Spazi R n. : concetti di base. Riccarda Rossi. Analisi Matematica B. Università di Brescia

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1 Spazi R n : concetti di base Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B

2 Spazi Rn

3 Spazi Rn

4 Spazi Rn

5 Spazi Rn

6 Spazi Rn

7 Spazi R n Elementi di R n : x = (x 1, x 2,..., x n ), x j R, j {1,..., n} R n è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare: dati x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) si definisce la somma x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ), (x + y) R n e il prodotto per uno scalare λ R: λ x := (λx 1,..., λx n ), λx R n.

8 Interpretazione geometrica in R 2 Dati p, q R 2 p + q è vettore della diagonale del parallelogramma

9 Interpretazione geometrica in R 2 Dati p R 2 e a R ap dilatazione/contrazione di p

10 Definizione (Prodotto scalare) Dati x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) chiamiamo prodotto scalare di x e y il numero x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Definizione (Norma) Dato x = (x 1, x 2,..., x n ) chiamiamo norma di x la quantità x = x x = x1 2 + x x n. 2 Definizione (Distanza euclidea) Dati x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) chiamiamo la distanza euclidea tra x e y la quantità d(x, y) = x y.

11 Rileggiamo queste definizioni in R..

12 Rileggiamo queste definizioni in R..

13 Rileggiamo queste definizioni in R..

14 Altre proprietà del prodotto scalare

15 Lemma (Disuguaglianza di Schwarz) Per ogni x, y R n vale x y x y. Dimostrazione:

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20 Nel caso n = 2, 3 è possibile interpretare la norma di x come la lunghezza del vettore determinato da x.

21 Lemma (Proprietà della norma) Per ogni x, y R n e λ R valgono le seguenti affermazioni: 1. x 0 e x = 0 se e solo se x = λx = λ x. 3. Disuguaglianza triangolare: x + y x + y. Dimostrazione: Le proprietà 1 e 2 seguono facilmente dalla definizione di norma (esercizio a casa). Per dimostrare la disuguaglianza triangolare, usiamo la disuguaglianza di Schwarz e notiamo che

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25 In R 2 la disuguaglianza di Schwarz (e quindi anche la disuguaglianza triangolare) è immediata conseguenza della formula x y = x y cos ϕ dove ϕ indica l angolo fra i due vettori x e y. Si nota che x y = 0 se e solo se i due vettori sono ortogonali.

26 Definizione (Applicazioni lineari) Un applicazione L : R n R m si dice lineare se per ogni x, y R n e ogni a, b R si ha L(ax + by) = a L(x) + b L(y). Ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice A = (a ij ) con m righe e n colonne tale che se L(x) = y con x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ), allora y k = a k1 x 1 + a k2 x a kn x n, k {1,..., m}.

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30 Esempio L : R 2 R 3 data da L(x, y) = (y, 2x + y, x 3y)

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32 Elementi di topologia in R n Definizione (Palla di centro x e raggio ε) Dati x R n e ε > 0 si dice palla di centro x e a raggio ε l insieme B ε (x) = {y R n : d(x, y) = x y < ε}

33 Definizione (Intorno di un punto) Siano x R n e U R n. Diciamo che U è intorno di x se esiste ε > 0 tale che B ε (x) U.

34 Elementi di topologia in R n Siano E R n e x R n. Analogamente come nel caso n = 1 si definiscono i seguenti concetti. Definizione Diciamo che x è interno ad E se esiste ε > 0 tale che B ε (x) E.

35 Elementi di topologia in R n Definizione Diciamo che x è di accumulazione per E se per ogni ε > 0 si ha B ε (x) (E \ {x}).

36 Elementi di topologia in R n Definizione Diciamo che x è punto isolato di E se esiste ε > 0 tale che B ε (x) E = {x}.

37 Elementi di topologia in R n Definizione Diciamo che x è aderente ad E se x è un punto di accumulazione per E oppure se x è un punto isolato di E.

38 Un punto di accumulazione per E non deve necessariamente appartenere ad E! Esempio: Sia E = {x R 2 : x < 1} {(2, 0)}. ogni x R 2 con x = 1 è un punto di accumulazione per E anche se x E. invece (2, 0) E, ma non è un punto di accumulazione per E (è un punto isolato).

39 Elementi di topologia in R n Definizione Sia E R n. 1. Chiamiamo parte interna di E l insieme E= {x E : x è interno ad E}. 2. Chiamiamo la chiusura di E l insieme E = {x E : x è aderente ad E}. 3. Chiamiamo la frontiera di E l insieme E = E \ E. Dalla definizione segue immediatamente che E E E.

40 Elementi di topologia in R n Esempio Sia E R 2 dato da E = {x R 2 : x < 1} {(2, t) : 0 < t < 1} {(2, 2)} Si ha E = {x R 2 : x < 1}, E = {x R 2 : x = 1} {(2, t) : 0 t 1} {(2, 2)} E = {x R 2 : x 1} {(2, t) : 0 t 1} {(2, 2)}

41 Elementi di topologia in R n Definizione (Insiemi aperti e insiemi chiusi) Sia E R n. 1. Diciamo che E è aperto se E= E. 2. Diciamo che E è chiuso se E = E. L insieme E dell esempio precedente non è né chiuso né aperto.

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44 Palle aperte e chiuse

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46 Elementi di topologia in R n Lemma (Proprietà degli aperti) 1. Un insieme è aperto se e solo se il complementare è chiuso. 2. L insiemi R n e sono aperti. 3. L unione di una famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto. 4. L intersezione di una famiglia finita di insiemi aperti è un insieme aperto. Notiamo che l insieme R n e sono contemporaneamente aperti e chiusi. Lemma (Proprietà degli chiusi) 1. L intersezione di una famiglia di insiemi chiusi è un insieme chiuso. 2. L unione di una famiglia finita di insieme chiusi è un insieme chiuso.

47 Elementi di topologia in R n Definizione (Insiemi limitati e insiemi compatti) 1. Diciamo che E R n è limitato se esiste un R > 0 tale che E B R (0). 2. Diciamo che E R n è compatto se è chiuso e limitato. L insieme {x R 2 : x < 1} è limitato, ma non è compatto. L insieme {x R 2 : x 1} è limitato e chiuso e quindi compatto.