Esercizi di Geometria 1 Foglio 3 (12 novembre 2015)

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1 Esercizi di Geometria 1 Foglio 3 (12 novembre 2015) (esercizi analoghi potranno essere chiesti all esame scritto o orale) 4. Azioni di gruppi e spazi classificanti Esercizio 4.1 (Azioni lineari) Verificare che le seguenti applicazioni G X X definiscono un azione del gruppo G sull insieme X. (a) G = S n gruppo simmetrico su {1, 2,..., n e X = GL n (R): σ M := N, dove N ij := M i,σ(j). (b) G = GL(n, R n ) e X = {(v 1,..., v k ) v i R n : g (v 1,..., v k ) := (g(v 1 ),..., g(v k )); ripetere per X uguale all insieme di k-uple di vettori distinti; ripetere per X uguale all insieme delle k-uple di vettori linearmente indipendenti. (c) G = GL(n, R n ) ed X = {f End(R n ) rk(f) = k: g f := gfg 1. Verificare che, per tutte queste azioni, ogni trasformazione φ g = g : X X è (restrizione a X di un applicazione) lineare: da ciò l appellativo di azione lineare. Esercizio 4.2 (Spazi classificanti) Classificare gli elementi di X a meno della relazione di G-equivalenza definita dall azione G X X (cioè descrivere esplicitamente un insieme X can in biiezione con l insieme quoziente g\x = X/ ), in tutti i casi seguenti: (a) X = R n, G = R + (con l operazione di moltiplicazione) e t v := tv; (b) X + = {segmenti orientati di R 3, G = Aff(R 3 ) e g (A, B) := (g(a), g(b)); ripetere l esercizio per l insieme X dato dai segmenti {A, B non orientati. (c) X + = {terne ordinate (A, B, C) di punti allineati di R n, G = Isom aff (R n ) e g (A, B, C) := (g(a), g(b), g(c)); ripetere l esercizio per l insieme X dato dalle terne A, B, C di punti allineati non ordinati. (d) X + = {terne ordinate (P, Q, R) di punti distinti non allineati di R 2, G = Sim aff (R 2 ) e g (A, B, C) := (g(a), g(b), g(c)). (d ) Ripetere l esercizio (e) per l insieme X dei triangoli T non degeneri in R 2 : a quali punti corrispondono, nel modello X can trovato, rispettivamente i triangoli equilateri, isosceli, rettangoli, acutangoli e ottusangoli? (e) X = Simm(n, R), G = GL(n, R) e g M : gmg 1 ; ripetere l esercizio per la stessa azione del sottogruppo G = O(n, R). Esercizio 4.3 (Tori piatti) Siano v 1, v 2 E 2 due vettori linearmente indipendenti: il reticolo piano Γ(v 1, v 2 ) generato da v 1, v 2 è il sottogruppo abeliano di (R 2, +) definito come Γ(v 1, v 2 ) = Zv 1 + Zv 2 = {n 1 v 1 + n 2 v 2 n i Z Lo spazio quoziente T (v 1, v 2 ) = E 2 /Γ(v 1, v 2 ) si dice un toro piatto, e si intende munito della distanza quoziente della distanza euclidea d euc di E 2, cioè d(p, p ) = inf d euc(p + v, p + v ) v,v Γ(v 1,v 2 ) 1

2 (a) Dimostrare che ogni sottogruppo discreto Γ di (R 2, +) di rango 2 (cioè contenente almeno 2 vettori indipendenti) è un reticolo, i.e. Γ = Γ(v 1, v 2 ). (b) Verificare che d soddisfa effettivamente gli assiomi di una distanza; in che senso intuitivo T (v 1, v 2 ) è un toro? (c) Due tori piatti T = T (v 1, v 2 ) e T = T (v 1, v 2 ) diversi sono isometrici in generale? Esiste, cioè, una biiezione f : T T che preserva le distanze? Suggerimento: in generale no. Infatti, il diametro di T (v 1, v 2) (cioè la massima distanza tra due suoi punti) varia al variare del reticolo Γ(v 1, v 2). Consideriamo ora l azione di G = Simil + (E 2 ) = C su E 2 C, che manda un reticolo Γ in un altro reticolo Γ = g Γ ottenuto per dilatazione e rotazione di Γ. (d) Classificare i reticoli piani Γ(v 1, v 2 ) (cioè i tori piatti) a meno di G-equivalenza. Esercizio 4.4 (Orientazione e prodotto vettoriale) (a) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n. Consideriamo l insieme X = {basi ordinate B = (b 1,..., b n ) di V e l azione naturale di G + = GL + (V ) su X (come in 4.1b): quanti elementi ha G + \X? La scelta di una classe [B] si dice un orientazione per V. Fissata un orientazione [B], un altra base ordinata B = (b 1,..., b n) di V si dirà orientata (o equiversa, o orientata concordemente a B) se [b 1,..., b n] = [B]. Mostrare che due basi sono orientate concordemente se e solo se det[id] B B = 1. (b) Sia ora (V, g) uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3. Sia B = (b 1, b 2, b 3 ) base ortonormale ordinata, ed [B] l orientazione corrispondente. Ricordiamo che il prodotto vettoriale di due vettori u = i u ib i e v = i v ib i di V è il vettore u v ottenuto dal determinante formale u v = b 1 b 2 b 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 cioè [u v] B = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ). Verificare che u v non dipende dalla base ortonormale B, ma solo da g e [B]. Verificare o confutare, inoltre, le seguenti formule per u, v, z V e λ R: (i) (u v) z u (v z); (ii) u v = v u; (iii) λ(u v) = (λu) v = u (λv); (iv) (u + v) z = u z + v z; (v) (u v) + z (u + z) (v + z); (vi) u (v z) = v (z u) = z (u v) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 z 1 z 2 z 3 (vii) u (u v) = v (u v) = 0; (viii) se (u, v) = ϑ, si ha u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = u 2 v 2 sin 2 ϑ; cosa rappresenta geometricamente tale numero? (ix) u v = 0 se e solo se u, v sono proporzionali; (x) se u, v non sono proporzionali, allora u, v, u v formano, in quest ordine, una base equiversa a B. ; 2

