Approssimazione numerica

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1 Approssimazione numerica Laboratorio di programmazione e calcolo (Chimica e Tecnologie chimiche) Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari Approssimazione numerica p.1/10

2 Problema Dati m + 1 punti nel piano (x i,y i ), i = 0, 1,...,m, determinare una funzione dipendente da n + 1 parametri (m >> n) che passi il più vicino possibile a questi punti. n Posto Φ(x) = c j φ j (x) e definiti i vettori j=0 Y = (y 0,y 1,...,y m ) T Z = (Φ(x 0 ), Φ(x 1 ),...,Φ(x m )) T, il problema si pone nel seguente modo: min Y Z. c 0,...,c n Approssimazione numerica p.2/10

3 Approssimazione ai minimi quadrati Se Φ è un polinomio e si minimizza rispetto alla norma 2 il problema è detto dei minimi quadrati. Φ(x) p(x) = n c j φ j (x), con i polinomi φ j, per j=0 j = 0,...,n, che definiscono una base per lo spazio dei polinomi di grado al più n min F(c 0,...,c n ), dove c 0,...,c n F Y Z 2 = m (y i p(x i )) 2 Approssimazione numerica p.3/10

4 Soluzione La soluzione si determina ponendo a 0 le derivate parziali di F rispetto a c k. Si ha (trascurando la derivata) F c k = 2 (y i n j=0 c j φ j (x i ))φ k (x i ) = 0 da cui n c j m φ j (x i )φ k (x i ) = y i φ k (x i ), k = 0,...,n j=0 Quest ultima equazione da origine ad un sistema lineare (n + 1) (n + 1). Approssimazione numerica p.4/10

5 Soluzione (II) Detta A = (a ij ) la matrice dei coefficienti con a kj = φ j (x i )φ k (x i ) e b = (b k ) il termine noto con b k = y i φ k (x i ), il vettore c contenente i coefficienti del polinomio è soluzione del sistema Ac = b. La matrice A è simmetrica (a kj = a jk ) definita positiva x T Ax > 0 per ogni x 0 Approssimazione numerica p.5/10

6 Soluzione (III) Detta P = (p ij ) la matrice rettangolare (n + 1) (m + 1), con p ij = φ j (x i ), si ha anche A = P T P, b = P T y essendo y il vettore contenente le y i. se P è quadrata (m = n), allora è non singolare ed il sistema si riduce (moltiplicando a sinistra entrambi i membri per P T ) a Pc = y che fornisce i coefficienti del polinomio interpolante se m > n allora c = (P T P) 1 P T y Approssimazione numerica p.6/10

7 Retta di regressione lineare Se n = 1 allora il polinomio approssimante è una retta. Posto φ 0 (x) = 1 e φ 1 (x) = x, si ha ( ) P T =, x 0 x 1... x m A = m + 1 x i x i m x 2 i, b = y i x i y i Approssimazione numerica p.7/10

8 Retta di regressione lineare (II) Dividendo per m + 1 entrambe le equazioni si ha il sistema dove ( 1 x x σ 2 x + x 2 x valor medio tra le x i ) ( c 0 c 1 ) = ( y σ 2 xy + x y y valor medio tra le y i σx 2 = (x x i ) 2 varianza di x (indica la dispersione rispetto al valor medio) σxy 2 = (x x i )(y y i ) covarianza ) Approssimazione numerica p.8/10

9 Coefficiente di correlazione Risolvendo il sistema si ottiene c 1 = σ2 xy σ e c x 2 0 = y c 1 x (la retta passa per il punto medio). Per verificare se la retta di regressione lineare è una buona approssimazione dei dati, si calcola la retta associata ai dati (y i,x i ), sempre per i = 0,...,m. Posto x = c 0 + c 1y, si ha c 1 = σ2 xy σ e y 2 c 0 = x c 1 y. Se c 1 0, allora si può scrivere questa retta come y = x/c 1 c 0 /c 1 da cui si ottiene che deve essere il coefficiente di correlazione r = c1 1/c 1 = c 1 c 1 = σ2 xy σ x σ y 1. Approssimazione numerica p.9/10

10 Soluzione ai minimi quadrati Dato un sistema Ax = b con A di dimensione m n e m > n, in genere non esiste una soluzione. Si può però determinare un vettore che minimizzi la quantità Ax b. Se si sceglie la norma 2, tale vettore si dirà soluzione ai minimi quadrati del sistema sovradeterminato. Si ha Ax b 2 = (Ax b) T (Ax b) = x T A T Ax 2b T Ax + b T b. Ponendo uguale a 0 la derivata di questa funzione rispetto ad x si ha che il minimo è la soluzione del sistema A T Ax = A T b. Approssimazione numerica p.10/10