francesca fattori speranza bozza gennaio 2018

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1 DERIVATE APPLICATE ALLO STUDIO DI FUNZIONE. OM Le derivate servono a trovare eventuali massimi e minimi delle funzioni. Ho pensato questo modulo in questo modo: concetto di derivata; calcolo di una derivata semplice tramite la definizione; calcolo di una derivata di una funzione polinomiale con lo schema per le derivate fondamentali; concetto di derivata per trovare i massimi e minimi; applicazione delle derivate per trovare i massimi e minimi solo al caso di funzioni di secondo e terzo. grado. *** Supponiamo di voler sapere quale è la pendenza di una curva: cioè se, ad esempio, cresce rapidamente o lentamente. Osserva il grafico in figura : Figura nei tratti a e b la funzione cresce, ma nel primo tratto è più rapida (vedi la funzione come se fosse una strada in salita o in discesa: normalmente su una funzione ci muoviamo da sinistra a destra, ma possiamo anche pensare di tornare indietro muovendoci da destra a sinistra). Nei tratti c e d, invece, la funzione decresce, ma nell ultimo tratto è più rapida (Appendice ). La rapidità di una funzione è descritta dalla sua pendenza: se è poco rapida, è poco pendente; se è molto rapida è molto prendente. Ci domandiamo, ora, cosa succede nel punto M? In quel punto la funzione ha un inversione: prima cresceva, poi decresce. In quel punto la curva ha pendenza nulla (non cresce e non decresce). Ora, vogliamo esprimere la pendenza in maniera più quantitativa e non solo descrittiva. Figura 2a

2 Osserviamo la figura (2a). La retta che passa per i punti A e B approssima abbastanza bene la pendenza della curva in quel tratto: vuol dire che la curva e la retta sono vicine. Invece, la retta che passa per i punti C e D non approssima minimamente la pendenza della curva: infatti la retta ha pendenza nulla (non cresce e non decresce, mentre nello stesso tratto la curva prima decresce e poi cresce). Figura 2b Osserviamo che se avviciniamo i due punti B A e D C entrambe le rette descrivono meglio la pendenza della curva (Figura 2b). Quindi, se avviciniamo molto i punti, otterremo una descrizione migliore. Allora, se avvicinassimo infinitesimamente i due punti la retta rappresenterebbe la pendenza della retta in quel punto (Figura 2c). Infinitesimo in matematica è un intervallo infinitamente piccolo; infinitesimamente vuol dire in modo infinitesimo, cioè piccolissimo. Figura 2c Se avvicino i due punti si dice che B tende ad A e si scrive B A.

3 Osserviamo la figura (3). Figura 3 Dalla geometria analitica ci ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta generica y = m x + q per due punti, si può calcolare tramite la formula: m = y B y A x B x A che nel nostro caso diventa: m = f (x + h) f (x) x + h x = f (x + h) f (x) h Se B tende ad A (si legge nel limite di B che tende ad A ) h tende a zero ( h 0) troviamo il valore del coefficiente angolare nel punto A : m = lim h 0 f (x + h) f (x) h Il coefficiente angolare così calcolato si chiama derivata prima della funzione e si scrive y y = lim h 0 f (x + h) f (x) h Quindi la derivata prima rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in un punto. Poiché la definizione è generica (vuol dire che vale per qualsiasi punto sulla funzione) la derivata varia al variare del punto (cioè dipende dal valore di x ). Grafico geogebra: Segui il link: il grafico mostra un semplice parabola, un punto su di essa e la tangente alla parabola sul punto. Premi il tasto play a sinistra relativo al punto A : il punto comincia a muoversi sulla parabola e la tangente cambia di conseguenza.

