ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO. Parte II: Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari

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1 ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO Parte II: Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari Prof. L. Pareschi Dott. Giacomo Dimarco

2 Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari Operazioni matriciali Somma e sottrazione tra matrici: A = (a ij ), B = (b ij ) R m n A + B = C = (c ij ) e A B = D = (d ij ) con c ij = a ij + b ij e d ij = a ij b ij. Prodotto scalare per matrice: A = (a ij ) R m n, α R αa = (αa ij ) R m n. Esempio: >> A=[1 2 3; 4 5 6]; >> B=[1 3 5; 2 4 6]; >> C=A+B; D=A-B; >> C,D C = D = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

3 >> alfa=.5; >> alfa*a ans = Prodotto di matrici: A R m n e B R p m BA = C = (c rs ) con c rs = m k=1 b rk a ks, r = 1,..., p, s = 1,..., n. La matrice C appartiene a R p n. In termini di trasformazioni lineari, se A e B sono le matrici associate rispettivamente alle trasformazioni T 1 e T 2, la matrice prodotto C = BA è associata alla trasformazione lineare T 2 T 1. Ricordiamo che il numero di colonne della prima matrice, nel nostro esempio B, deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice, nel nostro esempio A, e che il prodotto tra matrici non è un operazione commutativa. 2 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

4 Esempio: A R 2 3 e B R 3 2 BA = C R 3 3 e AB = D R 2 2. >> A=[1 5 7; 2 3 6]; >> B=[1 9; 4 3; 6 5]; >> C=B*A; D=A*B; >> C,D C = D = Possiamo creare una funzione per calcolare il prodotto di due matrici. 3 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

5 function D=prodotto(A,B) % Esegue il prodotto matriciale tra A (m x q) e B (q x n) [m,q]=size(a); [p,n]=size(b); if q ~= p disp( Non e possibile eseguire il calcolo ) return; else for i=1:m for j=1:n D(i,j)=A(i,:)*B(:,j); end end end L operatore di MATLAB viene qui usato per eseguire il prodotto della i esima riga di A per la j esima colonna di B. Per confrontare il risultato di questa funzione con quello ottenuto con l operatore di MATLAB usiamo i comandi: >> C=prodotto(B,A) >> D=prodotto(A,B) 4 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

6 Esempio 1 (Prodotto di numeri complessi) Vediamo come effettuare il prodotto di due numeri complessi con il costo computazionale minore, osservando che una moltiplicazione é piú costosa di una somma. Il prodotto tra a = a 1 + i a 2 e b = b 1 + i b 2 è un numero complesso c = c 1 + i c 2 tale che c 1 = a 1 b 1 a 2 b 2 e c 2 = a 1 b 2 + a 2 b 1. Questo calcolo necessita l esecuzione di 4 moltiplicazioni che possono essere ridotte a 3 usando le formule: s 1 = (a 1 + a 2 )(b 1 b 2 ), s 2 = a 1 b 2, s 3 = a 2 b 1, c 1 = s 1 + s 2 s 3, c 2 = s 2 + s 3. 5 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

7 La funzione seguente esegue il calcolo sfruttando le formule precedenti. function C=prodottoC(A,B) % esegue il prodotto tra due complessi % a = a1 + i*a2 e b = b1 + i*b2 % s1=(a(1) + A(2))*(B(1) - B(2)); s2=a(1)*b(2); s3=a(2)*b(1); C(1)=s1 + s2 - s3; C(2)=s2 + s3; 6 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

8 Esempio 2 (Muovere un Aereo) Lavoriamo ora un pó con basi, rotazioni e traslazioni. matrice: ( ) cos α sin α R =. sin α cos α Sappiamo che la Permette di ruotare un vettore di un angolo α. Usiamo questa proprietá per ruotare una figura. Quello che ci prefiggiamo é ruotare una figura a forma di aereo secondo una direzione e succesivamente traslarla. Il primo passo é definire la figura ed una matrice di rotazione generica: clear all; clc close all; a1=[ ]; plot(a1(1,:),a1(2,:)) alfa=[pi/4]; R=[cos(alfa) -sin(alfa); sin(alfa) cos(alfa)]; 7 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

