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1 : analisi di sistemi retroazionati (2) Marco Lovera Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano

2 Indice Piccolo guadagno Stabilita ingresso-uscita Guadagno L 2 Teorema del piccolo guadagno Passivita Sistemi dissipativi Definizione di passivita Passivita e stabilita Passivita e sistemi interconnessi 5/15/

3 Piccolo guadagno

4 Introduzione Richiami: il caso lineare Sistemi non lineari con ingresso Caratterizzazione del legame ingresso-uscita (I/O) Legame tra caratterizzazione I/O e stabilita alla Lyapunov 5/15/

5 Interconnessioni di sistemi lineari Consideriamo il problema di studiare la stabilita del sistema lineare interconnesso G 1 (s) G 2 (s) Sappiamo che possiamo ricondurre il problema allo studio del diagramma di Nyquist di G 1 (s)g 2 (s). 5/15/

6 Interconnessioni di sistemi lineari In particolare: se G 1 (s) e G 2 (s) sono asintoticamente stabili sappiamo che il sistema retroazionato e a.s. se il che e certamente vero se Il nostro obiettivo e provare un risultato analogo per i sistemi non lineari. 5/15/

7 Interconnessioni di sistemi non lineari Dato il sistema interconnesso u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 supponendo che H 1 e H 2 siano entrambi sistemi non lineari, vogliamo caratterizzare il comportamento del sistema retroazionato. 5/15/

8 Norme di segnali Norme di segnali comunemente usate: Spazi di segnali estesi: dove 5/15/

9 Rappresentazione ingresso-uscita di sistemi Rappresentiamo genericamente un sistema come un operatore H che specifica y in funzione di u secondo la relazione con u appartenente a una classe di segnali opportuna. Vogliamo studiare sotto quali condizioni sull operatore H proprieta dell ingresso (energia finita, limitato...) valgono anche per l uscita. Questo porta alla nozione di stabilita L. 5/15/

10 L stabilita L operatore H: L e L e e L stabile se esistono una funzione α( ) strettamente crescente, α(0)=0 e una costante β 0 tali che per ogni u L e e τ [0, ). Inoltre H e L stabile con guadagno finito se esistono γ, β 0 tali che per ogni u L e e τ [0, ). 5/15/

11 Guadagno L Quando vale la e utile caratterizzare il piu piccolo γ per il quale e verificata. Se il γ minimo e ben definito si dice che e il guadagno del sistema. Se la relazione invece vale per γ 0 si dice che il sistema ha guadagno L minore o uguale a γ. 5/15/

12 L stabilita per piccoli segnali In alcuni casi e utile definire la L stabilita per una classe limitata di segnali u. Ad esempio puo essere utile considerare limitazioni in norma sull ingresso. Si dice che il sistema e L stabile per piccoli segnali se esiste r>0 tale che le condizioni di L stabilita valgono per ogni u L tale che 5/15/

13 Esempio: sistemi lineari E possibile provare la L stabilita per sistemi del tipo e per sistemi lineari invarianti asintoticamente stabili nel senso di Lyapunov. Cosa si puo dire in generale sul legame tra L stabilita e stabilita alla Lyapunov? 5/15/

14 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Teoria di Lyapunov: stabilita degli equilibri di L stabilita : caratterizzazione diretta dell effetto di u su y. Si possono mettere in relazione queste due nozioni? 5/15/

15 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Ad esempio: supponendo che x=0 sia un equilibrio di e possibile mostrare che proprieta di stabilita alla Lyapunov dell equilibrio implicano proprieta di L stabilita tra u e y? 5/15/

16 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Teorema: dato il sistema supposto che in un intorno di (x=0, u=0) f(t,x,u) e differenziabile con continuita, f/ x e f/ u sono limitate uniformemente in t e h(t,x,u) e tale che Allora se x=0 e un equilibrio esponenzialmente stabile con u=0, esiste r 0 >0 tale che il sistema e L stabile con guadagno finito e per piccoli segnali, per ogni x 0 : 5/15/

