di mssimo/minimo implic l scelt di un incognit e riciede ce ltre grndezze vengno espresse rispetto quest. ormlmente qulce elemento dell figur deve essere costnte (un segmento, l re dell superficie lterle o totle, il volume...) e questo fornisce l relzione ce permette di esprimere le grndezze coinvolte nel problem in funzione dell incognit. ei problemi di Geometri olid, questo elemento costnte specie se si trtt di un superficie, lterle o totle stbilisce tlvolt un equzione tr due vribili inizili ce permette nce di studire i limiti dell vribile scelt come incognit, ltrimenti non fcilmente deducibili d considerzioni geometrice immedite.

5 Problemi. Tr tutti i prllelepipedi rettngoli di ltezz e di superficie totle costnte, qul è quello di volume mssimo? Il problem senso solo se si ssegn un vincolo come l superficie totle costnte, ltrimenti non vi è un solido di volume mssimo, percé l bse può vere un re rbitrrimente grnde. Dto ce l ltezz è, llor l superficie lterle è ( + y ), dove e y sono le dimensioni dell bse. Assumendo come incognit un delle dimensioni dell bse, bbimo i csi limite: limite inferiore 0 (bse null, volume nullo) ; il limite superiore si deduce dll formul seguente ce fornisce l superficie totle in funzione delle dimensioni e y dell bse, qundo y 0. L superficie totle srà y + ( + y ) ricvimo y : y ( + ) per cui il limite superiore dell, in bse l criterio prim esposto, è dto d i può notre come in questo cso i limiti possno essere completmente discussi solo dopo ce un vincolo è stto espresso in funzione delle due vribili inizili del problem, in modo ce si poss risolvere un delle due in funzione dell ltr. L re dell bse è dt d y ed è sufficiente ce si mssim, dto ce il volume, ( + ) in questo problem, è dto dl prodotto y e è costnte. L derivt dell re di bse è dt d ce si nnull per ( + ) ( + ) ± + ; si consider solo l sol. positiv: +, ce è un mssimo essendo il numertore positivo per compreso tr le sue due rdici e il denomintore sempre positivo. In prticolre, l soluzione corrisponde l cubo ( y ) se. Inftti si ottiene + e y. e si vuole ce l soluzione si il cubo di spigolo, si deve quindi imporre nel testo, e svolgendo i clcoli dll inizio si ottiene direttmente l equzione y + ( + y ) d cui ricvimo l y : y con il limite superiore. Quindi l re dell + bse srà A l cui derivt + + ( )( + ) + si nnull se ± + d ( + ) ( + ) cui ccettimo l soluzione positiv. i trov ce nce y. i trtt di un punto di mssimo percé l prbol y - + rivolge l concvità verso il bsso e quindi l rco di ordint positiv è compreso tr le due soluzioni, - e. Perciò l derivt prim è positiv per compreso tr 0 e e si conferm come il punto di mssimo. Quindi le tre dimensioni sono uguli e l soluzione è il cubo di spigolo.. 5

6 . Tr tutti i prllelepipedi rettngoli venti per bse un qudrto e di volume costnte V, qul è quello di superficie totle minim? Dette e y le misure rispettive dello spigolo di bse e dell ltezz, il volume è dto d V y V e quindi y. In line di mssim null viet ce lo spigolo di bse poss essere grnde picere, quindi deve essere 0. L superficie totle srà l somm delle due bsi cioè e delle fcce lterli y, per cui V V ( V ) + l cui derivt - si V nnull se V. Il corrispondente vlore di y è V, quindi l soluzione è V un cubo. Ce si trtti di un minimo è confermto dll intervllo di positività dell derivt prim, dto dll disequzione > V. Per compreso tr 0 e V l derivt è negtiv e ciò conferm ce si trtt di un punto di minimo. Questo problem si può fcilmente generlizzre un prism retto vente per bse un poligono regolre di lti, vente volume V costnte. Fr tutti i prismi retti venti per bse un poligono regolre e di volume costnte V, qul è quello di superficie totle minim? L superficie dell bse è dt dll formul (vedi pg. ) ce l esprime in funzione del numero dei lti e dell misur L di ogni lto: A L cot posto L, bbimo per l superficie totle A + L cot + y essendo y l ltezz del prism, ce ricvimo in funzione di in bse l volume costnte: V A y y V cot V tn V K essendo K un costnte tn ; come nel cso precedente, non vi è lcun limite superiore ll misur del lto di bse. L superficie totle è quindi dt d + VK l cui derivt VK si K K nnull per - V K 0 cioè esplicitndo K e svolgendo i clcoli - per V tn. el cso inizile, per cui, si V V. e, si ottiene i può ottenere il risultto per nce direttmente: B, T tn e quindi V. e, bbimo V V +, V. 9, per cui