9 aereo1=r*a1; for i=1:4 aereo1=r*aereo1; subplot(2,2,i),plot(aereo1(1,:),aereo1(2,:)) axis ([ ]) end Abbiamo definito la matrice che ci genera la figura fornendo una lista, abbiamo poi visualizzato il risultato, successivamente la figura é stata fatta ruotare di un angolo α. Effettuiamo ora una traslazione qualunque: v=[5 3]; a2(1,:)=a1(1,:)+v(1); a2(2,:)=a1(2,:)+v(2); figure plot(a1(1,:),a1(2,:), --,a2(1,:),a2(2,:)) Aggiungendo queste righe allo script otteniamo una nuova figura traslata di 5 in direzione x e di 3 in direzione y. Mettendo insieme le due operazioni: 8 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

10 v(1)=input( inserisci velocit in direzione x ); v(2)=input( inserisci velocit in direzione y ); t=input( inserisci tempo ); alfa=atan(v(2)/v(1)); if (v(1)<0) alfa=alfa+pi; end R=[cos(alfa) -sin(alfa); sin(alfa) cos(alfa)]; a2=r*a1; a3(1,:)=a2(1,:)+v(1); a3(2,:)=a2(2,:)+v(2); figure plot(a1(1,:),a1(2,:), --,a2(1,:),a2(2,:), :,a3(1,:),a3(2,:)) Otteniamo il risultato voluto. 9 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

11 Traslazioni e rotazioni di una figura a forma di aereo fig.1 10 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

12 Traslazioni e rotazioni di una figura a forma di aereo fig.2 11 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

13 Esempio 3 (curve parametriche nello spazio) Abbiamo visto come si muovono i punti nel piano al variare di un parametro t. Vediamo ora come disegnare un curva parametrica nello spazio tridimensionale. La funzione Matlab che ci consente di farlo é plot3(x, y, z), dove x, y, z sono tre vettori che dipendono da un parametro t. Vediamo un esempio: close all clear all clc t=linspace(0,6*pi); z=2*t; x=sin(t); y=cos(t); figure plot3(x,y,z); hold on plot3(x,y,t, --r ); 12 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

14 v=[1 2 3]; v=v/norm(v); Po=[0 1 1]; t1=7; hold on; plot3([po(1), Po(1)+t1*v(1)],[Po(2), Po(2)+t1*v(2)],... [Po(3), Po(3)+t1*v(3)]); grid Questo script genera due spirali e un segmento nello spazio tridimensionale. É stata utilizzata la funzione norm che calcola la lunghezza euclidea del vettore: norm(v) = v(1) 2 + v(2) 2 + v(3) 2 Di conseguenza l operazione v = v/norm(v) calcola il versore corrispondente alla direzione del vettore v. 13 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

15 Tratti di curve parametriche in R 3 14 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

16 Sistemi lineari In MATLAB un sistema lineare di tipo Ax = b può essere risolto semplicemente usando il comando \ (backslash). Ad esempio le seguenti righe di comando permettono di ottenere il vettore x soluzione del sistema a tre incognite e tre equazioni caratterizzato da A e b: >> A=[3 2 1 ; 2 3 1; 1 2 3]; >> b=[39 ; 34 ; 26]; >> x=a\b x = Quando si usa l operatore \ è importante verificare che il sistema ammetta soluzioni, e a questo scopo possibile utilizzare il teorema di Rouchè-Capelli. 15 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

17 Assegnato un sistema lineare Ax = b chiamiamo matrice completa del sistema la matrice à ottenuta aggiungendo alle colonne della matrice A il vettore b: à = (c 1 c 2... c n b). Possiamo allora riassumere la risolubilità del sistema lineare nel seguente Teorema. Teorema 1 [Rouchè-Capelli] Il sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa à hanno lo stesso rango. In MATLAB il rango di una matrice si ottiene con la funzione rank. Ad esempio >> A=[1 2 ; 3 4 ; 5 6]; >> rank(a) ans = 2 16 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

18 Sistemi semplici Una matrice quadrata D, n n, nella forma D = λ λ λ n si chiama matrice diagonale. Gli elementi λ i, i = 1,..., n stanno sulla diagonale principale della matrice. La funzione MATLAB diag nella forma. diag(vettore), consente di definire matrici diagonali caratterizzate da un vettore contenente gli elementi lungo la diagonale. Naturalmente per una matrice A, m n, non quadrata (matrici rettangolari) si può ancora considerare la diagonale principale semplicemente considerando gli elementi a ii, i = 1, 2,..., min {n, m}. 17 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

