analisi di sistemi retroazionati (2)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "analisi di sistemi retroazionati (2)"

Transcript

1 : analisi di sistemi retroazionati (2) Marco Lovera Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano

2 Indice Piccolo guadagno Stabilita ingresso-uscita Guadagno L 2 Teorema del piccolo guadagno Passivita Sistemi dissipativi Definizione di passivita Passivita e stabilita Passivita e sistemi interconnessi 5/15/

3 Piccolo guadagno

4 Introduzione Richiami: il caso lineare Sistemi non lineari con ingresso Caratterizzazione del legame ingresso-uscita (I/O) Legame tra caratterizzazione I/O e stabilita alla Lyapunov 5/15/

5 Interconnessioni di sistemi lineari Consideriamo il problema di studiare la stabilita del sistema lineare interconnesso G 1 (s) G 2 (s) Sappiamo che possiamo ricondurre il problema allo studio del diagramma di Nyquist di G 1 (s)g 2 (s). 5/15/

6 Interconnessioni di sistemi lineari In particolare: se G 1 (s) e G 2 (s) sono asintoticamente stabili sappiamo che il sistema retroazionato e a.s. se il che e certamente vero se Il nostro obiettivo e provare un risultato analogo per i sistemi non lineari. 5/15/

7 Interconnessioni di sistemi non lineari Dato il sistema interconnesso u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 supponendo che H 1 e H 2 siano entrambi sistemi non lineari, vogliamo caratterizzare il comportamento del sistema retroazionato. 5/15/

8 Norme di segnali Norme di segnali comunemente usate: Spazi di segnali estesi: dove 5/15/

9 Rappresentazione ingresso-uscita di sistemi Rappresentiamo genericamente un sistema come un operatore H che specifica y in funzione di u secondo la relazione con u appartenente a una classe di segnali opportuna. Vogliamo studiare sotto quali condizioni sull operatore H proprieta dell ingresso (energia finita, limitato...) valgono anche per l uscita. Questo porta alla nozione di stabilita L. 5/15/

10 L stabilita L operatore H: L e L e e L stabile se esistono una funzione α( ) strettamente crescente, α(0)=0 e una costante β 0 tali che per ogni u L e e τ [0, ). Inoltre H e L stabile con guadagno finito se esistono γ, β 0 tali che per ogni u L e e τ [0, ). 5/15/

11 Guadagno L Quando vale la e utile caratterizzare il piu piccolo γ per il quale e verificata. Se il γ minimo e ben definito si dice che e il guadagno del sistema. Se la relazione invece vale per γ 0 si dice che il sistema ha guadagno L minore o uguale a γ. 5/15/

12 L stabilita per piccoli segnali In alcuni casi e utile definire la L stabilita per una classe limitata di segnali u. Ad esempio puo essere utile considerare limitazioni in norma sull ingresso. Si dice che il sistema e L stabile per piccoli segnali se esiste r>0 tale che le condizioni di L stabilita valgono per ogni u L tale che 5/15/

13 Esempio: sistemi lineari E possibile provare la L stabilita per sistemi del tipo e per sistemi lineari invarianti asintoticamente stabili nel senso di Lyapunov. Cosa si puo dire in generale sul legame tra L stabilita e stabilita alla Lyapunov? 5/15/

14 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Teoria di Lyapunov: stabilita degli equilibri di L stabilita : caratterizzazione diretta dell effetto di u su y. Si possono mettere in relazione queste due nozioni? 5/15/

15 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Ad esempio: supponendo che x=0 sia un equilibrio di e possibile mostrare che proprieta di stabilita alla Lyapunov dell equilibrio implicano proprieta di L stabilita tra u e y? 5/15/

16 L stabilita e stabilita alla Lyapunov Teorema: dato il sistema supposto che in un intorno di (x=0, u=0) f(t,x,u) e differenziabile con continuita, f/ x e f/ u sono limitate uniformemente in t e h(t,x,u) e tale che Allora se x=0 e un equilibrio esponenzialmente stabile con u=0, esiste r 0 >0 tale che il sistema e L stabile con guadagno finito e per piccoli segnali, per ogni x 0 : 5/15/

