Amplificatori Ottici. Capitolo Introduzione

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1 Indice 1 Amplificatori Ottici Introduzione Assorbimento, emissione stimolata e spontanea Caratteristiche degli Amplificatori Ottici Amplificatori Ottici a Semiconduttore Amplificatori in Fibra Drogata EDFAs Livelli energetici dell erbio e lunghezze d onda di pompa Equazioni di un EDFA

2 Capitolo 1 Amplificatori Ottici 1.1 Introduzione Sebbene un segnale ottico possa propagarsi su distanze molto lunghe senza la necessità di essere amplificato, sia i sistemi a lunga distanza che le reti ottiche locali possono trarre molti vantaggi dalla disponibilità di amplificatori ottici. L amplificazione ottica differisce notevolmente da quella optoelettronica in quanto ha come unico scopo quello di innalzare la potenza del segnale. Questo tipo di amplificazione è detto 1R (regeneration) ed è totalmente trasparente al tipo di dati, cioè il processo di amplificazione è indipendente dal formato di modulazione dei segnali. Nel caso di ampificazione optoelettronica, invece, si parla di amplificazione 3R (regenartion, reshaping e reclocking); la fibra ottica è impiegata solo come mezzo trasmissivo mentre i segnali ottici sono amplificati a livello elettrico dapprima convertendo il segnale ottico in segnale elettronico e poi di nuovo il segnale elettronico in segnale ottico. Grazie agli elevati guadagni e alle alte potenze di uscita, la distanza tipica tra due amplificatori ottici è almeno due o tre volte maggiore di quella tra due ripetitori elettronici, con una conseguente notevole riduzione dei costi dei sistemi di trasmissione. Tuttavia, questi vantaggi vengono a spese della necessità di dovere gestire la degradazione del rapporto segnale-rumore dovuta all accumulo sia del rumore degli amplificatori sia della distorsione dovuta alla dispersione su tutto il collegamento. L amplificazione ottica si basa sul principio dell emissione stimolata in modo del tutto simile a quanto avviene nei laser. I due tipi principali di amplificatori ottici sono gli amplificatori ottici a semiconduttore (SOA) e quelli in fibra ottica (OFA). 3

3 Capitolo 1. Amplificatori Ottici Assorbimento, emissione stimolata e spontanea Al fine di comprendere il funzionamento sia degli amplificatori ottici che dei laser è neccessario un breve richiamo dei principali effetti di interazione tra un onda elettromagnetica e un mezzo materiale. I meccanismi con i quali la materia interagisce con la radiazione sono l assorbimento, l emissione stimolata e l emissione spontanea. Il mezzo materiale, in generale, è costituto da atomi o ioni caratterizzati dai loro livelli energetici che rappresentano gli stati in cui tali atomi o ioni possono trovarsi. Si indica solitamente con N i il numero di atomi per unità di volume che si trovano nelle stato di energia E i. La radiazione elettromagnetica è caratterizzata dalla frequenza ν o dalla lughezza d onda λ, nel caso di una descrizione in termini di onde. In alternativa, se si preferisce una descrizione in termini di fotoni, ogni fotone è caratterizzato dalla propria energia E = hν. Per semplicità, consideriamo che un atomo possa assumere solo due stati energetici, si parla Figura 1.1: Assorbimento, emissione stimolata e spontanea in un sistema a due livelli. in questo caso di sistema a due livelli. Sia N 1 la popolazione del livello con energia E 1 più bassa, detto anche livello fondamentale e N 2 quella del livello eccitato, avente energia E 2. Si consideri un onda elettromagnetica avente frequenza ν, tale che E = hν = E 2 E 1, cioè ogni fotone associato all onda elettromagnetica abbia un energia esattamente uguale al salto di energia tra i due livelli caratteristici del mezzo materiale in considerazione. Allora l onda elettromagnetica può interagire con il mezzo materiale attraverso tre fenomeni: l assorbimento, l emissione stimolata e l emissione spontanea.