19 Implementiamo una funzione MATLAB per risolvere un sistema a matrice diagonale. Sia d = (λ 1, λ 2,..., λ n ) la diagonale principale e b = (b 1, b 2,..., b n ) il termine noto. Se tutti i λ i sono diversi da zero la soluzione del sistema corrispondente è unica e x i = b i /λ i ; se un elemento λ i è nullo e il corrispondente b i è diverso da zero allora non ci sono soluzioni; infine se c è un λ i = 0 e il rispettivo b i = 0 si hanno infinite soluzioni. In MATLAB il controllo che gli elementi di un vettore non siano nulli si può effettuare con la funzione all. Tale funzione ritornerà un valore logico che sarà vero, 1, se tutte le componenti sono diverse da zero oppure falso, 0, se almeno una componente è nulla (al solito si può passare alla funzione una matrice, in questo caso il risultato sarà un vettore che riporterà i controlli colonna per colonna). 18 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

20 Un possibile script MATLAB per il calcolo della soluzione di un sistema diagonale è function x=diagonale(b,d) % se possibile calcola la soluzione del sistema con matrice % diagonale e termine noto b. if ~all(d), error( Matrice singolare ); end x = b./d ; Qui abbiamo utilizzato la notazione punto per la divisione componente per componente dei due vettori e l operatore logico che effettua l operazione NOT, negazione, della variabile logica a cui viene applicato. Quanto costa risolvere un sistema diagonale n n? Ovviamente n divisioni. 19 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

21 Definendo ad esempio >> d=[2; 1; 4; 3]; >> b=[5;.5; 4;.6]; otteniamo: >> x=diagonale(b,d) x = Possiamo verificare la correttezza del risultato ottenuto con i comandi: >> D=diag(d); >> x=d\b; 20 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

22 Supponiamo ora di voler risolvere un sistema con matrice triangolare superiore. In generale possiamo esplicitare la riga i esima del sistema u ii x i + u i i+1 x i u in x n = b n, da cui ( bi n k=i+1 u ik x k ) x i = u ii. Questo calcolo deve essere effettuato per i da n a 1. Supponendo che la matrice del sistema sia memorizzata in U una possibile implementazione MATLAB è n=length(b); X=zeros(1,n); x(n)=b(n)/u(n,n); for i=n-1:-1:1 for k=i+1:n X(i)=U(i,k)*x(k)+X(i); end x(i)=(b(i)-x(i))/u(i,i); end 21 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

23 Questa implementazione non sfrutta le possibilità di vettorializzazione del codice e il fatto che ci si può ricondurre a operazioni di base. Si osservi che la somma che compare nel calcolo di x i potrebbe anche essere vista come il prodotto scalare tra il vettore (U i,i+1,..., U i,n ) e il vettore (x i+1,..., x n ). In MATLAB tale prodotto può essere valutato con l operatore di moltiplicazione *. Possiamo quindi riscrivere n=length(b); x(n)=b(n)/u(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-u(i,i+1:n)*x(i+1:n) )./U(i,i); end L algoritmo per la risoluzione di un sistema a matrice triangolare superiore consiste quindi nel calcolare l ultima componente del sistema ridotto e nell aggiornamento del termine noto. L implementazione dell algoritmo in MATLAB è riportata di seguito (si suppone che ci sia una soluzione unica). 22 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

24 function x = triangu2(u,b) % x = triangu(u,b) % % Soluzione di un sistema triangolare (non singolare) % con matrice triangolare superiore. % U matrice n x n % b,x vettori colonna n x 1 % % n = length(b); x = zeros(n,1); for k=n:-1:2 x(k) = b(k)/u(k,k); % calcola componente b(1:k-1) = b(1:k-1) - (x(k)*u(1:k-1,k)) ; % riduce il sistema end x(1) = b(1)/u(1,1); 23 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

