DESCRIZIONE E INTENTI DIDATTICI DEL LABORATORIO MATEMATICA E MUSICA. Laura Catastini

Transcript

1 DESCRIZIONE E INTENTI DIDTTICI DEL LORTORIO MTEMTIC E MUSIC Laura Catastini Scelte metodologiche L attività laboratoriale si prefigge lo scopo di trattare e mettere in collegamento tra loro i concetti di rapporto, proporzione, frazione. La scelta delle attività concrete musicali e matematiche - da affiancare a quelle teoriche e del particolare percorso proposto tiene conto della natura delle difficoltà cognitive che il pensiero deve affrontare nello studio della matematica e dell importanza del pensiero immaginativo ed emotivo, legato alle esperienze concrete del corpo (vedi file Narrazione e Musica). La matematica è linguaggio e forma a un tempo ma l immaginazione deve formarsi spesso sulle sole parole e per questo preferiamo, quando è possibile come in questo caso, l approccio storico: le tappe storiche delle formalizzazioni matematiche, la loro concettualizzazione progressiva, permette, a nostro avviso, che nella mente degli studenti sia attui la costruzione di oggetti matematici via via più elevati e coerenti nel loro sviluppo, che non costringano a un continuo cambio di riferimento nel progredire del corso degli studi. Il percorso scelto mira a costruire una rete di parole e di significati che creino forti rimandi tra argomenti di ambito geometrico, algebrico e musicale, intrisi anche delle intense esperienze emotive e fisiche di gruppo create dal fare musica insieme. Si forma così una narrazione efficace che, come nel pensiero di tutti i giorni, sostiene la memoria, la vivacità e la capacità ragionativa del nostro cervello Queste scelte metodologiche hanno determinato il percorso scelto nel laboratorio già effettuato dalla proponente, ma non è naturalmente il solo percorso possibile, esistono ampi spazi per proposte alternative. Contenuti multidisciplinari Gli argomenti trattati nel laboratorio si prestano a una possibile trattazione multidisciplinare perché riguardano contemporaneamente più discipline: la fisica e la musica, la matematica. L insegnante di matematica e scienze potrà, a piacere, spiegare come si diffonde il suono, le caratteristiche dell onda sonora, il fatto che, in uno strumento a corda, a parità di spessore, corde più corte producono suoni più acuti di quelli prodotti da corde più lunghe, esporre il fenomeno fisico delle armoniche e delle consonanze. L insegnante di musica potrà, a piacere, approfondire le scarne e essenziali definizioni di intervallo musicale date dal docente di matematica, e progettare una concreta attività musicale per gli studenti, applicativa dei concetti in questione (vedi file Narrazione e Musica). Potrebbe poi essere raccontata e approfondita, dall uno o dall altro, la leggenda 1 che narra come Pitagora intuì queste leggi e il modo in cui costruì la scala musicale diatonica dalla quale nascerà l odierna scala musicale cromatica. Questo elenco non è ovviamente esaustivo ma solo indicativo di possibili contenuti multidisciplinari. 1 vedi ad es. Giamblico, La vita pitagorica, ed UR

2 Strumenti del laboratorio e compito pratico proposto La parte matematica verrà svolta, nel suo aspetto geometrico e sintetico, col solo uso della riga e del compasso. Con l introduzione della misura è permesso anche l uso di calcolatrici e di righe o righelli graduati. Il compito pratico che hanno avuto gli studenti è stato quello di determinare, sull ottavometro, (vedi file Presentazione laboratorio Matematica e musica ) la lunghezza di ogni corda di una ottava diatonica conoscendo la lunghezza di una di esse (vedi file Intervalli e Matematica ). In campo musicale gli studenti, dopo ascolti illustrativi dell uso degli intervalli per comunicare determinate emozioni in musica, hanno affrontato un percorso recitativo e musicale nel quale, usando i giusti intervalli, sono state rappresentate le emozioni della paura, del coraggio e della minaccia, dell amore genitoriale e sociale. Ecco qualche momento di prove di canto e recitazione:

