Tinf T. sup 600 K 300 K

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1 FRIGORIFERI E POMPE I ORE bbiamo visto nei precedenti capitoli che la conversione di calore in lavoro in una macchina bitermica reversibile ha una efficienza che dipende dalla differenza tra le temperature assolute dei serbatoi (termostati) tra i quali si fa lavorare la macchina. Essendo quella del termostato costituito dall ambiente esterno la temperatura più bassa che abbiamo a disposizione, tutte le nostre macchine lavoreranno tra la temperatura sup della sorgente calda ed una inf pari a quella dell ambiente, con un rendimento che, (soltanto!) nel caso della macchina di arnot inserita in un ciclo bitermico reversibile, può scriversi:. inf η 500 K 600 K sup 375 K 0,8 0,5 0, 300 K Nella figura, tre macchine di arnot lavorano tra altrettanti serbatoi a diverse temperature e l ambiente, considerato come un termostato alla temperatura costante di 300 K. Riferendosi ai valori assoluti di e, è possibile vedere come la stessa quantità di calore estratta dai diversi serbatoi venga convertita in quantità di lavoro diverse in funzione della temperatura alla quale è disponibile. Nel primo caso ben l 80% del calore è convertito in lavoro meccanico, mentre il restante 0%, scaricato nell ambiente, diventa inutilizzabile per la produzione di ulteriore lavoro; nell ultimo caso la convertibilità di in lavoro meccanico è appena del 0%, mentre l 80% diviene inservibile. Solo un ipotetico termostato a temperatura infinita potrebbe assicurare la conversione totale di in lavoro, condizione manifestamente impossibile perché comporterebbe anche - 0 e pertanto la macchina, utilizzando di fatto solo una sorgente, sarebbe monoterma. Ne abbiamo concluso che il lavoro ciclico massimo ricavabile da una generica quantità di calore disponibile alla generica temperatura i (con i > amb ), si può ottenere mediante una macchina di arnot operante tra i e amb.

2 Poniamoci adesso il problema inverso: è possibile ottenere una determinata quantità di Energia sotto forma di alore partendo da Energia sotto forma di avoro meccanico? uesta conversione è certamente possibile, visto che il avoro meccanico può essere convertito in qualsiasi altra forma di Energia. In figura, l energia elettrica contenuta in una batteria di accumulatori (energia che abbiamo identificato come lavoro meccanico) si trasforma in calore sulla resistenza elettrica con un rendimento di conversione pari ad uno. amb Pertanto è evidente che, partendo da una certa quantità di avoro, è possibile ottenere una identica quantità alore a qualsiasi temperatura, sempre però superiore alla temperatura dell ambiente, in questo caso infatti avremmo reso il alore totalmente inutilizzabile. eoricamente, se si disponesse di un sistema perfettamente isolato dal punto di vista termico, si potrebbe portare il sistema a temperature elevatissime, dalle quali si potrebbe sempre riottenere, per mezzo di una macchina, praticamente tutto il lavoro speso. Ottenere alore a bassa temperatura (ma comunque superiore a quella ambiente) comporta la perdita della possibilità di riconvertire gran parte del alore in avoro e quindi la perdita di una notevole quantità di Energia Utilizzabile. Vi è però un altra possibilità di ottenere alore a bassa temperatura senza perdita di Energia Utilizzabile. ambiente infatti è un termostato che possiede una enorme (praticamente infinita) quantità di alore, essa però è disponibile alla temperatura stessa dell ambiente e pertanto non è utilizzabile per ottenere avoro ciclico mediante una Macchina di arnot. uttavia, utilizzando una Macchina che lavori a ciclo inverso, sottraendo alore all ambiente e fornendo alla Macchina la sufficiente quantità di avoro meccanico, è possibile produrre una stessa quantità di calore alla temperatura desiderata. Nella figura tre macchine di arnot producono il alore in altrettanti termostati posti a tre diverse temperature. Nella Macchina più a destra il alore è composto per l 80% di calore gratuito prelevato dall ambiente e riqualificato a 375 K grazie all apporto di avoro meccanico nella misura del rimanente 0%.