25 Se memorizziamo i coefficienti del sistema nella matrice U e i termini noti nel vettore b, ad esempio >> U=[ ; ; ; ]; >> b=[5; 2; 1; 4]; la soluzione del sistema si ottiene con la chiamata di funzione >> x=triangu(u,b) x = che possiamo sempre verificare usando l operatore \. Esercizio: Creare una funzione analoga a triangu, chiamandola triangl che agisca in modo analogo per la risoluzioni di sistemi con matrice diagonale inferiore. 24 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

26 Soluzione di un sistema lineare generico Quando dobbiamo risolvere un sistema lineare qualsiasi é necessario trovare una strategia che ci consenta di farlo anche velocemente. Il punto di partenza per la soluzione di tali sistemi é il metodo di eliminazione di Gauss. Vediamo ora un esempio di risoluzione di sistema con la regola di Cramer, come sappiamo il metodo di risoluzione di Cramer é basato sul calcolo dei determinanti, questo calcolo coinvolge un numero di operazioni proporzionale a n!, di conseguenza al crescere di n il metodo diventa impraticabile. L i-esimo elemento del vettore soluzione é dato con la regola di Cramer da: x i = det(a i) det(a) Dove A i é la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore b. Per il calcolo del determinante di una matrice possiamo usare la funzione Matlab det. Oppure costruirci noi una funzione che ci calcola il determinante sfruttando la regola generale: 25 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

27 det(a) = n j=1 a ij ( 1) i+j M ij, per i Dove come é noto il minore M ij é il determinante della matrice ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna da A. function D=det1(A) D=A(1,1)*A(2,2)-A(1,2)*A(2,1); function D=det2(A) D=0; for i=1:3 M=A; M(:,i)=[]; M(1,:)=[]; D=A(1,i)*(-1)^(1+i)*det1(M)+D; end Lo script Matlab appena visto ci consente di calcolare il valore del determinante attraverso la regola generale (non é certamente il metodo piú 26 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

28 veloce). scrivere: Per calcolare la soluzione di un sistema 3 3 possiamo quindi function x=sis3(a,b) A1=A; A1(:,1)=b; det2(a1); x(1)=det2(a1)/det2(a); A2=A; A2(:,2)=b; x(2)=det2(a2)/det2(a); A3=A; A3(:,3)=b; x(3)=det2(a3)/det2(a); Inseriamo dalla finestra di comando la matrice A e il vettore dei termini noti b, calcoliamo la soluzione e confrontiamola con quella del Matlab: >> A=[3 2 1;2 3 1;1 2 3]; 27 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

29 >>b=[ ] ; >> Sis3(A,b) ans = >> (A/b) ans = Esercizio: Realizzare uno script Matlab che risolve un sistema 5 5 con la regola di Cramer. 28 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

30 Metodo di eliminazione di Gauss Questo algoritmo si può riassumere in due azioni principali che vengono eseguite ripetutamente: Calcolare i moltiplicatori richiesti; Aggiornare le equazioni dalla (k + 1) esima alla n esima. Al generico passo k, nel quale vogliamo eliminare la k esima incognita dalle righe r i, i = k + 1,..., n, i moltiplicatori si calcolano dunque tramite le divisioni m ik = a k ik /ak kk, i = k + 1,..., n, dove con a k ik indichiamo gli elementi della matrice che abbiamo prima di compiere la trasformazione. Applicando il procedimento di eliminazione si riduce la matrice A del sistema ad una matrice triangolare superiore, quindi il sistema può essere risolto usando la funzione triangu.m. 29 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

31 In particolare la seguente funzione memorizza i moltiplicatori utilizzati nel posto in cui, dopo il passo di eliminazione, dovrebbero andare gli zeri. function x=gaussn(a,b) % Risolve un sistema lineare usando il metodo di Gauss % I pivot devono essere non nulli % n=length(b); A=[A b]; % matrice completa C=A; for k=1:n-1 A(k+1:n,k) = A(k+1:n,k)/A(k,k); % calcola il moltiplicatore A(k+1:n,k+1:n+1) = A(k+1:n,k+1:n+1) - A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n+1); % aggiorna la matrice end x=triangu(a(:,1:n),a(:,n+1)); disp( matrice di partenza ) C disp( matrice finale ) A 30 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

32 Una volta definiti la matrice A del sistema e il vettore dei termini noti b, il vettore x le cui componenti sono le incognite del sistema si ottiene con la chiamata di funzione >> gaussn(a,b ) matrice di partenza C = matrice finale A = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