3 Qualche flash matematico sul laboratorio già effettuato Come già detto l attività laboratoriale si prefigge lo scopo di trattare e mettere in collegamento tra loro i concetti di rapporto, proporzione, frazione, creando una sinergia coerente tra situazioni geometriche e numeriche. Di norma gli studenti conoscono il rapporto tra due numeri o due grandezze come divisione o frazione dei due numeri o delle misure delle due grandezze. Senza interferire con quel che già sanno, si introduce il concetto di parte di una grandezza nel senso in cui è definito 2 negli Elementi di Euclide: la parte di una grandezza è una grandezza a lei omogenea che entra in essa esattamente un numero intero di volte. Si usa, come esemplificazione di grandezza geometrica, il segmento, che verrà poi usato anche come rappresentazione delle corde dell ottava. Quindi si dirà che p è parte del segmento se sta esattamente un numero intero di volte in. p Si propone poi, per la proposizione due segmenti, e CD, stanno in rapporto n a m, la seguente lettura: se due segmenti, e, stanno in rapporto n a m allora la parte di che sta in n volte, sta in m volte, e viceversa (si usano sempre esempi numerici). p C D Come primo esercizio si chiede agli studenti di disegnare ognuno su un foglio bianco un segmento (si evitano quadretti che possono indurre a misurare) e di trovare un segmento CD che sia un dato rapporto con usando solo squadre non graduate, per tracciare rette parallele, e un 2 Una grandezza è parte di una grandezza, la minore della maggiore, quando misuri completamente la maggiore (Elementi di Euclide libro V Termini)

4 p C D compasso. È il momento di insegnare la costruzione fondata sul teorema di Talete per dividere un segmento in un numero dato di parti uguali ppena gli studenti hanno raggiunto una sufficiente dimestichezza con la costruzione di Talete, si presenta loro il seguente compito, sempre su foglio non quadrettato: (*) Disegnare due segmenti, e CD, tali che sta a CD come 4 sta a 3. In questo caso ogni studente disegnerà a piacere un segmento e potrà scegliere se dividerlo in 4 parti e determinare l altro trovando così CD, o dividerlo in 3 parti e determinare l altro, trovando così. Esercizi di questo tipo portano nel puro spirito della geometria e dei rapporti - perché non si usano misure, ogni studente lavora su segmenti diversi da quelli dei compagni, ma su stessi rapporti, e contribuiscono a rafforzare la conoscenza e la comprensione Il confronto e la discussione tra gli studenti sui procedimenti adottati per le soluzioni di esercizi di questo tipo è molto produttivo. ttraverso il concetto di rapporto così costruito possiamo sviluppare il mondo delle proporzioni, delle frazioni, dei numeri, anche dal punto di vista del linguaggio. Vediamo alcuni esempi: L esercizio (*) precedente porta immediatamente al concetto di proporzione attraverso il confronto tra le coppie di segmenti costruite dagli studenti, diverse tra loro ma nello stesso rapporto, e altre che non lo sono, proposte dal docente, Si chiede agli studenti, negli esercizi, di scrivere il numero di parti non come frazione ma come un aggettivo numerale (il numeratore) e un sostantivo (che informa di quale parte si tratta, cioè la denomina ). Così non 5/3 ma 5 terzi, per esempio. Questa pratica crea una immagine del denominatore che potrà facilitare l uso delle frazioni negli esercizi geometrici e la comprensione delle regole di calcolo. Gli studenti, parlando tra loro o scrivendo, sono obbligati a dare sempre il riferimento alla grandezza. Per indicare una parte determinata non basta loro dire 1 quinto ma devono sempre specificare 1 quinto DI. Partendo da questo linguaggio geometrico e introducendo la misura, ci possiamo avvicinare facilmente e coerentemente alla forma algebrica senza alterare né perdere significati. Ecco alcuni esempi: Perché 3 dodicesimi di equivale, nel linguaggio matematico dei numeri e 3 delle operazioni, a "? Perché per trovare la misura di 3 dodicesimi di si deve 12 dividere per 12 per determinare quanto misura una sua parte e poi occorre moltiplicarla per 3. Ma per le proprietà delle operazioni 12 " 3 = " = " 12 = 3 12 "