3 500 K 600 K 375 K 0,8 0,5 0, 300 K Sempre con l avvertenza di considerare alore e avoro in valore assoluto, osserviamo che la prima Macchina produce lo stesso calore prodotto dalla terza Macchina, ma lo fa quasi tutto a spese del lavoro meccanico, mentre il contributo dell ambiente si limita ad un 0%. Se ne deduce che la produzione del calore mediante innalzamento termodinamico di una certa quantità di calore prelevata gratuitamente dall ambiente è tanto più conveniente quanto più bassa è la spesa in termini di Energia meccanica e quindi quanto più bassa è la temperatura alla quale vogliamo disporre del calore. Si noti che questo innalzamento termodinamico è sostanzialmente diverso dalla trasformazione diretta di lavoro in calore, in quanto quest ultima operazione comporta un aumento dell Entropia dell Universo tanto più grande quanto più piccola è la differenza tra la temperatura alla quale il alore è reso disponibile e la temperatura dell mbiente. Ricordiamo infatti che la perdita della possibilità di produrre lavoro ciclico, o avoro Perduto, è misurata proprio dalla variazione di Entropia dell Universo moltiplicata per la temperatura di riferimento dell ambiente. Perd Nel nostro caso non vi è alcuna irreversibilità, né nella macchina, né nell ambiente, infatti la quantità di calore può sempre essere impiegata in una macchina a ciclo diretto per recuperare il lavoro meccanico precedentemente impegnato. Osserviamo ora che in una macchina che opera a ciclo diretto, il alore si trasforma in lavoro andando spontaneamente dalle temperature elevate che troviamo nelle sorgenti geotermiche o che realizziamo nelle caldaie, nei reattori nucleari, etc., verso la temperatura più bassa che abbiamo a disposizione e che è necessariamente quella dell ambiente. Invece, una macchina che opera a ciclo inverso costringe il calore a comportarsi in contrasto a quanto gli è imposto dal Secondo Principio della ermodinamica nella formulazione del Postulato di lausius ed infatti lo forza ad andare da temperature più basse verso temperature più alte. amb S tot 3

4 iò significa che non ha senso pensare ad una macchina a ciclo diretto che non abbia come riferimento inferiore l ambiente, mentre una macchina a ciclo inverso può avere l ambiente esterno come riferimento superiore o come riferimento inferiore. > amb > amb amb amb amb < amb iclo diretto icli inversi Osservando i due casi di ciclo inverso notiamo che la macchina può fornire ad un termostato avente una temperatura più alta di quella dell ambiente, il calore prelevato dall ambiente, sommato all energia meccanica impegnata dalla macchina stessa, mentre nel secondo caso la macchina scarica nell ambiente il calore sottratto ad un ipotetico termostato avente una temperatura più bassa di quella dell ambiente, sempre sommandolo all energia meccanica richiesta dalla macchina. amb > amb < amb amb 4