33 Fattorizzazione LU Interpretiamo il passo di eliminazione come prodotto tra matrici. La matrice M k che ci consente di operare su una sola colonna si chiama matrice elementare di eliminazione o trasformazione di Gauss. Scriviamo una funzione MATLAB che calcoli le componenti di un vettore di Gauss m = (0,..., 0, m k+1,..., m n ) T. In particolare la seguente funzione calcola le componenti non nulle del vettore n k dimensionale m k per z k = (z k+1,.., z n ). function mk = gauss(zk) % calcola il vettore di Gauss % nk = length(zk); mk = zk(2:nk)/zk(1); Ad esempio, se z=[3; 1.5; 6; 4.5] otteniamo: >> m1 = gauss(z) m1 = 32 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

34 In MATLAB una matrice identità di ordine n si può creare con il comando eye(n). La trasformazione di Gauss M 1 si ottiene dunque con la sequenza: >> M1=eye(n); >> M1(2:n)=m1 M1 = Ora, per verificare che la funzione gauss.m restituisca il vettore di Gauss cercato, eseguiamo il prodotto y = M 1 z, ottenendo che y(2 : n) = 0. >> y=m1*z 33 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

35 y = La moltiplicazione di una matrice A per una matrice elementare di Gauss M k può essere scritta nella forma M k A = (I m k e T k )A = A m k(e T k A), dove e k è la k esima colonna della matrice identità: e k = (0,..., 1,..., 0) T, con 1 in k esima posizione. Dato che i primi k elementi di m k sono nulli, nel prodotto vengono alterati solo gli elementi della sottomatrice individuata dagli indici di riga i = k + 1,..., n. Scriviamo dunque la relativa funzione MATLAB. function A = gaussm(a,mk) 34 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

36 % prodotto della matrice A per la matrice elementare di Gauss M_k % [n,p]=size(a); A(2:n,:)=A(2:n,:)-mk*A(1,:); Possiamo ora scrivere una parte di codice MATLAB che, utilizzando successive trasformazioni di Gauss porta la matrice A in una matrice triangolare superiore: k=1; while A(k,k) ~= 0 & k <= n-1, mk=gauss(a(k:n,k)); A(k:n,:)=gaussM(A(k:n,:),mk); k=k+1; end Nel caso in cui il procedimento di eliminazione possa procedere, cioè che tutti gli elementi pivot siano non nulli, abbiamo la sequenza di trasformazioni di Gauss del sistema lineare M n 1 M n 2... M 1 A x = M n 1 M n 2... M 1 b. 35 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

37 Indicando con M il prodotto di tutte le matrici elementari, M = M n 1 M n 2... M 1, abbiamo visto che la matrice M A è una matrice triangolare superiore. In particolare essa verrà indicata con MA = U. La matrice M, prodotto delle matrici elementari di eliminazione, è una matrice triangolare inferiore ed è invertibile. Posto L = ( M n 1 M n 2... M 1 ) 1 = M 1 1 M M 1 n 1, si ha che L risulta essere una matrice triangolare inferiore. Quindi MA = U A = M 1 U = LU. (1) Questa decomposizione esprime il fatto che la matrice A può essere scritta come prodotto di una matrice triangolare inferiore L per una matrice triangolare superiore U: chiameremo tale fattorizzazione decomposizione LU. Per il calcolo delle matrici L osserviamo che l inversa di una matrice di Gauss puó essere calcolata esplicitamente attraverso un cambio di segno (M 2 M1 1 = M1 1 M 2 1 = L 1 L 2 ). Esempio: 36 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

38 >> A A = >>M M1 = >>M2 M2 = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

39 >>L1=M1^-1 L1 = >> L2=M2^-1 L2 = >> L1*L Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

40 >> M1^-1*M2^ >> (M2*M1)^ Osserviamo che: >> M1*M Mentre: 39 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

41 >> M2*M Calcolata la decomposizione LU di una matrice il sistema lineare Ax = b può essere risolto tramite la soluzione di un sistema triangolare superiore e di un sistema triangolare inferiore nei seguenti due passi: 1. risolvere Ly = b in y (sostituzione in avanti, sistema triangolare inferiore); 2. risolvere U x = y in x (sostituzione all indietro, sistema triangolare superiore). La seguente funzione restituisce le matrici L e U in cui può essere scomposta la matrice A, supponendo che tutti i pivot siano diversi da zero. function [L,U]=gaussf(A) 40 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

