Università di Pisa. Esame di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI I Corso di Laurea in Ingegneria Civile, Ambientale e Edile

Transcript

1 Università di Pisa Esame di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI I Corso di Laurea in Ingegneria Civie, Ambientae e Edie Esame di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI - Parte I Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziae Corso di Laurea in Ingegneria Civie e Ambientae Esame di SCIENZA & TECNICA DELLE COSTRUZIONI - Parte I Corso di Laurea in Ingegneria Chimica (docente: Prof. Ing. Stefano Bennati) Sintesi dea souzione dea prova scritta de giorno giugno 6 Probema. Ne sistema di figura tutte e travi sono fessibii ma inestensibii. Sue travi AB e DE agisce un carico distribuito assiae, uniforme per unità di unghezza, d intensità q; mentre in corrispondenza dea sezione C dea trave BD agisce una coppia concentrata di intensità. La struttura è inotre soggetta ae soecitazioni termiche indicate in figura: con andamento variabie neo spessore H dea trave in BD e con andamento costante in AB e DE. Figura I sistema presenta simmetria poare rispetto a poo C. È possibie individuare con sempicità una quota poarmente simmetrica ed una poarmente antisimmetrica nei carichi e nee soecitazioni termiche agenti sua struttura. Per i principio di sovrapposizione degi effetti, quindi, i sistema può essere decomposto nei due sottosistemi rappresentati nee figure e 3, i primo simmetrico, i secondo antisimmetrico. Figura : Sottosistema poarmente simmetrico. Figura 3: Sottosistema poarmente antisimmetrico.

2 Considerazioni di simmetria consentono infine di imitare anaisi aa soa parte ABC, vincoando a sezione C con una cerniera ne caso de sistema simmetrico e con un doppio-doppio pendoo ne caso de sistema poarmente antisimmetrico, come indicato nee figure e 5. Figura : Sottosistema poarmente simmetrico. Figura 5: Sottosistema poarmente antisimmetrico. Agi studenti dei CdL in Ingegneria Aerospaziae e in Ingegneria Chimica era richiesto di risovere i sistema rappresentato in figura con i metodo dee forze; agi studenti de CdL in Ingegneria Civie, Ambientae e Edie era invece richiesto di risovere con i metodo dee forze i sistema rappresentato in figura 5. Entrambi i gruppi avrebbero dovuto impostare a risouzione de probema con i metodo dea inea eastica per i sistema rappresentato in figura 5. Le equazioni differenziai per i tratti AB (tratto ) e BC (tratto ) e e condizioni a bordo che consentono di risovere i sistema antisimmetrico (fig. 5) mediante i metodo dea inea eastica sono e seguenti: IV EJv = ; IV EJv = ;. v ( ) = ;. II I EJv ( ) kv( ) 3. v( ) v( ) II = ;. ( ) + = ; 5. EJ v II ( ) I ( ) I = k v v( ) ; ( ) 6. III EJv 7. v = I ; 8. ( ) α t II EJ v EJ v H = ; 3 ( ) = ; EJv = III. Souzione de èrobema reativo a sistema antisimmetrico I sottosistema raffigurato in fig. 5 risuta una vota staticamente non determinato. Nea risouzione mediante i metodo dee forze si scegie come incognita iperstatica X a coppia esercitata da incastro eastico in B. I sistema può aora essere decomposto nea somma seguente (fig. 6): F (e) = F () + X F (), φbc φab = X k, avendo assunto a rotazione dea sezione trasversae, φ, positiva in senso orario. con: ( ) ( )

3 Figura 6: Scomposizione de sistema effettivo (fig. 5) Considerazioni di equiibrio consentono di determinare facimente e reazioni vincoari esterne per i sistemi F () e F (). I due sistemi sono rappresentati nee figure 7 e 8. Figura 7: Sistema F (). Figura 8: Sistema F (). Le CdS nei vari tratti e nei sistemi F () e F () sono raccote nea tabea seguente, nea quae s (, ) AB e s (, ) per BC. per AB q ( s) N T N T BC I diagrammi quotati dee CdS sono rappresentati nea figura seguente. Figura 9: Diagrammi dee CdS in F () e F (). I coefficienti di üer-bresau risutano essere i seguenti: X = ; k Conseguentemente, X = + k αt = ; = + H k +. EJ ; X EJ αt H = EJ + + k 3

4 Souzione de sistema simmetrico I sistema poarmente simmetrico rappresentato nea fig. risuta due vote staticamente non determinato. Nea risouzione mediante i metodo dee forze si scegie come incognita iperstatica X a coppia esercitata da incastro eastico in A e come incognita iperstatica X a componente orizzontae dea reazione vincoare esercitata daa cerniera in C. I sistema può aora essere decomposto nea somma seguente (fig. ): F (e) = F () + X F () + X F (), φ AB = X k, avendo assunto a rotazione dea sezione trasversae, φ, positiva in senso orario, e v Cx =. con: ( ) Figura : Scomposizione de Sistema effettivo (fig. ) Considerazioni di equiibrio consentono di determinare facimente e reazioni vincoari esterne per i sistemi F (), F () e F (). I tre sistemi sono rappresentati nee figure, e 3. Figura : Sistema F (). Figura : Sistema F (). Figura 3: Sistema F (). Le CdS nei vari tratti e nei sistemi F (), F () e F () sono raccote nea tabea seguente, nea quae s (, ) per AB e s (, ) per BC. N T N T N T AB s s 3 s BC + s I diagrammi quotati dee CdS sono rappresentati nea figura.

5 Figura : Diagrammi dee CdS in F (), F () e F (). I sistema costituito dae equazioni di easticità di üer-bresau è i seguente: = + X+ X, con = X k, e =, = + X+ X mentre gi atri coefficienti, cacoati attraverso opportune appicazioni de teorema dei avori virtuai, sono: =αt ; EJ = 3 EJ ; ( 3) 3 = αt ; k 8EJ = ; EJ = ; ( ) 3 = k + + EJ. I vaore dee incognite iperstatiche può infine essere cacoato risovendo i sistema agebrico seguente, ad esempio attraverso a regoa di Cramer: + k X =. X 9 giugno 6 5