5 Se al posto dei due termostati immaginiamo due sistemi a capacità termica finita, perfettamente isolati termicamente, ci rendiamo conto che, mediante la prima macchina possiamo pompare calore all interno di un sistema la cui temperatura andrà via via crescendo rispetto a quella dell ambiente, mentre con la seconda macchina possiamo sottrarre calore ad un sistema la cui temperatura andrà via via diminuendo rispetto a quella dell ambiente. Per quanto si è osservato sopra, è evidente che queste operazioni impegneranno tanto più lavoro meccanico quanto maggiore andrà facendosi la differenza di temperatura tra ciascuno dei sistemi e l ambiente esterno. Poiché l esistenza dei sistemi termicamente isolati è puramente teorica, nella realtà si avranno fughe di calore verso l esterno nel primo caso ed apporti indesiderati nel secondo; si giungerà quindi nella pratica ad una situazione di equilibrio tra i flussi di calore entranti/uscenti e le dispersioni (positive e negative) verso l ambiente esterno; il valore di temperatura di regime dipenderà dalla potenza a disposizione della macchina. amb Parleremo quindi di POMPE I ORE nel primo caso e di FRIGORIFERI nel secondo caso. Si osservi che la distinzione tra pompa di calore e frigorifero è puramente operativa, infatti nei due casi la macchina non sa se stia funzionando come l una o come l altro. Nella pratica, ove le macchine fossero progettate per funzionare esclusivamente da Pompa di calore o da Frigorifero, le loro caratteristiche costruttive potrebbero essere diverse per adattarsi meglio ai diversi campi di temperatura di funzionamento. amb Pompa di calore Nel caso di macchine progettate per la produzione del caldo e/o del freddo negli stessi campi di temperatura (pompe di calore invertibili) si tratterà esattamente della stessa macchina usata in condizioni esterne diverse. Frigorifero E opportuno sottolineare che, mentre esistono moltissimi altri modi per produrre calore a temperatura superiore a quella dell ambiente, che non fanno uso del sollevamento termodinamico tramite una macchina a ciclo inverso, la produzione del freddo (in maniera continuativa) è possibile soltanto attraverso l uso di una macchina (funzionante a ciclo inverso o mediante reazioni chimiche di assorbimento). 5

6 In analogia con quanto si è fatto per la macchina a ciclo diretto, per la quale abbiamo definito Rendimento il rapporto tra quanto vogliamo ottenere (il avoro meccanico) e la spesa sostenuta (il alore fornito dalla sorgente ad alta temperatura): η (arnot) η le caratteristiche di funzionamento di una macchina inversa si definiscono attraverso un coefficiente detto OP (oefficient of Performance) che rappresenta sempre il rapporto tra quanto si vuole ottenere e quanto si deve spendere per ottenerlo. differenza della macchina a ciclo diretto però sono ora possibili due diversi tipi di OP: - uno per la Pompa di alore, che esprime il rapporto tra le alorie prodotte (ovvero il calore pompato al termostato superiore) ed il lavoro speso per ottenere questo calore utilizzato per riscaldamento (Heating): OP H (arnot) OP H - uno per il Frigorifero, che esprime il rapporto tra le Frigorìe prodotte (ovvero il calore OPR (arnot) OPR estratto dal termostato inferiore) ed il lavoro speso per estrarre questo calore utilizzato per raffreddamento (Refrigerating): Un altra differenza con la macchina a ciclo diretto, il cui rendimento non potrà mai essere maggiore di uno perché il lavoro prodotto non potrà mai essere maggiore del calore estratto dal termostato superiore, consiste nel fatto che ambedue i OP potranno essere maggiori di uno, essi infatti tendono ad infinito quando le temperature delle sorgenti si avvicinano ed il lavoro necessario per pompare o per estrarre calore tende a zero. Si può osservare ancora che il OP H di una pompa di calore è pari all inverso del rendimento della corrispondente macchina diretta, mentre il OP R di un frigorifero lo diventa solo se la differenza tra le temperature di funzionamento sono molto piccole e quindi /η >>. OP H η OP R η Pertanto la stessa macchina di arnot, se venisse usata in ciclo inverso di riscaldamento per mantenere un ambiente a 30 mentre l ambiente esterno si trova 0 avrebbe: OP H (73,5+30)/30 0,05 6

