Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

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1 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione f () = (sin ) arctan + arctan 3 si chiede di: a. Determinare l insieme di definizione. b. Se in qualche punto in cui f non è definita esiste il ite finito, prolungarla per continuità. c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...).

2 . Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, concavità e flessi. f () = 3 log.

3 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). ( ( + 6 ) ) /3 cos ( π ) sin (π).. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n sin ( ( n) cos ) ( ) n sin ( n ) sin n n= 3

4 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: + 3 d. 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. f () = f () d; b. sin ( e ). + f () d, dove (in entrambi i casi)

5 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo diff erenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di area massima (e determinarne l area) tra quelli che hanno un vertice sul grafico della funzione f () = 5 a, per [, a], un vertice in (a, ), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positiva avente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una figura per impostare il problema. 5

6 . Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, concavità e flessi. f () = e

7 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). ( ( arcsin ) ) π 6 (log ) tan (π).. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= (n)! n n 7

8 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: d. 6. Calcolare il seguente integrale definito: π sin () cos d. 8

9 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione f () = arcsin ( ( ) /3 ) + 3 si chiede di: a. Determinare l insieme di definizione. b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...). 9

10 . Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire, in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti di flesso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto. f () = log ( ) +.

11 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). ( ) Sh cos tan sin Ch Th.. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= n cos (nπ) + log n + n + log n

12 5. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l espressione ottenuta: + d. 6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali generalizzati, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. f () = f () d; b. e log ( + ). + f () d, dove (in entrambi i casi)

13 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo diff erenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P, sul grafico della funzione f () = 3/ che ha distanza minima da Q (, ) (e determinare tale distanza minima, semplificando l espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una figura per impostare il problema. 3

14 . Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. f () = /3 ( + 3 ) /3.

15 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). cos ( ) e log ( + ) tan.. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= ( ) n n sin n n +. 5

16 5. Calcolare il seguente integrale definito: d. 6. Calcolare il seguente integrale definito: e 3 (log ) d. Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primitiva, e successivamente calcolare l integrale definito, semplificando l espressione ottenuta. 6

17 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione f () = (sin ) arctan + arctan 3 si chiede di: a. Determinare l insieme di definizione. b. Se in qualche punto in cui f non è definita esiste il ite finito, prolungarla per continuità. c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...). a. La funzione è definita per. b. Per, f () + arctan ( ) = π, in particolare si può definire con continuità in tutto R. c. Per,, la f è certamente derivabile, e vale f () = (cos ) arctan + sin ( ) /3 3 ( ) /3 = (cos ) arctan sin ( ) /3 3 ( ). /3 ± f () = ± π quindi = è un punto angoloso. f () = + ± quindi = è un punto di flesso a tangente verticale, ascendente. f () = ± quindi = è un punto di flesso a tangente verticale, discendente.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera 7

18 dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, concavità e flessi. f () = 3 log. Definita per. Per, f () log +. = asintoto verticale. Per ±, f () + con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo). L argomento del modulo si annulla per = e = 3. La funzione è certamente derivabile per, 3 (e certamente non è derivabile in =, dove non è definita né prolungabile con continuità). f () = ( 3) sgn ( 3 ) { 3 = per <, > per < < 3. Per 3 +, f () 3 3 = 8 3 Per 3, f () 3 3 = 3 quindi = 3 punto angoloso (di non derivabilità) e di minimo relativo. Segno di f : Per <, > 3, f () = 3 = 3 per 3 7 <, > 3 intervalli in cui f è crescente. In particolare, = 3 7 è punto di minimo relativo. Per < < 3, f () = + 3 = + 3 per intervallo in cui f è crescente. In particolare, = punto di minimo relativo, = punto di massimo relativo. Derivata seconda: { f + () = per <, > 3 + per < < 3. Segno di f : Per <, > 3, f () >. 8

19 Per < < 3, f () = + per In particolare, = è punto di flesso. Grafico qualitativo: 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). ( ( + 6 ) ) /3 cos ( π ) sin (π) ( ( + 6 ) ) /3 cos ( π ) sin (π) Applichiamo De L Hospital: ( ( + 6 ) ) /3 = =. +6 3( +6) /3 [ ]. π sin ( π ) sin (π) + cos ( π ) π cos (π) ( ( + 6 ) ) /3 5 3 π sin ( π ) sin (π) + cos ( π ) π cos (π) = Applichiamo ancora De L Hospital: = ( π ( +6) /3 [ ] ) cos ( π ) sin (π) π sin ( π ) cos (π) π cos ( π ) sin (π) 5 3 π = 5 8π 9