42 % calcola le matrici di fattorizzazione LU della matrice A % [n,p]=size(a); k=1; L=eye(n); while A(k,k) ~= 0 & k <= n-1, mk=gauss(a(k:n,k)); L(k+1:n,k)=mk; A(k:n,:)=gaussM(A(k:n,:),mk); k=k+1; end U=A; Ad esempio data la matrice A, la sua scomposizione LU sará: >>A A = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

43 1 3 6 >>[L,U]=gaussf(A) L = U = Esempio 4 (Calcolo della matrice inversa) Utilizziamo la fattorizzazione LU per calcolare l inversa di una matrice quadrata A di ordine n. Ovviamente la matrice inversa A 1, tale che AA 1 = I, 42 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

44 è la soluzione del sistema A x k = e k, k = 1,..., n. Conoscendo la decomposizione LU di A sarà sufficiente risolvere per ogni k, le equazioni L y k = e k e U x k = y k. Poiché, come sappiamo, le matrici U ed L sono rispettivamente triangolare superiore e triangolare inferiore, possiamo utilizzare le funzioni triangu.m e triangl.m create in precedenza. Inoltre, poiché A = LU sarà possibile calcolare il determinante di A come: det(a) = det(l) det(u), dove i determinanti delle due matrici triangolari sono ovviamente dati dal prodotto degli elementi che si trovano sulle rispettive diagonali. La seguente funzioni restituisce inversa e determinante della matrice A, utilizzando le funzioni gaussf.m, triangu.m e triangl.m. function [A1,D]=inversa(A) 43 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

45 % calcola la matrice inversa di A e il suo determinante % usando la fattorizzazione LU % [n,p]=size(a); I=eye(n); A1=zeros(n); [L,U]=gaussf(A); D=1; for k=1:n y=triangl(l,i(:,k)); A1(:,k)=triangU(U,y); D=D*L(k,k)*U(k,k); end Per completezza riportiamo la funzione triangl.m. function x = triangl(l,b) % x = triangl(l,b) % % Soluzione di un sistema triangolare (non singolare) % con matrice triangolare inferiore. 44 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

46 % L matrice n x n % b,x vettori colonna n x 1 % n = length(b); x = zeros(n,1); x(1) = b(1)/l(1,1); for k=2:n b(k:n) = b(k:n) - x(k-1)*l(k:n,k-1); % riduce il sistema x(k) = b(k)/l(k,k); % calcola componente end Esempio 5 (Stabilità dell algoritmo di eliminazione) Realizziamo uno script MATLAB in cui calcoliamo la fattorizzazione LU e la soluzione del sistema ( ɛ ) ( x1 x 2 al diminuire di ɛ. Più ɛ è piccolo più ci si avvicina alla soluzione x 1 = 2, x 2 = 2. Il procedimento di eliminazione può comunque procedere perché l elemento pivot a 11 = ɛ è diverso da zero. 45 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco ) = ( 2 4 ),

47 Tuttavia sotto un certo valore di ɛ la soluzione degenera. Nello seguente script utilizziamo la funzione logspace per generare un vettore di elementi equispaziati in scala logaritmica da assegnare a ɛ. % stabepsilon.m % [ epsilon 1][x1] [2] % [ 1 1][x2] = [4] % disp( epsilon x(1) x(2) ) disp( ) for epsi = logspace(-2,-18,9) A = [epsi 1; 1 1]; b = [2; 4]; L = [ 1 0; A(2,1)/A(1,1) 1]; U = [ A(1,1) A(1,2) ; 0 A(2,2)-L(2,1)*A(1,2)]; y(1) = b(1); y(2) = b(2) - L(2,1)*y(1); x(2) = y(2)/u(2,2); x(1) = (y(1) - U(1,2)*x(2))/U(1,1); disp(sprintf( %5.0e %20.15f %20.15f,epsi,x(1),x(2))) end 46 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

48 L esecuzione di questo script produce la seguente tabella in uscita. epsilon x(1) x(2) e e e e e e e e e Per ovviare il problema della degenerazione della soluzione basta scambiare le due righe della matrice. Esercizio Si provveda alle piccole modifiche dello script MATLAB per osservare l evoluzione della soluzione dopo lo scambio di righe. 47 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