17 Guadagno L 2 In molti problemi di controllo si cerca di garantire la stabilita L 2 del sistema retroazionato; In altri casi si cerca di rendere piccolo il guadagno L 2, ad esempio per garantire l attenuazione dell effetto di un disturbo; E quindi utile sapere calcolare o limitare superiormente il guadagno L 2 almeno per alcune classi di sistemi. 5/15/

18 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Consideriamo il sistema LTI asintoticamente stabile con funzione di trasferimento Il guadagno L 2 del sistema e dato da 5/15/

19 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Sistemi SISO: non e altro che il massimo modulo della risposta in frequenza di G(s). Sistemi MIMO: Questa quantita e anche nota come la norma H della funzione di trasferimento G(s). 5/15/

20 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Dimostriamo che il guadagno e a Posto x(0)=0 introduciamo le trasformate di Fourier di u e y: che sono legate tra loro da La norma L 2 di y(t) e data da 5/15/

21 Guadagno L 2 : sistemi lineari invarianti Usando il Teorema di Parseval possiamo scrivere la norma come quindi 5/15/

22 Guadagno L 2 : sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare tale che f(0)=0 e h(0)=0. Preso γ>0, il sistema e L 2 stabile con guadagno finito e minore di γ per ogni x 0 se esiste una funzione V(x) 0 tale che 5/15/

23 Disuguaglianza di H-J: H sistemi LTI Consideriamo il sistema LTI e consideriamo come funzione di Hamilton-Jacobi vediamo che V(x) soddisfa l equazione di H-J se P soddisfa l equazione algebrica: 5/15/

24 Disuguaglianza di H-J: H sistemi LTI che prende il nome di equazione di Riccati. Quindi il sistema e L 2 stabile con guadagno finito minore di γ se (e solo se) e soddisfatta questa condizione. Il guadagno L 2 (norma H ) per i sistemi LTI puo quindi essere caratterizzato anche nel dominio del tempo. 5/15/

25 Interconnessioni di sistemi non lineari Consideriamo ora il problema di studiare il sistema interconnesso u 1 e 1 H 1 y 1 y 2 H 2 e 2 u 2 supponendo che H 1 e H 2 siano entrambi L stabili con guadagno finito: 5/15/

26 Il Teorema del piccolo guadagno Se γ 1 γ 2 <1 allora il sistema interconnesso u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 soddisfa le condizioni 5/15/

27 Esempio: sistemi lineari Supponiamo che H 1 e H 2 siano sistemi lineari con funzione di trasferimento G 1 (s) e G 2 (s). Allora posto la retroazione e L 2 stabile se γ 1 γ 2 <1. Nota: si puo provare con il criterio di Nyquist. 5/15/

28 Esempio: : non linearita statica Supponiamo che H 1 sia un sistema lineare con funzione di trasferimento G(s) e H 2 una nonlinearita statica tale che allora posto la retroazione e L 2 stabile se γ 1 γ 2 <1. Nota: si puo provare con il criterio del cerchio dato che 5/15/

29 Analisi di robustezza della stabilita u 1 e 1 H 1 y 1 y 2 H 2 e 2 u 2 Se si interpretano: H 1 come un modello nominale del sistema; H 2 come incertezza sulla dinamica del sistema reale; Il Teorema del piccolo guadagno consente di studiare la robustezza della stabilita del sistema. 5/15/

30 Passivita

31 Esempio: una rete elettrica Consideriamo come esempio una rete elettrica lineare: R2 L R=1 L=1 1 = u R = 1 R 1 C = 1 C R = 1 R 3 5/15/

32 Esempio: una rete elettrica Equazioni di stato della rete (x 1 =i L, x 2 =v C ): Rete dissipativa, quindi posto si ha 5/15/

33 Esempio: una rete elettrica La relazione vale anche in forma differenziale, infatti quindi 5/15/

34 Dissipazione: cinque possibili casi R 1 =R 3 =, R 2 =0; R 3 =, R 2 =0; R 1 =R 3 = ; R 1 = ; R 1 =, R 2 =0; 5/15/

35 Definizione di passivita Il sistema dinamico non lineare e passivo se esiste una funzione V(x) 0 (storage function) tale che dove ε, δ, ρ 0, ψ(x) 0 tale che 5/15/