7 mentre se venisse usata in ciclo inverso di refrigerazione per mantenere un ambiente a 0 mentre l ambiente esterno si trova a 30 avrebbe: OP R 73,5/30 9,05 a macchina, usata in ciclo diretto, avrebbe infatti un rendimento molto basso, pari a: η 30/(73,5+30) 0,09896 SUPERIORI E IO I RNO INVERSO Per una macchina politermica reversibile funzionante in un ciclo inverso vale la relazione di lausius, che può essere scritta, spezzando l integrale esteso al ciclo nella somma algebrica di due integrali: δ 0 ricevuto δ + entrante ri r ceduto δ uscente ci c il primo dei quali è esteso a tutti i tratti infinitesimi del ciclo in cui il calore (positivo) viene fornito al sistema dalle infinite sorgenti esterne, mentre il secondo è esteso a tutti i tratti infinitesimi del ciclo in cui il calore (negativo) viene ceduto dal sistema alle infinite sorgenti esterne. ssumendo che la corrispondente macchina di arnot sia quella che lavora tra la temperatura scelta come la temperatura più alta tra quelle alle quali il calore viene ricevuto dal sistema lavorante e la temperatura scelta come la temperatura più bassa tra quelle alle quali il calore viene ceduto dal sistema lavorante: ri ci Sostituendo le due temperature della macchina di arnot, alle diverse temperature del ciclo si ha: 0 > ricevuto δ δ (più piccolo) (più grande) 0 > r c < ceduto < ; > < ; < 7

8 Si conclude pertanto che una qualsiasi macchina politermica reversibile funzionante come pompa di calore ha un oefficiente di performance minore di quello della corrispondente macchina funzionante con un ciclo di arnot inverso. OP H < OP Harnot E ricordando che OP R OP H è evidente che sarà anche: OP R < OP Rarnot + Graficam ente, rappresentando su di un diagramma,s un ciclo motore politermico reversibile, è sempre possibile individuare il ciclo di arnot corrispondente che è delimitato dalla isoterma corrispondente alla temperatura più alta del tratto lungo il quale il ciclo assorbe calore, dalla temperatura più bassa del tratto lungo il quale il ciclo cede calore ed ovviamente dalle due adiabatiche tangenti al ciclo nei punti e in cui il ciclo stesso non scambia calore. S In un ciclo motore non c è alcuna difficoltà ad individuare il ciclo di arnot corrispondente perché il calore entra sempre alla temperatura più alta del ciclo ed esce sempre alla temperatura più bassa del ciclo. Osserviamo cosa succede se proviamo ad invertire il senso del ciclo politermico reversibile: ora il calore entra alla temperatura più bassa ed esce alla temperatura più alta. ccade un fatto apparentemente strano: le temperature dei punti e sono contemporaneamente le temperature del punto più alto al quale il calore viene ricevuto e del punto più basso al quale il calore viene ceduto. Se ne deduce che il corrispondente ciclo inverso di arnot (frigorifero o pompa di calore) non esiste! + S iò potrebbe essere dovuto alla particolare forma simmetrica del ciclo, infatti, se proviamo a modificare la forma del ciclo notiamo che ora è possibile distinguere i due punti e e disegnare un ciclo di arnot. 8

9 c + S c c c i accorgiamo però che la temperatura corrisponde alla temperatura più alta alla quale il calore viene ricevuto dalla macchina (tratto ) e non ceduto, come dovrebbe succedere nella macchina inversa rappresentata accanto al ciclo. osì anche corrisponde alla temperatura più bassa alla quale il calore viene ceduto dalla macchina (tratto ) e non ricevuto, come dovrebbe succedere se la macchina fosse la macchina inversa rappresentata accanto al ciclo. Pertanto la macchina di arnot corrispondente al nostro ciclo inverso politermico reversibile è un motore e non un frigorifero o una pompa di calore, infatti la sua temperatura più alta è quella alla quale il calore entra nella macchina, proprio come avviene in una macchina diretta. onsideriamo allora il significato fisico di quanto abbiamo osservato sopra immaginando di avere a che fare con un frigorifero: Il tratto in cui il calore viene ricevuto o, lungo il quale vengono prodotte le frigorie, rappresenta la parte fredda della macchina, mentre il tratto è la parte calda della macchina. Nel caso del ciclo simmetrico esiste un punto della parte fredda della macchina che ha la stessa temperatura di un punto della parte calda. Poiché arnot deve scegliere due sole temperature con il criterio che abbiamo accennato, semplicemente non esiste un frigorifero di arnot corrispondente. ncor più evidente è il secondo caso in cui alcune temperature della parte fredda sono addirittura più alte di altre della parte calda. In questo caso arnot non solo rinunzia all idea di lavorare come frigorifero, ma, trovandosi nelle condizioni di farlo, si costruisce una macchina che opera in maniera diretta tra una sorgente costituita dalla parte più calda della parte fredda del frigorifero politermico e la parte più fredda della parte calda. 9