49 Per migliorare la stabilità dell algoritmo di eliminazione di Gauss, vogliamo implementare in MATLAB il procedimento di eliminazione di Gauss con strategia di pivot parziale, che consiste nel cercare, al passo k esimo del procedimento, il massimo elemento in modulo (a pk ) nella k esima colonna della matrice, e, se p k, scambiare la riga k-esima con la riga p-esima (operazione che mantiene il sistema equivalente). A questo punto l elemento pivot a kk è quello massimo e si procede con l eliminazione. Dal punto di vista matriciale in questo procedimento si utilizzano le matrici di permutazione. Se indichiamo con P = P n 1 P n 2... P 2 P 1 la matrice di permutazione dell intero processo, in modo analogo alla classica eliminazione di Gauss, si ha P A = LU = P b, da cui la soluzione si può ancora calcolare in due passi, prima risolvendo Ly = P b (il vettore b interviene solo a questo punto e viene permutato) e poi Ux = y. 48 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

50 function [L,U,piv] = Gauss_piv(A) % Fattorizzazione LU con pivot parziale. % A matrice n x n % L, U fattori triangolare inferiore e triangolare superiore % piv rappresenta la matrice permutazione come vettore % A(piv,:) = LU [n,n] = size(a); % dimensioni del sistema piv = 1:n; % inizializzazione vettore permutazione for k=1:n-1 [maxa,r] = max(abs(a(k:n,k))); l = r+k-1; piv([k l]) = piv([l k]); % scambio righe A([k l],:) = A([l k],:); if A(k,k) ~= 0 % prosegui se matrice non e singolare A(k+1:n,k) = A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n) = A(k+1:n,k+1:n) - A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end end L = eye(n,n) + tril(a,-1); U = triu(a); 49 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

51 Le funzioni MATLAB tril(a,k) e triu(a,k) estraggono la parte triangolare inferiore, a partire dalla diagonale k esima, e la parte triangolare superiore, a partire dalla diagonale k esima, di una matrice A data come argomento. Definiamo una matrice A e chiamiamo la funzione Gauss_piv.m, ottenendo: >> A=[ ; ; ; ]; >> [L,U,piv]=gauss_piv(A) L = U = piv = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

52 In MATLAB la fattorizzazione LU può essere ottenuta richiamando la funzione MATLAB lu. La sintassi è la seguente (utilizzando le stesse notazioni per le variabili) [L,U,P]=lu(A); Confrontare il risultato ottenuto con quello del comando >> [L,U,P]=lu(A) Esempio 6 (Calcolo della matrice inversa con pivoting) La seguente funzione, analoga a inversa.m, calcola la matrice inversa di A utilizzando la decomposizione LU con pivoting parziale. In questo caso non è la matrice A ad essere decomposta in LU, ma Ā = P A, con P matrice di permutazione. Il sistema A x k = e k si risolve eseguendo le operazioni L y k = P e k e U x k = y k. Infine alla matrice Ā 1 così ottenuta si deve riapplicare la permutazione P per ottenere Ā 1 P = (P A) 1 P = A 1 P 1 P = A Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

53 La seguente funzione, analoga a inversa.m, calcola la matrice inversa di A utilizzando la decomposizione LU con pivoting parziale. function A1=inversa_piv(A) % calcola la matrice inversa di A usando la fattorizzazione LU % con pivoting parziale % [n,p]=size(a); I=eye(n); A1=zeros(n); [L,U,piv]=gauss_piv(A); for k=1:n y=triangl(l,i(:,piv(k))); A1(:,k)=triangU(U,y); end A1(:,1:n)=A1(:,piv(1:n)); 52 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

54 Fattorizzazione di Cholesky La fattorizzazione di Cholesky si applica quando la matrice A è simmetrica definira positiva (x T Ax > 0 x R n SDF ). In questo caso esiste infatti una matrice triangolare inferiore L tale che A = L L T. Esplicitando il sistema A = L L T otteniamo il legame tra gli elementi di A e quelli di L: a ik = min(i,k) j=1 l ij l jk, i, j = 1,..., n. Da questa relazione otteniamo gli elementi della matrice L: l kk = a kk k 1 j=1 l 2 kj, l ik = a ik k 1 p=1 l kk l ip l kp La funzione seguente implementa l algoritmo di Cholesky e restituisce la matrice triangolare inferiore L, controllando che matrice A sia quadrata e definita positiva. 53 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