4 Figura 4 La tangente segue la pendenza della curva in ogni suo punto, il suo coefficiente angolare rappresenta la pendenza della curva. Ora proviamo a calcolare il valore della derivata per questa funzione: y = x 2 Quindi y = 2x f (x + h) f (x) y = lim h 0 h (x + h) 2 x 2 = lim h 0 h = lim h 0 Poiché la derivata dipende dal valore di x, non è costante ma varia al variare del punto A (la cui ascissa è appunto x ). Infatti, spostando il punto osserviamo che la pendenza varia. Questa è una sintesi della teoria delle derivate, ovvero la definizione e il significato geometrico. *** = = x 2 + 2h x + h 2 x 2 = h 2h x + h 2 = lim = h 0 h h(2x + h) = lim = h 0 h h(2x + h) = lim = h 0 h (2x + h) = 2x lim h 0

5 E possibile calcolare le derivate usando delle apposite tabelle che permettono di non fare il limite. Studiamo questi casi: Derivata di una funzione costante (Appendice 3) Derivata di una funzione lineare (Appendice 4) Derivata di una funzione lineare 2 (Appendice 5) Derivata di una potenza y = k y = x y = k x Per alcuni esempi si rimanda al file esempi derivate OM. y = 0 y = y = k y = x n y = n x n Dimostrazione nel caso y = x 2

6 A COSA SERVA LA DERIVATA PER LO STUDIO DI FUNZIONE Osserviamo il grafico nella figura al lato. Questa curva ha un andamento crescente, poi decrescente, poi crescente di nuovo. Ci sono due punti in cui la funzione assume il valore massimo (più alto) e il valore minimo (più basso). Questi punti si chiamano PUNTI DI MASSIMO e MINIMO. Se sono i valori più alti che la funzione assume, sono massimi e/o minimi ASSOLUTI, altrimenti sono massimi e/o minimi relativi. Impariamo a trovare se ci sono massimi e minimi in una funzione e dove sono, cioè le loro coordinate. Osserviamo la figura 5. Figura 5 La curva ha un andamento crescente fino al punto A, poi decrescente fino al punto B, poi di nuovo crescente. Osserviamo che il punto A è un punto di massimo (max) relativo, mentre il punto B è un punto di minimo (min) relativo. Non facciamo differenza se i massimi e/o minimi (impareremo solo a calcolare le loro coordinate e a disegnarli: dal disegno si vedrà se sono assoluti o relativi). Dal link puoi muovere il punto C per seguire l andamento della pendenza lungo la curva (tasto play accanto al punto C sulla sinistra; puoi anche variare la velocità). Se posizioni il punto C esattamente sul punto A (col mouse) puoi vedere che l angolo che la tangente forma con la direzione orizzontale è 0 (pendenza nulla); se posizioni il punto C esattamente sul punto B puoi vedere che l angolo che la tangente forma con l orizzontale è sempre 0 (pendenza nulla).

7 Possiamo concludere che nei punti di massimo e minimo la pendenza della retta tangente è sempre nulla: ciò significa che il coefficiente angolare della retta tangente è nullo m = 0. Abbiamo visto poc anzi che il coefficiente angolare della retta tangente è la derivata della funzione. Quindi, i massimi e i minimi sono quei punti per cui la derivata della funzione è 0: y = 0 Poiché la derivata è una funzione di x, y = 0 è un equazione in x, la cui soluzione fornisce le ascisse dei punti di massimi e minimi (senza distinguerli). L ordinata si troverà sostituendo il valore della x trovata nella funzione y = f (x). Esempio Vediamo un esempio per capire meglio. Riprendiamo la funzione disegnata nella figura 4: y = x 2 Dal grafico vediamo che ha un minimo nel punto di coordinate (0,0). Noi il grafico non lo avremo (lo scopo è disegnare la funzione), quindi, dobbiamo imparare a trovare questi valori indipendentemente dal grafico. a) Calcoliamo la derivata (regola derivata di una potenza) y = 2x b) poniamo la derivata uguale a 0: y = 0 2x = 0 c) risolviamo l equazione x m = 0 questa è l ascissa del punto di massimo e/o minimo (a questo punto ancora non potremo sapere se è max o min, lo vedremo dal grafico). d) Per trovare l ordinata sostituiamo questo valore nella funzione y = x 2 : y m = x 2 m = (0) 2 = 0 quindi il punto di max/min ha coordinate (0,0), come ci aspettavamo. Esempio 2 Troviamo ora i massimi/minimi della funzione in figura 6: y = x 3 3x a) calcoliamo la derivata (regola potenza e regola funzione lineare 2) y = 3x 2 3 b) poniamo la derivata uguale a 0: y = 0 3x 2 3 = 0 c) risolviamo l equazione 3x 2 3 = 0 x 2 = 0 x = ; x 2 =