3 Esercizio 4.5 (Volume in uno spazio euclideo) Sia (V, g) uno spazio euclideo. Sia ora B = (b 1,..., b n ) una base ortonormale ordinata, e [B] orientazione fissata. Definiamo δ : V V {{ V R come n times ) [v2 [vn δ(v 1,..., v n ) := det ([v 1 ] B ] B ] B e Vol : V V {{ V R 0 come Vol(v 1,..., v n ) := δ(v 1,..., v n ). n times (a) Dimostrare che δ è multilineare, alterna, δ(b 1,..., b n ) = 1 e δ(v 1,..., v n ) = 0 se e solo se {v 1,..., v n non sono linearmente indipendenti. (c) Sia f : V V un applicazione lineare. Dimostrare che ( ) δ f(v 1 ),..., f(v n ) = det(f) δ(v 1,..., v n ) (1) per ogni v 1,..., v n V. Dedurre da questo che la funzione δ non dipende (a meno del segno) dalla base ortonormale B scelta, ma solo da g e dall orientazione [B]; pertanto Vol dipende solo da g. Dati n vettori v 1,..., v n, il sottoinsieme P(v 1,..., v n ) = { n i=1 λ iv i 0 λ i 1 è detto n-parallelotopo generato da v 1,..., v n ; P(v 1,..., v n ) si dice un n-cubo se i v i formano una base ortonormale di (V, g). Volendo definire una nozione di volume n-dimensionale, è naturale chiedere che: (i) il volume n-dimensionale di un cubo di lato unitario sia 1; (ii) valga una formula del tipo volume = volume di base per altezza almeno per insiemi quali prismi e parallelotopi 1. (c) Dimostrare per induzione su n che, ammettendo (i) e (ii), Vol(v 1,..., v n ) dà esattamente l n-volume di P(v 1,..., v n ) (sicché la funzione δ va interpretata come volume col segno ). Ogni spazio euclideo E = (V, g) ha dunque una ben determinata nozione di volume (almeno per insiemi semplici quali i parallelotopi), e la formula (1) va interpretata nel seguente modo: data un applicazione lineare E E, det(f) rappresenta il coefficiente di dilatazione del volume di tale trasformazione. 1 tale formula sarà giustificata poi formalmente in un corso di analisi, tramite i teoremi di integrazione per fette per insiemi regolari. 3

4 5. Gruppi di simmetria Esercizio 5.1 (Gruppi di simmetria) Sia G un gruppo che agisce su uno spazio X. Dato un sottoinsieme S X, il gruppo delle simmetrie di S è il sottogruppo Simm G (S) := {g G g(s) = S (tale gruppo è anche detto lo stabilizzatore di S per l azione di G). Nel caso in cui S E n denoteremo Simm E n(s) il gruppo delle simmetrie di S in G = Is(E n ), detto anche gruppo delle simmetrie rigide di S. Descrivere esplicitamente Simm G (S) per G = Aff(E n ) che agisce per affinita su X = R n, in tutti i seguenti casi: (a) S = {poligono regolare con k lati (b) S = {triangolo isoscele (non equilatero) (c) S = {rettangolo (non quadrato) (d) S = {rombo (non quadrato) (e) S = {tetraedro regolare inscritto nella palla di raggio 1 centrata in 0; (f) S = {cubo di lato 1 centrato in 0; (g) S = {circonferenza di raggio 1 e centro 0; (h) S = {(x, y) E 2 x2 + y2 a 2 b 2 = 1 con a, b > 0 fissati; (i) S = Z 2 (punti di R 2 a coordinate intere). Nel caso in cui S E n e G = Is(E n ), il gruppo delle simmetrie di S in G è detto anche gruppo delle simmetrie rigide di S, e denotato semplicemente Simm E n(s). Ecco un esercizio preparatorio al calcolo di alcuni gruppi di simmetria rigida: Esercizio 5.2 (Rotazioni di R 3 che commutano e centri di simmetria)) (a) Determinare quali coppie (R, S) di rotazioni in SO(3, R) commutano, ossia soddisfano RS = SR. (b) Una figura S E n ha un centro di simmetria se esiste un punto C tale che la riflessione-punto s c (X) = 2C X appartiene a Simm E n(s). Mostrare che se una figura ha due centri di simmetria, allora ne ha infiniti. Esercizio 5.3 (Gruppi dei fregi) Sia S E 2 una delle figure da (i) a (viii) (estese infinitamente in orizzontale) che appaiono di seguito. Descrivere in ognuno dei casi Simm E n(s): specificare cioè quali elementi contiene e di che tipo, e trovare un isomorfismo con gruppi astratti noto. Esercizio 5.4 (Altri gruppi di simmetria rigida ) Studiare, per ogni figura S dalla (ix) alla (xxxii) (alcune delle quali pensate estese infinitamente) il rispettivo gruppo di simmetria rigida. In particolare per ognuna: (i) dire che tipo di isometrie compaiono in Simm E n(s); (ii) dare un insieme minimale di generatori per Simm E n(s). Se sono troppe, sceglierne due o tre tra quelle che preferite. Nei prossimo foglio ci saranno degli elementi di correzione. 4