36 Definizione di passivita Inoltre, il sistema si dice Lossless se ε=δ=ρ=0 e la relazione vale come uguaglianza; Input strictly passive se ε > 0: Output strictly passive se δ > 0; State strictly passive se ρ > 0; 5/15/

37 Zero-state observability Nel caso output strictly passive vorremmo anche che si avesse che ogniqualvolta u=0. Diciamo che il sistema e zero-state observable se x=0 e l unica soluzione tale che h(x,0)=0 identicamente. Questa definizione e utile per studiare il legame tra passivita e stabilita. 5/15/

38 Passivita e stabilita Lemma: Se il sistema e passivo con V(x)>0 allora l origine e un equilibrio stabile per il sistema con u=0; Se il sistema e output strictly passive allora e L 2 stabile con guadagno finito; L origine e asintoticamente stabile se: Il sistema e output strictly passive con V(x)>0 ed e zero-state observable; oppure Il sistema e state strictly passive con V(x)>0 5/15/

39 Passivita e stabilita Dimostrazione: primo punto. Segue dal fatto che Dimostrazione: secondo punto. 5/15/

40 Passivita e stabilita da cui si ricava che Dimostrazione: terzo punto. In piu la condizione di zero-state observability permette, via LaSalle, di provare la stabilita asintotica. Dimostrazione: quarto punto. Come nel caso precedente. 5/15/

41 Esempio: sistemi lineari PR Un sistema LTI con funzione di trasferimento G(s) SPR e state strictly passive. Dimostrazione: usando il KYP Lemma e prendendo come candidata storage function si ha che 5/15/

42 Esempio: sistemi lineari PR quindi la disuguaglianza di dissipazione e soddisfatta con 5/15/

43 Passivita per sistemi statici Dato il sistema statico diciamo che e passivo se dove ε, δ 0. Inoltre il sistema e Input strictly passive se ε>0; Output strictly passive se δ>0; 5/15/

44 Interconessione di sistemi passivi Torniamo allo studio del sistema u 1 e 1 y 1 H 1 y 2 H 2 e 2 u 2 e vediamo due teoremi: Passivita e stabilita L 2 ; Passivita e stabilita asintotica; 5/15/

45 Passivita e stabilita L 2 Dati i due sistemi H 1 e H 2, tali che il sistema con ingressi (u 1,u 2 ) e uscite (y 1,y 2 ) e L 2 stabile con guadagno finito se 5/15/

46 Passivita e stabilita asintotica Dati i due sistemi H 1 e H 2 descritti dalle equazioni e entrambi passivi, con e tali che il sistema interconnesso abbia f(0,0)=0 e h(0,0)=0. Allora l origine del sistema interconnesso con u=0 e stabile e tutte le traiettorie con inizio sufficientemente vicino all origine sono limitate per t 0. 5/15/

47 Passivita e stabilita asintotica Inoltre se V 1 (x 1 ) e V 2 (x 2 ) sono radialmente illimitate, allora le soluzioni del sistema interconnesso con u=0 sono limitate. Infine, l origine del sistema interconnesso con u=0 e a.s. nei seguenti casi: ρ 1 >0 e ρ 2 >0; ρ 1 >0, ε 1 +δ 2 >0 e H 2 zero-state observable; ρ 2 >0, ε 2 +δ 1 >0 e H 1 zero-state observable; ε 1 +δ 2 >0, ε 2 +δ 1 >0 e H_1, H_2 zero-state observable; 5/15/

48 Applicazioni della teoria della passivita E possibile impostare problemi di controllo in termini della proprieta di passivita ; L idea e di scegliere la legge di controllo per ottenere: Una forma desiderata per la storage function; Una forma desiderata per la funzione di dissipazione; Il legame con la stabilita alla Lyapunov e la stabilita L 2 consente di provare facilmente queste proprieta. 5/15/

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Il controllo di sistemi ad avanzamento temporale si basa sulle tecniche di controllo in retroazione, ovvero, elabora le informazione sullo stato del processo (provenienti dai sensori) in modo sa inviare

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo:

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo: .5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso Prof. Bruno Picasso LEZIONI: Introduzione al corso. Introduzione ai sistemi dinamici. I sistemi dinamici come sistemi di equazioni differenziali; variabili

Dettagli

Criteri di stabilità (ver. 1.2)