4 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 5 Si ha assorbimento quando il fotone incide su un atomo che si trova nello stato fondamentale e come risultato di tale interazione il fotone viene assorbito dall atomo che, in virtù di questo assorbimento, passa dallo stato fondamentale allo stato eccitato. Il numero di atomi che, nell unità di tempo, susbiscono una transizione di questo tipo dipenderà sia dalla popolazione N 1 del livello fondamentale, sia dall intensità I dell onda incidente. Si definisce frequenza di assorbimento W 12 : I W 12 = σ 12 hν. (1.1) La grandezza σ 12 è detta sezione d urto di assorbimento ed ha le dimensioni fisiche di una superficie. Il rapporto I hν rappresenta il numero di fotoni incidenti nell unità di tempo e per unità di superficie. Quindi la variazione della popolazione N 1 del livello fondamentale nell unità di tempo è data da dn 1 dt = W 12 N 1 = σ 12 I hν N 1. (1.2) Si supponga ora che l atomo di trovi nel livello eccitato di energia E 2 e che su di esso incida un fotone. In questo caso, il fotone può stimolare l emissione di un altro fotone avente la stessa frequenza e fase. Come conseguenza di questa emissione stimolata, l atomo compie una transizione dal livello eccitato al livello fondamentale. Il numero di atomi che nell unità di tempo subiscono l emissione stimolata dipende sia dalla popolazione N 2 del livello eccitato, sia dall intensità I dell onda. Analogamento a quanto fatto per l assorbimento, si definisce frequenza di emissione W 21 dove σ 21 è la sezione d urto di emissione. W 21 = σ 21 I hν Per effetto dell emissione stimolata la variazione della popolazione N 2 è data da: dn 2 dt (1.3) = W 21 N 2 = σ 21 I hν N 2. (1.4) Infine, per quanto riguarda l emissione spontanea, questo è un fenomeno spontaneo che può avvenire ogniqualvolta un atomo che si trova in uno stato ecciato decade verso uno stato avente energia inferiore e la corrispondente differenza di energia è emessa sotto forma di un fotone. Questo fenomeno è caratterizzato attraverso una grandezza detta tempo di vita τ del livello eccitato. La probabilità di emissione spontanea A 21 è inversamente proporzionale al tempo di vita: A 21 = 1 τ. (1.5)

5 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 6 La variazione della popolazione del livello 2 dovuta alla sola emissione spontanea è: dn 2 dt = A 21 N 2 = N 2 τ. (1.6) 1.3 Caratteristiche degli Amplificatori Ottici I parametri fondamentali che sono di interesse in un amplificatore ottico sono il guadagno, la banda di guadagno, la saturazione del guadagno, la sensibilità alla polarizzazione e il rumore. Il guadagno misura il rapporto tra la potenza di uscita di un segnale e la sua potenza in ingresso. Gli amplificatori sono anche spesso caratterizzati in termini efficienza del guadagno, che misura il guadagno in funzione della potenza di ingresso in db/mw. La banda di guadagno di un amplificatore si riferisce all intervallo di frequenze o di lunghezze d onda su cui l amplificatore è efficace. La banda di guadagno, una volta fissata la spaziatura tra i canali, limita il numero di lunghezze d onda disponibili. Il punto di saturazione del guadagno di un amplificatore è il valore di potenza di uscita per cui la potenza di uscita stessa non aumenta ulteriormente aumentando la potenza in ingresso. Tipicamente la potenza di saturazione è definita come la potenza di uscita per cui si ha una riduzione di 3 db nel rapporto potenza in uscita - potenza in ingresso (small-signal gain). La sensibilità alla polarizzazione si riferisce alla dipendenza del guadagno dalla polarizzazione del segnale. La sensibilità è misurata in db e rappresenta la differenza di guadagno tra la polarizzazione TE e quella TM. Negli amplificatori ottici la principale sorgente di rumore è l emissione spontanea amplificata (ASE), che deriva dall emissione spontanea nella regione attiva dell amplificatore. La quantità di rumore generata dall amplificatore dipende da fattori come lo spettro di guadagno dell amplificatore, la banda di rumore e il parametro di inversione di popolazione, che specifica il grado di inversione di popolazione tra due livelli. Il rumore dell amplificatore può costituire un problema specialmente quando più amplificatori sono messi in cascata Amplificatori Ottici a Semiconduttore Un amplificatore a semiconduttore è essenzialmente un laser a semiconduttore modificato. Un debole segnale è inviato in ingresso alla regione attiva del semiconduttore e, grazie all emissione stimolata, in uscita si ha un segnale di maggiore intensità.