20 e questo è il ite cercato. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n sin ( ( n) cos ) ( ) n sin ( n ) sin n n= Dagli sviluppi di MacLaurin (/n ) si ha: ( ) ( ) { n sin cos = n n n n ( 6n 3 + o n 3 = ( 6n + o n = ( ) 3n + o n )} { ) + n + o 3n. ( ) sin n n quindi n sin ( ( n) cos ) n ( ) sin ( n ) sin n n sin ( ( n) cos ) n ( ) sin n ( n + o n ) ( n )} 3n = n 3n, 3/ serie che converge perché serie armonica generalizzata con esponente α = 3/ >. Allora per il criterio del confronto asintotico la serie converge assolutamente, e per il criterio della convergenza assoluta converge (semplicemente). 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: + 3 d. 3 + = ( ) ( + 5) = a + b + 5 con { { a + b = 3 a = 7 5a b = b = 5 7 ( + 3 d = = + 5 log 7 7 = ( ) ( + 5) ) d log c.

21 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. dove (in entrambi i casi) f () d; b. f () = + sin ( e ). f () d, La funzione f () è continua in (, + ), eventualmente ilitata in =. Per +, f () =, integrabile, perciò l integrale generalizzato f () d converge per il criterio del confronto asintotico (l integranda è negativa in un intorno destro di zero). Per +, f () e, e integrabile all infinito perché tende a zero con velocità più che esponenziale. Perciò per il criterio della convergenza assoluta e quello del confronto asintotico, l integrale generalizzato + f () d converge.

22 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo diff erenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di area massima (e determinarne l area) tra quelli che hanno un vertice sul grafico della funzione f () = 5 a, per [, a], un vertice in (a, ), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positiva avente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una figura per impostare il problema. L area è A () = (a ) f () = (a ) 5 a, per [, a]. La funzione è non negativa e si annulla agli estremi, dunque deve avere un massimo positivo in (, a). Calcoliamo A () = 5 a + (a ) 5 5 a a 5 = (a 6) per /5 5/5 a 6. Dunque il rettangolo di area massima ha un vertice in ( a 6, 5 ) ( ) a a 6 = a 6, a 5 6 e l area massima è ( a ) ( A = a a ) a a 6 = 5 6 a a 5 = a.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, concavità e flessi. f () = e + 3.

23 Definita in R. + 3 = ( ) ( + 3) quindi f () = in =, = 3, punti in cui ci aspettiamo punti angolosi. Poiché f () sempre, i punti in cui si annulla, =, = 3, sono di minimo assoluto. { + Per ±, f () e + f è derivabile per, 3, e risulta: per < 3, >, f () = ( e ( + 3 )) = e ( ) = e ( + ) per 5, + 5, che negli intervalli considerati significa che f è crescente per e decrescente per 5, > 5 < 3, in particolare = 5 è punto di massimo relativo. Per 3 < <, f () = e ( + ) per che nell intervallo considerato significa che f è crescente per e decrescente per 3 < <, in particolare = + 5 è punto di massimo relativo. Studiamo i punti di non derivabilità: f () = ±e 3 3 ± f () = ±e ± perciò = 3, = sono punti angolosi (e di minimo relativo e assoluto). La derivata seconda esiste per 3, ed è: per < 3, >, f () = ( e ( + )) = e ( ) = e ( ) per 3 6, 3 + 6, che negli intervalli considerati significa che f è concava verso l alto per 3 6, > 3

24 e verso il basso per 3 6 < 3. In particolare, = 3 6 è punto di flesso. Per 3 < <, f () = e ( ) per che nell intervallo considerato significa che f è concava verso l alto per e verso il basso per 3 < <, in particolare = è punto di flesso. Grafico qualitativo: 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). Per, ( ( arcsin ) ) π 6 (log ) tan (π). ( ( arcsin ) ) π 6 (log ) tan (π) = log ( ) tan (π) = [ ]. sin (π) sin (π) cos (π)