Criteri di stabilità (ver. 1.2) Criteri di stabilità (ver. 1.2) 1 1.1 Il concetto di stabilità Il concetto di stabilità è piuttosto generale e può essere definito in diversi contesti. Per i problemi di interesse nell area dei controlli

Dettagli

La funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento Sommario La funzione di trasferimento La funzione di trasferimento Poli e zeri della funzione di trasferimento I sistemi del primo ordine Esempi La risposta a sollecitazioni La funzione di trasferimento

Dettagli

Indice. Capitolo 1 Introduzione... 1. Capitolo 2 Rappresentazioni lineari e modelli di sistemi da diverse discipline... 9

Indice. Capitolo 1 Introduzione... 1. Capitolo 2 Rappresentazioni lineari e modelli di sistemi da diverse discipline... 9 Indice Capitolo 1 Introduzione... 1 Capitolo 2 Rappresentazioni lineari e modelli di sistemi da diverse discipline... 9 2.1 Alcuni semplici modelli.............................. 10 2.1.a Un sistema meccanico

Dettagli

Control System Toolbox

Control System Toolbox Control System Toolbox E` un insieme di funzioni per l analisi di sistemi dinamici (tipicamente lineari tempo invarianti o LTI) e per la sintesi di controllori (in particolare a retroazione). All'interno

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: robustezza e prestazioni Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Attività didattica ANALISI MATEMATICA [2000] Periodo di svolgimento:

Dettagli

MATERIA : SISTEMI ELETTRICI AUTOMATICI INS. TEORICO: PROF. CIVITAREALE ALBERTO

MATERIA : SISTEMI ELETTRICI AUTOMATICI INS. TEORICO: PROF. CIVITAREALE ALBERTO PIANO DI LAVORO CLASSE 5 ES A.S. 2014-2015 MATERIA : SISTEMI ELETTRICI AUTOMATICI INS. TEORICO: PROF. CIVITAREALE ALBERTO INS. TECNICO-PRATICO: PROF. BARONI MAURIZIO MODULO 1: ALGEBRA DEGLI SCHEMI A BLOCCHI

Dettagli

FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE

FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE Nello studio dei sistemi di controllo in retroazione spesso si richiede che l uscita segua

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Stabilità di Lyapunov

Stabilità di Lyapunov Stabilità di Lyapunov Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona Introduzione. In queste note presentiamo i primi elementi della teoria della stabilità

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO

Dettagli

Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza

Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza Contents Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza 3. Le specifiche del progetto nel dominio della frequenza......... 3.2 Sintesi del controllore........................... 6.3 Determinazione

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09. Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è

Dettagli

Sistema dinamico a tempo continuo

Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 2 Aprile 26 Sia dato il sistema di controllo a controreazione di Fig. 1, in cui il processo ha funzione di trasferimento P (s) = 1 (1 +.1s)(1 +.1s).

Dettagli

CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/sistemicontrollo.html CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Ing. Luigi Biagiotti e-mail: luigi.biagiotti@unimore.it

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Progetto di controllo e reti correttrici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE Ing. Luigi Biagiotti Tel. 5 29334 / 5 29368 e-mail: lbiagiotti@deis.unibo.it http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

Dettagli

Sistemi e modelli. Sistemi e modelli

Sistemi e modelli. Sistemi e modelli Sistemi e modelli Sistemi e modelli Sistema (processo): insieme di più parti legate da qualche forma di relazione. Sistema: oggetto, dispositivo o fenomeno la cui interazione con l ambiente circostante

Dettagli

Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore

Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore Antonio Bicchi, Giordano Greco Università di Pisa 1 INDICE 2 Indice 1 Introduzione 3 2 Approssimazioni della f.d.t. in anello chiuso 5 3 Metodi

Dettagli

Servomeccanismi 1. Cassa. Albero. 1. Il motore elettrico in corrente continua

Servomeccanismi 1. Cassa. Albero. 1. Il motore elettrico in corrente continua Servomeccanismi 1 1. Il motore elettrico in corrente continua Descrizione fisica Il motore è contenuto in una cassa che in genere è cilindrica. Da una base del cilindro fuoriesce l albero motore; sulla

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante:

Dettagli

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE L. EINAUDI ALBA ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA CLASSE 5H Docenti: Raviola Giovanni Moreni Riccardo Disciplina: Sistemi elettronici automaticih PROGETTAZIONE DIDATTICA ANNUALE COMPETENZE FINALI Al termine