6 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 7 I due principali tipi di amplificatori a semiconduttore sono quello Fabry-Perot e quello travelling-wave (TWA). La principale differenza tra i due è la riflettività degli specchi. Gli amplificatori Fabry-Perot hanno una riflettività di circa il 3%, mentre quelli travelling-wave hanno una riflettività di circa lo.1%. Al fine di impedire l emissione laser nell amplificatore Fabry-Perot, la corrente è mantenuta al di sotto della corrente di soglia per cui si avrebbe l innesco dell emissione laser. Gli amplificatori Fabry-Perot hanno una banda passante stretta, tipicamente di circa 5 GHz. Questo li rende non adatti a sistemi WDM, per i quali sono più adatti i TWA. Attualmente i SOA permettono di ottenere guadagni di circa 25 db con una potenza di saturazione di 1 dbm, sensibilità alla polarizzazione di 1 db e una larghezza di banda di 4 nm. Di particolare interesse sono, inoltre, i SOA con struttura a Multi Quautum Well. Questi amplificatori hanno bande maggiori, potenza di saturazione più elevata e tempi di switching inferiori rispetto ai dispositivi bulk. L unico svataggio è la maggiore sensibilità alla polarizzazione. In generale, i pricipali vantaggi offerti dai SOA sono la compatezza e la possibilità di integrarli con altri componenti. Ad esempio, essi possono essere integrati con i trasmettitori o i ricevitori o possono essere usati come elementi di gate negli switch. Spegnendo e accendendo la corrente di drive, il SOA si comporta come un gate, bloccando o amplificando il segnale. Il maggiore limite dei SOA è rappresentato dal comportamento non lineare del guadagno in funzione del numero di canali di input, ciò risulta in una forte dipendenza del guadagno dal numero di canali attivi. Tuttavia, recentemente è stato proposto un SOA di tipo TWA combinato con un oscillatore integrato che permette di mantenere uniforme il guadagno Amplificatori in Fibra Drogata Gli amplificatori ottici in fibra drogata sono costituiti da una fibra ottica drogata con un elemento appartenente al gruppo delle Terre Rare. L elemento più utilizzato è l erbio, che permette di avere gudagno sia in banda C ( nm) che in banda L ( nm). Per quanto riguarda la banda S ( nm) come drogante viene usato principalmente il tulio. Infine, nella regione attorno ai 13 nm, sono impiegati prevalentemente gli amplificatori in fibra florurata drogata con praseodimio. In Fig.1.2 è mostato lo spettro di attenuazione di una fibra silicata tradizionale e quello di una fibra in cui sono stati elimi-

7 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 8 nati gli ioni OH. Sono indicati i diversi tipi di amplificatori in fibra drogata e le rispettive bande di guadagno. Gli EDFAs (Erbium Doped Fiber Amplifiers) rivestono un ruolo parti- Figura 1.2: Andamento spettrale del coefficiente di attenuazione di una fibra ottica e relativi amplificatori ottici in fibra drogata. colarmente importante. Essi hanno reso possibile un drammatico incremento della capacità di trasmissione dei sistemi ottici e contemporaneamente una notevole riduzione dei costi. Lo realizzazione del primo EDFA risale al 1987 e, grazie alla crescente richiesta di servizi di rete, in soli 5 hanni si passò dalle prime dimostrazioni in laboratorio allo sviluppo commerciale. Uno dei principali limiti degli amplificatori ottici risiede nel fatto che mentre un amplificatore è in grado di fornire guadagno in un certo intervallo di lunghezze d onda, tuttavia esso non amplifica tutte le lunghezze d onda nello stesso modo. Un altro limite è rappresentato dal rumore, infatti l amplificatore amplifica non solo i segnali ma anche il rumore generato dai fotoni emessi per emissione spontanea.