7 T V + - V 0 V + V. l cui derivt si nnull se. Fr tutti i prismi esgonli regolri inscritti nell medesim sfer di rggio di misur r, qul è quello di volume mssimo? ezione meridin di un prism esgonle regolre inscritto in un sfer; AB è un dimetro del cercio circoscritto ll bse esgonle, BC e AD sono spigoli lterli opposti, OB r, HB r b, OH Il volume del prism è il prodotto di bse per ltezz; conviene esprimere l superficie di bse in funzione dell ltezz, con 0 r. L re dell esgono inscritto in un cercio di rggio r b è ugule rb sin (in qunto l re di un tringolo isoscele inscritto in un cercio di centro O rggio r b e ngolo con vertice in O ugule è dt d rb sin ) cioè r b. Il rggio del cercio di bse è dto d r b r (vedi figur) e quindi V ( r ) ( r ). L derivt prim è ( r ) e si nnull r r per, per cui l ltezz è ugule. Lo studio del segno dell derivt prim conferm ce si trtt di un punto di mssimo. i può notre ce il problem non cmbi se l bse fosse un qulsisi poligono regolre, come si vede in bse l seguente problem Fr tutti i prismi retti con bse regolre inscritti nell medesim sfer di rggio di misur r, qul è quello di volume mssimo? i può generlizzre il problem sin dll inizio, ssumendo ce l bse del prism si un poligono regolre di lti. L re di un poligono regolre di lti è l somm delle ree di tringoli isosceli di lto equivlente l rggio r b del cercio circoscritto l poligono; in bse ll trigonometri possimo scrivere ce l re di un singolo tringolo isoscele è sin (vedi formul pg. ) essendo l mpiezz dell ngolo opposto l lto di bse. Tenendo presente ce il rggio di bse r b, l ltezz del prism e il rggio r dell sfer d esso circoscritt sono collegti dll relzione (vedi fig. precedente) r b r, per l re A dell bse ottenimo 7 r b

8 A ( r ) sin Il volume del prism quindi è dto d V ( r ) sin ( r ) sin L derivt del volume è il prodotto di un costnte moltiplictiv dipendente dl numero dei lti per un polinomio, ce non contiene il numero dei lti; quindi il punto di mssimo è indipendente dl numero dei lti del poligono di bse del prism, ed è funzione solo dell su ltezz.. E dto un tetredro qulunque VABC ; lo si tgli con un pino prllelo ll bse ABC in modo ce risulti mssimo il tetredro V A B C vente per bse l sezione determint e il vertice V in un punto qulunque dell bse del primo. Il volume del tetredro è dto d V dove in questo cso è l re di A B C e è l distnz tr i pini ABC e A B C. Prendimo come vribile incognit l distnz tr A B C e il vertice V. In bse l principio per cui, se due pirmidi nno stesso vertice e spigoli lterli e le rispettive bsi sono prllele, il rpporto tr le rispettive bsi è ugule l rpporto tr i qudrti delle rispettive ltezze. Indicndo quindi con e l misur dell ltezz e dell bse rispettivmente del tetredro VABCD, e con e quelle di VA B C, con 0, vremo e quindi, essendo l ltezz di V A B C ugule, il volume cercto è V ( ) ( ) e l su derivt (trscurndo l costnte) 0 se, cioè se l distnz tr il pino A B C e il vertice V è i due terzi dell ltezz del tetredro VABCD. (l ltr soluzione, 0, è un cso limite ). L prbol Y l concvità rivolt verso il bsso e quindi Y > 0 se 0 < < ; quindi l soluzione trovt è un punto di mssimo. 8