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Obiettivo: analisi e sintesi dei sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale Il controllo digitale è ampiamente usato, grazie alla diffusione di microprocessori e microcalcolatori,

Dettagli

SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO

SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Requisiti e specifiche Approcci alla sintesi Esempi di progetto Principali reti stabilizzatrici Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione

Dettagli

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO MOD. 1 Sistemi di controllo e di regolazione. Si tratta di un ripasso di una parte di argomenti effettuati l anno scorso. Introduzione. Schemi a blocchi di

Dettagli

I.T.C. Abba Ballini BS a.s. 2014 2015 cl 4^

I.T.C. Abba Ballini BS a.s. 2014 2015 cl 4^ MODULO 1: LE FUNZIONI- GRAFICI APPROSSIMATI UD 1.1 Saper analizzare le proprietà caratteristiche di una funzione razionale in una variabile Saper ipotizzare il grafico di una funzione razionale Dominio,

Dettagli

Prestazioni dei sistemi in retroazione

Prestazioni dei sistemi in retroazione Prestazioni dei sistemi in retroazione (ver..2). Sensitività e sensitività complementare Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig... Vogliamo determinare quanto è sensibile il sistema in anello

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Sistemi e modelli matematici

Sistemi e modelli matematici 0.0.. Sistemi e modelli matematici L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituire l intervento umano, o a migliorarne l efficienza, nell esercizio di dispositivi e impianti. Un importante

Dettagli

Politecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE

Politecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 8 Novembre 014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1 punti: 8 su 3 Si consideri il sistema dinamico

Dettagli

Finanza matematica - Lezione 01

Finanza matematica - Lezione 01 Finanza matematica - Lezione 01 Contratto d opzione Un opzione è un contratto finanziario stipulato al tempo, che permette di eseguire una certa transazione, d acquisto call o di vendita put, ad un tempo

Dettagli

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R.

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R. Serie di Fourier 1 Serie di Fourier In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo π, e ne identifichiamo i coefficienti.

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 9- p. /3 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri,

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici

Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici Versione 1.0 Ing. Alessandro Pisano SOMMARIO Introduzione 3 1. Stabilità a ciclo chiuso e teorema del valore

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici

Prova scritta di Controlli Automatici Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del

Dettagli

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE + e k u k u(t) r k C D/A P y k TMP A/D Trasduttore y(t) Schema di base di un sistema di controllo digitale A/D: convertitore analogico digitale C: controllore digitale

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 26 2 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 5 1.1 Introduzione............................. 5 1.2 Analisi armonica..........................

Dettagli

Trasformate integrali

Trasformate integrali Trasformate integrali Gianni Gilardi Pavia, 12 dicembre 1997 Siano I e J due intervalli di R, limitati o meno, e K : I J C una funzione fissata. Data ora una generica funzione u : I R, consideriamo, per

Dettagli

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 3.06.005. Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) g(x) z(t) H(f) H(f) y (t) + + y (t) y(t) H(f) = 4 ( e

Dettagli

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE L. EINAUDI ALBA ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA CLASSE 5H Docenti: Raviola Giovanni Moreni Riccardo Disciplina: Sistemi elettronici automatici PROGETTAZIONE DIDATTICA ANNUALE COMPETENZE FINALI Al termine

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006 Prova scritta 16.02.2006 D. 1 Si derivi l espressione dei legami ingresso-uscita, nel dominio del tempo per le funzioni di correlazione nel caso di sistemi LTI e di segnali d ingresso SSL. Si utilizzi

Dettagli

UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa

UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Indice UNIT

Dettagli

REGOLATORI STANDARD O PID

REGOLATORI STANDARD O PID REGOLATORI STANDARD O ID Consideriamo il classico esempio di compensazione in cascata riportato in figura, comprendente il plant o sistema controllato con funzione di trasferimento G (s), il regolatore

Dettagli

REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE

REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE PID: DESIGN TECHNIQUES AND IMPLEMENTATION ISSUES Relatore: Laureando: Prof.ssa Maria Elena Valcher Davide Meneghel Corso di Laurea in

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p. Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l