8 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 9 Numerosi approcci sono stati proposti per equalizzare il guadagno degli amplificatori in fibra. Tra questi si possono ricordare l utilizzo di filtri noth centrati attorno al picco di guadagno e l uso di filtri basati su reticoli di Bragg a passo lungo. 1.4 EDFAs Gli EDFAs permettono di avere guadagno nella regione dove le fibre in silice hanno il minimo di attenuazione, cioè attorno a 155 nm. L erbio ha eccellenti proprietà spettroscopiche, sia per quanto riguarda i tempi di vita, sia per quanto riguarda i livelli energetici. Di conseguenza, è stato possibile realizzare degli amplificatori che hanno basse figure di rumore ed elevate efficienze di conversione della potenza di pompa. Nella sua forma base, un EDFA consiste di uno spezzone di fibra drogata con erbio, un laser di pompa, l elettronica di controllo e un accoppiatore WDM per combinare il segnale e la potenza di pompa. La fibra drogata con erbio è una fibra ottica nel cui core sono state aggiunte alcune centinaia di parti per milione di erbio, in modo da avere come risultato finale una densità di erbio dell ordine di 1 25 ioni/m 3. L elettronica di pilotaggio tipicamente consiste di un generatore di corrente per il laser di pompa e di un controllore di temperatura avente il duplice scopo di evitare che il laser di pompa si dannegi e di controllare la lunghezza di emissione del laser, la quale dipende dalla temperatura. Come mostato in Fig.1.3, in un EDFA si possono trovare anche altri componenti come isolatori ottici e tap couplers. Gli isolatori ottici sono dispositivi non reciproci, basati sull effetto Faraday, che presentano basse perdite per segnali che si propagano in una direzione e perdite molto elevate per segnali che si propagano in direzione opposta. Sono quindi usati per sopprimere le onde riflesse. I tap coupler sono usati per monitorare il guadagno o la potenza di uscita dell amplificatore in modo da potere aggiustare la potenza di pompa al fine di mantenere il guadagno dell amplificatore esattamente pari all attenuazione del precedente tratto di fibra Livelli energetici dell erbio e lunghezze d onda di pompa Quando è inserito in una matrice vetrosa, come ad esempio nella silice, l erbio forma dei legami fortemente polari e assume lo stato di ione trivalente Er 3+. Il diagramma dei livelli energetici dell Er 3+ è rappresentato in Fig.1.4. Si ha amplificazione ottica nella fibra drogata quando è applicata una potenza di pompa sufficiente per creare l inversione di popolazione

9 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 1 Figura 1.3: Componenti base di un EDFA. degli ioni erbio nello stato metastabile 1 4 I 13/2 rispetto a quella dello stato fondamentale 4 I 15/2. 2 Nei sistemi di comunicazione, gli EDFAs sono pompati a 98 nm, per mezzo di diodi laser a semiconduttore del tipo InGaAs, oppure a 148 nm utilizzando diodi laser del tipo InGaAsP. Il pompaggio a 98 nm comporta un assorbimeto dal livello 4 I 15/2 a livello 4 I 11/2 e un rapido decadimento non radiativo dal livello 4 I 11/2 a 4 I 13/2 ; quello a 148 nm un assorbimento dal livello 4 I 15/2 direttamente al livello 4 I 13/2. In linea di principio, sarebbe possibile anche usare diodi laser di pompa a 8 nm oppure 665 nm, ma questi schemi di pompaggio sono poco efficienti a causa dell assorbimento da stato eccitato dal livello 4 I 13/2 verso livelli di energia superiore che si ha sia a 8 nm che a 665 nm. La degenerazione dei livelli che si avrebbe nel caso di uno ione Er 3+ isolato, in fibra è risolta per la presenza del campo cristallino che circonda lo ione all interno della matrice vetrosa. Questo effetto si chiama effetto Stark e comporta che si abbia amplificazione su un ampia banda di frequenze dal momento che si hanno ben 56 diverse transizioni tra gli 8 sottolivelli dello stato fondamentale e i 7 sottolivelli dello stato metastabile. La distribuzione della popolazione, all interno di ciascun livello, segue la distribuzione di Boltzmann, e la 1 Si dice metastabile un particolare stato eccitato, di un atomo o di uno ione, che ha un tempo di vita più lungo di quello degli stati eccitati ordinari e che, in genere, ha un tempo di vita più corto di quello dello stato fondamentale. Uno stato metastabile può essere visto come uno stato temporaneamente stabile. 2 Per la nomenclatura dei livelli energetici, vale la seguente regola: il momento angolare L è indicato con una lettera, in accordo con il codice spettroscopico L =, 1, 2, 3, 4, 5, 6 X = S, P, D, F, G, H, I; lo spin S è specificato dal numero 2S + 1 come apice; il momento angolare totale J è indicato a destra come pedice. Quindi si ha 2S+1 L J.