9 Osservzione importnte. L soluzione trovt per il tetredro vle per qulsisi pirmide, percé bst sull relzione di proporzionlità tr superficie dell bse e qudrto dell ltezz, ce implic l formul risolvente. 5. Determinre l pirmide rett con bse qudrt di volume mssimo, vente l superficie totle di misur costnte. In un pirmide rett le ltezze delle fcce lterli sono tutte uguli ll potem, e l superficie totle è dt dll somm dell re di bse e dell superficie lterle. Posto ugule lo spigolo dell bse, con 0 < (il cso limite superiore corrisponde ll ltezz null dell pirmide, per cui l re dell superficie totle coincide con quell dell bse + quell dell superficie lterle, ce in questo cso tende quell dell bse, dto ce il vertice dell pirmide converge l centro dell bse, per cui l limite ), dobbimo determinre l misur dell ltezz in funzione di e di. A questo scopo, osservimo ce l potem + e, quindi dobbimo esprimere l potem in funzione di e ; per questo, considerimo l superficie totle come (re di bse) + (sup. lterle) e + Il volume è dto d V Per il mssimo trscurimo ed elevimo l qudrto, l derivt è se 0 V ± si prende solo l soluzione positiv, cioè. Il segno dell derivt è positivo se > 0, cioè se < [ tener presente ce > 0]. Quindi si trtt di un punto di mssimo. Prendendo come vribile l ltezz, vremmo dovuto considerre il lto di bse l come second incognit e l espressione dell superficie totle divent l + l l l + ; d quest relzione si ricv l l l + l l + l l l + l l + ( + ) 8 Il volume è dto d l cui derivt si nnull per + ( + ) + l + 0, cioè, ce dllo studio del segno risult un punto di mssimo. 9

10 L potem risult essere l + +. Determinre l pirmide regolre di bse tringolre e superficie totle costnte, vente volume mssimo. L soluzione di questo problem, nel cso in cui l bse è un tringolo equiltero, è evidentemente nlog quell dell bse qudrt. Detto il lto di bse, per i limiti dell vlgono le considerzioni già ottenute prim, per cui 0, in qunto l re dell bse è e, nel cso limite superiore, l superficie totle è il doppio di quell dell bse. eguendo l stess impostzione del problem precedente, per il volume V ottenimo l formul V in qunto l potem del tringolo di bse è. Essendo + si ottiene V ( + ) 9 9 Elevndo l qudrto, e trscurndo l costnte moltiplictiv, si 8 ottiene l derivt 8( ) con l soluzione (divers d 0 ). Fr tutte le pirmidi regolri di superficie totle costnte, determinre quell di volume mssimo. E l generlizzzione l cso di un bse di lti dei due problemi precedenti. Indicndo con L e B rispettivmente l superficie lterle e quell di bse, con l misur del lto di bse, con l potem dell pirmide e con il numero dei lti dell bse, bbimo TOT L + B e quindi, tenendo presente l espressione A L cot vlid per l superficie dell bse regolre di lti, per cui B cot d cui TOT + cot [ + cot ] dll qule ricvimo ottenimo l ltezz cot e quindi V ( cot ) cot. Dll potem e dll misur del lto di bse cot cot cot cot cot l cui derivt, trscurndo l costnte moltiplictiv ed elevndo l qudrto il rdicle, divent 0

11 8( cot ) ce uguglit 0 fornisce per il punto di mssimo Per si ottiene l soluzione già trovt prim,. tn.. Fr tutte le pirmidi tringolri regolri di superficie lterle l costnte, qul è quell di volume mssimo? Lo scem risolutivo del problem si bs sul clcolo del volume V b [ b è l re del poligono di bse, e l ltezz dell pirmide] e sull formul dell superficie lterle, per l qule l p [ è l potem dell pirmide e p l misur del semiperimetro del poligono di bse. i teng presente ce un pirmide regolre è nce rett, per cui le ltezze delle fcce lterli sono tutte uguli ll potem dell pirmide]. Il vlore costnte dell superficie lterle l implic ce l potem poss essere espress in funzione del semiperimetro, secondo l formul p ed essendo l bse un poligono regolre bbimo ce p è l metà del numero dei lti di bse per l loro misur comune, ; nel nostro cso, ottenimo l l Per poter risolvere il problem, dobbimo trovre l ltezz dell pirmide, esprimendol in funzione dell potem dell pirmide e dell potem b del poligono di bse. Questo scem logico si può pplicre in generle tutti i problemi di questo tipo, purcé l pirmide si regolre, prescindere dl numero dei lti di bse e delle fcce lterli. Inftti un pirmide regolre è un pirmide rett, per cui il centro O del cercio inscritto nel poligono di bse coincide con l proiezione ortogonle del vertice V dell pirmide sul pino di bse, e le ltezze delle fcce lterli uniscono il vertice con i punti di tngenz T dei lti di bse. e l pirmide è regolre, nce l bse è un poligono regolre e l potem b del poligono di bse è l misur comune dei segmenti ce uniscono il centro O con i punti T. L ltezz dell pirmide, le ltezze delle fcce lterli tutte uguli ll potem e le distnze tr il centro O dell bse e i lti di bse, tutte uguli ll potem b dell bse, sono lti di tringoli rettngoli congruenti VOT nei quli l potem dell pirmide è l misur dell ipotenus; quindi ottenimo nce l relzione b. l