25 perciò ( ( arcsin ) ) π 6 (log ) tan (π) = ( ( arcsin ) ) π 6 ( ) sin (π). Calcoliamo questo ite col teorema di De L Hospital. ( arcsin ( ) ) π 6 = Applichiamo ancora De L Hospital: (sin (π) + π ( ) cos (π)) ( ( arcsin ) ) π 3 6 (sin (π) + π ( ) cos (π)) = [ ]. Il ite cercato è 3π. 3 (π cos (π) π ( ) sin (π)) = 3 π 3 = 3π.. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= (n)! n n Serie a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto. a n+ a n = perciò la serie converge. (n + )! (n + ) n+ n n (n + ) (n + ) nn = (n)! (n + ) n (n + ) n n n (n + ) n n = ( ) + n e <, 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: d. n d = 3 + d = 3 log ( ) arctan ( + 5) + d ( + 5 ) + c 5

26 6. Calcolare il seguente integrale definito: π sin () cos d. π sin () cos d = = π π ( cos () + sin () sin () d + π ) d sin () cos () d. π sin () d = ( = t) = π sin t dt = π = π 8 (dove si è usato l integrale definito notevole π sin tdt = π ). quindi π [ sin sin 3 () () cos () d = 3 ] π = 6 π sin () cos d = π = π 6 + = 3π

27 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3 Es Tot. Punti. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione f () = arcsin ( ( ) /3 ) + 3 si chiede di: a. Determinare l insieme di definizione. b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale...). a. Definita per ( ) /3, cioè ( ) /3,,,. Nei due punti di arresto = ± l argomento di arcsin vale e mi aspetto che la funzione non sia derivabile. L argomento di arcsin vale anche per =. Mi aspetto non derivabilità anche nei punti in cui =, cioè per = ± (per la presenza della potenza a esponente /3). Notare che il punto = 3 in cui si annulla l argomento del modulo cade fuori dall insieme di definizione. b. f è certamente derivabile se < <, ±, e in tal caso vale (poiché nell insieme di definizione è 3 = 3 ) f () = ( ) /3 f () = + quindi = è punto d arresto a tangente verticale. f () = +. 3 ( /3 ) quindi = è punto d arresto a tangente verticale. f () = ± ± 7

28 quindi = è punto di cuspide verso il basso. ± f () = ± quindi = è punto di cuspide verso il basso. Per, ( ) /3 3 ( ) /3 3 ( = 3) 3 = 3 3 perciò per ±, f () 3, e = è punto angoloso. Grafico (NON era richiesto):. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire, in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti di flesso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto. f () = log ( ) +. Definita per,,. Per, l argomento del logaritmo tende a + e f (). Per, l argomento del logaritmo tende a + e f () +. =, =, = asintoti verticali. Per ±, f () log + con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo). 8

29 Dove è definita la funzione è anche derivabile e si ha: f () = log + log log + f () = + ( + = ) + ( + ) ( ) ( ) = + ( ) per: < ; < + ; >. In questi intervalli la f () è crescente. = punto di minimo relativo; = + punto di massimo relativo. Grafico qualitativo: f deve avere almeno un punto di flesso in (, ) e uno in (, ). 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). ( Sh cos sin Ch ( Sh cos sin Ch ) tan Th. ) tan Th = [ ]. 9

30 tan Th = Sh cos = ( o ( 3) ) sin Ch = ( o ( 3) ) f () che è il ite cercato. 3 3 =, 33 ( + o ( )) ( = ) + o ( 3) 3 3 ( + + o ( )) ( = 3 6 ) + o ( 3) 3 3. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. Spezziamo la serie così: n= n= n cos (nπ) + log n + n + log n n cos (nπ) + log n + n + log n = ( ) n n= n n + log n + La prima serie converge per il criterio di Leibniz. Infatti n n + log n n n = n n= log n + n + log n. che è positivo e infinitesimo. Per verificare la monotonia, consideriamo f () = e calcoliamo ( + log ) ( + ) f () = + log ( + log ) = + log ( + log ) = < perciò per + { è f () } < definitivamente e f () decrescente definitivamente; quindi n n +log n è definitivamente decrescente, e per il criterio di Leibniz ( ) n n n + log n converge. n= La seconda serie è a termini positivi. Studiamo: log n + n + log n log n n < n 3/ 3

31 perché log n n. Poiché converge in quanto serie armonica generalizzata n 3/ con α = 3/ >, per il criterio del confronto asintotico e il criterio del confronto, n= log n + n + log n converge. Pertanto la serie di partenza converge in quanto somma di due serie convergenti. 5. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l espressione ottenuta: + d. + d = ( = Sh t) Sh t + Ch t Ch t Sh Ch tdt = t Sh Ch tdt = t Sh t dt ( = Ch t ) dt = (per parti) Sh t = Ch t Sh t + ( ) Sh t dt Sh t = Ch t Sh t + t + c + = + SettSh + c + = + SettSh + c. 6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali generalizzati, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. dove (in entrambi i casi) f () d; b. + f () d, f () = e log ( + ). La funzione f () è continua in (, + ), eventualmente ilitata in =. Per +, f () =, 3