10 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 11 Figura 1.4: (a) Livelli energetici dell Er 3+. (b) Livelli energetici utilizzati negli EDFA. Ogni singolo livello è splittato in più sottolivelli per effetto Stark. condizione di equilibrio è raggiunta in un tempo molto breve rispetto ai 1 ms del tempo di vita del livello metastabile.

11 Capitolo 1. Amplificatori Ottici Equazioni di un EDFA Le caratteristiche di guadagno e rumore di un EDFA possono essere descritte mediante un sistema di equazioni differenziali accoppiate che descrivono l inversione della popolazione nella fibra drogata e la propagazione della potenza ottica nell amplificatore. Nel seguito si farà l ipotesi semplificativa di poter considerare l EDFA come un sistema a due livelli. Infatti, poichè le lunghezze d onda di pompa a 98 nm e 148 nm non generano assorbimento da stato eccitato e il tempo di vita di 1 µs del livello 4 I 11/2 è significativamente inferiore di quello del livello metastabile 4 I 13/2, si può trascurare la popolazione del livello 4 I 11/2 e assumere che tutti gli ioni si trovino nello stato 4 I 13/2 o 4 I 15/2. La densità di ioni erbio nello stato fondamentale, N 1, e quella nello stato metastabile, N 2, sono legate tra loro mediante l equazione di conservazione del numero di ioni N 1 (r, φ, z) + N 2 (r, φ, z) = N T (r, φ, z) dove N T è la densità totale di ioni nel punto di coordinate (r, φ, z). Si noti che è stata fatta l assunzione che la densità di popolazione di tutti gli altri livelli energetici, ad esempio il livello di pompa 4 I 11/2, sia nulla. Assumendo che lo spettro ottico sia discretizzato in N intervalli di ampiezza ν k e intensità I k (r, φ, z), le population rate equations possono essere scritte come segue: dn 2 dt = N k=1 N 1 (r, φ, z)σ ak I k hν k N I k N 2 (r, φ, z)σ ek N 2(r, φ, z). (1.7) hν k τ k=1 Il termine a primo membro rappresenta la variazione nel tempo nella popolazione del livello metastabile. A secondo membro, il primo termine descrive l assorbimento di fotoni a frequenza ν k ed è proporzionale all intensità I k e alla sezione d urto di assorbimento σ ak ; il secondo termine rappresenta lo svuotamento del livello metastabile dovuto all emissione stimolata ed è proporzionale all intensità I k e alla sezione d urto di emissione σ ek. Infine, l ultimo termine descrive l emissione spontanea di fotoni da parte degli ioni che si trovano nel livello 4 I 13/2 il quale ha tempo di vita τ. In pratica, le principali caratteristiche degli EDFAs possono essere studiate in condizioni di stato stazionario in quanto il tempo di vita del livello metastabile ( 1 ms) è molti ordini di grandezza superiore al tempo di transizione di un impulso digitale ad alta velocità (< 1 ns) o di un segnale analogico (< 1 ns). Quindi, sebbene il tempo di risposta di un amplificatore possa essere 1 o più volte veloce del tempo di vita del livello metastabile, le equazioni allo stato stazionario possono essere usate per calcolare la popolazione dei livelli