55 L algoritmo di Cholesky può essere generalizzato per A matrice di ordine n con la seguente funzione. function L=cholesky(A) % restituisce la matrice L di fattorizzazione di Cholesky % tale che A=LL^T % [n,m]=size(a); L=zeros(n); if n~=m disp( Errore: la matrice non e quadrata ); return; end L(1,1)=sqrt(A(1,1)); for k=1:n somma=0; somma=somma+sum(l(k,1:k-1).^2); s=a(k,k)-somma; 54 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

56 end if s <= 0 disp( La matrice non e definita positiva ); return; else L(k,k)=sqrt(s); for i=k+1:n somma=0; somma=somma+sum(l(i,1:k-1).*l(k,1:k-1)); L(i,k)=(A(i,k)-somma)/L(k,k); end end Osservazione 1 Nell algoritmo di Cholesky intervengono n radici quadrate ma per la stabilità non è richiesto il pivoting. In MATLAB la fattorizzazione di Cholesky può essere realizzata tramite la funzione chol. In particolare questa funzione restituisce non una matrice triangolare inferiore ma una metrice triangolare superiore U tale che U T U = A. Si ha dunque U = L T. 55 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

57 Consideriamo la matrice A definita positiva >> A=[4 1; 1 1]; La matrice L di fattorizzazione di Cholesky si ottiene con il comando >> L=cholesky(A) L = mentre la funzione chol restituisce >> U=chol(A) U = Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

58 Norme di vettori e matrici Desideriamo poter dire quanto grande è un vettore e quanto grande è una certa matrice. A questo scopo utilizziamo le norme. La norma euclidea è la norma più usata e corrisponde alla norma p nel caso p = 2: x 2 = n i=1 x i 2 La norma 1 è invece definita come x 1 = x i. Passando al limite per p si ottiene la norma 1 2. x = max 1 i n x i. Una funzione che calcola la norma euclidea del vettore x, che esegue la somma delle componenti sfruttando le proprietà di vettorizzazione di MATLAB è la seguente. 57 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

59 function m=norma2v(x) % calcola la norma euclidea del vettore x % n=length(x); m=sqrt(sum(x(1:n).^2)); Supponendo che x sia un vettore colonna, possiamo sfruttare l operatore di MATLAB sostituendo l ultima riga di questo script con m=sqrt(x *x); Esercizio Si creino due funzioni, analoghe a norma2v.m, che calcolino rispettivamente la norma 1 e la norma del vettore x. Consideriamo ora le norme indotte dalle norme vettoriali appena viste. Sappiamo che la funzione A p = max Ax p x p, dove il massimo è calcolato considerando solo vettori x non nulli, è una norma matriciale. 58 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

60 Esplicitando il valore della norma indotta della norma p e dalla norma otteniamo: A 1 = A = max 1 j n max 1 i n n i=1 n j=1 a ij, (massimo somma colonne in modulo), a ij, (massimo somma righe in modulo). Realizziamo una funzione che calcoli A 1 e lasciamo come esercizio la realizzazione della funzione per il calcolo di A. function M=norma1m(A); % calcola la norma-1 della matrice A % [n,m]=size(a); s(1:n)=sum(abs(a(:,1:n))); M=max(s); 59 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

61 Ecco invece una funzione che calcola la norma (non indotta) di Frobenius: A F = n n i=1 j=1 a ij 2. function M=normaFm(A); % calcola la norma di Frobenius della matrice A % [n,m]=size(a); s(1:n)=sum(a(:,1:n).^2); M=sqrt(sum(s)); In MATLAB si possono calcolare i diversi tipo di norma della matrice A con la funzione norm(a,tipo). Ad esempio la norma-1 (tipo=1), la norma-2 (tipo=2), la norma- (tipo=inf) e la norma di Frobenius (tipo= fro ). Si possono dunque confrontare i risultati delle funzioni appena realizzati con le rispettive norme calcolate con norm. 60 Prof. L. Pareschi, Dott. Giacomo Dimarco

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