17 Guadagno L 2 In molti problemi di controllo si cerca di garantire la stabilita L 2 del sistema retroazionato; In altri casi si cerca di rendere piccolo il guadagno L 2, ad esempio per garantire l attenuazione dell effetto di un disturbo; E quindi utile sapere calcolare o limitare superiormente il guadagno L 2 almeno per alcune classi di sistemi. 5/15/

18 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Consideriamo il sistema LTI asintoticamente stabile con funzione di trasferimento Il guadagno L 2 del sistema e dato da 5/15/

19 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Sistemi SISO: non e altro che il massimo modulo della risposta in frequenza di G(s). Sistemi MIMO: Questa quantita e anche nota come la norma H della funzione di trasferimento G(s). 5/15/

20 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Dimostriamo che il guadagno e a Posto x(0)=0 introduciamo le trasformate di Fourier di u e y: che sono legate tra loro da La norma L 2 di y(t) e data da 5/15/

21 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Usando il Teorema di Parseval possiamo scrivere la norma come quindi 5/15/

22 Guadagno L 2 : sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare tale che f(0)=0 e h(0)=0. Preso γ>0, il sistema e L 2 stabile con guadagno finito e minore di γ per ogni x 0 se esiste una funzione V(x) 0 tale che 5/15/

23 Disuguaglianza di H-J: H sistemi LTI Consideriamo il sistema LTI e consideriamo come funzione di Hamilton-Jacobi vediamo che V(x) soddisfa l equazione di H-J se P soddisfa l equazione algebrica: 5/15/

24 Disuguaglianza di H-J: H sistemi LTI che prende il nome di equazione di Riccati. Quindi il sistema e L 2 stabile con guadagno finito minore di γ se (e solo se) e soddisfatta questa condizione. Il guadagno L 2 (norma H ) per i sistemi LTI puo quindi essere caratterizzato anche nel dominio del tempo. 5/15/

25 Interconnessioni di sistemi non lineari Consideriamo ora il problema di studiare il sistema interconnesso u 1 e 1 H 1 y 1 y 2 H 2 e 2 u 2 supponendo che H 1 e H 2 siano entrambi L stabili con guadagno finito: 5/15/

26 Il Teorema del piccolo guadagno Se γ 1 γ 2 <1 allora il sistema interconnesso u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 soddisfa le condizioni 5/15/

27 Esempio: sistemi lineari Supponiamo che H 1 e H 2 siano sistemi lineari con funzione di trasferimento G 1 (s) e G 2 (s). Allora posto la retroazione e L 2 stabile se γ 1 γ 2 <1. Nota: si puo provare con il criterio di Nyquist. 5/15/

28 Esempio: : non linearita statica Supponiamo che H 1 sia un sistema lineare con funzione di trasferimento G(s) e H 2 una nonlinearita statica tale che allora posto la retroazione e L 2 stabile se γ 1 γ 2 <1. Nota: si puo provare con il criterio del cerchio dato che 5/15/

29 Analisi di robustezza della stabilita u 1 e 1 H 1 y 1 y 2 H 2 e 2 u 2 Se si interpretano: H 1 come un modello nominale del sistema; H 2 come incertezza sulla dinamica del sistema reale; Il Teorema del piccolo guadagno consente di studiare la robustezza della stabilita del sistema. 5/15/

30 Passivita

31 Esempio: una rete elettrica Consideriamo come esempio una rete elettrica lineare: R2 L R=1 L=1 1 = u R = 1 R 1 C = 1 C R = 1 R 3 5/15/

32 Esempio: una rete elettrica Equazioni di stato della rete (x 1 =i L, x 2 =v C ): Rete dissipativa, quindi posto si ha 5/15/

33 Esempio: una rete elettrica La relazione vale anche in forma differenziale, infatti quindi 5/15/

34 Dissipazione: cinque possibili casi R 1 =R 3 =, R 2 =0; R 3 =, R 2 =0; R 1 =R 3 = ; R 1 = ; R 1 =, R 2 =0; 5/15/

35 Definizione di passivita Il sistema dinamico non lineare e passivo se esiste una funzione V(x) 0 (storage function) tale che dove ε, δ, ρ 0, ψ(x) 0 tale che 5/15/