12 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 13 di energia rilevanti. Risolvendo la (1.7), in regime stazionario, si ha: N 2 (r, φ, z) = N T a cui va associata l equazione di conservazione del numero di ioni N k=1 τσ ak I k hν k 1 + N k=1 τ(σ ak + σ ek ) I k hν k, (1.8) N 1 (r, φ, z) + N 2 (r, φ, z) = N T (r, φ, z). (1.9) Per quanto riguarda le potenze, la potenza ottica del fascio alla lunghezza d onda λ k = c/ν k alla posizione z lungo la fibra è data da: P k (z) = 2π I k (r, φ, z)r dr dφ (1.1) dove I k (r, φ, z) è l intensità. Supponendo che I k (r, φ, z) sia separabile, cioè che la distribuzione del modo nella fibra sia indipendente da z, si ha I k (r, φ, z) = P k (z) i k (r, φ), con i k intensità ottica normalizzata. La (1.1) diviene P k (z) = 2π 2π P k (z)i k (r, φ)r dr dφ = P k (z) i k (r, φ)r dr dφ (1.11) con 2π i k (r, φ)r dr dφ = 1. La variazione della potenza ottica alla lunghezza d onda λ k su un tratto dz di fibra drogata soddisfa l equazione differenziale: dp k dz = ±σ ekp k (z) σ ak P k (z) 2π 2π ±σ ek 2hν k ν k 2π i k (r, φ)n 2 (r, φ, z) r dr dφ + i k (r, φ)n 1 (r, φ, z) r dr dφ + (1.12) i k (r, φ)n 2 (r, φ, z) r dr dφ dove il segno ± si riferisce rispettivamente a fasci co-propaganti o contro-propaganti, rispetto alla direzione del segnale; σ ek, σ ak sono le cross-sections di emissione e di assorbimento alla lunghezza d onda λ k. Il primo termine a secondo membro nella (1.12) descrive il guadagno che si ha per emissione stimolata; il secondo termine descrive l assorbimento, mentre l ultimo descrive l emissione spontanea che si ha sulla sezione z della fibra e che verrà amplificata nel tratto z + dz con la conseguente generazione di emissione spontanea amplificata (ASE). In linea di principio la risoluzione delle equazioni (1.12) associtate alle (1.8) e (1.9) permette di calcolare il guadagno dell amplificatore. Tuttavia, per semplificare

13 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 14 i calcoli e per una maggiore comprensione delle caratteristiche di un EDFA, è possibile fare alcune semplificazioni. Nelle fibre drogate con erbio, solitamente, il drogante è uniformemente distribuito in un raggio b concentrico al raggio di core a. Questo permette di semplificare gli integrali che compaiono nella (1.12). Inoltre, poichè l erbio è confinato internamente al core, il grado di inversione della popolazione è solitamente uniforme sulla sezione trasversa della fibra, quindi N 1 e N 2 dipendono solo da z per cui possono essere portati fuori dagli integrali nella (1.12), si ha allora: dp 2π k dz = ±σ ekn 2 (z)p k (z) σ ak N 1 (z)p k (z) b 2π b ±σ ek N 2 (z)2hν k ν k 2π b i k (r, φ) r dr dφ + i k (r, φ) r dr dφ + (1.13) i k (r, φ) r dr dφ Si definisce integrale di overlap, Γ k, tra il modo alla frequenza ν k e il drogante: Γ k = 2π b Valori tipici di Γ k sono compresi tra.4 e.7. Le (1.13) possono allora essere riscritte: i k (r, φ) r dr dφ. (1.14) dp k dz = ±σ ekn 2 (z)p k (z)γ k σ ak N 1 (z)p k (z)γ k ± σ ek N 2 (z)2hν k ν k Γ k. (1.15) A questo punto risulta conveniente definire due nuovi parametri, il coefficiente di assorbimento α k e il cofficiente di guadagno g k : α k = Γ k σ ak N T g k = Γ k σ ek N T (1.16) Questi parametri sono funzioni della lunghezza d onda, hanno le unità di misura 3 di un inverso di una lunghezza (m 1 ) e descrivono le caratteristiche spettrali di una fibra drogata. Essi possono essere misurati direttamente o possono essere calcolati una volta noti l integrale 3 I coefficienti α e g, per come sono definiti dalla (1.16), hanno come unità di misura m 1. Per avere il valore di α e g in db/m, vale la seguente relazione X[ db ] = 1 m ln1 x[m 1 ] = 4.34 x[m 1 ]. Analogamente per la trasformazione da m 1 a db/m, vale la relazione inversa: x[m 1 ] = ln1 X[ db ] =.23 X[ db ]. 1 m m