32 integrabile, perciò l integrale generalizzato f () d converge per il criterio del confronto asintotico (l integranda è positiva in tale intorno). Per +, f () > log perché + per +. log Perciò per il criterio del confronto e del confronto asintotico l integrale generalizzato + f () d diverge. 3

33 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo diff erenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P, sul grafico della funzione f () = 3/ che ha distanza minima da Q (, ) (e determinare tale distanza minima, semplificando l espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una figura per impostare il problema. La distanza è D () = d (insieme di definizione di f ()). ((, 3/) ), (, ) = ( ) + 3 per D ( ) + 3 () = per ( ) , 3. Nell intervallo (, + ) questo significa che f () è crescente per 3, e = 3 è punto di minimo. Quindi ( ( ) ) 3/ P 3, 3 ( ) D min = 3 + ( ) 3 = Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, iti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata 33

34 prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. f () = /3 ( + 3 ) /3. Definita in R. Per ±, f () /3 + con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo). f () = /3 ( ) /3 ( 3) /3 perciò f () = per =, =, = 3; ci aspettiamo punti di flesso a tangente verticale in =, = 3, e punto di cuspide in =. Fuori da questi 3 punti f è certamente derivabile e si ha: f () = ( + 3 ) /3 + /3 ( ) 3 /3 3 ( /3 + 3) = ( + 3 ) + ( ) ( ) = per 3 /3 ( + 3) /3 3 /3 ( /3 + 3) < 3 3 ; (esclusi =, = 3 in cui non esiste f ). In questi intervalli f è crescente, in particolare: = punto di minimo relativo = 3 3 punto di massimo relativo = 3+ 3 punto di minimo relativo. Inoltre: Per ±, f () discendente. Per ±, f () /3 3 /3 ±, perciò = punto di cuspide, 3 /3 ( ) /3, perciò = punto di flesso a tangente verticale, discendente. Per 3 ±, f () 3 /3 /3 ( 3) /3 +, perciò = punto di flesso a tangente verticale, ascendente. 3

35 Grafico qualitativo: 3. Calcolo di iti. Calcolare il seguente ite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L Hospital / formula di Taylor - MacLaurin). cos ( ) e log ( + ) tan. cos ( ) e log ( + ) tan = [ ]. ( ) cos e ( ) = ( + o ) { + o ( ) } = 8 + o ( ) = 8 + o ( ) 8. log ( + ) tan = {( + o ( ) ) + ( + o ( ))} (poiché tan è dispari e tan, il suo sviluppo al second ordine è + o ( ) ) e che è il ite cercato. = + o ( ) f () 8 =, 35

36 . Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. ( ) n n sin n n +. Poiché n= n sin n n + n n n = n la successione b n = n sin n n+ è a termini definitivamente positivi e tende a zero. La serie perciò è a segni alterni, con termine generale infinitesimo. Per applicare il criterio di Leibniz dobbiamo verificare che {b n } è almeno definitivamente monotona decrescente. Posto calcoliamo f () = = f () = sin +, ( sin + cos ( )) ( + ) sin ( + ) ( sin cos ) ( + sin cos ( + ) ) sin = cos + sin cos ( + ) <, perciò per + è f () < definitivamente, f () decrescente definitivamente, e {b n } è definitivamente monotona decrescente. Per il criterio di Leibniz la serie di partenza converge. 5. Calcolare il seguente integrale definito: d. d = ( = sin t) π sin t = sin cos tdt t = = π π π cos t sin t dt = [ sin t cos t = π. ] π π π π ( cos t f sin t π sin t π g ) sin t dt dt 36

37 6. Calcolare il seguente integrale definito: e 3 (log ) d. Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primitiva, e successivamente calcolare l integrale definito, semplificando l espressione ottenuta. 3 (log )d f g = (per parti) (log ) log d = = (log ) ( ) 3 log d f g = (per parti) (log ) { log = (log ) log c } d e [ 3 (log ) d = (log ) 8 = e e 8 + e 3 ] e log = 5e. 3 37