Soluzioni del compito di esonero di Algebra

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1 Soluzioni del compito di esonero di Algebra 6 aprile Usando il principio di induzione, svolgere uno a scelta fra i due seguenti esercizi. (a) Sia N + := N\{0}. Si consideri l applicazione f : N + N + che soddisfa f(1) = 1, e per ogni intero n > 1 f(n) = k<n Dimostrare che f(n) = n! n N +. kf(k). (b) Sia n 3 un intero. Dimostrare che il numero delle diagonali di un poligono convesso con n lati è Soluzione n(n 3). (a) Osserviamo che per ogni intero n > risulta f(n) = 1 + kf(k) + (n 1)f(n 1) = 1 k<n 1 = f(n 1) + (n 1)f(n 1) = nf(n 1). D altra parte vale anche f() = = f(1). Dunque per ogni n > 1 vale la relazione f(n) = nf(n 1). 1

2 Dimostriamo ora per induzione che f(n) = n!. Per definizione f(1) = 1 = 1!. Inoltre, se f(n 1) = (n 1)!, allora f(n) = nf(n 1) = n(n 1)! = n!. (b) L affermazione è vera per n = 3, infatti un triangolo non ha diagonali e 3 (3 3) = 0. Supponiamo ora che il numero delle diagonali di un poligono convesso con n 1 lati sia (n 1)(n 4). Consideriamo un poligono convesso con n lati, ed etichettiamo i vertici di tale poligono progressivamente con le etichette 1,,..., n. Usando l ipotesi induttiva si vede che in effetti il poligono con n lati ha (n 1)(n 4) + (n 3) + 1 = n(n 3) diagonali; il primo addendo è relativo alle diagonali che si ottengono considerando il poligono che ha come vertici quelli etichettati 1,,..., n 1, il secondo addendo si ottiene considerando le diagonali che congiungono il vertice n con i vertici,..., n, l ultimo addendo è infine relativo alla diagonale che congiunge n 1 con 1.. Per ogni a {5, 1, 34, 37} Z 7 trovare, se esistono, (.1) le x Z 7, tali che (.) le y Z 7 tali che ax = 1; ay = 0. (a) Applicando l algoritmo euclideo si ottengono le seguenti identità di Bezout: 1 = 5 9 7, 3 = 1 7 7, = , 1 = 37 ( 35) Dunque, fra i quattro elementi considerati solo 5 e 37 ammettono degli inversi in Z 7 ; tali inversi sono dati rispettivamente da 9 e da 37.

3 (b) L unica soluzione dell equazione ay = 0 per a {5, 37}, è data da y = 0. Infatti, come si è visto, tali elementi sono invertibili. Si ha invece 1y 0 mod 7 = 7y 0 mod 4 = y 0 mod 4, (infatti 7 è invertibile modulo 4: mod 4). Dunque le soluzioni di 1y = 0 sono tutti e soli gli elementi di Analogamente, {0, 4, 48}. 34y 0 mod 7 = 17y 0 mod 36 = y 0 mod 36, (infatti 17 è invertibile modulo 36: mod 36). Dunque le soluzioni di 34y = 0 sono tutti e soli gli elementi di {0, 36}. 3. Si ponga N := N \{(0, 0)}, N + := N\{0} e si consideri la seguente applicazione f : N N + (n, m) MCD(n, m). (a) Dire se l applicazione f è iniettiva e/o suriettiva; (b) Determinare, se esiste, un applicazione g : N + N tale che f g = 1 N+. (c) Determinare la cardinalità dell insieme quoziente N / ρf. Soluzione. (a) L applicazione f non è iniettiva. Ad esempio risulta f(1, n) = 1 n N. L applicazione f è invece suriettiva; ad esempio risulta f(n, n) = n n N +.

4 (b) Come si vede dal punto precedente un applicazione g : N + N tale che f g = 1 N+, è data semplicemente da g : N + N n (n, n). (c) Sappiamo che N / ρf = Im(f) = N +. Ora, N + è chiaramente in corrispondenza biunivoca con N tramite la biiezione s : N N + n n + 1. In conclusione N / ρf è numerabile. 4. Si provi che per ogni n Z, il numero è divisibile per 14. 8n 0 + n n + 13n Soluzione. Basterà dimostrare che 8n 0 +n 19 +6n +13n è un multiplo sia di che di 7 per ogni n Z. Vediamo prima che 8n 0 + n n + 13n 0 mod. Si ha 8n 0 + n n + 13n n 19 + n n + n n 0 mod. Verifichiamo ora che 8n 0 + n n + 13n 0 mod 7. Se n è multiplo di 7 questo è chiaramente vero. Se n non è multiplo di 7 abbiamo, per il piccolo teorema di Fermat, che n 6 1 mod 7. Ne segue che 8n 0 + n n + 13n (n 6 ) 3 n + (n 6 ) 3 n + 6n + 6n mod 7 n + n + 6n + 6n mod 7 7(n + n) 0 mod 7. Altrimenti, essendo 14 prodotto di due primi distinti, si può sfruttare il fatto che n ϕ(14)+1 n mod 14, n Z,

5 e dedurne che n 0 n mod 14 n Z, (infatti ϕ(14) = 6, e 0 = ), e analogamente che Dunque n Z vale n 19 n mod 14 n Z. 8n 0 + n n + 13n 8n + n + 6n + 13n 0 mod Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze X 3 19 mod 5 4X 18 mod 30 4X mod 70. Soluzione. Semplificando la prima congruenza si ottiene X 3 19 mod 5 ( ) 19 mod 5 19 mod 5 ( 0 ) mod 5 19 mod 5 dove nell ultimo passaggio abbiamo usato il teorema di Eulero e il fatto che ϕ(5) = 0. Dunque la prima congruenza equivale a X 0 1 mod 5 X 13 1 mod 5. La seconda congruenza si può invece semplificare al seguente modo La terza diviene invece 4X 18 mod 30 X 9 mod 15 16X 7 mod 15 X 1 mod 15. 4X mod 70 X 1 mod 35 36X 18 mod 35 X 17 mod 35.

6 Il sistema dato è dunque equivalente al seguente X 1 mod 5 X 1 mod 15 X 17 mod 35. Dalla prima congruenza vediamo che deve risultare X = 1 + 5n, n Z; sostituendo questa espressione nella seconda congruenza otteniamo 5n 0 mod 15 5n 0 mod 3 n 0 mod 3. Le soluzioni del sistema devono dunque essere della forma X = m, m Z. Sostituendo tale espressione nella terza congruenza si ha m 17 mod 35 5m 5 mod 35 m 1 mod 7. In conclusione l insieme delle soluzioni del sistema è il seguente { k k Z}.