8 (la risoluzione può essere fatta col metodo che si ritiene più opportuno) x, x 2 sono le ascisse dei due punti di max/min (al momento non posso distinguere quali). d) Calcoliamo le ordinate: sostituiamo prima x, poi x 2 nella funzione y = x 3 3x = ()3 3 () = 3 = 2 y 2 = x 3 2 3x 2 = 3( )3 3 ( ) = + 3 = 2 quindi un punto di max/min ha coordinate (, 2), mentre l altro ha coordinate (,2), in accordo con quanto disegnato sul grafico. Per capire se sono max o min dobbiamo avere le informazioni sullo studio di funzione (C.E., studio del segno, intersezioni, asintoti): a quel punto potremo capire se sono massimi o minimi, assoluti o relativi. Di seguito un esempio completo di una funzione polinomiale fino al punto 8 dello studio di funzione. *** In teoria esiste un modo algebrico per determinare se un punto è un massimo o un minimo, ma in questo modulo omettiamo tale procedimento (Appendice 2).

9 STUDIO DI FUNZIONE FINO AI MASSIMI E MINIMI y = 3 x3 x C.E. sempre (funzione polinomiale) x R intersezione con gli assi intersezione asse y: x = 0 y = 3 (0)3 (0) = 0 (0,0) intersezione asse x: y = 0 0 = 3 x3 x x 3 3x = 0 x(x 2 3) = 0 x(x + 3)(x 3) = 0 da cui x = 0; x 2 = 3; x 2 = 3 (0,0); ( 3,0); ( 3,0) (il metodo di risoluzione delle equazioni è arbitrario) Disegniamo questi punti e tracciamo delle rette verticali tratteggiate sopra le intersezioni con l asse x. Studio del segno y > 0 3 x3 x > 0 x 3 3x > 0 x(x 2 3) > 0 x(x + 3)(x 3) > 0 x > 0 x + 3 > 0 x > 3 x 3 > 0 x > 3 Si riporti sul grafico il risultato dello studio del segno. Pari f (x) = f ( x) 3 x3 x = 3 ( x)3 ( x) 3 x3 x = 3 (x)3 + x il primo membro non è uguale al secondo membro, quindi non è pari. Dispari f (x) = f ( x)

10 3 x3 x = ( 3 ( x)3 ( x)) 3 x3 x = 3 (x)3 x il primo membro e il secondo membro sono uguali, quindi è una funzione DISPARI. Asintoti non ci sono asintoti verticali, perché il dominio è tutto R. asintoti orizzontali lim ( 3 x3 x) = x lim x ( 3 x3 x) = quindi non si sono asintoti orizzontali. Riportiamo il risultato sul grafico Massimi e minimi a) calcoliamo la derivata y = 3 3x3 = x 2 b) poniamo la derivata uguale a 0 x 2 = 0 c) risolviamo l equazione (con il metodo che riteniamo opportuno) e troviamo le ascisse (x + )(x ) = 0 x A = ; x B = d) calcoliamo i valori delle ordinate y A = 3 x3 A x A = 3 ( )3 ( ) = 3 + = y B = 3 x3 B x B = 3 ()3 () = 3 = 3 = = 2 3 quindi un max/min è A(, 2 e l altro. 3 ) B(, 2 3 ) Disegniamo questi punti sul grafico. Poi tratteggiamo l andamento presunto della funzione.

11 Grafico effettivo della funzione.