Dettagli

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID ONTROLLORI STANDARD PID Guido Vagliasindi ontrolli Automatici A.A. 6/7 ontrollori Standard PID MODELLO DEI REGOLATORI PID Tra le ragioni del vastissimo utilizzo dei regolatori PID nella pratica dell automazione

Dettagli

CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE

CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE (cod. 8469) APPELLO del 10 Novembre 2010 Prof. Emanuele Carpanzano Soluzioni Esercizio 1 (Domande generali) 1.a) Controllo Modulante Tracciare qualitativamente la risposta

Dettagli

TRAVE SU SUOLO ELASTICO

TRAVE SU SUOLO ELASTICO Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine

Dettagli

Stabilità dei sistemi

Stabilità dei sistemi Stabilità dei sistemi + G(s) G(s) - H(s) Retroazionati Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Sommario In questa lezione si tratteranno: La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM 2 OBIETTIVO: Il modello IS-LM Fornire uno schema concettuale per analizzare la determinazione congiunta della produzione e del tasso

Dettagli

Prof. Gabriele Vezzosi... Settore Inquadramento MAT03...

Prof. Gabriele Vezzosi... Settore Inquadramento MAT03... UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Registro dell insegnamento Anno Accademico 2014/2015 Facoltà Ingegneria....................................... Insegnamento Matematica................................ Settore Mat03............................................

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Stampa Preventivo A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Insegnante MARINO CRISTINA Classe 5AT Materia matematica preventivo consuntivo 99 0 titolo modulo 51 RIPASSO 52 FUNZIONI REALI DI VARIABILE 53 CALCOLO INFINITESIMALE

Dettagli

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Applicazioni di Controllo per Sistemi Non Lineari

Applicazioni di Controllo per Sistemi Non Lineari Nonlinear Control -Pag.1 Applicazioni di Controllo per Sistemi Non Lineari Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 Fax. +39 0532 974870 E-mail: mbonfe@ing.unife.it

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Risposta temporale: esercizi

Risposta temporale: esercizi ...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione:

Dettagli

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) C(s) controllore analogico impianto attuatori

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

A. Bicchi Centro I.R. E. Piaggio, Università di Pisa

A. Bicchi Centro I.R. E. Piaggio, Università di Pisa Controllo, Teoria del Teoria dell Enciclopedia Italiana di Scienze, Lettere ed Arti Istituto della Enciclopedia Italiana ``G. Treccani'' XXI Secolo -- Aggiornamento, A. Bicchi Centro I.R. E. Piaggio, Università

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e " i k x u k ψ x + a = e " i k x + a u k x + a = e " i k a e " i k x u k

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e  i k x u k ψ x + a = e  i k x + a u k x + a = e  i k a e  i k x u k Teorema di Bloch Introduzione (vedi anche Ascroft, dove c è un approccio alternativo) Cominciamo col considerare un solido unidimensionale. Il modello è quello di una particella (l elettrone) in un potenziale

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo. acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al

Dettagli

Identificazione di sistemi dinamici

Identificazione di sistemi dinamici Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana SUP SI Dipartimento Tecnologie Innovative Identificazione di sistemi dinamici Ivan Furlan 21 dicembre 2011 Identificazione di sistemi dinamici

Dettagli

FONDAMENTI DI ANALISI SUPERIORE 1

FONDAMENTI DI ANALISI SUPERIORE 1 FONDAMENTI DI ANALISI SUPERIORE 1 Docente: LUCIO CADEDDU SSD: MAT/05 Codifica dell Ateneo: Tipologia: Integrato: NO Anno di corso 1 magistrale Semestre 1 Sede lezioni: Dipartimento di Matematica e Informatica,

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

ESERCITAZIONI MACROECONOMIA 2

ESERCITAZIONI MACROECONOMIA 2 ESERCITAZIONI MACROECONOMIA 2 CAPITOLO 10 Crescita: i fatti principali 1) Spiegate cosa si intende per convergenza nella teoria della crescita e mostrate il grafico con cui si rappresenta. 2) Spiegate

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

Introduzione. Classificazione delle non linearità

Introduzione. Classificazione delle non linearità Introduzione Accade spesso di dover studiare un sistema di controllo in cui sono presenti sottosistemi non lineari. Alcuni di tali sottosistemi sono descritti da equazioni differenziali non lineari, ad

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo

Dettagli