12 Il problem è risolto se esprimimo b in funzione del lto di bse. el cso di un tringolo equiltero l potem b è un terzo dell ltezz (in qunto le ltezze coincidono con le medine) ed essendo l ltezz del tringolo l ltezz ottenimo l espressione per il lto, ottenimo infine b. Quindi per 9 Restno d nlizzre i limiti sull incognit. Il limite inferiore è evidentemente 0. Il limite superiore si deduce dll relzione l p ed essendo riducibile zero, non vi è nessun limite superiore per il semiperimetro e quindi nemmeno per l misur del lto di bse. Cercimo or l formul del volume in funzione del lto di bse. Alle relzioni trovte prim, dobbimo ggiungere l espressione dell superficie dell bse in funzione del lto, ce nel cso del tringolo equiltero è metà del lto per l ltezz, cioè volume bbimo l. Infine per il l V l l ce è mssimo o minimo se lo è il suo qudrto, cioè trscurndo l costnte moltiplictiv inizile il polinomio l. Derivndo il polinomio si ottiene l , cioè 0 ce è un limite con volume nullo, e l l. 8 i trtt di un punto di mssimo, in qunto l derivt, scritt nell form (l 9 ) e quindi (l + )(l ), è positiv se il fttore l > 0, in qunto sono positivi gli ltri due (deve essere > 0 per i limiti del problem). Quest disequzione è risolt nell intervllo l compreso tr < < punto di mssimo. l + e quindi, essendo positiv per < l +, si trtt di un

13 Fr tutte le pirmidi bse qudrt, venti superficie lterle costnte l, determinre quell di volume mssimo. L impostzione è identic l problem precedente, slvo l misur dell potem, dt dl rpporto tr l e il semiperimetro dell bse, è il lto di bse: pirmide è dt d b dove b bse b l si ottiene V b solito metodo, elevimo l qudrto e clcolimo l derivt; ottenimo l l l. Quindi l ltezz dell, e dt l re dell l. eguendo il 5 l 0 ce, prte l soluzione 0, fornisce l Cercimo or di generlizzre questo problem un pirmide regolre con un numero di fcce lterli Fr tutte le pirmidi regolri di superficie lterle costnte l determinre quell di volume mssimo Questo problem può essere risolto nel cso generle di un pirmide regolre, se si riesce trovre un formul universle per il volume di un pirmide regolre di fcce lterli. Generlizzimo il metodo già pplicto per l bse tringolre e qudrt. Indicndo con il lto del poligono di bse, dobbimo clcolre in funzione di l ltezz dell pirmide, ce è il cteto di un tringolo rettngolo vente come ipotenus e ltro cteto rispettivmente l potem dell pirmide e l potem del poligono di bse, b ( si teng presente ce un pirmide regolre è un pirmide rett, per cui il centro O del cercio inscritto nel poligono di bse coincide con l proiezione ortogonle del vertice dell pirmide sul pino di bse, e l potem dell pirmide unisce il vertice con i punti di tngenz T dei lti di bse. e l pirmide è regolre, nce l bse è un poligono regolre e l potem del poligono di bse è l misur dei segmenti ce uniscono il centro O con i punti T ). Per prim cos ricvimo l potem in funzione del lto di bse. Dll formul L L si ottiene immeditmente. L formul generle per è dsin dove d è il dimetro del cercio ce circoscrive il poligono di bse, e l potem b del poligono di bse è cot (in qunto l ngolo l centro opposto l lto è ). el cso di un tringolo equiltero, si ottiene b. Quindi l ltezz è dt d L cot ( ) L cot ( ) E per l re dell bse bbimo A cot cot, d cui si ottiene V cot L cot ( ) d cui