36 Definizione di passivita Inoltre, il sistema si dice Lossless se ε=δ=ρ=0 e la relazione vale come uguaglianza; Input strictly passive se ε > 0: Output strictly passive se δ > 0; State strictly passive se ρ > 0; 5/15/

37 Zero-state observability Nel caso output strictly passive vorremmo anche che si avesse che ogniqualvolta u=0. Diciamo che il sistema e zero-state observable se x=0 e l unica soluzione tale che h(x,0)=0 identicamente. Questa definizione e utile per studiare il legame tra passivita e stabilita. 5/15/

38 Passivita e stabilita Lemma: Se il sistema e passivo con V(x)>0 allora l origine e un equilibrio stabile per il sistema con u=0; Se il sistema e output strictly passive allora e L 2 stabile con guadagno finito; L origine e asintoticamente stabile se: Il sistema e output strictly passive con V(x)>0 ed e zero-state observable; oppure Il sistema e state strictly passive con V(x)>0 5/15/

39 Passivita e stabilita Dimostrazione: primo punto. Segue dal fatto che Dimostrazione: secondo punto. 5/15/

40 Passivita e stabilita da cui si ricava che Dimostrazione: terzo punto. In piu la condizione di zero-state observability permette, via LaSalle, di provare la stabilita asintotica. Dimostrazione: quarto punto. Come nel caso precedente. 5/15/

41 Esempio: sistemi lineari PR Un sistema LTI con funzione di trasferimento G(s) SPR e state strictly passive. Dimostrazione: usando il KYP Lemma e prendendo come candidata storage function si ha che 5/15/

42 Esempio: sistemi lineari PR quindi la disuguaglianza di dissipazione e soddisfatta con 5/15/

43 Passivita per sistemi statici Dato il sistema statico diciamo che e passivo se dove ε, δ 0. Inoltre il sistema e Input strictly passive se ε>0; Output strictly passive se δ>0; 5/15/

44 Interconessione di sistemi passivi Torniamo allo studio del sistema u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 e vediamo due teoremi: Passivita e stabilita L 2 ; Passivita e stabilita asintotica; 5/15/

45 Passivita e stabilita L 2 Dati i due sistemi H 1 e H 2, tali che il sistema con ingressi (u 1,u 2 ) e uscite (y 1,y 2 ) e L 2 stabile con guadagno finito se 5/15/

46 Passivita e stabilita asintotica Dati i due sistemi H 1 e H 2 descritti dalle equazioni e entrambi passivi, con e tali che il sistema interconnesso abbia f(0,0)=0 e h(0,0)=0. Allora l origine del sistema interconnesso con u=0 e stabile e tutte le traiettorie con inizio sufficientemente vicino all origine sono limitate per t 0. 5/15/

47 Passivita e stabilita asintotica Inoltre se V 1 (x 1 ) e V 2 (x 2 ) sono radialmente illimitate, allora le soluzioni del sistema interconnesso con u=0 sono limitate. Infine, l origine del sistema interconnesso con u=0 e a.s. nei seguenti casi: ρ 1 >0 e ρ 2 >0; ρ 1 >0, ε 1 +δ 2 >0 e H 2 zero-state observable; ρ 2 >0, ε 2 +δ 1 >0 e H 1 zero-state observable; ε 1 +δ 2 >0, ε 2 +δ 1 >0 e H_1, H_2 zero-state observable; 5/15/

48 Applicazioni della teoria della passivita E possibile impostare problemi di controllo in termini della proprieta di passivita ; L idea e di scegliere la legge di controllo per ottenere: Una forma desiderata per la storage function; Una forma desiderata per la funzione di dissipazione; Il legame con la stabilita alla Lyapunov e la stabilita L 2 consente di provare facilmente queste proprieta. 5/15/

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