5 pratica notazione finale, riassuntiva del processo Con questa tecnica si può anche esplorare il mondo delle frazioni numeriche. Per non 3 3 creare fratture fra i concetti che costruiamo possiamo leggere adesso come 1, cioè quarti di 1, dell unità numerica. Questa visione sarà coerente con le situazioni analitiche, nelle quali i numeri sono situati all estremo di un segmento di lunghezza pari al numero in questione, e con l altro estremo nell origine del riferimento, e si spera sostituisca il frequente e errato posizionamento di 4 3 in 3,4 I numeri irrazionali: Gli studenti conoscono i numeri razionali come numeri con coda decimale finita o periodica, trasformabili in frazioni a numeratore e denominatore interi, e i numeri irrazionali come numeri con coda decimale infinita aperiodica che non possono essere trasformati in frazioni come nel caso precedente. Si può facilmente introdurre il produttivo concetto di commensurabilità e incommensurabilità tra due grandezze, spiegando che due grandezze e sono commensurabili quando esiste una parte che misuri entrambe, cioè che entri un numero m di volte in e un numero n di volte in. Questa situazione crea la proporzione : = m : n (affrontata molte volte in musica) e la possibilità di esprimere la misura di una grandezza come frazione della misura dell altra, utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere: = m/n e = n/m l contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili se non esiste alcuna frazione razionale in grado di esprimere il rapporto tra di loro. Non esiste cioè nessuna parte comune che riesca a misurare esattamente entrambe. Comunque si trovi una parte che misura esattamente, quella non misura esattamente, e viceversa. Nel laboratorio è stato proposto il famoso problema del Menone di Platone, che chiede di determinare un quadrato che abbia l area doppia di un quadrato dato, scelto per l occasione di lato 1: F E C D G Di norma gli studenti propongono subito come risposta un quadrato di lato CG = 2 (come lo schiavo del Menone) ma l indagine e il ragionamento sulla figura porta presto alla soluzione. Si sottolinea come la costruzione geometrica determini esattamente il quadrato cercato, e che DC : DEF = 1 : 2, cioè i due quadrati sono commensurabili, ma i loro lati, C e D, non lo sono, misurando rispettivamente 1 e 2. È stata presentata agli studenti la tradizionale dimostrazione per assurdo dell irrazionalità di 2, trasmessa da Euclide, basata sui numeri pari e dispari. Per la cronaca, la dimostrazione ha appassionato gli studenti più capaci, ma, ripetendola anche il giorno dopo, è stata anche capita da quasi tutti i partecipanti al laboratorio. È stato un momento di gran fatica mentale, per ammissione di tutti, ma anche di gran soddisfazione, alla fine La ricerca di una soluzione numerica che porti al lato cercato, che

6 misura 2, non dà pertanto nessun risultato esatto. Si potrà dire agli studenti che l esigenza di portare avanti calcoli senza perdere esattezza per strada, come accadrebbe approssimando i numeri irrazionali tagliando loro la coda infinita, giustifica l introduzione del simbolo di, che non costringe all approssimazione, e lo sviluppo di un apposito calcolo con questi simboli, che gli studenti dovranno imparare nel proseguimento degli studi. nche questo è ciò che intendo quando parlo di narrazione in matematica, cioè la presentazione di parole e concetti il più possibile intrisi di partecipazione attiva da parte degli studenti, e il più possibile compatibili e interattivi con le parole e i concetti che impareranno nel loro lungo corso di studi. La pratica laboratoriale sull ottavometro aiuta a rinforzare e a chiarire queste e questioni legate agli argomenti trattati (vedi file Intervalli e Matematica ). molte altre