14 V cot L Per trovre il mssimo, si può clcolre l derivt di cot tn L cot ( L cot ) con l soluzione L L cot (in bse l principio ce il mssimo di un quntità positiv è quello del suo qudrto, trscurndo eventuli costnti moltiplictive). el cso dell bse tringolre, bbimo i può notre ce il rpporto L e L, cioè il lto di bse è doppio dell potem. L L. e l bse è un qudrto, si ottiene L L cot g. 7. Fr tutte le pirmidi regolri bse qudrt di dto volume V, determinre quell l cui re dell superficie lterle è minim. Esprimimo l superficie lterle l in funzione del lto di bse e dell potem. L superficie lterle è l somm delle ree di tringoli isosceli, cioè l somm dei prodotti dell metà dei lti per le ltezze, ce sono tutte uguli ll potem, essendo l pirmide bse qudrt un pirmide rett. i ottiene l, cioè il semiperimetro di bse l potem. Per clcolre, considerimo il volume, ce consente di esprimere l ltezz in funzione del lto di bse. Dll relzione V b con b V, ricvimo e quindi l potem 9V V + V l 7 7 7V derivt del rdicndo è 8 V V ugule V per clcolrne l derivt, elevimo l qudrto. L 7V. Per il corrispondente vlore di, si trov ce si nnull per 8V 9. i può notre ce il rpporto tr il lto di bse e l ltezz corrispondenti l mssimo è +. Ance questo problem mmette generlizzzione l cso di un poligono di bse regolre di lto. V V

15 Fr tutte le pirmidi regolri con fcce lterli di dto volume V, determinre quell l cui re dell superficie lterle è minim. Come prim, ricvimo l ltezz dell pirmide e poi l potem in funzione del lto di bse. In bse ll formul di pg. per l qule A L cot ce con L, bbimo tn V V A V V K dove l cot tn costnte K L. Quindi dll relzione (pg. ) cot + ottenimo cot + moltiplicndo l potem per il semiperimetro di bse 5 tn cot + V ottenimo tn tn L cot V + cot + V ; tn conviene clcolre l derivt del qudrto di L : [ cot 88V ] ce si nnull se 88V 88V tn : cot tn V tn ce, per, conduce V. el cso, si ottiene V. 8. Fr tutte le pirmidi bse qudrt di volume V costnte, determinre quell di superficie totle minim. Assumimo come incognit il lto dell bse, con il limite inferiore 0 - non esiste un limite superiore, in qunto il volume dipende dl prodotto dell bse per l ltezz, e se l re dell bse tende ll infinito per mntenere il volume costnte si f tendere zero l ltezz. Dl volume V b possimo esprimere l ltezz in funzione del volume e dell superficie di bse, ce evidentemente è b V, per cui. L superficie totle è dt dll somm dell bse e dell superficie lterle l, per cui dobbimo trovre un formul per l superficie lterle: dto ce tutte le fcce lterli sono uguli, bbimo l p dove è l potem dell pirmide e p il semiperimetro, ugule. L potem si clcol pplicndo il Teorem di Pitgor l tringolo VOT dove V è il vertice dell pirmide, O l proiezione di V sull bse e T uno qulsisi dei punti di conttto tr lto di bse e circonferenz inscritt nel poligono bse; quindi bbimo ( 9V + ) +

16 9V l + V + e quindi per l superficie totle bbimo V 7V + +, l cui derivt è + ( ) + V V (+ ) + V + V + + V V eprndo il rdicle nel numertore e qudrndo si ottiene + V + V V un punto di minimo in qunto l disequzione > 9 V 9 V è risolt se > 9 V ce è 9 V. Fr tutte le pirmidi regolri con fcce lterli e di volume V costnte, determinre quell di superficie totle minim. L superficie dell bse è dt dll formul generle b cot, nell qule è l misur incognit del lto di bse. L superficie totle è l somm dell superficie di bse e di quell lterle, dt d l dove è l potem. Quest ultim è collegt ll ltezz e ll potem del poligono di bse b dll relzione + b nell qule b cot V V mentre si ricv dl volume e dll superficie di bse: tn b quindi V tn + cot per cui V T cot + tn + cot crivimol come A + B + A A + ; l derivt è A + B B + A A - B A B A [ A - ] 0 se 0 o se B+ A B+ A A - B A 0 ponimo z, si ottiene A z B+ A z B A z B+ A