14 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 15 Figura 1.5: Cofficienti di guadagno e di assorbimento di fibre 3M drogate con erbio per amplificazione in banda C e L. di overlap, le sezioni d urto di assorbimento e di emissione e la concentrazione di drogante. Le propagation rate equations diventano allora: dp k dz = ±g k N 2 (z) N T Analogamente le (1.8) diventano: N 2 N T = N 1 (z) N 2 (z) P k (z) α k P k (z) ± g k 2hν k ν k. (1.17) N T N T k τα P k k hν k π b 2 N T P k 1 + k τ(α. (1.18) k + g k ) hν k π b 2 N T Alle (1.17) vanno associate le condizioni al contorno per le potenze di segnale, potenze di pompa e ASE. Le potenze dei fasci co-propaganti sono assegnate in z =, quelle dei fasci contro-propaganti sono assegnate in z = L. In particolare, l ASE co-propagante è nulla in z =, l ASE contro-propagante è nulla in z = L. Può essere istruttivo considerare la (1.17) nei due casi limite N 2 = e N 2 = N T, su tutta la

15 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 16 lunghezza della fibra. Nel primo caso tutti gli ioni Er 3+ si trovano nello stato fondamentale, N 1 = N T, non si ha quindi nè emissione stimolata, nè emissione spontanea. In particolare, ponendo N 2 = nella (1.17) e considerando, per semplicità solo segnali co-propaganti, si ha dp k dz = α kp k (z), (1.19) integrando questa semplice equazione differenziale da z = a z = L, si ha P k (z = L) = P k (z = ) e α k L. (1.2) Quindi, in questo caso, i segnali subiscono un attenuazione di tipo esponenziale, con coefficiente di assorbimento pari a α k. Si può, quindi, concludere che se non vi è inversione di popolazione, come, ad esempio, nel caso di pompa spenta, la fibra drogata si comporta come un mezzo fortemente assorbente. Completamente diversa è la situazione se si fa l ipotesi di avere completa inversione di popolazione, cioè N 2 = N T, su tutta la lunghezza della fibra drogata. In questo caso, la (1.17) diviene: dp k dz = +g k P k (z) + g k 2hν k ν k Γ k (1.21) dove il primo termine a secondo membro descrive l emissione stimolata, il secondo termine l emissione spontanea amplificata co-propagante (ASE + ). Facendo l ipotesi di poter trascurare l ASE +, si ha: P k (z = L) = P k (z = ) e g k L. (1.22) Poichè g k è per definizione una quantità positiva, si ha un guadagno esponenziale con coefficiente pari a g k. Negli EDFA questi due casi limite non sono mai verificati, in quanto N 1 e N 2 variano con z. Tuttavia, i due esempi sopra ripotati, hanno la funzione di mettere in evidenza che il comportamento di una fibra drogata dipende, essenzialmente, dal grado di inversione della popolazione. Ne consegue che il comportamento della fibra attiva varia tra quello di un mezzo fortemente assorbente a quello di un mezzo con guadagno esponenziale e si ha amplificazione ottica quando il guadagno è superiore alle perdite. Si consideri la (1.17) nell ipotesi di trascurare l ASE: dp k dz = ±g k N 2 (z) N T N 1 (z) P k (z) α k P k (z) = ± (g k N 2 (z) α k N 1 (z)) P k (z). (1.23) N T N T

16 Capitolo 1. Amplificatori Ottici 17 Dalla (1.23) si comprende che, in una certa sezione di fibra attiva, un segnale è amplificato solo se [ g k N 2 (z) α k N 1 (z)] è una quantità positiva. La (1.23) può essere riscritta in termini di sezioni d urto ottenendo: La condizione per avere guadagno diviene allora: dp k dz = ± (σ ek N 2 (z) σ ak N 1 (z))γ k P k (z). (1.24) (σ ek N 2 (z) σ ak N 1 (z)) >. (1.25) Si noti che le cross-sections di emissione e di assorbimento hanno solitamente lo stesso ordine di grandezza, dipendono solo dalla lunghezza d onda e non variano con z; mentre le popolazioni N 2 e N 1 dipendono dalle potenze di pompa e di segnale e quindi variano con la coordinata z.

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