5 Esercizio 5.5 (Solidi Platonici) Un poliedro convesso di E 3 è un sottoinsieme S limitato esprimibile come l insieme delle soluzioni di un sistema (minimale) di n disequazioni lineari: h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 b 1 0 h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 b 2 0 h n (x 1, x 2, x 3 ) = a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 b n 0 cioè ottenibile come intersezione di un numero finito di semispazi H 1,..., H n (si noti che l intersezione di insiemi convessi è sempre un insieme convesso). I piani H i : h i (x 1, x 2, x 3 ) = 0 si chiamano anche i piani di supporto del poliedro, e le intersezioni F i = H i S sono poligoni, detti le facce di S; le intersezioni unidimensionali L ij = F i F j (cioè non ridotte a un punto) di due facce distinte si dicono lati o spigoli di S, e le intersezioni di tre o più facce distinte si dicono vertici. Una terna (V, L, F ) costituita da un vertice, un lato e una faccia di S tali che V L F si dice una bandiera di S. (a) Dimostrare precisamente, usando l azione del gruppo delle affinità, che un poliedro convesso è definito da almeno 4 piani di supporto (dovendo essere per definizione un insieme limitato). Un poliedro regolare S di E 3 è un poliedro convesso che soddisfa una qualsiasi delle seguenti proprietà equivalenti (elencate in ordine di apparente forza decrescente): (i) il gruppo Simm E 3(S) agisce transitivamente sulle bandiere di S (cioè le bandiere di S sono indistinguibili l una dall altra); (ii) il gruppo Simm E 3(S) agisce transitivamente sulle facce di S e sui vertici di S (cioè le facce e i vertici di S sono indistinguibili tra loro); (iii) S ha per facce dei poligoni regolari tutti uguali, e angoli ai vertici tutti uguali ( uguali qui significa, matematicamente, congruenti: per ogni coppia di facce F i, F j, esiste g Is(E 3 ) tale che g(f i ) = F j, e per ogni coppia di vertici V i, V j esiste g Is(E 3 ) che trasforma l angolo solido in V i nell angolo solido in V j ); (iv) S ha per facce dei poligoni regolari tutti uguali, e gli angoli diedri sono tutti uguali (l angolo diedro tra due piani è per definizione l angolo tra i vettori normali ai piani). Si dimostra che esistono solo cinque poliedri regolari in E 3, detti solidi platonici. Attenzione: esistono poliedri convessi S le cui facce sono poligoni regolari, e il cui gruppo di simmetria rigida Simm E 3(S) agisce transitivamente sui vertici, ma che non sono solidi platonici. Fare un esempio (cercare su internet Archimedeo...). (b) Costruire (dando per es. le coordinate dei vertici) un poliedro regolare T con 4 facce triangolari e 4 vertici: tale poliedro è detto tetraedro regolare. (c) Dimostrare che il cubo è un poliedro regolare C (con 6 facce e 8 vertici). (d) Dimostrare che esiste un poliedro regolare O con 8 facce triangolari e 6 vertici, detto ottaedro regolare. Suggerimento: partendo dal cubo C, prendere come nuovi vertici il centro di ogni faccia di C, e unire due tali vertici se e solo se le facce corrispondenti del cubo sono adiacenti. Questa costruzione è detta anche di dualità, sicché cubo e ottaedro sono poliedri duali l uno dell altro. (e) Dimostrare che esiste un poliedro regolare D con 12 facce pentagonali e 20 vertici, detto dodecaedro regolare. Suggerimento: vedere la costruzione di Euclide, Libro XIII, Prop.17; si trovano ottime referenze al riguardo su internet... (f) Costruire un poliedro regolare I con 20 facce triangolari e 12 vertici, detto icosaedro regolare (procedere come per la costruzione dell ottaedro a partire dal cubo, costruendo il poliedro duale del dodecaedro). 5

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