17 A Bz + A z B + A z A Bz 8 A B z - B B 0 z 8A V tn 8 cot 7V tn tn 9. Determinre l ltezz del prism di mssimo volume inscritto in un pirmide di ltezz e bse ssegnte. Dt un pirmide VABCD (l bse può essere un poligono qulsisi) di ltezz e bse, intersecimol con un pino prllelo l poligono di bse, ottenendo i punti L M O...vertici di un poligono simile quello dell bse. Definimo in questo modo un prism LMO...EFGI vente come bse inferiore l proiezione ortogonle di LMO sul pino dell bse dell pirmide. Un pino ce interseci tutti gli spigoli lterli di un pirmide sepr un tronco di pirmide e un pirmide simile quell dt, nel senso ce i due solidi nno in proporzione gli spigoli corrispondenti, nno in comune gli ngoli diedri e pprtengono llo stesso ngoloide. In prticolre, nelle due pirmidi possimo riconoscere segmenti corrispondenti (ltezze delle due pirmidi, ltezze delle fcce lterli, spigoli, lti dei poligono di bse), superfici corrispondenti (fcce lterli, poligoni di bse) e volumi. i può dimostrre in generle ce il rpporto tr due segmenti corrispondenti è ugule l rpporto tr le rispettive ltezze. Dto ce il rpporto tr le superfici di poligoni simili è ugule l qudrto del rpporto tr lti corrispondenti, si conclude ce il rpporto tr fcce corrispondenti e quello tr i poligoni di bse è ugule l qudrto del rpporto tr le rispettive ltezze. Dette quindi e le ree dei poligoni di bse, rispettivmente dell pirmide mggiore e di quell minore, e e le rispettive ltezze, bbimo l proporzione 7

18 ' '. e indicimo con l ltezz dell pirmide minore VLMO... bbimo quindi, per l re delle bsi del prism inscritto, l formul e quindi il volume del prism è dto d V ( ) ( ) Quest formul non dipende dll form dell pirmide, m solo dll misur dell superficie del poligono di bse. Invece, eventuli problemi sull superficie lterle o totle del prism implicerebbero informzioni sul poligono di bse (lmeno sull misur del perimetro). L espressione ottenut è identic quell del cilindro inscritto in un cono, dto ce in termini intuitivi possimo immginre cilindro e cono come prism e pirmide vente come perimetro dell bse delle circonferenze. Il prism di volume mssimo quindi corrisponde quell dell pirmide in cui è inscritto., per cui l su ltezz è un terzo di 0. Un pirmide bse qudrt di lto e ltezz. A qule distnz dll bse si deve condurre un pino d ess prllelo in modo ce il prism costruito proiettndo l sezione ottenut sul pino dell bse bbi superficie totle mssim? Il principio è ce le ree di EFGH e di ABCD sono proporzionli i qudrti delle rispettive distnze dl vertice. e l incognit è l ltezz del prism, con i limiti 0, dll proporzione generle : b ( ) : dove denot l superficie delle bsi del prism deducimo b ( ) e quindi ( ). L superficie lterle si clcol tenendo conto ce le misure dei segmenti corrispondenti di due pirmidi pprtenenti llo stesso ngoloide sono proporzionli lle rispettive ltezze, per cui il lto y delle bsi del prism è dto d y : ( ) : y ( ) e quindi l superficie lterle l è y ( ). L superficie totle è b + l è quindi 8

19 ( ) + ( ) L cui derivt si nnull per - ( ) ( ) + 0, cioè ( ) ( ) ( ) 0 ( ) + 0 e quindi. Questo risultto esige però un ( ) discussione reltiv si ll posizione del numero rispetto gli estremi 0 e, si ll su ntur come punto di mssimo o di minimo. ( ) e >, l derivt è positiv per > e quindi si trtt di un minimo esterno i limiti in qunto > implic > : il mssimo effettivo in questo cso corrisponde 0, essendo l funzione decrescente in tutto l intervllo 0. ( ) ( ) e > >, l derivt è positiv se < ; inoltre, < 0 e quindi si un mssimo esterno i limiti; il mssimo effettivo è di nuovo in 0, essendo di nuovo decrescente in tutto l intervllo [ 0 ; ]. e, il mssimo si ncor in 0. ( ) e <, l frzione è positiv ed è < e si trtt ncor di un punto di mssimo, m interno ll intervllo [ 0 ; ]. Il metodo risolutivo è lo stesso nce nel cso in cui l pirmide per bse un poligono regolre di lti uguli d, solo ce l formul dell superficie lterle è l ( ), e l superficie dell bse in bse ll solit formul generle per cui vle L cot per un poligono regolre di lti - è b cot ( ). Perciò l superficie totle srà cot ( ) + ( ). 9

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