10 E evidente allora il significato fisico di quello che abbiamo osservato fin qui: a condizione di esistenza di un frigorifero (o di una pompa di calore) comporta che la sua parte fredda e la sua parte calda non abbiano punti in comune. Per ottenere questa condizione occorre e basta che la parte calda e la parte fredda siano collegate da due tratti di trasformazione in cui non vi sia scambio di calore, quindi da due adiabatiche (o da due trasformazioni non reversibili). In figura è rappresentato un ciclo politermico reversibile in cui il calore viene assorbito nel tratto e ceduto nel tratto. I due tratti non hanno alcun punto in comune e la temperatura più alta alla quale il calore RNO viene assorbito è inferiore alla temperatura più bassa alla quale il calore viene ceduto. E possibile così identificare la macchina inversa di arnot che lavora tra le temperature e con un OP evidentemente superiore a quello del ciclo politermico come è evidente dal grafico. al grafico infatti si nota che la macchina di arnot assorbe molto più calore (produce molte più frigorìe) + S del ciclo politermico, richiedendo un lavoro molto più piccolo. IO JOUE INVERSO : FRIGORIFERO RI arnot Espansore ompressore S Nelle figure sono rappresentati il ciclo frigorifero di Joule e lo schema della macchina che lo realizza. Un fluido (aria) considerato gas perfetto viene compresso adiabaticamente a partire dal punto, raffreddato nello scambiatore superiore a pressione costante (tratto ) e fatto quindi espandere adiabaticamente fino al punto. a trasformazione isobara riporta il fluido nelle condizioni iniziali. E facile individuare il iclo di arnot corrispondente, che lavora tra le temperature e il cui OP è evidentemente più alto di quello del ciclo Joule. 0

11 arnot S Spostando l adiabatica verso destra, la temperatura del punto tenderebbe ad aumentare, mentre l area del ciclo di arnot tenderebbe a restringersi. uando la temperatura del punto raggiunge quella del punto, la macchina inversa di arnot non esiste più. E anche facile rendersi conto che, aumentando ancora la temperatura del punto, il ciclo di arnot si ripresenterebbe in forma invertita, con > e quindi sotto forma di ciclo motore come abbiamo notato sopra. alcolo del OP del ciclo Joule inverso ideale, funzionante con un gas perfetto: ) ompressione isoentropica da a : J J c p ( ), ed essendo S S P P dove è il lavoro del compressore ed r p (P / P ) è il rapporto di compressione. ) Raffreddamento isobaro del gas nello scambiatore superiore. urante lo scambio di calore dal sistema verso l esterno, l entalpia, la temperatura e l entropia del gas diminuiscono. P J J c p ( ) S S cp ln P P 3) Espansione isoentropica da a. J J c p ( ), ed essendo S S r P P P r 4) Produzione di Frigorìe nello scambiatore dove assorbe calore in un processo isobaro durante il quale, l entalpia, la temperatura e l entropia del gas crescono. J c p ( ) J S S cp ln P P Il OP del ciclo Joule inverso è pertanto: Frigorie prodotte OP avoro speso cp ( ) ( )rp r cp ( ) ( ) P che si poteva scrivere subito, perché essendo ηjoule si ha : OPJoule ηjoule r P